Stokes 公式一、斯托克斯 (stokes)公式前面所介绍的 Gauss 公式是 Green 公式的推广下面我们 从另一个角度来推广 Green 公式。
Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系,stokes
公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线上的曲线积分联系起来定理 设? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以
为边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与?
的侧符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含曲面? 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式 dxdy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
)()()(
R dzQ dyP dx
n?
右手法则是有向曲面 的正向边界曲线
证明 如图设 Σ 与平行于 z 轴的直线相交不多于一点,并 Σ 取上侧,有向曲线 C 为 Σ 的正向边界曲线? 在 x o y 的投影,且所围区域
xy
D,
x
y
z
o
),(,yxfz
xyD
C
n?
思路曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
dsyPzPdxdyyPdz dxzP )c osc os(
代入上式得又,c osc os yf?
dsfzPyPdxdyyPdz dxzP y?c os)(
dxdyfzPyPdxdyyPd z d xzP y )(
即
yfz
P
y
PyxfyxP
y
)],(,,[
,)],(,,[ dxdyyxfyxP
y
dxdy
y
P
dz dx
z
P
xyD
1
根椐格林公式
c
D
dxyxfyxPdxdyyxfyxP
y
xy
)],(,,[)],(,,[
dxyxfyxPdxdyyPd z d xzP
c
)],(,,[即平面有向曲线
2
,),,( dxzyxPdxdyyPd z d xzP
空间有向曲线同理可证
,),,( dyzyxQd ydzzQd x d yxQ
,),,( dzzyxRd z d xxRd ydzyR
dxd y
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
)()()(
R dzQ dyP dx,.
故有结论成立,
便于记忆形式
R dzQdyP dx
RQP
zyx
dxdydz dxdydz
另一种形式
R dzQdyP dxds
RQP
zyx
c o sc o sc o s
}co s,co s,{c o sn?其中
Stokes公式的实质,
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,
( 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时 )
斯托克斯公式 格林公式特殊情形二、简单的应用例 1 计算曲线积分 y dzxdyz dx
,
其中? 是平面 1 zyx 被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则,
解
0
xyD
x
y
z
n
1
1
1按斯托克斯公式,有
dzyx d yz d x
dxdydz dxdydz
弦都为正，的法向量的三个方向余由于?
再由对称性知：
dxdydz dxdydz
xyD
d3
如图xyD
x
y
o
1
1
xyD dzyx d yz d x?
2
3?
例 2 计算
dzyxdyxzdxzy )()()(
1,222 bzaxayx为椭圆其中?
从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向解一 用 Stokes 公式
R d zQ d yP d x
RQP
zyx
d x d yd z d xd yd z
x
y
z
o
d x d yd z d xd ydz )11()11()11(
dxdyd z d xd y d z2
坐标面垂直与 z o x
0d z d x
面的投影为一椭圆在 y o z?
1
222
b
z
a
x
ayx
消去 x 得 1)( 2
2
2
2
ayb bz
yzD
abd y d zd y d z （ 椭圆面积 ）
222 ayxx o y：面的投影在?
xyD
adxdydxdy 2（ 圆面积 ）
)(2 baaR d zQd yP d x
解二 化为参变量的定积分计算
ty
tx
s i n
c os令
)co s1()1( tbaxbz则
2
0
)s i n) ] (co s1(s i n[ tatbtaI
tbtatatatatb s i n]s i nc o s[c o s]c o s)c o s1([
)(2 baa
解三 投影方法
1
:
222
b
z
a
x
ayx
将 投影到 xoy 面得投影曲线
222,ayxC （逆时针方向）
记 C 所围区域为 D
R d zQ dyP d xI
C
dyxaxbdxaxby ])1([)]1([
)]1([)( axbdyx
C
dyxabbdxbyab ])1([])1[(
D
dxdyab )1(2 Green公式
)(2 baa
三、空间曲线积分与路径无关的条件前面我们利用 Green公式得到了平面曲线积分与路径无关的条件，完全类似地，利用 Stokes 公式可推得空间曲线积分与路径无关的条件空间一维单连域：若 G 内任一闭曲线总可以张一张完全属于 G 的曲面，则称 G 为空间一维单连域，或称 G 为按曲面是单连通区域内恒成立在
）的充要条件是为任一闭曲线的曲线积分内内与路径无关（或沿在间曲线积分一阶连续偏导数，则空内具有在是空间一维单连域，设定理
G
z
P
x
R
y
R
z
Q
x
Q
y
P
GGRd zQ d yP d x
GRQPG
,,
0
,,
应用上述定理，并仿照以前的证明方法可得到内恒成立在的全微分的充要条件内是某一函数在连续的一阶偏导数，则内具有在是空间一维单连域，设定理
G
z
P
x
R
y
R
z
Q
x
Q
y
P
zyxuG
R d zQd yP d x
GRQPG
,,
),,(
,,
o
x
y
z
M0
M
M1 M2
),,( ),,( 000),,( zyx zyx R d zQ d yP d xzyxu
x
x
y
y
dyzyxQdxzyxPzyxu
0 0
),,(),,(),,( 000
z
z
dzzyxR
0
),,(
四、物理意义 ---环流量与旋度
1,环流量的定义,
.
