对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念和性质前面已经介绍了两类曲线积分，对第一类曲线积分
n
i
iiiL sdsyx
10
),(lim),(
其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式?
n
i
iiii S
10
),,(li m
抽象概括得到对面积的曲面积分的概念实例 若曲面? 是光滑的,它的面密度为连续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
1.定义设曲面? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在?
上有界,把? 分成 n 小块
iS?
（
iS?
同时也表示第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,( iii 为
iS?
上任意取定的点,作乘积?),,( iiif
i
S?,
并作和?
n
i
iii
f
1
),,(
i
S?,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面? 上对面积的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
记为
dSzyxf ),,(,
即
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(li m
1
0
叫被积函数，其中 ),,( zyxf
其物理背景是面密度为 f ( x,y,z ) 的曲面块的质量
2.对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,21
dSzyxf ),,(
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似
ⅰ ）线性性
gdSf d SdSgf )(
ⅱ ）可加性
1 2
f dSf dSf dS )( 21
ⅲ ）存在性 存在则连续若
dSzyxfzyxf ),,(,),,(
二、对面积的曲线积分的计算法按照曲面的不同情况分为以下三种：
),(:.1 yxzz若曲面则
dSzyxf ),,(;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx
),(:.2 zxyy若曲面则
dSzyxf ),,(;1]),,(,[ 22 dx d zyyzzxyxf
xzD
zx
),(.3 zyxx,若曲面则
dSzyxf ),,(
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy
这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式简述为,一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：
（ 1）这里积分曲面的方程必须是 单值显函数,否则可利用可加性，分块计算，结果相加
（ 2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式
（ 3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数
（ 4）切记任何时候都要换面积元例 1
计算
dszyx )(,其中? 为平面
5 zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分,
解 积分曲面
,yz 5,
投影域,
}25|),{( 22 yxyxD xy
dxdyzzdS yx 221
d x d y2)1(01,2d x d y?
dszyx )(故
xyD
dxdyyyx )5(2
xyD
dxdyx )5(2
r drrd 5020 )c os5(2,2125
例 2 计算
dSyx )( 22 22 yxz是锥面其中?
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面解 分成两部分将?
10,221 zyxz?
11,222 yxz?
21, 在 xoy 内的投影区域
1,22 yxD
o
x
y
z 1:2?z?
1?
1
)( 22
dSyx故
D
yx d x d yzzyx
2222 1)(
D
d x d yyx )(2 22
2
0
1
0
2
2
22 r d rrd
2
)( 22
dSyx
D
dSyx )( 22 2
2
0
1
0
2
r d rrd
21
)()( 2222
dSyxdSyx?2 21
例 3 计算
dSyx 22 1 是介于平面其中?
z = 0 与 z = H 之间的圆柱面 222 Ryx
解 )(,221 在第一卦限的部分令 xRy
面的投影区域为在 z o x1?
RxHzD zx 00:
由对称性 有
1
2222
141 dS
yxdSyx
zxD
zx dxdzyyR
22
2 1
14
H R
dx
xR
Rdz
R 0 0 222
4
R
H?2?
例 4
计算 dSx yz
||,
其中? 为抛物面
22
yxz （ 10 z ）,
解
x y
z依对称性知：
轴对称，关于抛物面
z
yxz 22
被积函数 || xyz 关于
xoz,yo z 坐标面对称有
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
dxdyzzdS yx 221
dxdyyx 22 )2()2(1
原式 dSxy z
|| dSxy z
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4
其中 1|),{( 22 yxyxD xy,}0,0 yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r drrrttrdt 10 22220 41s i nc os4
drrrt dt 210 50 412s i n2 2 令 241 ru
duuu 25
1
)4 1(41,420 15125
注 对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性
设 对称于 xoy（或 yoz,或 zox ）坐标面若 f（ x,y,z ) 关于 z（或 x,或 y ）是奇函数
0),,( dSzyxf则若 f（ x,y,z ) 关于 z（或 x,或 y ）是偶函数
1
),,(2),,( dSzyxfdSzyxf
部分位于对称坐标面一侧的是其中 1
完全类似于三重积分的对称性例 5 计算
dSzxyzxy )( 为其中?
