)( xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程,0 qyypy
通解结构,yYy
常见类型 ),( xPm,)( xm exP?
,co s)( xexP xm,si n)( xexP xm
难点,如何求特解？ 方法,待定系数法,
自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程一,型 )()( xPexf mx
设非齐方程特解为 xexQy?)(? 代入原方程
)()()()()2()().( 2 xPxQqpxQpxQ m
不是特征方程的根，若?)1(,02 qp?
),()( xQxQ m?可设 ;)( xm exQy
是特征方程的单根，若?)2(
,02 qp,02 p?
),()( xxQxQ m?可设 ;)( xm exxQy
是特征方程的重根，若?)3(
,02 qp,02 p?
),()( 2 xQxxQ m?可设,)(2 xm exQxy
综上讨论
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程（ k是重根次数）,
特别地 xAeqyypy
是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根
x
x
x
ex
A
xe
p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
例 1,23 2 的通解求方程 xxeyyy
解 特征方程,0232 rr
特征根,,21 21 rr
对应齐次方程通解,221 xx ececY
是单根，2,)( 2 xeBAxxy设代入方程,得 xABAx 22
,
1
2
1
B
A
xexxy 2)1
2
1(于是原方程通解为,)121( 2221 xxx exxeCeCy
求通解 xxeyyy 3596
解 特征方程 0962 rr
特征根 321 rr
齐通解 xexccY 321 )(
是重根3 xeBAxxy 32 )( 可设即 23)( BxAxxQ BxAxxQ 23)( 2
BAxxQ 26)( 代入（ *）式
xBAx 526 0,65 BA xexy 3365
非齐通解为 xexxccy 3321 )65(
例 2
型二,xexPxf xm co s)()(?
型型及其组合xexPxf xm s i n)()(?
xexPxf xm c o s)()(? xexPxf xm s in)()(?
分别是 xjm exP )()(的实部和虚部
,)( )( xjm exPqyypy考虑方程可设 xjmk exQxy )()(
次复系数多项式是 mxQ m )(
)()()( 21 xjQxQxQ m记次实系数多项式均是 mxQxQ )(),( 21
辅助方程
)s in( c o s)]()([ 21 xjxexjQxQxy xk
)]co s)(s i n)((
)s i n)(co s)([(
21
21
xxQxxQj
xxQxxQex xk
是特征方程的单根不是特征方程的根
j
jk
,1
,0
由分解定理
]s in)(c o s)([Re 21 xxQxxQexy xk
]c o s)(s in)([Im 21 xxQxxQexy xk
分别是以 xexPxf xm c o s)()(?
xexPxf xm s in)()(? 为自由项的非齐次线性微分方程的特解注意上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程例 3,s i n4 的通解求方程 xyy
解 对应齐方通解,s i nc o s 21 xCxCY
作辅助方程,4 jxeyy
,是单根j,* jxA x ey?故代入上式,42?Aj,2 jA
,)c o s2(s i n22* jxxxxj x ey jx
所求非齐方程特解为,c o s2 xxy （取虚部）
原方程通解为,c o s2s i nc o s
21 xxxCxCy
这种方法称为复数法例 4,2co s 的通解求方程 xxyy
解 对应齐方通解,s i nc o s 21 xCxCY
作辅助方程,2 jxxeyy
,2 不是特征方程的根j
,)( 2* jxeBAxy设 代入辅助方程
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA,
,)9431( 2* jxejxy
)2s i n2) ( c o s9431( xjxjx
,)2s i n312c os94(2s i n942c os31 jxxxxxx
所求非齐方程特解为,2s i n942c o s31 xxxy
（取实部）
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy
注意 xAexAe xx s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe
例 5,t a n 的通解求方程 xyy
解 对应齐方程通解,s i nc o s 21 xCxCY
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(cos)( 21 xxcxxcy设
,1)(?xw,co s)( t a ns eclns i n)(
22
11
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns eclnco ss i nco s 21 xxxxCxCy
例 6 求通解 xeyy x c o s
解 相应齐方程 0 yy
特征方程 jrr 2,12 01
齐通解 xcxcY s i nc o s 21
先求 xeyy 的特解设 xAey?*1 代入方程
2
1?A xey
2
1*
1
再求 xyy c os 的特解考虑辅助方程 jxeyy
是单根j 可设 jxA x ey?