),,(),,(),,(),,(
按所取方向的环流量沿曲线称为向量场上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场设向量场
CA
R d zQ d yP d xsdA
CA
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
CC
利用 stokes公式,有
sd
RQP
zyx
kji
sdA
C
环流量
2,旋度的定义,
.)( Ar o t
RQP
zyx
kji
为向量场的旋度称向量
RQP
zyx
kji
Ar o t
旋度
.)()()( kyPxQjxRzPizQyR
斯托克斯公式的又一种形式
dSyPxQxRzPzQyR ]c o s)(c o s)(c o s)[(
dsRQP )c o sc o sc o s(
其中
,c o sc o sc o s kjin 的单位法向量为
kjit c o sc o sc o s 的单位切向量为斯托克斯公式的向量形式
dstAdSnAr ot
其中
cos)(cos)(cos)(
)(
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
nAr otAr ot n
c o sc o sc o s RQPnAA t
dsAsdAr o t t环流量
Stokes公式的物理解释,
向量场 A
沿有向闭曲线? 的环流量等于向量场
A
的旋度场通过? 所张的曲面的通量,(? 的正向与? 的侧符合右手法则 )
例 4 设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为321,,
刚体在每一点的线速度构成一线速场，则向量zyxOMr,,
在点 M 处的线速度场的旋度等于角速度的 2 倍 M
v?
L
o
解 由力学知道点 的线速度为M
rv
zyx
kji
321
观察旋度 vrot,22,2,2 321
由此可看出速度场的旋度与旋转角速度的关系,
五、向量微分算子
kzjyix ---------Hamilton 算子
gr a duu
g r a d uuu 2
)()( kzujyuixukzjyix
uz uy ux u 2
2
2
2
2
2
------Laplace算子
kRjQiPA
d i vAzRyQxPA
r o t A
RQP
zyx
kji
A?
若 P,Q,R 具有连续的二阶偏导数,即得
0)(?r o tAd iv ---------即旋度场是无源场
0)(g r a d ur o t ---------即梯度场是无旋场六、小结斯托克斯公式
ds
RQP
zyx
c o sc o sc o s
Rd zQd yPd x
RQP
zyx
dxdyd z d xd y d z
dstAdSnAr o t
斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式的物理意义练 习 题一,计算
dzyzx z d yyd x
2
3,其中? 是 圆 周
2,2
22
zzyx 若从 z 轴正向看去,这圆周是逆时针方向,
二,计算?
dzxdyzdxy
222
,其中
是球面
2222
azyx 和园柱面 axyx
22
的交线
)0,0( za,从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方向,
三,求向量场 jyxziyzA
)co s()sin( 的旋度,
四、利用斯托克斯公式把曲面积分
dsnAr o t 化成曲线积分,并计算积分值,其中 A,? 及 n 分别如下,
kxzjxyiyA
2
,? 为上半个球面
22
1 yxz 的上侧,n 是? 的单位法向量,
五、求向量场 kxyjyzxizxA
23
3)()( 沿闭曲线为圆?
周 0,2
22
zyxz
( 从轴z
正向看依逆?
时针方向 ) 的环流量,
六、设
),,( zyxuu?