所截得的部分被柱面锥面 axyxyxz 22222
解 面的投影区域在 xoy? axyxD 2,22
22 yxz 2222 yx
yz
yx
xz
yx
dSzxyzxy )(故
D
d x d yyxyxxy ])([2 22
2
2
c o s2
0
22 )]c os( s i nc oss i n[2
a
r drrrd
2
2
44 c os16
4
1
]c oss i nc os[ s i n2
da
2
0
54 cos28
da 4
15
264 a?
例 6
计算
x d S,其中? 是圆柱面 122 yx,
平面 2 xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
解
321
其中 1?,0?z,2?,2 xz,
3?,122 yx,投影域 1D,122 yx
显然 0
11
D
x d x d yxdS,
,011
12
D
dx dyxxd S
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy 分为左、右两片 ）
（左右两片投影相同）
xoz
3
x d S
31
xdS
32
x d S
xzD
zx dxdzyyx
2212
xzD
d x dz
x
xx
2
2
1
12
1 1 20212 x dzdxxx,
xdS 00,
例 7
计算 dSzyx )( 222
,其中? 为内接于球面
2222 azyx 的八面体 azyx |||||| 表面,
解 被积函数?),,( zyxf 222 zyx,
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面? 也具有对称性,
故原积分
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?,azyx,即 yxaz
d x d yzzdS yx 221 dxdy3?
dSzyx )( 222
1
)(8 222 dSzyx
d x d yyxayx
xyD
3])([8 222.32 4a?
例 8 求均匀曲面 222 yxaz 的重心坐标解 由对称性 0,0 yx
dS
zd S
z
d x d yzzdS
D
yx
221 ):( 222 ayxD
dxdyyxa a
D
222 r d rra ad
a
2
0 0
22
22 a
d xd yyxa ayxaz d S
D
222
222
D
d x d ya 3a
2
az?
故 重心坐标为 )2,0,0( a
例 9 )0(22220 zazyx的均匀半球壳求密度为?
轴的转动惯量对于 z
解 222,ayxD
dSyxI z )( 220
D
yx dxdyzzyx
2222
0 1)(?
d xd yyxa ayx
D
222220 )(?
2
0 0
22
2
0
1a r d r
ra
rda
3
4 40a
例 10 计算
dSczbyax )(
的整个表面Rzzyx 2,222
解 由奇偶对称性
0ydSxdS
分成须将为计算?
z d S
上半球面 2221,yxRRz
下半球面 2222,yxRRz
dSczbyax )(
1 2
c z dSc z dS
D
dRc?2 34 cR ):( 222 RyxD
另解 由曲面形心公式
dS
zdS
z
dSzccz d S
),0,0( R的形心坐标为
24 RdS
dSczbyax )( 3400 cR
34 cR
注 对面积的曲面积分的应用面积
dSA
质量
dSzyxM ),,(
重心
dS
dSx
x
dS
dSy
y
dS
dSz
z
转动惯量
dSzyI x )( 22
dSzxI y )( 22
dSyxI z )( 22
三、小结
1,对面积的曲面积分的概念 ;
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(lim
1
0
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算,
（按照曲面的不同情况分为三种）
思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义,
221 yx zz
思考题解答是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
221 yx zz故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数,
z
练 习 题一,填空题,
1,已知曲面? 的面 a积为,则?
ds10 ____ ___ ；
2,
dszyxf ),,( =
yz
D
zyzyxf ),),,(( ____ ___ _ d y d z ；
3,设? 为球面
2222
azyx
在 xoy 平面的上方部分,则
dszyx )(
222
______ ___ ___ ；
4,
z d s3
_____,其中
为抛物面
)(2
22
yxz
在 xoy 面上方的部分；
5,
dsyx )(
22
_____ _,其中
为锥面
22
yxz
及平面
1?z
所围成的区域的整个边界曲面,
二、计算下列对面积的曲面积分,
1,
dszxxxy )22(
2
,其中? 为平面
622 zyx 在第一卦限中的部分；
2,
dszxyzxy )(,其中? 为锥面
22
yxz 被柱面 axyx 2
22
所截得的有限部分,
三、求抛物面壳 )10)((
2
1
22
zyxz 的质量,此壳的面密度的大小为
z
,
四、求抛物面壳 )10()(
2
1
22
zyxz 的质量，此壳的面密度的大小为
.z
练习题答案一,1,a10 ； 2,
22
)()(1
z
x
y
x
；
3,
4
2 a? ； 4,?
10
1 1 1；
5,?
2
21?
