高阶微分方程 习题课一、主要内容高阶方程可降阶方程 线性方程解的结构二阶常系数线性方程解的结构特征根法特征方程的根及其对应项待定系数法
f(x)的形式及其特解形式微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子
1、可降阶的高阶微分方程的解法
)()1( )( xfy n?型解法 接连积分 n次，得通解．
),()2( yxfy型特点,y不显含未知函数解法 ),( xPy令,Py
代入原方程,得 ) ),(,( xPxfP
),()3( yyfy型特点,x不显含自变量解法 ),( xPy令,dy
dpPy
代入原方程,得 ).,( PyfdydpP?
2、线性微分方程解的结构
（ 1） 二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( yxQyxPy形如也是解则是解若 221121,,ycycyyy
是通解则是两无关解若 221121,,ycycyyy
（ 2）二阶非齐次线性方程的解的结构,
)2()()()( xfyxQyxPy形如非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
2121 )()()( yyyxfxfxf 则若的特解分别是则的特解是若
)(),(,
)()()(
2121
2121
xfxfyy
xjfxfxfyjyy
3、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn形如
n阶常系数线性微分方程
0 qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
0 qyypy
特征方程为 02 qprr
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
推广,阶常系数齐次线性方程解法n
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s i n)(
c os)[(
1
110
1
110
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程解法 待定系数法,
型)()()1( xPexf mx
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
型]s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx
],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk设次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1(nlm,m ax?
.1;0
是特征方程的单根时不是特征方程的根时
j
jk
二、典型例题例 1,2
1 2
y
yy求通解解,x方程不显含
,,dydPPyPy令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP
,1 12 yCP解得，
,11 yCP,11 yCdxdy即故方程的通解为,12 21
1
CxyCC
例 2
.1)1()1(,2 yyexeyyy xx
求特解解 特征方程,0122 rr
特征根,121 rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY
设原方程的特解为,)(2* xebaxxy
,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy则
,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** yyy
,21,61 ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy
,1)1(?y?,1)31( 21 eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy
,1)1(y?,1)652( 21 eCC
,31121 eCC
,6512 21 eCC
由 解得?
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey
例 3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为
xxyxxyxy c o s,s i n,321 求其通解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解故 xyy s i n12 xyy co s13
是齐方程的两个解齐通解 xcxcY s i nc o s 21
且线性无关非齐通解 xxcxcy s i nc o s 21
例 4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定 f(x)
使曲线积分
dyxfy d xxfxfxeL x )()]()(2[
)( 常数 与路径无关解 由曲线积分与路径无关的条件得
)()(2)( xfxfexf x
即 xexfxfxf )()(2)(
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解 xexccy )( 21
时1 xexy 2* 21
xexxccxf )
2()(
2
21
时1 xey 2* )1( 1
xx eexccxf?
221 )1(
1)()(
例 5 ).2c o s(212 xxyyy求解方程解 特征方程,042r
特征根,22,1 ir
对应的齐方的通解为,2s i n2c o s 21 xCxCY
设原方程的特解为,*2*1* yyy
,)1( *1 baxy设,)( *1 ay则,0)( *1y
，得代入 xyy 214,xbax 2144
由
，04?b
，214?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy
),2s i n2co s()2( *2 xdxcxy设
,2s i n)2(2co s)2()( *2 xcxdxdxcy则
,2s i n)44(2co s)44()( *2 xdxcxcxdy
，得代入 xyy 2co s214
,2co s212s i n42co s4 xxcxd
由
，04 c
，214?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy
例 6
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy
解 （１） 由题设可得：
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxxp
（２） 原方程为,31 3xyxy
，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy
是原方程的一个特解，又 xy 1*?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy
测 验 题一,选择题,
1,一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy 的通解是 ( ).
(A)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx
22
是 ( ),
(A ) 齐次方程； (B ) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； ( D) 可分离变量方程,
3,2)1(,0
22
y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
yx ； (B) 93
3
yx ；
(C) 1
33
yx ； (D) 1
33
33
yx
.
4,方程 xy s i n?
的通解是 ( ).
(A)
32
2
1
2
1
co s CxCxCxy ；
(B)
32
2
1
2
1
sin CxCxCxy ；
(C) 1
c o s Cxy；
(D)
xy 2s i n2?
.
5,方程 0 yy 的通解是 ( ),
(A)
1
c o ss i n Cxxy ；
(B)
321
c o ss i n CxCxCy ；
(C)
1
c o ss i n Cxxy；
(D) 1
s i n Cxy
.
