欢迎同学们归来上期考试情况总结本期课程安排作业问题答疑时间本期期中考试定积分的概念前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题 —— 定积分，它是微分（求局部量
）的逆运算（微分的无限求和 —— 求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。
重点 定积分的概念和性质，微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法难点 定义及换元法和分部法的运用基本要求
① 正确理解定积分的概念及其实际背景
② 记住定积分的性质并能正确地运用
③ 掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，
并会用 N-L公式 计算定积分，
④ 能正确熟练地运用换元法和分部积分法
⑤ 正确理解两类广义积分概念，
并会用定义 计算一些较简单的广义积分。
计 算定积分实例 1 （求曲边梯形的面积）
求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积将其置于直角坐标系下考察
o x
y
a b
A B
m
n问题归结为 AmBbaA与 AnBbaA
的面积之差 曲边梯形一、问题的提出曲边梯形由连续曲线
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成,a b x
y
o
)( xfy?
A
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
a b x
y
o
（四个小矩形）
a b x
y
o
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放曲边梯形如图所示
a b x
y
o
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn个分点，
内插入若干在区间;
],[
],[
1
1
iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间分成把区间
i?,上任取一点在每个小区间
i
ii xx
],[ 1?
ix1x 1?ix 1?nx
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx
iii xfA )(?
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA
)(
1
时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
nxxx?
曲边梯形面积为 i
n
i
i xfA
)(l i m
10
实例 2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且
0)(?tv,求物体在这段时间内所经过的路程,
思路,把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
212101 TtttttT nn
1 iii ttt iii tvs )(?
部分路程值 某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
n
i
i tvss )(
11
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt
路程的精确值 i
n
i
i tvs
)(l i m
10
（ 1）分割问题以上两个例子，一个是 几何 问题，求的是以曲线 y = f(x)为曲边，以 [a,b] 为底边的曲边梯形的面积。一个是 物理 问题，求的是速度函数为 v(t)的变速直线运动的物体在时间区间 [a,b] 所走过的路程归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）
解决方法：
通过 局部取近似 （ 求微分 ）,求和取极限
（ 微分的无限求和 ）的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）
这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念定义 设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
1 iii xxx,),2,1(i,在各小区间上任取一点 i? （ ii x ），作乘积 ii xf?)(? ),2,1(i
并作和 ii
n
i
xfS
)(
1
,记 },,,m a x { 21 nxxx,
如果不论对 ],[ ba怎样的分法,也不论在小区间 ],[ 1 ii xx? 上点 i? 怎样的取法,只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I,我们称这个极限 I 为函数 )( xf
二、定积分的定义在区间 ],[ ba 上的 定积分,记为
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(l i m
10
被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分区间],[ ba
积分和注意：
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量的字母无关,
ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(
（ 2 ）定义中区间的分法和 i? 的取法是任意的,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
定理 1 当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
且只有有限个间断点,则 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
三、存在定理
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
4321)( AAAAdxxf
b
a
1A
2A
3A
4A
四、定积分的几何意义积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
,
)(
几何意义：
.10 2dxx?
解 将 ]1,0[ n 等分，分点为 nix i?,( ni,,2,1 )
小区间 ],[ 1 ii xx? 的长度
n
x i 1,( ni,,2,1 )
取 ii x,( ni,,2,1 )
ii
n
i
xf )(
1
ii
n
i
x
2
1
,
1
2
i
n
i
i xx
nn
in
i
12
1
n
i
in
1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
nnn
n
例 1 利用定义计算定积分
,121161 nn n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x
2
10
l i m?
nnn 121161l i m,31?
例 2 利用定义计算定积分?
1
0
dxe x
解 xexf?)( 在 [0,1]上连续，故 f(x)在 [0,1]上可积为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点
nxn
i
ii
1,1 ni
i ef
1
)(
][1)(
121
0
1
n
n
nn
i
n
i
i eeeenxf
等比数列
n
nn
e
e
n 1
1
1
)(11
1
1
)1( 1
ne
ne
nn 0,1
11lim1lim
00
xxxx ee
x 11l i m
1
1
l i m
01
xx
n
n e
x
e
n
n
i
ii xf
10
)(li m
1
1
)1(l i m 1
n
n
e
ne
1 e例 3,设函数 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且取正值,
n
n n
nf
nfnf
21lim试证,10 )(ln dxxfe
证明 利用对数的性质得
n
n n
nf
nfnf
21lim
n
n n
nf
nfnfe?
21l i mln
极限运算与对数运算换序得
n
n n
nf
nfnfe?
