欧 拉 方 程一、欧拉方程
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
的方程 (其中 nppp?21,
形如叫 欧拉方程,为常数 )
特点,各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．
解法,欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程,
作变量变换,ln xtex t 或
,1 dtdyxdxdtdtdydxdy
,1 2
2
22
2
dtdydt ydxdx yd
将自变量换为,t
,231 2
2
3
3
33
3
dtdydt yddt ydxdx yd
用 D 表示对自变量 t 求导的运算,dtd
上述结果可以写为
,Dyyx
,)1()( 22
2
2 yDDyDD
dt
dy
dt
ydyx
,)2)(1()23(
23
23
2
2
3
3
3
yDDDyDDD
dt
dy
dt
yd
dt
yd
yx



.)1()1()( ykDDDyx kk
将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量t
的常系数 线性微分方程,求出这个方程的解后
，t把 换为,xln 即得到原方程的解,
一般地，
例 求欧拉方程
223 34 xyxyxyx 的通解．
解 作变量变换,ln xtex t 或原方程化为
,34)1()2)(1( 2 teDyyDDyDDD
即,332 223 teDyyDyD
或,332 22
2
3
3
te
dt
dy
dt
yd
dt
yd (1)
方程 (1)所对应的齐次方程为
,032 2
2
3
3
dtdydt yddt yd
其特征方程,032 23 rrr
特征方程的根为,3,1,0 321 rrr
所以齐次方程的通解为
.33213321 xCxCCeCeCCY tt
设特解为,22 bxbey t
代入原方程，得,21b
所给欧拉方程的通解为,21 23321 xxCxCCy
,2
2x
y即二、小结欧拉方程解法思路变系数的线性微分方程常系数的线性微分方程变量代换注意：欧拉方程的形式．
xtex t ln 或