对坐标的曲面积分一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类,1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典型双侧曲面典型单侧曲面,莫比乌斯带曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,在有向曲面 Σ 上取一小块曲面 S? 面在 xoyS?,为上的投影 xyS )(?,
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
时当时当时当
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy
类似地可定义
zxyx SSz o xy o zS )()( 和面上的投影及在二、概念的引入实例,流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位时间流过 A 的流体的质量? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n? AvnvA
vA
0
c o s?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
),,(),,(),,(),,(
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位时间内流向 Σ 指定侧的流体的质量
.
x
y
z
o
1,分割把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
,
x
y
z
o
in? ),,( iiiiS?
iv
则该点流速为,iv?
法向量为,in?
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii c o sc o sc o s0,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
3.取极限 0,的精确值取极限得到流量?
三、概念及性质定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )(?,),,(
iii
是
i
S? 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
记作
d x d yzyxR ),,(,即
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
积分曲面 被积函数 有向面积元类似可定义
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
性质,由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质
1。 可加性
21
21
R d x d yQ d z d xP d yd zR d x d yQ d z d xP d yd z
R d x d yQ d z d xP d yd z
2 。 反向性
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
)( 21 的侧要相容与
四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 所给出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域为
xy
D,函数
),( yxzz?
在
xy
D 上具有一阶连续偏导数,
被积函数
),,( zyxR
在
Σ 上连续,
x
y
z
o
),( yxfz?
xyD
xys)(?
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
),(
,)()(,0c o s,
iii
xyxyi
z
S
又取上侧
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0c o s,xyxyiS 取下侧若
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx
yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy
zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为,
代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如 dxdy）
中两个变量同名的坐标面上（如 xoy 面）
定号,由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号注
① 积分曲面的方程必须表示为 单值显函数否则分片计算，结果相加
② 确定正负号的原则：
曲面取 上 侧,前 侧,右 侧时为 正曲面取 下 侧,后 侧,左 侧时为 负例 1 计算
y d z d xx d y d zz d z d y
30122 zzyx 及被平面是柱面?
所截得的在第一卦限的部分的前侧解 0的投影区域的面积为在由于 xoy?
0z d x d y故面的投影区域为在 yoz? 10,30, yzD yz
yzD
d y dzyx dydz 21故
3
0
1
0
21 dyydz
43
面的投影区域为在 z o x? 10,30, xzD zx
zxD
d z d xxyd z d x 431 2故
2
3y d z d xx d y d zz d x d y
计算
xyz dx dy
其中 Σ 是球面
1
222
zyx 外侧在 0,0 yx 的部分,x y
z
1
2?
解 两部分和分成把 21;1,2211 yxz
,1,2222 yxz
例 2
12
xyz dx dyxyz dx dyxyz dx dy
xyxy DD
d x d yyxxyd x d yyxxy )1(1 2222
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22
xyD
r d r drr
例 3 计算
y z d z d xx y d y d zx z d x d y是其中?
平面 x = 0,y = 0,z = 0,x + y + z = 1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧
o
x
y
z
解? 分成四个部分
1,0:1 zxy? 左侧
1,0:2 yxz? 下侧
1,0:3 zyx? 后侧所截得的部分被 0,0,01:4 zyxzyx?
上侧
1?
2?
3?
4?
上在 1
1
0
y z dz dxxy dy dzxz dxd y
)0,0,( 1?zz o xyozx o y 面上而在面上的投影为在因?
同理
2
0
y z dz dxxy dy dzxz dxd y
3
0
y z dz dxxy dy dzxz dxd y
上在 4
4
)1(
xyD
dxdyyxxx z d x d y
1
0
1
0
)1(
x
dyyxxdx
24
1?
同理
4
24
1
x ydyd z
4
24
1
yz d z d x
y z dz d xx y d y d zx z d x d y81?
注 对坐标的曲面积分的对称性
① 被积表达式具有轮换对称性，即将被积表达式中的所有字母按
x y
z
顺序代换后原式不变
② 积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同五、两类曲面积分之间的联系 设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 给出,Σ 在
x o y 面上的投影区域为 xyD,函数 ),( yxzz? 在 xyD
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
),( yxfz?
x
y
z
o
xyD
dsn
对坐标的曲面积分为
xyD
dxdyyxzyxR
dxdyzyxR
)],(,,[
),,(
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
cos
,
1
cos
,
1
cos
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
对面积的曲面积分为
xyD
d x d yyxzyxRdSzyxR )],(,,[cos),,(?
所以 dSzyxRd xd yzyxR?c o s),,(),,(
( 注意取曲面的两侧均成立 )
两类曲面积分之间的联系
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
向量形式
dSASdAdSnASdA n 或其中 }c os,c os,{ c os},,,{ nRQPA
为有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ d x d yd z d xd yd zdSnSd
称为 有 向 曲 面元,nA 为向量 A
在 n
上的投影,
例 4
计算 z dx dyd y d zxz
)(
2
,其中 Σ 是旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解
d yd zxz )( 2
dsxz?co s)( 2
dxdyxzc osc os)( 2 有上在曲面,?