具有二阶连续偏导数,求
)( g r a d ur o t
,
练习题答案一, 20,二,3
4
a
,
三,jiAr o t
,四,0,
五,?12,六,0,
Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系,stokes
公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线上的曲线积分联系起来定理 设? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以
为边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与?
的侧符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含曲面? 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式 dxdy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
)()()(
R dzQ dyP dx
n?
右手法则是有向曲面 的正向边界曲线
证明 如图设 Σ 与平行于 z 轴的直线相交不多于一点,并 Σ 取上侧,有向曲线 C 为 Σ 的正向边界曲线? 在 x o y 的投影,且所围区域
xy
D,
x
y
z
o
),(,yxfz
xyD
C
n?
思路曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
dsyPzPdxdyyPdz dxzP )c osc os(
代入上式得又,c osc os yf?
dsfzPyPdxdyyPdz dxzP y?c os)(
dxdyfzPyPdxdyyPd z d xzP y )(
即
yfz
P
y
PyxfyxP
y
)],(,,[
,)],(,,[ dxdyyxfyxP
y
dxdy
y
P
dz dx
z
P
xyD
1
根椐格林公式
c
D
dxyxfyxPdxdyyxfyxP
y
xy
)],(,,[)],(,,[
dxyxfyxPdxdyyPd z d xzP
c
)],(,,[即平面有向曲线
2
,),,( dxzyxPdxdyyPd z d xzP
空间有向曲线同理可证
,),,( dyzyxQd ydzzQd x d yxQ
,),,( dzzyxRd z d xxRd ydzyR
dxd y
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
)()()(
R dzQ dyP dx,.
故有结论成立,
便于记忆形式
R dzQdyP dx
RQP
zyx
dxdydz dxdydz
另一种形式
R dzQdyP dxds
RQP
zyx
c o sc o sc o s
}co s,co s,{c o sn?其中
Stokes公式的实质,
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,
( 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时 )
斯托克斯公式 格林公式特殊情形二、简单的应用例 1 计算曲线积分 y dzxdyz dx
,
其中? 是平面 1 zyx 被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则,
解
0
xyD
x
y
z
n
1
1
1按斯托克斯公式,有
dzyx d yz d x
dxdydz dxdydz
弦都为正，的法向量的三个方向余由于?
再由对称性知：
dxdydz dxdydz
xyD
d3
如图xyD
x
y
o
1
1
xyD dzyx d yz d x?
2
3?
例 2 计算
dzyxdyxzdxzy )()()(
1,222 bzaxayx为椭圆其中?
从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向解一 用 Stokes 公式
R d zQ d yP d x
RQP
zyx
d x d yd z d xd yd z
x
y
z
o
d x d yd z d xd ydz )11()11()11(
dxdyd z d xd y d z2
坐标面垂直与 z o x
0d z d x
面的投影为一椭圆在 y o z?
1
222
b
z
a
x
ayx
消去 x 得 1)( 2
2
2
2
ayb bz
yzD
abd y d zd y d z （ 椭圆面积 ）
222 ayxx o y：面的投影在?
xyD
adxdydxdy 2（ 圆面积 ）
)(2 baaR d zQd yP d x
解二 化为参变量的定积分计算
ty
tx
s i n
c os令
)co s1()1( tbaxbz则
2
0
)s i n) ] (co s1(s i n[ tatbtaI
tbtatatatatb s i n]s i nc o s[c o s]c o s)c o s1([
)(2 baa
解三 投影方法
1
:
222
b
z
a
x
ayx
将 投影到 xoy 面得投影曲线
222,ayxC （逆时针方向）
记 C 所围区域为 D
R d zQ dyP d xI
C
dyxaxbdxaxby ])1([)]1([
)]1([)( axbdyx
C
dyxabbdxbyab ])1([])1[(
D
dxdyab )1(2 Green公式
)(2 baa
三、空间曲线积分与路径无关的条件前面我们利用 Green公式得到了平面曲线积分与路径无关的条件，完全类似地，利用 Stokes 公式可推得空间曲线积分与路径无关的条件空间一维单连域：若 G 内任一闭曲线总可以张一张完全属于 G 的曲面，则称 G 为空间一维单连域，或称 G 为按曲面是单连通区域内恒成立在
）的充要条件是为任一闭曲线的曲线积分内内与路径无关（或沿在间曲线积分一阶连续偏导数，则空内具有在是空间一维单连域，设定理
G
z
P
x
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y
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Q
x
Q
y
P
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,,
0
,,
应用上述定理，并仿照以前的证明方法可得到内恒成立在的全微分的充要条件内是某一函数在连续的一阶偏导数，则内具有在是空间一维单连域，设定理
G
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P
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y
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R d zQd yP d x
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,,
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M1 M2
),,( ),,( 000),,( zyx zyx R d zQ d yP d xzyxu
x
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y
y
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0 0
),,(),,(),,( 000
z
z
dzzyxR
0
),,(
四、物理意义 ---环流量与旋度
1,环流量的定义,
.
