导数的概念在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念 —— 导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。
重点 导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点 导数的实质，用定义求导，链式法则基本要求
① 准确叙述导数定义并深刻理解它的实质
② 会用定义求导数
③ 熟记求导基本公式
④ 牢固掌握链式法则
⑤ 掌握隐函数和参量函数求导法
⑥ 理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法
⑦ 弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,,0 时刻的瞬时速度求 t
0t,
0 tt 的时刻取一邻近于
t
,t?运动时间 t?
t
sv
平均速度
0
0
tt
ss
).(
2 0 tt
g
,0时当 tt? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
g
tt
瞬时速度,0gt?
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，
其运动路程为 s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
svtv
tt?
000
l i ml i m)(
t
tstts
t?
)()(lim 00
0
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置播放
T
o x
y )( xfy?
C
N
M
如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 N MTMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
0x x
的斜率为割线 MN
如图,
0
0t an
xx
yy
,)()(
0
0
xx
xfxf
,,0xxMN C 沿曲线的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx?
二、导数的定义定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
或即 x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000
其它形式,
)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质
★
.
,0
慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点 x
★
平均变化率为端点的区间上的和在以是 xxxy
x
y
00
★
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy?
★
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一
x
xfxxfy
x?
)()(l i m
0
即
.)()(l i m)(
0 h
xfhxfxf
h
或注意,,)()(.1
00 xxxfxf
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼近函数,
播放
★ 单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
2.右导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
★
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,
★ 如果 )( xf 在开区间ba,内可导，且 )( af 及
)( bf 都存在，就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
★
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(l i m 00
0
,)(
0 存在xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(lim 00
0
,)(
0 存在xf
,)()( 00 axfxf且则 )( xf 在点 0x 可导,
.)( 0 axf且三、由定义求导数（三步法）
步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
CC
h
0lim
.0?
.0)(C即例 2,)( s in)( s in,s in)(
4
xxxxxf 及求设函数解 h xhxx h s i n)s i n (lim)( s i n 0
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
c os)( s in?
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n
)(lim)(
0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
例如,)(?x 12
1
2
1 x,
2
1
x?
)( 1x 11)1( x,12x
例 4,)1,0()( 的导数求函数 aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x
0l i m)(
h
aa h
h
x 1l i m
0
.ln aa x?
.ln)( aaa xx即特别地,)( xx ee
例 5,)1,0(log 的导数求函数 aaxy a
解 h xhxy aa
h
lo g)(lo glim
0
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
lim
0
h
x
ah x
h
x )1(loglim
1
0,lo g
1 e
x a?
.log1)( l o g exx aa即特别地,1)(ln
xx
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf
h
h
h
fhf
hh
00
l i m)0()0(l i m,1?
h
h
h
fhf
hh
00 lim
)0()0(lim,1
),0()0( ff即,0)( 点不可导在函数 xxfy
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
o x
y )(xfy?
0x
T
)(,t an)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
M
且有限时若 0)( 0 xf 切线方程为 的过 ))(,( 00 xfx
).)(( 000 xxxfyy
法线方程为 ).()(
1
0
0
0 xxxfyy
时当 0)( 0 xf
切线方程为 )( 0xfy?
法线方程为 0xx?
时当 )( 0xf
切线方程为 0xx?
法线方程为 )( 0xfy?
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线
x
y?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx 212
1
xx
.4
所求切线方程为 ),21(42 xy,044 yx即法线方程为 ),21(412 xy,01582 yx即
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率,
变速直线运动,路程对时间的导数为物体的瞬时速度,
.lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
交流电路,电量对时间的导数为电流强度,
.lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
非均匀的物体,质量对长度 (面积,体积 )的导数为物体的线 (面,体 )密度,
五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx )( 0xfxy
)0(0 x? xxxfy)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
注意,该定理的逆定理不成立,
★ 连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数
xf
xxfxfxf
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
例如,
,1)( 3 xxf
.1 处不可导在?x
3 1 xy
x
y
0 1
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
例如,
,
0,0
0,1s i n)(
x
x
x
xxf
.0 处不可导在?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf
x
y
o x
y
0xo
)(xfy? )(xfy?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在讨论函数
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nlim 0 xxx
0)(lim)0( 0 xff x?,0)( 处连续在 xxf
处有但在 0?x x x
x
x
y
00
1s i n)0(?
x
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 xyx
.0)( 处不可导在 xxf
六、小结
1,导数的实质,增量比的极限 ;
2,axf )( 0 )( 0xf ;)( 0 axf
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
连续直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
思考题函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf?
与导函数 )( xf? 有什么区别与联系？
思考题解答由导数的定义知,)(
0
xf? 是一个具体的数值,)( xf? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix,有唯一值 )( xf? 与之对应，所以两者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两者的 联系 是：在某点
0
x 处的导数 )(
0
xf? 即是导函数 )( xf? 在 0x 处的函数值,
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念 —— 导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。
重点 导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点 导数的实质，用定义求导，链式法则基本要求
① 准确叙述导数定义并深刻理解它的实质
② 会用定义求导数
③ 熟记求导基本公式
④ 牢固掌握链式法则
⑤ 掌握隐函数和参量函数求导法
⑥ 理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法
⑦ 弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,,0 时刻的瞬时速度求 t
0t,
0 tt 的时刻取一邻近于
t
,t?运动时间 t?
t
sv
平均速度
0
0
tt
ss
).(
2 0 tt
g
,0时当 tt? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
g
tt
瞬时速度,0gt?