jxjx A jx eAey jxjx A x eA jey 2
代入方程得 jA 21?
xxjxxxejy jx cos21s i n212 1
取实部得 xxy s in21*2?
原方程的特解 )s i n(21*2*1* xxeyyy x
所求通解为 )s i n(21s i nco s 21 xxexcxcy x
例 7 设 )( 22 yxfu 具有连续的二阶偏导数且满足 222
2
2
2 1
yxuxuxy ux u
求 u 的表达式解 记 22 yxr 则 )( rfu?
r
x
dr
du
x
u
dr
du
x
u
dr
du
r
y
dr
ud
r
x
x
u
3
2
2
2
2
2
2
)(
同理 drdurxdr udryy u 3
2
2
2
2
2
2
)(?
udr uduxuxy ux u 2
2
2
2
2
2 1
22
2
2
yxudr ud
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程解得 2s inc o s 221 rrcrcu
222221 s i nc o s yxcyxcu
2
2
2
rudr ud即一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子 8米，另一端离钉子 12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间下段重为解 设时刻 t 链条下落了 x 米另设链条单位长重为 )( mkgw
则上段重为 )12( xw?
)8( xw?
由 Newton第二定律
2
2
20)]8()12([ dt xdwgxwxw
例 8
0,0 00 tt dtdxx
特征方程 0102 gr 特征根 102,1
gr
齐通解 tgtg ececX 10
2
10
1
特解 2*x
故 2)( 102101 t
gtg
ecectx
代入初始条件 解得 121 cc
2)( 1010 t
gtg
eetx 时当 8?x
)(3.2)625ln (10 sgt
三、小结 (待定系数法 )
可以是复数） (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk
],s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk
只含上式一项解法,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
思考题写出微分方程 xexyyy 22 8644
的待定特解的形式,
思考题解答设 的特解为 2644 xyyy *1y
xeyyy 2844设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy?则所求特解为
0442 rr? 特征根 22,1?r?
CBxAxy 2*1 xeDxy 22*2? （重根）
*2y?*1* yy? CBxAx 2,22 xeDx?
练 习 题一,求下列微分方程的通解,
1,
x
eyay
2；
2,
x
xeyyy
323 ；
3,xxyy c o s4 ；
4,xyy
2
sin,
二,求下列各微分方程满足已给初始条件的特解,
1,0,1,54
00
xx
yyyy ；
2,
xx
exeyyy 2,1,1
11
xx
yy ；
3,)2co s(
2
1
4 xxyy,0,0
00
xx
yy,
三,含源在 CLR,,串联电路中,电动 E势为 的电源对电 充电容器 C,已 20?E知 伏,微法2.0?C,
亨1.0?L,欧1 0 0 0?R,试求合上开 后关 K 的电及流 )( ti )( tu
c
电压,
四,设 )( x?函数 连续,且满足
xx
x
dttxdtttex
00
)()()(,
)( x?求
.
练习题答案一,1,
221
1
s i nco s
a
e
axCaxCy
x
；
2,)3
2
3
(
22
21
xxeeCeCy
xxx
；
3,xxxxCxCy s i n
9
2
co s
3
1
2s i n2co s
21
；
4,
2
1
2co s
10
1
21
xeCeCy
xx
.