),,(),,(),,(),,(
按所取方向的环流量沿曲线称为向量场上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场设向量场
CA
R d zQ d yP d xsdA
CA
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
CC
利用 stokes公式,有
sd
RQP
zyx
kji
sdA
C
环流量
2,旋度的定义,
.)( Ar o t
RQP
zyx
kji
为向量场的旋度称向量
RQP
zyx
kji
Ar o t
旋度
.)()()( kyPxQjxRzPizQyR
斯托克斯公式的又一种形式
dSyPxQxRzPzQyR ]c o s)(c o s)(c o s)[(
dsRQP )c o sc o sc o s(
其中
,c o sc o sc o s kjin 的单位法向量为
kjit c o sc o sc o s 的单位切向量为斯托克斯公式的向量形式
dstAdSnAr ot
其中
cos)(cos)(cos)(
)(
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
nAr otAr ot n
c o sc o sc o s RQPnAA t
dsAsdAr o t t环流量
Stokes公式的物理解释,
向量场 A
沿有向闭曲线? 的环流量等于向量场
A
的旋度场通过? 所张的曲面的通量,(? 的正向与? 的侧符合右手法则 )
例 4 设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为321,,
刚体在每一点的线速度构成一线速场，则向量zyxOMr,,
在点 M 处的线速度场的旋度等于角速度的 2 倍 M
v?
L
o
解 由力学知道点 的线速度为M
rv
zyx
kji
321
观察旋度 vrot,22,2,2 321
由此可看出速度场的旋度与旋转角速度的关系,
五、向量微分算子
kzjyix ---------Hamilton 算子
gr a duu
g r a d uuu 2
)()( kzujyuixukzjyix
uz uy ux u 2
2
2
2
2
2
------Laplace算子
kRjQiPA
d i vAzRyQxPA
r o t A
RQP
zyx
kji
A?
若 P,Q,R 具有连续的二阶偏导数,即得
0)(?r o tAd iv ---------即旋度场是无源场
0)(g r a d ur o t ---------即梯度场是无旋场六、小结斯托克斯公式
ds
RQP
zyx
c o sc o sc o s
Rd zQd yPd x
RQP
zyx
dxdyd z d xd y d z
dstAdSnAr o t
斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式的物理意义练 习 题一,计算
dzyzx z d yyd x
2
3,其中? 是 圆 周
2,2
22
zzyx 若从 z 轴正向看去,这圆周是逆时针方向,
二,计算?
dzxdyzdxy
222
,其中
是球面
2222
azyx 和园柱面 axyx
22
的交线
)0,0( za,从 x 轴正向看去,曲线为逆时针方向,
三,求向量场 jyxziyzA
)co s()sin( 的旋度,
四、利用斯托克斯公式把曲面积分
dsnAr o t 化成曲线积分,并计算积分值,其中 A,? 及 n 分别如下,
kxzjxyiyA
2
,? 为上半个球面
22
1 yxz 的上侧,n 是? 的单位法向量,
五、求向量场 kxyjyzxizxA
23
3)()( 沿闭曲线为圆?
周 0,2
22
zyxz
( 从轴z
正向看依逆?
时针方向 ) 的环流量,
六、设
),,( zyxuu?
具有二阶连续偏导数,求
)( g r a d ur o t
,
练习题答案一, 20,二,3
4
a
,
三,jiAr o t
,四,0,
五,?12,六,0,
