曲线积分与曲面积分前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中心内容，此外还要介绍 Green 公式,Gauss公式 和 Stokes 公式，这些公式揭示了存在于各种积分之间的某种联系。
重点第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法
Green公式,Gauss 公式曲线积分与路径无关的条件难点第二型曲面积分的计算基本要求
① 正确理解曲线积分和曲面积分概念
② 熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法
③ 掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、
性质、计算方法上的异同
④ 掌握第二型曲线积分与路径无关的条件
⑤ 牢固掌握 Green公式及其成立条件
⑥ 牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件对弧长的曲线积分及其计算一、问题的提出实例,曲线形构件的质量匀质之质量,sM o x
y
A
B
1M
2M
1?iM
iM
1?nML),(
ii
分割,,,,121 in sMMM
,),( iii s取,),( iiii sM
求和,),(
1
n
i
iii sM近似值取极限,),(li m
10
n
i
iii sM
精确值二、对弧长的曲线积分的概念
1.定义
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
121
n
i
iii
iii
iii
n
sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfx o yL
并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
),( ii L
.),(l i m),(
,),(,
),(,
,0
1
0
n
i
iii
L
L
sfdsyxf
dsyxf
L
yxf
即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的积分弧段被积函数积分和式曲线形构件的质量,),( L dsyxM?
2.存在条件：
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当
L dsyxf
Lyxf
3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数?),,( zyxf
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii sfdszyxf
注意：
)(,)(.1 21 LLLL 是分段光滑的或若
.),(),(),(
2121
LLLL dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数
4.性质
.),(),()],(),([)1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL
.),(),(),()3(
21
LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
三、对弧长曲线积分的计算
)(
)()()](),([),(
,],[)(),(
)(
),(
),(
,),(
22
dtttttfdsyxf
tt
t
ty
tx
L
Lyxf
L
且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设定理注意,;.1 一定要小于上限定积分的下限
.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
特殊情形
.)(:)1( bxaxyL
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL
.)(:)2( dycyxL
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL
推广,
)().(),(),(, ttztytx
)(
)()()()](),(),([
),,(
222
dtttttttf
dszyxf
一代、二换、三定限代,将积分曲线的参数方程代入被积函数，
换,换弧微元 dtyxds 22
定限,定积分限，下限 — 小参数，上限 — 大参数例 1。计算?
L x y d s
其中 L为 222 ayx
在第二象限的部分解一 将 L表示为 0,22 xaxay
dxyds 21 dx
xa
a
22
dx
xa
a
xaxx yd s
L
a
22
0
22
2
3a
解二 将 L表示为 ayyax 0,22
dyxds 21 dyya
a
22?
dy
ya
a
yyax yd s
L
a
22
0
22 )(
2
3a
解三 将 L表示为参数方程
tay
tax
s i n
c o s
)2( t
ad tdttatads 22 )c o s()s i n(
L adttataxy ds
2
s i nc os
2
3a
例 2 ).(,s i n
,c o s:,象限第椭圆求?
tby
taxLx y dsI
L
解
dttbtatbtaI 222
0
)co s()s i n(s i nco s
dttbtattab 22222
0
co ss i nco ss i n
ab duuba ab 222 )c o ss i n( 2222 tbtau令
.)(3 )(
22
ba
babaab
例 3
.)2,1()2,1(,4:
,
2 一段到从其中求
xyL
y d sI
Lxy 42?
解 dyyyI 22
2
)2(1
,0?
例 4
)20(.
,s i n,c o s:,
的一段其中求
kz
ayaxx y z d sI
解 dkaka 222 s i nco s 2
0I
.21 222 kaka
例 5
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中求解 由对称性,知,222
dszdsydsx
dszyxI )(31 222故 dsa3
2,
3
2 3a
),2( 球面大圆周长 dsa
注 关于对弧长的曲线积分的对称性
① 若 L 关于 y 轴对称
L dsyxf ),(对
L dsyxfyxfyxf 0),(),(),()1( 时当
L L dsyxfdsyxfyxfyxf 1 ),(2),(),(),()2( 时当其中 L1 是 L 的关于 y 轴对称的部分弧段
② 若 L关于 x 轴对称
L dsyxfyxfyxf 0),(),(),()1( 时当
L L dsyxfdsyxfyxfyxf 2 ),(2),(),(),()2( 时当其中 L2 是 L 的关于 x 轴对称的部分弧段
0,),(|),(1 xLyxyxL
0,),(|),(2 yLyxyxL
③ 若 L 关于 原点 对称
L dsyxfyxfyxf 0),(),(),()1( 时当
L L dsyxfdsyxfyxfyxf 3 ),(2),(),(),()2( 时当其中 L3 是 L 的对称的部分弧段
00,),(|),(3 yxLyxyxL
④ 若 L 关于直线 y = x 对称
L L dsxyfdsyxf ),(),(
与重积分的对称性十分类似四、几何与物理意义
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),( L dsyxM?;,1),()2( L dsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点上的表示立于当
yx
Lyxf
s
L
),( yxfz?
.),( L dsyxfS 柱面面积
,)4( 轴的转动惯量轴及曲线弧对 yx
.,22 LyLx dsyIdsxI
曲线弧的重心坐标)5(
.,
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？ i
S?
