1.定义,若有全微分形式
dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),(
则 0),(),( dyyxQdxyxP
全微分方程或恰当方程例如,0 y d yx d x ),(21),( 22 yxyxu
,),( y d yx d xyxdu 所以是全微分方程,
.xQyP全微分方程全微分方程一、全微分方程及其解法
2.解法,
0),(),( dyyxQdxyxP 全微分方程
应用曲线积分与路径无关,x
Q
y
P
通解为
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ;),( Cyxu?
用直接凑全微分的方法,
yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
其中 x0,y0 是在 G中适当选定的点 M0 (x0,y0 )
的坐标，起点坐标选择的不同，至多使 u( x,y)
相差一个常数例 1
.
0)3()3( 2323
的通解求方程 dyyxydxxyx
解,6 xQxyyP 是全微分方程,
yx dyyxdxyxyxu 0 30 23 )3(),(
,4234
4
22
4 y
yxx
原方程的通解为,4234
4
22
4
Cyyxx
例 2,0
32
4
22
3 的通解求方程?
dy
y
xydx
y
x
解,6 4 xQy xyP 是全微分方程,
将左端重新组合 )32(1 4
2
32 dyy
xdx
y
xdy
y
)()1( 3
2
y
xd
yd ),
1(
3
2
y
x
yd
原方程的通解为,
1
3
2
Cyxy
二、积分因子法 0),(?yx? 连续可微函数，使方程
0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成为全微分方程,则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
问题,如何求方程的积分因子?
定义,
1.公式法,,)()( xQyP
xQx
Q
yPy
P
,两边同除?
x
Q
y
P
yPxQ?
lnln
求解不容易特殊地,;,有关时只与当 xa?,0
y
,
dx
d
x
)(1ln xQyPQdxd )( xf?
.)( )( dxxfex?;,有关时只与当 yb?,0
x
,
dy
d
y
)(1ln yPxQPdyd )( yg?
.)( )( dyygey?
2.观察法,凭观察凑微分得到 ),( yx?
常见的全微分表达式
)2(
22 yx
dy dyxdx )( xydx d yy d x
)(2 xydx yd xxdy )(2 y
xd
y
yd xx d y
)( l n
x
yd
xy
yd xxdy )( a rc t a n
22 x
yd
yx
y d xxdy?
)( l n 2222 yxdyx ydyxdx
可选用的积分因子有
.,,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx
例 3
.0)()3( 22 的通解求微分方程
dyxyxdxyxy
解,1)(1 xxQyPQ dxxex
1
)(?
则原方程成为
,0)()3( 2322 dyyxxdxxyyx
.x?
,0)()3( 2322 dyyxxdxxyyx
)(3 32 xdyy d xxydyxy d xx
可积组合法 ))(
2
1( 23 xyyxd,0?
原方程的通解为
.)(21 23 Cxyyx (公式法 )
例 4 求微分方程
.0)1(2 22 的通解 dyyxdxyxx
解,022 22 dyyxdxyxxx d x
,0)()( 2222 dyyxxdyxxd
将方程左端重新组合,有
,0)()( 222 yxdyxxd
原方程的通解为,)(3
2 2322 Cyxx
例 5 求微分方程
.0)1(ln2 222 的通解 dyyyxyd xxy
解 将方程左端重新组合,有
,01)ln2 222 dyyydyxyd xxy（
,1),( yyx易知
,01)ln2( 2
2
dyyydyyxydxx则可积组合法,0)1(
3
1)ln( 2322 ydyxd即原方程的通解为,)1(3
1ln 2322 Cyyx
例 6,1
32
的通解求微分方程 x yxxdxdy
解 1 整理得,1 1 2xyxdxdy
A 常数变易法,,1 xCy对应齐方程通解
.1 )( xxCy设,43)(
43
CxxxC
B 公式法,],[ 1
1
21
1
Cdxexey dxxdxx
.43
43
Cxxxyy通解为解 2 整理得,0)1()( 32 dyxdxyxx
,1 xQyP,是全微分方程?