21lnlim
n
if
n
n
ine 1
ln1l i m
nn
ifn
ine
1lnl i m
1
指数上可理解为,)(ln xf 在 ]1,0[ 区间上的一个积分和,分点为 nix i?,（ ni,,2,1 ）
因为 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且 0)(?xf
所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意义且可积,
nn
ifn
in
1lnl i m
1
1
0 )(ln dxxf
n
n n
nf
nfnf
21lim,1
0
)(ln dxxfe故观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
13
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
23
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
33
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
43
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
53
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
63
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
73
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
83
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
93
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
103
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
113
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
１．定积分的实质,特殊和式的极限．
分、粗、和、精
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零求和 积零为整取极限 精确值 —— 定积分求近似以直（不变）代曲（变）
取极限五、小结将和式极限,
n
n
nnnn
)1(s i n2s i ns i n1lim?
表示成定积分,
思考题解答
n
n
n
n
nnnn s i n
)1(s i n2s i ns i n1lim?
n
in n
i
n 1 s i n
1lim
nn
in
in
1 s inlim
1
ix?i?.s i n1
0?
xdx
思考题练 习 题一,填空题：
1,函数 )( xf 在ba,上的定积分是积分和的极限，
即?
b
a
dxxf )( ____ ______ ___ ____,
2,定积分的值只与 ______ 及 ___ ____ 有关，而与
____ _____ 的记法无关,
3,定积分的几何意义是 _ ______ ___ ______ ______ _,
4,区间
ba,
长度的定积分表示是 ___ ______ __ _ _,
二,利用定积分的定义计算由抛物线,1
2
xy 两直线
)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积,
三,利用定积分的定义计算积分?
b
a
xdx,)( ba?,
四,利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1,
4
1
1
0
2
dxx ;
2,
2
0
2
2
co s2co s xdxxdx ;
五,水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的是压强 P 的水深 h
函数，且有
)(8.9
2
米千米hp?,若闸门高 米3?H,宽米2?L
，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力
P
（见教材图 5-3 ）,
练习题答案一,1,?
n
i
ii
xf
1
0
)(lim?；
2,被积函数,积分区间,积分变量；
3,介于曲线 )( xfy?,轴x,直线 bxax,之间各部分面积的代数和；
4,
b
a
dx,
二,abab )(
3
1
33
.
三,)(
2
1
22
ab?,
五,88.2( 千牛 ).
）的逆运算（微分的无限求和 —— 求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。
重点 定积分的概念和性质，微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法难点 定义及换元法和分部法的运用基本要求
① 正确理解定积分的概念及其实际背景
② 记住定积分的性质并能正确地运用
③ 掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，
并会用 N-L公式 计算定积分，
④ 能正确熟练地运用换元法和分部积分法
⑤ 正确理解两类广义积分概念，
并会用定义 计算一些较简单的广义积分。
计 算定积分实例 1 （求曲边梯形的面积）
求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积将其置于直角坐标系下考察
o x
y
a b
A B
m
n问题归结为 AmBbaA与 AnBbaA
的面积之差 曲边梯形一、问题的提出曲边梯形由连续曲线
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成,a b x
y
o
)( xfy?
A
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
a b x
y
o
（四个小矩形）
a b x
y
o
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放曲边梯形如图所示
a b x
y
o
,
],[
1210 bxxxxxa
ba
nn个分点，
内插入若干在区间;
],[
],[
1
1
iii
ii
xxx
xx
nba
长度为
，个小区间分成把区间
i?,上任取一点在每个小区间
i
ii xx
],[ 1?
ix1x 1?ix 1?nx
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx
iii xfA )(?
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA
)(
1
时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细
)0(
},,m a x {
,
21
nxxx?
曲边梯形面积为 i
n
i
i xfA
)(l i m
10
实例 2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv? 是时间间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且
0)(?tv,求物体在这段时间内所经过的路程,
思路,把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
212101 TtttttT nn
1 iii ttt iii tvs )(?
部分路程值 某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
n
i
i tvss )(
11
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt
路程的精确值 i
n
i
i tvs
)(l i m
10
（ 1）分割问题以上两个例子，一个是 几何 问题，求的是以曲线 y = f(x)为曲边，以 [a,b] 为底边的曲边梯形的面积。一个是 物理 问题，求的是速度函数为 v(t)的变速直线运动的物体在时间区间 [a,b] 所走过的路程归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）
解决方法：
通过 局部取近似 （ 求微分 ）,求和取极限
（ 微分的无限求和 ）的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）
这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念定义 设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
1 iii xxx,),2,1(i,在各小区间上任取一点 i? （ ii x ），作乘积 ii xf?)(? ),2,1(i
并作和 ii
n
i
xfS
)(
1
,记 },,,m a x { 21 nxxx,
如果不论对 ],[ ba怎样的分法,也不论在小区间 ],[ 1 ii xx? 上点 i? 怎样的取法,只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I,我们称这个极限 I 为函数 )( xf
二、定积分的定义在区间 ],[ ba 上的 定积分,记为
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(l i m
10
被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分区间],[ ba
积分和注意：
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量的字母无关,
ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(
（ 2 ）定义中区间的分法和 i? 的取法是任意的,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
定理 1 当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
且只有有限个间断点,则 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
三、存在定理
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
4321)( AAAAdxxf
b
a
1A
2A
3A
4A
四、定积分的几何意义积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
,
)(
几何意义：
.10 2dxx?
