1.定义 )( xyfdxdy?形如 的微分方程称为 齐次方程,
2.解法 作变量代换,xyu?,xuy?即
,dxduxudxdy 代入原式
),( ufdxduxu,)( x uufdxdu即可分离变量的方程齐次型方程一、齐次型方程
,0)( 时当 uuf,ln)( 1 xCuuf du得
,)( uCex即 ）（ uuf
du
)()(?
,代入将 xyu?,)( xyCex得通解
,0u?若,0)( 00 uuf使,0 是新方程的解则 uu?
,代回原方程,0 xuy?得齐次方程的解例 1 求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
解,令
x
yu?,则 udxx d udy
,0)(c o s)c o s( xduu d xuxdxuuxx
,c os xdxudu,lns i n Cxu
微分方程的解为,lns i n Cxx
y
例 2 求解微分方程,2 222 xyy
dy
yxyx
dx
解 22
22
yxyx
xyy
dx
dy
,
1
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu?令,u d xxdudy则
,1 2 2
2
uu
uuuxu
,]1122)121(21[ xdxduuuuu
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy
例 3 抛物线的光学性质实例,车灯的反射镜面 ------旋转抛物面解 如图 轴设旋转轴 ox
),0,0(光源在 )(,xyyL?
为上任一点，设 ),( yxM
,,yMT?斜率为为切线
,1,yMN斜率为为法线
,N M RO M N
x
y
o
M
T
N
R
L
,t a nt a n N M RO M N
x
y
o
M
T
N
R
L
由夹角正切公式得?
y
N MR
yx
y
x
y
y
O MN
1
t a n
1
1
t a n
得微分方程
,022 yyxyy,1)( 2 y
x
y
xy即
，令 xyu?,11 2
u
u
dx
duxu得分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
u du
，令 221 tu,)1( x
dx
tt
tdt
积分得,ln1ln xCt,112 xCu即平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu
得代回,xyu? )2(22 CxCy 抛物线轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy
yx
yx
dx
dy
解
x
y
x
y
dx
dy
1
1
令 xyu? 则 dxduxudxdy
代入化简 并分离变量 dxxduuu 111 2
两边积分 cxuu lnln)1l n (21a r ct a n 2
换回原变量 cxxyxy lnln)1l n (21ar c t an 2
2
或 22a r c t a n yxce xy
例 4
二、可化为齐次型的方程
1.定义 的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
,01 时当 cc 为齐次型方程,否则为非齐次型方程
2.解法
，
令
kYy
hXx
,（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
得通解代回
，kyY
hxX,
,0)2( 未必有解,上述方法不能用,
,01 时当?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ab若,byaxz令 ),(1 adxdzbdxdy
)()(1
1c
czfa
dx
dz
b
可分离变量的微分方程,
,01 时当?b,11 b
b
a
a令
),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
方程可化为
,byaxz令
，则 dxdybadxdz ).()(1
1cz
czfa
dx
dz
b
可分离变量,
.315 的通解求例 yx yxdxdy
解,0211
11
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 kh
.2,1 YyXx令 代入原方程得
,YX YXdXdY,令 XYu?
方程变为,11 uudXduXu 分离变量法得
,)12( 22 cuuX,2 22 CXXYY即代回，将 2,1 yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy
.622 122 Cyxyxyx或利用变量代换求微分方程的解
.)(6 2 的通解求例 yxdxdy
解,uyx令 1 dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy,a r c t a n Cxu解得得代回,yxu,)a r c t a n ( Cxyx
原方程的通解为,)t a n ( xCxy
三、小结齐次方程 ).( xydxdy
齐次方程的解法,xyu?令可化为齐次方程的方程
.
,
kYy
hXx
令思考题方程 )()()(2
0
22 xxydttyttyx
是否为齐次方程?
思考题解答方程两边同时对 求导,x
,2 22 yxyyxy
,22 yyxyx,1
2
x
y
x
yy
原方程 是 齐次方程,
练 习 题一,求下列齐次方程的通解,
1,0)(
22
x yd ydxyx ；
2,0)1(2)21( dy
y
x
edxe
y
x
y
x
.
二,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,
1,1,02)3(
0
22
x
yx y d xdyxy ；
2,,0)2()2(
2222
dyxxyydxyxyx
1
1
x
y,
三、化下列方程为齐次方程,并求出通解,
1,
3
1
yx
yx
y ；
2,
0)642()352( dyyxdxyx
.