6,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy
( 其中 21
,CC
为任意常数 )( )
(A) 是该方程的通解； (B ) 是该方程的解；
(C) 是该方程的特解； ( D) 不一定是该方程的解,
7,求方程 0)(
2
yyy 的通解时,可令 ( ).
(A) PyPy 则,；
(B)
dy
dP
PyPy 则,；
(C)
dx
dP
PyPy 则,；
(D)
dy
dP
PyPy 则,.
8,已知方程 0
2
yyxyx 的一个特解为 xy?,于是方程的通解为 ( ).
(A)
2
21
xCxCy ； (B)
x
CxCy
1
21
；
(C)
x
eCxCy
21
； (D)
x
eCxCy
21
.
9,已知方程 0)()( yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(B)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C)
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1；
( D)
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
10,方程 xeyyy
x
2co s23 的一个特解形式是
( ),
(A ) xeAy
x
2co s
1；
(B ) xxeBxxeAy
xx
2s i n2co s
11
；
(C ) xeBxeAy
xx
2s i n2co s
11
；
( D) xexBxexAy
xx
2s i n2co s
2
1
2
1
,
二,求下列一阶微分方程的通解,
1,)1( l nln xaxyxyx ；
2,0
33
yxxy
dx
dy；
3,0
22
yx
xdyyd x
yd yxdx,
三,求下列高阶微分方程的通解,
1,01
2
yyy ；
2,)4(2
x
exyyy,
四,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0)(2
223
dyxyxdxy,11 yx 时,；
2,xyyy c o s2,
2
3
,00 yyx 时,.
六,设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2co s)(
0
xt d ttxx
x
,求 )( x?,
七,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰,设敌舰以
0
v常数 沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?
测验题答案一,1,A ； 2,A ； 3,B ； 4,A ； 5,B ；
6,B ； 7,B ； 8,B ； 9,A ； 10,C.
二,1,
x
c
axy
ln
；
2,1
2
1
2
2
xeCy
x；
3,C
x
y
yx a rct a n2
22
.
三,1,)c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ；
2,xxexxeCeCCy
xxx
222
321
)
9
4
6
1
(,
四,1,0)ln21(
2
yyx ；
2,xxey
x
s i n
2
1
.
五,xxxy ln,
六,xxx sinc o s)(,
七,)10(
3
2
)1(
3
1
)1(
2
3
2
1
xxxy,
f(x)的形式及其特解形式微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子
1、可降阶的高阶微分方程的解法
)()1( )( xfy n?型解法 接连积分 n次，得通解．
),()2( yxfy型特点,y不显含未知函数解法 ),( xPy令,Py
代入原方程,得 ) ),(,( xPxfP
),()3( yyfy型特点,x不显含自变量解法 ),( xPy令,dy
dpPy
代入原方程,得 ).,( PyfdydpP?
2、线性微分方程解的结构
（ 1） 二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( yxQyxPy形如也是解则是解若 221121,,ycycyyy
是通解则是两无关解若 221121,,ycycyyy
（ 2）二阶非齐次线性方程的解的结构,
)2()()()( xfyxQyxPy形如非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
2121 )()()( yyyxfxfxf 则若的特解分别是则的特解是若
)(),(,
)()()(
2121
2121
xfxfyy
xjfxfxfyjyy
3、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn形如
n阶常系数线性微分方程
0 qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法,
0 qyypy
特征方程为 02 qprr
特征根的情况 通解的表达式实根
21
rr?
实根
21
rr?
复根 ir
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
xr
exCCy
2
)(
21
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
推广,阶常系数齐次线性方程解法n
01)1(1)( yPyPyPy nnnn?
特征方程为 0111 nnnn PrPrPr?
特征方程的根 通解中的对应项
rk重根若是 rxkk exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
]s i n)(
c os)[(
1
110
1
110
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程解法 待定系数法,
型)()()1( xPexf mx
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
型]s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx
],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk设次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1(nlm,m ax?
.1;0
是特征方程的单根时不是特征方程的根时
j
jk
二、典型例题例 1,2
1 2
y
yy求通解解,x方程不显含
,,dydPPyPy令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP
,1 12 yCP解得，
,11 yCP,11 yCdxdy即故方程的通解为,12 21
1
CxyCC
例 2
.1)1()1(,2 yyexeyyy xx
求特解解 特征方程,0122 rr
特征根,121 rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY
设原方程的特解为,)(2* xebaxxy
,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy则
,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** yyy
,21,61 ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy
,1)1(?y?,1)31( 21 eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy
,1)1(y?,1)652( 21 eCC
,31121 eCC
,6512 21 eCC
由 解得?