解 将 ]1,0[ n 等分，分点为 nix i?,( ni,,2,1 )
小区间 ],[ 1 ii xx? 的长度
n
x i 1,( ni,,2,1 )
取 ii x,( ni,,2,1 )
ii
n
i
xf )(
1
ii
n
i
x
2
1
,
1
2
i
n
i
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12
1
n
i
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1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
nnn
n
例 1 利用定义计算定积分
,121161 nn n0?
dxx?10 2 ii
n
i
x
2
10
l i m?
nnn 121161l i m,31?
例 2 利用定义计算定积分?
1
0
dxe x
解 xexf?)( 在 [0,1]上连续，故 f(x)在 [0,1]上可积为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点
nxn
i
ii
1,1 ni
i ef
1
)(
][1)(
121
0
1
n
n
nn
i
n
i
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等比数列
n
nn
e
e
n 1
1
1
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1
1
)1( 1
ne
ne
nn 0,1
11lim1lim
00
xxxx ee
x 11l i m
1
1
l i m
01
xx
n
n e
x
e
n
n
i
ii xf
10
)(li m
1
1
)1(l i m 1
n
n
e
ne
1 e例 3,设函数 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且取正值,
n
n n
nf
nfnf
21lim试证,10 )(ln dxxfe
证明 利用对数的性质得
n
n n
nf
nfnf
21lim
n
n n
nf
nfnfe?
21l i mln
极限运算与对数运算换序得
n
n n
nf
nfnfe?
21lnlim
n
if
n
n
ine 1
ln1l i m
nn
ifn
ine
1lnl i m
1
指数上可理解为,)(ln xf 在 ]1,0[ 区间上的一个积分和,分点为 nix i?,（ ni,,2,1 ）
因为 )( xf 在区间 ]1,0[ 上连续，且 0)(?xf
所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意义且可积,
nn
ifn
in
1lnl i m
1
1
0 )(ln dxxf
n
n n
nf
nfnf
21lim,1
0
)(ln dxxfe故观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
13
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
23
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
33
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
43
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
53
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
63
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
73
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
83
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
93
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
103
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
113
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
１．定积分的实质,特殊和式的极限．
分、粗、和、精
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零求和 积零为整取极限 精确值 —— 定积分求近似以直（不变）代曲（变）
取极限五、小结将和式极限,
n
n
nnnn
)1(s i n2s i ns i n1lim?
表示成定积分,
思考题解答
n
n
n
n
nnnn s i n
)1(s i n2s i ns i n1lim?
n
in n
i
n 1 s i n
1lim
nn
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1 s inlim
1
ix?i?.s i n1
0?
xdx
思考题练 习 题一,填空题：
1,函数 )( xf 在ba,上的定积分是积分和的极限，
即?
b
a
dxxf )( ____ ______ ___ ____,
2,定积分的值只与 ______ 及 ___ ____ 有关，而与
____ _____ 的记法无关,
3,定积分的几何意义是 _ ______ ___ ______ ______ _,
4,区间
ba,
长度的定积分表示是 ___ ______ __ _ _,
二,利用定积分的定义计算由抛物线,1
2
xy 两直线
)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积,
三,利用定积分的定义计算积分?
b
a
xdx,)( ba?,
四,利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1,
4
1
1
0
2
dxx ;
2,
2
0
2
2
co s2co s xdxxdx ;
五,水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的是压强 P 的水深 h
函数，且有
)(8.9
2
米千米hp?,若闸门高 米3?H,宽米2?L
，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力
P
（见教材图 5-3 ）,
练习题答案一,1,?
n
i
ii
xf
1
0
)(lim?；
2,被积函数,积分区间,积分变量；
3,介于曲线 )( xfy?,轴x,直线 bxax,之间各部分面积的代数和；
4,
b
a
dx,
二,abab )(
3
1
33
.
三,)(
2
1
22
ab?,
五,88.2( 千牛 ).