,
二,1,
4
27； 2,
4
2
15
64
a,
三、
6
,
四,)136(
15
2
,
n
i
iiiL sdsyx
10
),(lim),(
其物理背景是曲线型构件的质量，在此质量问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，小段曲线的弧长改为小块曲面的面积，相应地得和式?
n
i
iiii S
10
),,(li m
抽象概括得到对面积的曲面积分的概念实例 若曲面? 是光滑的,它的面密度为连续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
1.定义设曲面? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在?
上有界,把? 分成 n 小块
iS?
（
iS?
同时也表示第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,( iii 为
iS?
上任意取定的点,作乘积?),,( iiif
i
S?,
并作和?
n
i
iii
f
1
),,(
i
S?,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面? 上对面积的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
记为
dSzyxf ),,(,
即
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(li m
1
0
叫被积函数，其中 ),,( zyxf
其物理背景是面密度为 f ( x,y,z ) 的曲面块的质量
2.对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,21
dSzyxf ),,(
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似
ⅰ ）线性性
gdSf d SdSgf )(
ⅱ ）可加性
1 2
f dSf dSf dS )( 21
ⅲ ）存在性 存在则连续若
dSzyxfzyxf ),,(,),,(
二、对面积的曲线积分的计算法按照曲面的不同情况分为以下三种：
),(:.1 yxzz若曲面则
dSzyxf ),,(;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx
),(:.2 zxyy若曲面则
dSzyxf ),,(;1]),,(,[ 22 dx d zyyzzxyxf
xzD
zx
),(.3 zyxx,若曲面则
dSzyxf ),,(
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy
这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式简述为,一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：
（ 1）这里积分曲面的方程必须是 单值显函数,否则可利用可加性，分块计算，结果相加
（ 2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式
（ 3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数
（ 4）切记任何时候都要换面积元例 1
计算
dszyx )(,其中? 为平面
5 zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分,
解 积分曲面
,yz 5,
投影域,
}25|),{( 22 yxyxD xy
dxdyzzdS yx 221
d x d y2)1(01,2d x d y?
dszyx )(故
xyD
dxdyyyx )5(2
xyD
dxdyx )5(2
r drrd 5020 )c os5(2,2125
例 2 计算
dSyx )( 22 22 yxz是锥面其中?
与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面解 分成两部分将?
10,221 zyxz?
11,222 yxz?
21, 在 xoy 内的投影区域
1,22 yxD
o
x
y
z 1:2?z?
1?
1
)( 22
dSyx故
D
yx d x d yzzyx
2222 1)(
D
d x d yyx )(2 22
2
0
1
0
2
2
22 r d rrd
2
)( 22
dSyx
D
dSyx )( 22 2
2
0
1
0
2
r d rrd
21
)()( 2222
dSyxdSyx?2 21
例 3 计算
dSyx 22 1 是介于平面其中?
z = 0 与 z = H 之间的圆柱面 222 Ryx
解 )(,221 在第一卦限的部分令 xRy
面的投影区域为在 z o x1?
RxHzD zx 00:
由对称性 有
1
2222
141 dS
yxdSyx
zxD
zx dxdzyyR
22
2 1
14
H R
dx
xR
Rdz
R 0 0 222
4
R
H?2?
例 4
计算 dSx yz
||,
其中? 为抛物面
22
yxz （ 10 z ）,
解
x y
z依对称性知：
轴对称，关于抛物面
z
yxz 22
被积函数 || xyz 关于
xoz,yo z 坐标面对称有
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
dxdyzzdS yx 221
dxdyyx 22 )2()2(1
原式 dSxy z
|| dSxy z
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4
其中 1|),{( 22 yxyxD xy,}0,0 yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r drrrttrdt 10 22220 41s i nc os4
drrrt dt 210 50 412s i n2 2 令 241 ru
duuu 25
1
)4 1(41,420 15125
注 对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性
设 对称于 xoy（或 yoz,或 zox ）坐标面若 f（ x,y,z ) 关于 z（或 x,或 y ）是奇函数
0),,( dSzyxf则若 f（ x,y,z ) 关于 z（或 x,或 y ）是偶函数
1
),,(2),,( dSzyxfdSzyxf
部分位于对称坐标面一侧的是其中 1
完全类似于三重积分的对称性例 5 计算
dSzxyzxy )( 为其中?