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey
例 3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为
xxyxxyxy c o s,s i n,321 求其通解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解故 xyy s i n12 xyy co s13
是齐方程的两个解齐通解 xcxcY s i nc o s 21
且线性无关非齐通解 xxcxcy s i nc o s 21
例 4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定 f(x)
使曲线积分
dyxfy d xxfxfxeL x )()]()(2[
)( 常数 与路径无关解 由曲线积分与路径无关的条件得
)()(2)( xfxfexf x
即 xexfxfxf )()(2)(
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解 xexccy )( 21
时1 xexy 2* 21
xexxccxf )
2()(
2
21
时1 xey 2* )1( 1
xx eexccxf?
221 )1(
1)()(
例 5 ).2c o s(212 xxyyy求解方程解 特征方程,042r
特征根,22,1 ir
对应的齐方的通解为,2s i n2c o s 21 xCxCY
设原方程的特解为,*2*1* yyy
,)1( *1 baxy设,)( *1 ay则,0)( *1y
，得代入 xyy 214,xbax 2144
由
，04?b
，214?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy
),2s i n2co s()2( *2 xdxcxy设
,2s i n)2(2co s)2()( *2 xcxdxdxcy则
,2s i n)44(2co s)44()( *2 xdxcxcxdy
，得代入 xyy 2co s214
,2co s212s i n42co s4 xxcxd
由
，04 c
，214?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy
例 6
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy
解 （１） 由题设可得：
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxxp
（２） 原方程为,31 3xyxy
，的两个线性无关的特解程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy
是原方程的一个特解，又 xy 1*?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy
测 验 题一,选择题,
1,一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy 的通解是 ( ).
(A)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx
22
是 ( ),
(A ) 齐次方程； (B ) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； ( D) 可分离变量方程,
3,2)1(,0
22
y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
yx ； (B) 93
3
yx ；
(C) 1
33
yx ； (D) 1
33
33
yx
.
4,方程 xy s i n?
的通解是 ( ).
(A)
32
2
1
2
1
co s CxCxCxy ；
(B)
32
2
1
2
1
sin CxCxCxy ；
(C) 1
c o s Cxy；
(D)
xy 2s i n2?
.
5,方程 0 yy 的通解是 ( ),
(A)
1
c o ss i n Cxxy ；
(B)
321
c o ss i n CxCxCy ；
(C)
1
c o ss i n Cxxy；
(D) 1
s i n Cxy
.
6,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy
( 其中 21
,CC
为任意常数 )( )
(A) 是该方程的通解； (B ) 是该方程的解；
(C) 是该方程的特解； ( D) 不一定是该方程的解,
7,求方程 0)(
2
yyy 的通解时,可令 ( ).
(A) PyPy 则,；
(B)
dy
dP
PyPy 则,；
(C)
dx
dP
PyPy 则,；
(D)
dy
dP
PyPy 则,.
8,已知方程 0
2
yyxyx 的一个特解为 xy?,于是方程的通解为 ( ).
(A)
2
21
xCxCy ； (B)
x
CxCy
1
21
；
(C)
x
eCxCy
21
； (D)
x
eCxCy
21
.
9,已知方程 0)()( yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(B)
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C)
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1；
( D)
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
10,方程 xeyyy
x
2co s23 的一个特解形式是
( ),
(A ) xeAy
x
2co s
1；
(B ) xxeBxxeAy
xx
2s i n2co s
11
；
(C ) xeBxeAy
xx
2s i n2co s
11
；
( D) xexBxexAy
xx
2s i n2co s
2
1
2
1
,
二,求下列一阶微分方程的通解,
1,)1( l nln xaxyxyx ；
2,0
33
yxxy
dx
dy；
3,0
22
yx
xdyyd x
yd yxdx,
三,求下列高阶微分方程的通解,
1,01
2
yyy ；
2,)4(2
x
exyyy,
四,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,0)(2
223
dyxyxdxy,11 yx 时,；
2,xyyy c o s2,
2
3
,00 yyx 时,.
六,设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2co s)(
0
xt d ttxx
x
,求 )( x?,
七,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在航行中始终对准敌舰,设敌舰以
0
v常数 沿正北方向直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?
测验题答案一,1,A ； 2,A ； 3,B ； 4,A ； 5,B ；
6,B ； 7,B ； 8,B ； 9,A ； 10,C.
二,1,
x
c
axy
ln
；
2,1
2
1
2
2
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五,xxxy ln,
六,xxx sinc o s)(,
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