广义积分在前面所讨论的定积分事实上是有条件的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广
：无穷区间上的积分 —— 无穷限积分，无界函数在有限区间上的积分 —— 无界函数积分或瑕积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论过的定积分称为常义积分。
定义 1 设函数 )( xf 在区间 ),[a 上连续，取
ab?,如果极限?
b
ab
dxxf )(l i m 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[a 上的广义积分，记作?
a
dxxf )(,
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
一、无穷限的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b 上连续，取
ba?,如果极限?
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b 上的广义积分，记作?
b
dxxf )(,
b dxxf )( baa dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ),( 上连续,如果广义积分?
0
)( dxxf 和
0
)( dxxf 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( 上的广义积分，记作
dxxf )(,
0 )(lim aa dxxf bb dxxf0 )(l i m
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散,
.1 2 xdx
解
21 x
dx?
0
21 x
dx
0 21 x
dx
0 21 1l i m aa dxx bb dxx0 21 1l i m
0a r ct a nlim aa xbb x 0a r ct a nlim
aa a r c t a nl i m bb a r c t a nli m,22
例 2 计算广义积分,1s i n12 2?
dxxx
解
2
1s in1
2 dxxx?
2 11s i n xdx
例 1 计算广义积分
bb xdx2 11s i nlim
b
b x
2
1coslim
2
c o s1c o slim?b
b,1?
例 3 证明广义积分?
1
1
dx
x p
当 1?p 时收敛,
当 1?p 时发散,
证,1)1(?p1 1 dxx p 1 1 dxx 1ln x,
,1)2(?p1 1 dxx p
1
1
1 p
x p
1,
1
1
1,
p
p
p
因此当 1?p 时广义积分收敛，其值为
1
1
p；
当 1?p 时广义积分发散,例 4 证明广义积分?
a
px dxe 当 0?p 时收敛,
当 0?p 时发散,
证
a
px dxe
b
a
px
b dxel i m
b
a
px
b p
e
l i m
p
e
p
e pbpa
b
lim
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在点 a 的右邻域内无界．取 0,如果极限
b
a
dxxf
)(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ],( ba 上的广义积分，记作?
b
a
dxxf )(,
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
二、无界函数的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的左邻域内无界,取 0,如果极限
b
a
dxxf )(l i m
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的广义积分，
记作?
b
a
dxxf )(
b
a
dxxf )(l i m
0
.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac 外连续，而在点 c 的邻域内无界,如果两个广义积分
c
a
dxxf )( 和?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(lim 0 bc dxxf )(l i m 0
否则，就称广义积分? ba dxxf )( 发散,
定义中 c为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
例 5 计算广义积分 ).0(
0 22
axa dxa
解,1lim
220 xaax?
ax 为被积函数的无穷间断点,
a xa dx0 22 a xa dx0 220lim
a
a
x
00
a r c s i nl i m?
0a r c s i nlim
0 a
a?
.2例 6 证明广义积分
1
0
1
dx
x q
当 1?q 时收敛，当
1?q 时发散,
,1)1(?q?10 1 dxx q 10 1 dxx10ln x?,
,1)2(?q?10 1 dxx q
1
0
1
1
q
x q
1,
1
1
1,
q
q
q证因此当 1?q 时广义积分收敛，其值为
q?1
1；
当 1?q 时广义积分发散,
例 7 计算广义积分,ln
2
1? xx
dx
解?21 ln xxdx
21
0 ln
l i m?
xx
dx
210 ln )( l nl i m xxd 210 )l n ( l nl i m x
))1l n ( l n ()2l n ( l nlim 0
. 故原广义积分发散,
.
)1(
3
0 32x
dx
1?x 瑕点解
3
0 32)1( x
dx
10 31 32)1()( x dx
10 32)1( x dx 100 32)1(l i m x dx3?
31 32)1( x dx 310 32)1(lim x dx,23 3
30 32)1( x dx ).21(3 3
例 8 计算广义积分注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，
它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
广义积分中,N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。
如 无穷限积分
a aFFdxxf )()()(b FbFdxxf )()()(
a a v d uauvud v )(
再如 瑕积分
)0()()( aFbFdxxfba )()0()( aFbFdxxfba
ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()(
)()0()0()( aFcFcFbF
ba ba v d ua buvud v 0)(
0
2 )1)(1(
1 无关并求其值与?
dxxxI
例 9。证明证 dx
xx
I?
0
2 )1)(1(
1
dx
xx
1
0 1
2 )1)(1(
1
21 II
dx
xx
I?