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，
其运动路程为 s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
svtv
tt?
000
l i ml i m)(
t
tstts
t?
)()(lim 00
0
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2.切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置播放
T
o x
y )( xfy?
C
N
M
如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 N MTMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
0x x
的斜率为割线 MN
如图,
0
0t an
xx
yy
,)()(
0
0
xx
xfxf
,,0xxMN C 沿曲线的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx?
二、导数的定义定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
或即 x
xfxxf
x
yy
xxxx?
)()(limlim 00
000
其它形式,
)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质
★
.
,0
慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点 x
★
平均变化率为端点的区间上的和在以是 xxxy
x
y
00
★
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy?
★
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一
x
xfxxfy
x?
)()(l i m
0
即
.)()(l i m)(
0 h
xfhxfxf
h
或注意,,)()(.1
00 xxxfxf
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼近函数,
播放
★ 单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
2.右导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx?
★
函数 )( xf 在点 0x 处可导? 左导数 )( 0xf 和右导数 )( 0xf 都存在且相等,
★ 如果 )( xf 在开区间ba,内可导，且 )( af 及
)( bf 都存在，就说 )( xf 在闭区间ba,上可导,
★
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(l i m 00
0
,)(
0 存在xf
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0若
x
xxx
x?
)()(lim 00
0
,)(
0 存在xf
,)()( 00 axfxf且则 )( xf 在点 0x 可导,
.)( 0 axf且三、由定义求导数（三步法）
步骤,);()()1( xfxxfy求增量;)()()2( x xfxxfxy算比值
.lim)3( 0 xyy x求极限例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
h
CC
h
0lim
.0?
.0)(C即例 2,)( s in)( s in,s in)(
4
xxxxxf 及求设函数解 h xhxx h s i n)s i n (lim)( s i n 0
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
,cos x?
.c o s)( s i n xx即
44
c os)( s in?
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n
)(lim)(
0
]!2 )1([lim 1210 nnnh hhxnnnx?1 nnx
.)( 1 nn nxx即更一般地 )(.)( 1 Rxx
例如,)(?x 12
1
2
1 x,
2
1
x?
)( 1x 11)1( x,12x
例 4,)1,0()( 的导数求函数 aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x
0l i m)(
h
aa h
h
x 1l i m
0
.ln aa x?
.ln)( aaa xx即特别地,)( xx ee
例 5,)1,0(log 的导数求函数 aaxy a
解 h xhxy aa
h
lo g)(lo glim
0
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
lim
0
h
x
ah x
h
x )1(loglim
1
0,lo g
1 e
x a?
.log1)( l o g exx aa即特别地,1)(ln
xx
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf
h
h
h
fhf
hh
00
l i m)0()0(l i m,1?
h
h
h
fhf
hh
00 lim
)0()0(lim,1
),0()0( ff即,0)( 点不可导在函数 xxfy
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
o x
y )(xfy?
0x
T
)(,t an)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线
xf
xfxM
xfyxf
M
且有限时若 0)( 0 xf 切线方程为 的过 ))(,( 00 xfx
).)(( 000 xxxfyy
法线方程为 ).()(
1
0
0
0 xxxfyy
时当 0)( 0 xf
切线方程为 )( 0xfy?
法线方程为 0xx?
时当 )( 0xf
切线方程为 0xx?
法线方程为 )( 0xfy?
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线
x
y?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1 xyk
2
1)
1(
xx 212
1
xx
.4
所求切线方程为 ),21(42 xy,044 yx即法线方程为 ),21(412 xy,01582 yx即
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率,
变速直线运动,路程对时间的导数为物体的瞬时速度,
.lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
交流电路,电量对时间的导数为电流强度,
.lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
非均匀的物体,质量对长度 (面积,体积 )的导数为物体的线 (面,体 )密度,
五、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx )( 0xfxy
)0(0 x? xxxfy)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
注意,该定理的逆定理不成立,
★ 连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数
xf
xxfxfxf
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
例如,
,1)( 3 xxf
.1 处不可导在?x
3 1 xy
x
y
0 1
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
例如,
,
0,0
0,1s i n)(
x
x
x
xxf
.0 处不可导在?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点的尖点为函数则称点符号相反的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf
x
y
o x
y
0xo
)(xfy? )(xfy?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在讨论函数
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nlim 0 xxx
0)(lim)0( 0 xff x?,0)( 处连续在 xxf
处有但在 0?x x x
x
x
y
00
1s i n)0(?
x
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 xyx
.0)( 处不可导在 xxf
六、小结
1,导数的实质,增量比的极限 ;
2,axf )( 0 )( 0xf ;)( 0 axf
3,导数的几何意义,切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法,由定义求导数,
6,判断可导性不连续,一定不可导,
连续直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
思考题函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf?
与导函数 )( xf? 有什么区别与联系？
思考题解答由导数的定义知,)(
0
xf? 是一个具体的数值,)( xf? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix,有唯一值 )( xf? 与之对应，所以两者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两者的 联系 是：在某点
0
x 处的导数 )(
0
xf? 即是导函数 )( xf? 在 0x 处的函数值,