.
1
1c os,
1
c os 2222
yxyx
x
dxdyzxxz
z dxd ydydzxz
]))([(
)(
2
2
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
xyD
d x d yyxx )](21[ 222
20 22220 )21co s( r d rrrd,8
注 此例的解法具有普遍性
Dyxyxzz ),(,),(的方程为设光滑曲面?
取上侧? 上连续在?RQP,,
R dx d yQd z d xP d y d z
D y
zyxzyxQ
x
zyxzyxP )],(,,[)],(,,[
dxdyyxzyxR ]),(,,[?
六、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点曲面的侧
“一投,二代,三定号,
思考题设? 为球面 1
222
zyx,若以其球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy 之左侧（即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么
22
1 zxy 的左侧是正侧吗？
思考题解答此时 的左侧为 负 侧,221 zxy
而 的左侧为 正 侧,221 zxy
练 习 题一,填空题,
1,
d z d xzyxQd z d xzyxQ ),,(),,(
= _ _ _ __ ___ __ __ ___ __ ___ __ _,
2,第二类曲面积分 dxdyRQ d z d xP d yd z
化成第一类曲面积分是 ___ __ __ ___,其中,,为有向曲面? 上点 ),,( zyx 处的 ___ __ ___ __ _ 的方向角,
二、计算下列对坐标的曲面积分,
1,
yd z d xx d yd zz d x d y,其中? 是柱面 1
22
yx
被平面 0?z 及 3?z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧；
2,
yz d z d xx yd yd zx z d x d y,其中? 是平面
1,0,0,0 zyxzyx 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；
3,d x d y
yx
e
z
22
,其中? 为锥面
22
yxz 和
2,1 zz
所围立体整个表面的外侧,
三、把对坐标的曲面积分
d z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(
dxdyzyxR ),,(?
化成对面积的曲面积分,其中? 是平面
63223 zyx 在第一卦限的部分的上侧,
练习题答案一,1,0 ；
2,
dSRQP )co sco sco s(,法向量,
二,1,?
2
3； 2,
8
1； 3,
2
2 e?,
三,dSRQP )
5
32
5
2
5
3
(,
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类,1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典型双侧曲面典型单侧曲面,莫比乌斯带曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,在有向曲面 Σ 上取一小块曲面 S? 面在 xoyS?,为上的投影 xyS )(?,
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
时当时当时当
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy
类似地可定义
zxyx SSz o xy o zS )()( 和面上的投影及在二、概念的引入实例,流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位时间流过 A 的流体的质量? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n? AvnvA
vA
0
c o s?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
),,(),,(),,(),,(
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位时间内流向 Σ 指定侧的流体的质量
.
x
y
z
o
1,分割把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
,
x
y
z
o
in? ),,( iiiiS?
iv
则该点流速为,iv?
法向量为,in?
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii c o sc o sc o s0,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
3.取极限 0,的精确值取极限得到流量?
三、概念及性质定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )(?,),,(
iii
是
i
S? 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
记作
d x d yzyxR ),,(,即
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
积分曲面 被积函数 有向面积元类似可定义
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
性质,由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质
1。 可加性
21
21
R d x d yQ d z d xP d yd zR d x d yQ d z d xP d yd z
R d x d yQ d z d xP d yd z
2 。 反向性
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
)( 21 的侧要相容与
四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 所给出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域为
xy
D,函数
),( yxzz?
在
xy
D 上具有一阶连续偏导数,
被积函数
),,( zyxR
在
Σ 上连续,
x
y
z
o
),( yxfz?
xyD
xys)(?
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
),(
,)()(,0c o s,
iii
xyxyi
z
S
又取上侧
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0c o s,xyxyiS 取下侧若
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx
yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy
zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为,
代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如 dxdy）
中两个变量同名的坐标面上（如 xoy 面）
定号,由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号注
① 积分曲面的方程必须表示为 单值显函数否则分片计算，结果相加
② 确定正负号的原则：
曲面取 上 侧,前 侧,右 侧时为 正曲面取 下 侧,后 侧,左 侧时为 负例 1 计算
y d z d xx d y d zz d z d y
30122 zzyx 及被平面是柱面?
所截得的在第一卦限的部分的前侧解 0的投影区域的面积为在由于 xoy?
0z d x d y故面的投影区域为在 yoz? 10,30, yzD yz
yzD
d y dzyx dydz 21故
3
0
1
0
21 dyydz
43
面的投影区域为在 z o x? 10,30, xzD zx
zxD
d z d xxyd z d x 431 2故
2
3y d z d xx d y d zz d x d y
计算
xyz dx dy
其中 Σ 是球面
1
222
zyx 外侧在 0,0 yx 的部分,x y
z
1
2?