A 用曲线积分法,
,)1()(),( 00 32 yx dyxdxxxyxu
B 凑微分法,
,0)( 32 dxxdxxydxx d ydy
，043)(
43
xdxdxyddy
.0)43(
43
xxxyyd
C 不定积分法,,32 yxxxu
dxyxx )( 32 ),(43
43
yCxyxx
),( yCxyu,1 xyu又
,1)( xyCx,1)( yC,)( yyC?
原方程的通解为,43
43
Cxxxyy
三、一阶微分方程小结分离变量法 常数变易法 全微分方程一阶微分方程思考题方程 032
4
22
3?
dy
y
xydx
y
x
是否为全微分方程？
思考题解答
3
2
y
x
yy
P?,6
4y
x
4
22 3
y
xy
xx
Q
,6 4yx
x
Q
y
P
原方程 是 全微分方程,
练 习 题一,判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解,
1,0)2( dyyxedxe
yy；
2,0)(
22
x yd ydxyx ；
3,02)1(
22
dede,
二,利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解,
1,0
2
x d xyx d yyd x ；
2,dxyxyd yxdx )(
22
；
3,
0)1()1( x d yxyy d xxy
.
三,验证
)]()([
1
xygxyfxy?
是微分方程
0)()( dyxyxgdxxyyf 的积分因子,并求方程
0)22()2(
2222
dyyxxdxyxy 的通解,
四,已知
2
1
)0(?f,试确定 )( xf,使
0)()]([ dyxfyd xxfe
x
为全微分方程,并求此全微分方程的通解,
练习题答案一,1,Cyxe
y
2； 2,不是全微分方程；
3,Ce )1(
2?
,
二,1,C
x
y
x
2
2； 2,
x
Ceyx
222
；
3,
xy
Ce
y
x
1
,
三、
22
1
2 yx
eCyx?,( 或 C
yxy
x
222
1
1ln )
四,Cyxexexf
xx
)
2
1
(,)
2
1
()(,
dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),(
则 0),(),( dyyxQdxyxP
全微分方程或恰当方程例如,0 y d yx d x ),(21),( 22 yxyxu
,),( y d yx d xyxdu 所以是全微分方程,
.xQyP全微分方程全微分方程一、全微分方程及其解法
2.解法,
0),(),( dyyxQdxyxP 全微分方程
应用曲线积分与路径无关,x
Q
y
P
通解为
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ;),( Cyxu?
用直接凑全微分的方法,
yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
其中 x0,y0 是在 G中适当选定的点 M0 (x0,y0 )
的坐标，起点坐标选择的不同，至多使 u( x,y)
相差一个常数例 1
.
0)3()3( 2323
的通解求方程 dyyxydxxyx
解,6 xQxyyP 是全微分方程,
yx dyyxdxyxyxu 0 30 23 )3(),(
,4234
4
22
4 y
yxx
原方程的通解为,4234
4
22
4
Cyyxx
例 2,0
32
4
22
3 的通解求方程?
dy
y
xydx
y
x
解,6 4 xQy xyP 是全微分方程,
将左端重新组合 )32(1 4
2
32 dyy
xdx
y
xdy
y
)()1( 3
2
y
xd
yd ),
1(
3
2
y
x
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原方程的通解为,
1
3
2
Cyxy
二、积分因子法 0),(?yx? 连续可微函数，使方程
0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成为全微分方程,则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
问题,如何求方程的积分因子?
定义,
1.公式法,,)()( xQyP
xQx
Q
yPy
P
,两边同除?
x
Q
y
P
yPxQ?
lnln
求解不容易特殊地,;,有关时只与当 xa?,0
y
,
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d
x
)(1ln xQyPQdxd )( xf?
.)( )( dxxfex?;,有关时只与当 yb?,0
x
,
dy
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y
)(1ln yPxQPdyd )( yg?
.)( )( dyygey?
2.观察法,凭观察凑微分得到 ),( yx?