练习题答案一,1,)ln2(
22
cxxy ；
2,cyex
y
x
2,
二,1,
322
yxy ；
2,yxyx
22
,
三,1,Cyx
x
y
])2()1l n[(
2
1
1
2
a rcta n
22；
2,Cxyxy
2
)32)(34(,
2.解法 作变量代换,xyu?,xuy?即
,dxduxudxdy 代入原式
),( ufdxduxu,)( x uufdxdu即可分离变量的方程齐次型方程一、齐次型方程
,0)( 时当 uuf,ln)( 1 xCuuf du得
,)( uCex即 ）（ uuf
du
)()(?
,代入将 xyu?,)( xyCex得通解
,0u?若,0)( 00 uuf使,0 是新方程的解则 uu?
,代回原方程,0 xuy?得齐次方程的解例 1 求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
解,令
x
yu?,则 udxx d udy
,0)(c o s)c o s( xduu d xuxdxuuxx
,c os xdxudu,lns i n Cxu
微分方程的解为,lns i n Cxx
y
例 2 求解微分方程,2 222 xyy
dy
yxyx
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解 22
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yxyx
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,
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x
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x
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,xyu?令,u d xxdudy则
,1 2 2
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,]1122)121(21[ xdxduuuuu
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy
例 3 抛物线的光学性质实例,车灯的反射镜面 ------旋转抛物面解 如图 轴设旋转轴 ox
),0,0(光源在 )(,xyyL?
为上任一点，设 ),( yxM
,,yMT?斜率为为切线
,1,yMN斜率为为法线
,N M RO M N
x
y
o
M
T
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,t a nt a n N M RO M N
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得微分方程
,022 yyxyy,1)( 2 y
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，令 xyu?,11 2
u
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duxu得分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
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，令 221 tu,)1( x
dx
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积分得,ln1ln xCt,112 xCu即平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu
得代回,xyu? )2(22 CxCy 抛物线轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy
yx
yx
dx
dy
解
x
y
x
y
dx
dy
1
1
令 xyu? 则 dxduxudxdy
代入化简 并分离变量 dxxduuu 111 2
两边积分 cxuu lnln)1l n (21a r ct a n 2
换回原变量 cxxyxy lnln)1l n (21ar c t an 2
2
或 22a r c t a n yxce xy
例 4
二、可化为齐次型的方程
1.定义 的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
,01 时当 cc 为齐次型方程,否则为非齐次型方程
2.解法
，
令
kYy
hXx
,（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
得通解代回
，kyY
hxX,
,0)2( 未必有解,上述方法不能用,
,01 时当?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ab若,byaxz令 ),(1 adxdzbdxdy
)()(1
1c
czfa
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b
可分离变量的微分方程,
,01 时当?b,11 b
b
a
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),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
方程可化为
,byaxz令
，则 dxdybadxdz ).()(1
1cz
czfa
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b
可分离变量,
.315 的通解求例 yx yxdxdy
解,0211
11
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 kh
.2,1 YyXx令 代入原方程得
,YX YXdXdY,令 XYu?
方程变为,11 uudXduXu 分离变量法得
,)12( 22 cuuX,2 22 CXXYY即代回，将 2,1 yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy
.622 122 Cyxyxyx或利用变量代换求微分方程的解
.)(6 2 的通解求例 yxdxdy
解,uyx令 1 dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
dy,a r c t a n Cxu解得得代回,yxu,)a r c t a n ( Cxyx
原方程的通解为,)t a n ( xCxy
三、小结齐次方程 ).( xydxdy
齐次方程的解法,xyu?令可化为齐次方程的方程
.
,
kYy
hXx
令思考题方程 )()()(2
0
22 xxydttyttyx
是否为齐次方程?
思考题解答方程两边同时对 求导,x
,2 22 yxyyxy
,22 yyxyx,1
2
x
y
x
yy
原方程 是 齐次方程,
练 习 题一,求下列齐次方程的通解,
1,0)(
22
x yd ydxyx ；
2,0)1(2)21( dy
y
x
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y
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.
二,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,
1,1,02)3(
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x
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2,,0)2()2(
2222
dyxxyydxyxyx
1
1
x
y,
三、化下列方程为齐次方程,并求出通解,
1,
3
1
yx
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2,
0)642()352( dyyxdxyx
.
练习题答案一,1,)ln2(
22
cxxy ；
2,cyex
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x
2,
二,1,
322
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2,yxyx
22
,
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x
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)32)(34(,