二,1,xey
x
4
5
)511(
16
1
4
；
2,
xxx
e
x
e
x
ex
ee
y
26
])
1
2
1
(
6
12
[
23
；
3,)2s i n1(
8
1
2s i n
16
1
xxxy,
三,)105s i n (104)(
31052
3
teti
t
( 安 ),
]105s i n ()105[ c o s (2020)(
33105
3
ttetu
t
c
( 伏 ),
四,)sin(co s
2
1
)(
x
exxx,
通解结构,yYy
常见类型 ),( xPm,)( xm exP?
,co s)( xexP xm,si n)( xexP xm
难点,如何求特解？ 方法,待定系数法,
自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程一,型 )()( xPexf mx
设非齐方程特解为 xexQy?)(? 代入原方程
)()()()()2()().( 2 xPxQqpxQpxQ m
不是特征方程的根，若?)1(,02 qp?
),()( xQxQ m?可设 ;)( xm exQy
是特征方程的单根，若?)2(
,02 qp,02 p?
),()( xxQxQ m?可设 ;)( xm exxQy
是特征方程的重根，若?)3(
,02 qp,02 p?
),()( 2 xQxxQ m?可设,)(2 xm exQxy
综上讨论
,)( xQexy mxk设?
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程（ k是重根次数）,
特别地 xAeqyypy
是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根
x
x
x
ex
A
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p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
例 1,23 2 的通解求方程 xxeyyy
解 特征方程,0232 rr
特征根,,21 21 rr
对应齐次方程通解,221 xx ececY
是单根，2,)( 2 xeBAxxy设代入方程,得 xABAx 22
,
1
2
1
B
A
xexxy 2)1
2
1(于是原方程通解为,)121( 2221 xxx exxeCeCy
求通解 xxeyyy 3596
解 特征方程 0962 rr
特征根 321 rr
齐通解 xexccY 321 )(
是重根3 xeBAxxy 32 )( 可设即 23)( BxAxxQ BxAxxQ 23)( 2
BAxxQ 26)( 代入（ *）式
xBAx 526 0,65 BA xexy 3365
非齐通解为 xexxccy 3321 )65(
例 2
型二,xexPxf xm co s)()(?
型型及其组合xexPxf xm s i n)()(?
xexPxf xm c o s)()(? xexPxf xm s in)()(?
分别是 xjm exP )()(的实部和虚部
,)( )( xjm exPqyypy考虑方程可设 xjmk exQxy )()(
次复系数多项式是 mxQ m )(
)()()( 21 xjQxQxQ m记次实系数多项式均是 mxQxQ )(),( 21
辅助方程
)s in( c o s)]()([ 21 xjxexjQxQxy xk
)]co s)(s i n)((
)s i n)(co s)([(
21
21
xxQxxQj
xxQxxQex xk
是特征方程的单根不是特征方程的根
j
jk
,1
,0
由分解定理
]s in)(c o s)([Re 21 xxQxxQexy xk
]c o s)(s in)([Im 21 xxQxxQexy xk
分别是以 xexPxf xm c o s)()(?
xexPxf xm s in)()(? 为自由项的非齐次线性微分方程的特解注意上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程例 3,s i n4 的通解求方程 xyy
解 对应齐方通解,s i nc o s 21 xCxCY
作辅助方程,4 jxeyy
,是单根j,* jxA x ey?故代入上式,42?Aj,2 jA
,)c o s2(s i n22* jxxxxj x ey jx
所求非齐方程特解为,c o s2 xxy （取虚部）
原方程通解为,c o s2s i nc o s
21 xxxCxCy
这种方法称为复数法例 4,2co s 的通解求方程 xxyy
解 对应齐方通解,s i nc o s 21 xCxCY
作辅助方程,2 jxxeyy
,2 不是特征方程的根j
,)( 2* jxeBAxy设 代入辅助方程
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA,
,)9431( 2* jxejxy
)2s i n2) ( c o s9431( xjxjx
,)2s i n312c os94(2s i n942c os31 jxxxxxx
所求非齐方程特解为,2s i n942c o s31 xxxy
（取实部）
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy
注意 xAexAe xx s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe
例 5,t a n 的通解求方程 xyy
解 对应齐方程通解,s i nc o s 21 xCxCY
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(cos)( 21 xxcxxcy设
,1)(?xw,co s)( t a ns eclns i n)(
22
11
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns eclnco ss i nco s 21 xxxxCxCy
例 6 求通解 xeyy x c o s
解 相应齐方程 0 yy
特征方程 jrr 2,12 01
齐通解 xcxcY s i nc o s 21
先求 xeyy 的特解设 xAey?*1 代入方程
2
1?A xey
2
1*
1
再求 xyy c os 的特解考虑辅助方程 jxeyy
是单根j 可设 jxA x ey?