解 两部分和分成把 21;1,2211 yxz
,1,2222 yxz
例 2
12
xyz dx dyxyz dx dyxyz dx dy
xyxy DD
d x d yyxxyd x d yyxxy )1(1 2222
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22
xyD
r d r drr
例 3 计算
y z d z d xx y d y d zx z d x d y是其中?
平面 x = 0,y = 0,z = 0,x + y + z = 1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧
o
x
y
z
解? 分成四个部分
1,0:1 zxy? 左侧
1,0:2 yxz? 下侧
1,0:3 zyx? 后侧所截得的部分被 0,0,01:4 zyxzyx?
上侧
1?
2?
3?
4?
上在 1
1
0
y z dz dxxy dy dzxz dxd y
)0,0,( 1?zz o xyozx o y 面上而在面上的投影为在因?
同理
2
0
y z dz dxxy dy dzxz dxd y
3
0
y z dz dxxy dy dzxz dxd y
上在 4
4
)1(
xyD
dxdyyxxx z d x d y
1
0
1
0
)1(
x
dyyxxdx
24
1?
同理
4
24
1
x ydyd z
4
24
1
yz d z d x
y z dz d xx y d y d zx z d x d y81?
注 对坐标的曲面积分的对称性
① 被积表达式具有轮换对称性，即将被积表达式中的所有字母按
x y
z
顺序代换后原式不变
② 积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同五、两类曲面积分之间的联系 设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz? 给出,Σ 在
x o y 面上的投影区域为 xyD,函数 ),( yxzz? 在 xyD
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
),( yxfz?
x
y
z
o
xyD
dsn
对坐标的曲面积分为
xyD
dxdyyxzyxR
dxdyzyxR
)],(,,[
),,(
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
cos
,
1
cos
,
1
cos
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
对面积的曲面积分为
xyD
d x d yyxzyxRdSzyxR )],(,,[cos),,(?
所以 dSzyxRd xd yzyxR?c o s),,(),,(
( 注意取曲面的两侧均成立 )
两类曲面积分之间的联系
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
向量形式
dSASdAdSnASdA n 或其中 }c os,c os,{ c os},,,{ nRQPA
为有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ d x d yd z d xd yd zdSnSd
称为 有 向 曲 面元,nA 为向量 A
在 n
上的投影,
例 4
计算 z dx dyd y d zxz
)(
2
,其中 Σ 是旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解
d yd zxz )( 2
dsxz?co s)( 2
dxdyxzc osc os)( 2 有上在曲面,?
.
1
1c os,
1
c os 2222
yxyx
x
dxdyzxxz
z dxd ydydzxz
]))([(
)(
2
2
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
xyD
d x d yyxx )](21[ 222
20 22220 )21co s( r d rrrd,8
注 此例的解法具有普遍性
Dyxyxzz ),(,),(的方程为设光滑曲面?
取上侧? 上连续在?RQP,,
R dx d yQd z d xP d y d z
D y
zyxzyxQ
x
zyxzyxP )],(,,[)],(,,[
dxdyyxzyxR ]),(,,[?
六、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点曲面的侧
“一投,二代,三定号,
思考题设? 为球面 1
222
zyx,若以其球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy 之左侧（即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么
22
1 zxy 的左侧是正侧吗？
思考题解答此时 的左侧为 负 侧,221 zxy
而 的左侧为 正 侧,221 zxy
练 习 题一,填空题,
1,
d z d xzyxQd z d xzyxQ ),,(),,(
= _ _ _ __ ___ __ __ ___ __ ___ __ _,
2,第二类曲面积分 dxdyRQ d z d xP d yd z
化成第一类曲面积分是 ___ __ __ ___,其中,,为有向曲面? 上点 ),,( zyx 处的 ___ __ ___ __ _ 的方向角,
二、计算下列对坐标的曲面积分,
1,
yd z d xx d yd zz d x d y,其中? 是柱面 1
22
yx
被平面 0?z 及 3?z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧；
2,
yz d z d xx yd yd zx z d x d y,其中? 是平面
1,0,0,0 zyxzyx 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；
3,d x d y
yx
e
z
22
,其中? 为锥面
22
yxz 和
2,1 zz
所围立体整个表面的外侧,
三、把对坐标的曲面积分
d z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(
dxdyzyxR ),,(?
化成对面积的曲面积分,其中? 是平面
63223 zyx 在第一卦限的部分的上侧,
练习题答案一,1,0 ；
2,
dSRQP )co sco sco s(,法向量,
二,1,?
2
3； 2,
8
1； 3,
2
2 e?,
三,dSRQP )
5
32
5
2
5
3
(,