思考题解答
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
练习题一,填空题,
1,已知曲线形构件 L 的线密度为 ),( yx?,则 L 的质量
M = _____ _____ _____ ；
2,?
L
ds = _____ _____ _____ ；
3,对 ________ 的曲线积分与曲线的方向无关；
4,?
L
dsyxf ),( =
dtttttf )()()](),([
22
中要求
________?,
二,计算下列求弧长的曲线积分,
1,?
L
yx dse 22
,其中 L 为圆周 222 ayx,直线 xy?
及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
2,
y z d sx
2
,其中 L 为折线 A B C D,这里 DCBA,,,
依次为点 (0,0,0),( 0,0,2),(1,0,2 ),(1,3,2 ) ；
3,
L
dsyx )(
22
,其中 L 为曲线
)co s(s i n
)s i n(c o s
tttay
tttax
)20( t ；
4,计算
L
dsy,其中
L
为双纽线
)0()()(
222222
ayxayx
,
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为
tax c o s?
,
tay s i n?
,
ktz?
,其中 20 t,它的线密度
222
),,( zyxzyx
,求,
1,它关于
Z
轴的转动 Z
I惯量；
2,它的重心,
练习题答案一,1,
L
dsyx ),(? ； 2,的弧长L ；
3,弧长； 4,<,
二,1,2)
4
2(?
ae
a； 2,9 ；
3,)21(2
232
a ； 4,)22(2
2
a
.
三,)43(
3
2
222222
kakaaI
z
；
222
2
43
6
ka
ak
x
；
222
2
43
6
ka
ak
y
；
222
222
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ka
kak
z
,
重点第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法
Green公式,Gauss 公式曲线积分与路径无关的条件难点第二型曲面积分的计算基本要求
① 正确理解曲线积分和曲面积分概念
② 熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法
③ 掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、
性质、计算方法上的异同
④ 掌握第二型曲线积分与路径无关的条件
⑤ 牢固掌握 Green公式及其成立条件
⑥ 牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件对弧长的曲线积分及其计算一、问题的提出实例,曲线形构件的质量匀质之质量,sM o x
y
A
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分割,,,,121 in sMMM
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精确值二、对弧长的曲线积分的概念
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即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的积分弧段被积函数积分和式曲线形构件的质量,),( L dsyxM?
2.存在条件：
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当
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3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数?),,( zyxf
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注意：
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曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数
4.性质
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三、对弧长曲线积分的计算
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特殊情形
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推广,
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一代、二换、三定限代,将积分曲线的参数方程代入被积函数，
换,换弧微元 dtyxds 22
定限,定积分限，下限 — 小参数，上限 — 大参数例 1。计算?
L x y d s
其中 L为 222 ayx
在第二象限的部分解一 将 L表示为 0,22 xaxay
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22
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解二 将 L表示为 ayyax 0,22
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例 5
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为圆周其中求解 由对称性,知,222
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注 关于对弧长的曲线积分的对称性
① 若 L 关于 y 轴对称
L dsyxf ),(对
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L L dsyxfdsyxfyxfyxf 1 ),(2),(),(),()2( 时当其中 L1 是 L 的关于 y 轴对称的部分弧段
② 若 L关于 x 轴对称
L dsyxfyxfyxf 0),(),(),()1( 时当
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0,),(|),(1 xLyxyxL
0,),(|),(2 yLyxyxL
③ 若 L 关于 原点 对称
L dsyxfyxfyxf 0),(),(),()1( 时当
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00,),(|),(3 yxLyxyxL
④ 若 L 关于直线 y = x 对称
L L dsxyfdsyxf ),(),(
与重积分的对称性十分类似四、几何与物理意义
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),( L dsyxM?;,1),()2( L dsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点上的表示立于当
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.),( L dsyxfS 柱面面积
,)4( 轴的转动惯量轴及曲线弧对 yx
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曲线弧的重心坐标)5(
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L
L
L
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y
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五、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算
3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？ i
S?
思考题解答
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
练习题一,填空题,
1,已知曲线形构件 L 的线密度为 ),( yx?,则 L 的质量
M = _____ _____ _____ ；
2,?
L
ds = _____ _____ _____ ；
3,对 ________ 的曲线积分与曲线的方向无关；
4,?
L
dsyxf ),( =
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22
中要求
________?,
二,计算下列求弧长的曲线积分,
1,?
L
yx dse 22
,其中 L 为圆周 222 ayx,直线 xy?
及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
2,
y z d sx
2
,其中 L 为折线 A B C D,这里 DCBA,,,
依次为点 (0,0,0),( 0,0,2),(1,0,2 ),(1,3,2 ) ；
3,
L
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22
,其中 L 为曲线
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)20( t ；
4,计算
L
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L
为双纽线
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,
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为
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,其中 20 t,它的线密度
222
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,求,
1,它关于
Z
轴的转动 Z
I惯量；
2,它的重心,
练习题答案一,1,
L
dsyx ),(? ； 2,的弧长L ；
3,弧长； 4,<,
二,1,2)
4
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3,)21(2
232
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