所截得的部分被柱面锥面 axyxyxz 22222
解 面的投影区域在 xoy? axyxD 2,22
22 yxz 2222 yx
yz
yx
xz
yx
dSzxyzxy )(故
D
d x d yyxyxxy ])([2 22
2
2
c o s2
0
22 )]c os( s i nc oss i n[2
a
r drrrd
2
2
44 c os16
4
1
]c oss i nc os[ s i n2
da
2
0
54 cos28
da 4
15
264 a?
例 6
计算
x d S,其中? 是圆柱面 122 yx,
平面 2 xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
解
321
其中 1?,0?z,2?,2 xz,
3?,122 yx,投影域 1D,122 yx
显然 0
11
D
x d x d yxdS,
,011
12
D
dx dyxxd S
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy 分为左、右两片 ）
（左右两片投影相同）
xoz
3
x d S
31
xdS
32
x d S
xzD
zx dxdzyyx
2212
xzD
d x dz
x
xx
2
2
1
12
1 1 20212 x dzdxxx,
xdS 00,
例 7
计算 dSzyx )( 222
,其中? 为内接于球面
2222 azyx 的八面体 azyx |||||| 表面,
解 被积函数?),,( zyxf 222 zyx,
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面? 也具有对称性,
故原积分
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?,azyx,即 yxaz
d x d yzzdS yx 221 dxdy3?
dSzyx )( 222
1
)(8 222 dSzyx
d x d yyxayx
xyD
3])([8 222.32 4a?
例 8 求均匀曲面 222 yxaz 的重心坐标解 由对称性 0,0 yx
dS
zd S
z
d x d yzzdS
D
yx
221 ):( 222 ayxD
dxdyyxa a
D
222 r d rra ad
a
2
0 0
22
22 a
d xd yyxa ayxaz d S
D
222
222
D
d x d ya 3a
2
az?
故 重心坐标为 )2,0,0( a
例 9 )0(22220 zazyx的均匀半球壳求密度为?
轴的转动惯量对于 z
解 222,ayxD
dSyxI z )( 220
D
yx dxdyzzyx
2222
0 1)(?
d xd yyxa ayx
D
222220 )(?
2
0 0
22
2
0
1a r d r
ra
rda
3
4 40a
例 10 计算
dSczbyax )(
的整个表面Rzzyx 2,222
解 由奇偶对称性
0ydSxdS
分成须将为计算?
z d S
上半球面 2221,yxRRz
下半球面 2222,yxRRz
dSczbyax )(
1 2
c z dSc z dS
D
dRc?2 34 cR ):( 222 RyxD
另解 由曲面形心公式
dS
zdS
z
dSzccz d S
),0,0( R的形心坐标为
24 RdS
dSczbyax )( 3400 cR
34 cR
注 对面积的曲面积分的应用面积
dSA
质量
dSzyxM ),,(
重心
dS
dSx
x
dS
dSy
y
dS
dSz
z
转动惯量
dSzyI x )( 22
dSzxI y )( 22
dSyxI z )( 22
三、小结
1,对面积的曲面积分的概念 ;
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf
),,(lim
1
0
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算,
（按照曲面的不同情况分为三种）
思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义,
221 yx zz
思考题解答是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
221 yx zz故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数,
z
练 习 题一,填空题,
1,已知曲面? 的面 a积为,则?
ds10 ____ ___ ；
2,
dszyxf ),,( =
yz
D
zyzyxf ),),,(( ____ ___ _ d y d z ；
3,设? 为球面
2222
azyx
在 xoy 平面的上方部分,则
dszyx )(
222
______ ___ ___ ；
4,
z d s3
_____,其中
为抛物面
)(2
22
yxz
在 xoy 面上方的部分；
5,
dsyx )(
22
_____ _,其中
为锥面
22
yxz
及平面
1?z
所围成的区域的整个边界曲面,
二、计算下列对面积的曲面积分,
1,
dszxxxy )22(
2
,其中? 为平面
622 zyx 在第一卦限中的部分；
2,
dszxyzxy )(,其中? 为锥面
22
yxz 被柱面 axyx 2
22
所截得的有限部分,
三、求抛物面壳 )10)((
2
1
22
zyxz 的质量,此壳的面密度的大小为
z
,
四、求抛物面壳 )10()(
2
1
22
zyxz 的质量，此壳的面密度的大小为
.z
练习题答案一,1,a10 ； 2,
22
)()(1
z
x
y
x
；
3,
4
2 a? ； 4,?
10
1 1 1；
5,?
2
21?
,
二,1,
4
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