常见的全微分表达式
)2(
22 yx
dy dyxdx )( xydx d yy d x
)(2 xydx yd xxdy )(2 y
xd
y
yd xx d y
)( l n
x
yd
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22 x
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yx
y d xxdy?
)( l n 2222 yxdyx ydyxdx
可选用的积分因子有
.,,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx
例 3
.0)()3( 22 的通解求微分方程
dyxyxdxyxy
解,1)(1 xxQyPQ dxxex
1
)(?
则原方程成为
,0)()3( 2322 dyyxxdxxyyx
.x?
,0)()3( 2322 dyyxxdxxyyx
)(3 32 xdyy d xxydyxy d xx
可积组合法 ))(
2
1( 23 xyyxd,0?
原方程的通解为
.)(21 23 Cxyyx (公式法 )
例 4 求微分方程
.0)1(2 22 的通解 dyyxdxyxx
解,022 22 dyyxdxyxxx d x
,0)()( 2222 dyyxxdyxxd
将方程左端重新组合,有
,0)()( 222 yxdyxxd
原方程的通解为,)(3
2 2322 Cyxx
例 5 求微分方程
.0)1(ln2 222 的通解 dyyyxyd xxy
解 将方程左端重新组合,有
,01)ln2 222 dyyydyxyd xxy（
,1),( yyx易知
,01)ln2( 2
2
dyyydyyxydxx则可积组合法,0)1(
3
1)ln( 2322 ydyxd即原方程的通解为,)1(3
1ln 2322 Cyyx
例 6,1
32
的通解求微分方程 x yxxdxdy
解 1 整理得,1 1 2xyxdxdy
A 常数变易法,,1 xCy对应齐方程通解
.1 )( xxCy设,43)(
43
CxxxC
B 公式法,],[ 1
1
21
1
Cdxexey dxxdxx
.43
43
Cxxxyy通解为解 2 整理得,0)1()( 32 dyxdxyxx
,1 xQyP,是全微分方程?
A 用曲线积分法,
,)1()(),( 00 32 yx dyxdxxxyxu
B 凑微分法,
,0)( 32 dxxdxxydxx d ydy
，043)(
43
xdxdxyddy
.0)43(
43
xxxyyd
C 不定积分法,,32 yxxxu
dxyxx )( 32 ),(43
43
yCxyxx
),( yCxyu,1 xyu又
,1)( xyCx,1)( yC,)( yyC?
原方程的通解为,43
43
Cxxxyy
三、一阶微分方程小结分离变量法 常数变易法 全微分方程一阶微分方程思考题方程 032
4
22
3?
dy
y
xydx
y
x
是否为全微分方程？
思考题解答
3
2
y
x
yy
P?,6
4y
x
4
22 3
y
xy
xx
Q
,6 4yx
x
Q
y
P
原方程 是 全微分方程,
练 习 题一,判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解,
1,0)2( dyyxedxe
yy；
2,0)(
22
x yd ydxyx ；
3,02)1(
22
dede,
二,利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解,
1,0
2
x d xyx d yyd x ；
2,dxyxyd yxdx )(
22
；
3,
0)1()1( x d yxyy d xxy
.
三,验证
)]()([
1
xygxyfxy?
是微分方程
0)()( dyxyxgdxxyyf 的积分因子,并求方程
0)22()2(
2222
dyyxxdxyxy 的通解,
四,已知
2
1
)0(?f,试确定 )( xf,使
0)()]([ dyxfyd xxfe
x
为全微分方程,并求此全微分方程的通解,
练习题答案一,1,Cyxe
y
2； 2,不是全微分方程；
3,Ce )1(
2?
,
二,1,C
x
y
x
2
2； 2,
x
Ceyx
222
；
3,
xy
Ce
y
x
1
,
三、
22
1
2 yx
eCyx?,( 或 C
yxy
x
222
1
1ln )
四,Cyxexexf
xx
)
2
1
(,)
2
1
()(,