jxjx A jx eAey jxjx A x eA jey 2
代入方程得 jA 21?
xxjxxxejy jx cos21s i n212 1
取实部得 xxy s in21*2?
原方程的特解 )s i n(21*2*1* xxeyyy x
所求通解为 )s i n(21s i nco s 21 xxexcxcy x
例 7 设 )( 22 yxfu 具有连续的二阶偏导数且满足 222
2
2
2 1
yxuxuxy ux u
求 u 的表达式解 记 22 yxr 则 )( rfu?
r
x
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x
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y
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同理 drdurxdr udryy u 3
2
2
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2
2
2
2
2 1
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2
2
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这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程解得 2s inc o s 221 rrcrcu
222221 s i nc o s yxcyxcu
2
2
2
rudr ud即一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子 8米，另一端离钉子 12米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间下段重为解 设时刻 t 链条下落了 x 米另设链条单位长重为 )( mkgw
则上段重为 )12( xw?
)8( xw?
由 Newton第二定律
2
2
20)]8()12([ dt xdwgxwxw
例 8
0,0 00 tt dtdxx
特征方程 0102 gr 特征根 102,1
gr
齐通解 tgtg ececX 10
2
10
1
特解 2*x
故 2)( 102101 t
gtg
ecectx
代入初始条件 解得 121 cc
2)( 1010 t
gtg
eetx 时当 8?x
)(3.2)625ln (10 sgt
三、小结 (待定系数法 )
可以是复数） (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk
],s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk
只含上式一项解法,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
思考题写出微分方程 xexyyy 22 8644
的待定特解的形式,
思考题解答设 的特解为 2644 xyyy *1y
xeyyy 2844设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy?则所求特解为
0442 rr? 特征根 22,1?r?
CBxAxy 2*1 xeDxy 22*2? （重根）
*2y?*1* yy? CBxAx 2,22 xeDx?
练 习 题一,求下列微分方程的通解,
1,
x
eyay
2；
2,
x
xeyyy
323 ；
3,xxyy c o s4 ；
4,xyy
2
sin,
二,求下列各微分方程满足已给初始条件的特解,
1,0,1,54
00
xx
yyyy ；
2,
xx
exeyyy 2,1,1
11
xx
yy ；
3,)2co s(
2
1
4 xxyy,0,0
00
xx
yy,
三,含源在 CLR,,串联电路中,电动 E势为 的电源对电 充电容器 C,已 20?E知 伏,微法2.0?C,
亨1.0?L,欧1 0 0 0?R,试求合上开 后关 K 的电及流 )( ti )( tu
c
电压,
四,设 )( x?函数 连续,且满足
xx
x
dttxdtttex
00
)()()(,
)( x?求
.
练习题答案一,1,
221
1
s i nco s
a
e
axCaxCy
x
；
2,)3
2
3
(
22
21
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3,xxxxCxCy s i n
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1
2s i n2co s
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2
1
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1
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xx
.
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5
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16
1
4
；
2,
xxx
e
x
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x
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])
1
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3
teti
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( 安 ),
]105s i n ()105[ c o s (2020)(
33105
3
ttetu
t
c
( 伏 ),
四,)sin(co s
2
1
)(
x
exxx,