1
0
21 )1)(1(
1
)
1(
t
x?令
dt
tt
t
1
2 )1)(1(?
21 III
dx
xx
dx
xx
x
1
2
1
2
)1)(1(
1
)1)(1(
41
1
1
2
dx
x
无穷限的广义积分
dxxf )(b dxxf )(a dxxf )(
无界函数的广义积分（ 瑕积分 ）?ba dxxf )(
（ 注意,不能忽略内部的瑕点）
ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
思考题积分 的瑕点是哪几点？?10 1ln dxx x
三、小结积分 可能的瑕点是10 1ln dxx x 1,0 xx
1
lnlim
1 x
x
x
,11lim
1
xx 1 x
不是瑕点,
10 1ln dxx x的瑕点是,0?x
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,广义积分?
1
p
x
dx
当 _______ 时收敛；当 ___ ___ 时发散；
2,广义积分?
1
0
q
x
dx
当 _______ 时收敛；当 ___ ____ 时发散；
3,广义积分
2
)(l n
k
xx
dx
在 ______ 时收敛；在 ____ ___
时发散；
4,广义积分 dxxx 21 =____ ；
5,广义积分?
1
0 21 x
x d x
___ __ _ __ ；
6,广义积分?
x
dttf )( 的几何意义是 ______ __ ___ __ _
___ ___ _ ___ __ ___ _ ___ __ ___,
二,判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：
1,?
0
co s h t d te
pt
)1(?p ； 2,?
22
2
xx
dx；
3,?
0
dxex
xn
（ 为自然数n ）； 4,?
2
0
2
)1( x
dx；
5,
2
1
1x
x d x； 6,
0
22
)1(
ln
dx
x
xx；
7,
1
0
ln xdx
n
.
三,求当 为何值时k,广义积分 )(
)(
ab
ax
dxb
a
k
收敛？又为何值时k
，这广义积分发散？
四,已知
x
xx
x
xf
2,1
20,
2
1
0,0
)(,试用分段函数表示
x
dttf )(,
练习题答案一,1,1,1 pp ； 2,1,1 qq ； 3,1,1 kk ；
4,发散； 5,1 ； 6,过点 轴平行于 yx 的直线左边,曲线 )( xfy? 轴和 x 所围图形的面积,
二,1,
1
2
p
p； 2,? ； 3,!n ； 4,发散；
5,
3
2
2 ； 6,0 ； 7,!)1( n
n
.
三、当 1?k 时收敛于
k
ab
k
1
)(
1
1； 当 1?k 时发散,
四、
xx
xx
x
dttf
x
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2
.
：无穷区间上的积分 —— 无穷限积分，无界函数在有限区间上的积分 —— 无界函数积分或瑕积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论过的定积分称为常义积分。
定义 1 设函数 )( xf 在区间 ),[a 上连续，取
ab?,如果极限?
b
ab
dxxf )(l i m 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[a 上的广义积分，记作?
a
dxxf )(,
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
一、无穷限的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b 上连续，取
ba?,如果极限?
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b 上的广义积分，记作?
b
dxxf )(,
b dxxf )( baa dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ),( 上连续,如果广义积分?
0
)( dxxf 和
0
)( dxxf 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( 上的广义积分，记作
dxxf )(,
0 )(lim aa dxxf bb dxxf0 )(l i m
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散,
.1 2 xdx
解
21 x
dx?
0
21 x
dx
0 21 x
dx
0 21 1l i m aa dxx bb dxx0 21 1l i m
0a r ct a nlim aa xbb x 0a r ct a nlim
aa a r c t a nl i m bb a r c t a nli m,22
例 2 计算广义积分,1s i n12 2?
dxxx
解
2
1s in1
2 dxxx?
2 11s i n xdx
例 1 计算广义积分
bb xdx2 11s i nlim
b
b x
2
1coslim
2
c o s1c o slim?b
b,1?
例 3 证明广义积分?
1
1
dx
x p
当 1?p 时收敛,
当 1?p 时发散,
证,1)1(?p1 1 dxx p 1 1 dxx 1ln x,
,1)2(?p1 1 dxx p
1
1
1 p
x p
1,
1
1
1,
p
p
p
因此当 1?p 时广义积分收敛，其值为
1
1
p；
当 1?p 时广义积分发散,例 4 证明广义积分?
a
px dxe 当 0?p 时收敛,
当 0?p 时发散,
证
a
px dxe
b
a
px
b dxel i m
b
a
px
b p
e
l i m
p
e
p
e pbpa
b
lim
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在点 a 的右邻域内无界．取 0,如果极限
b
a
dxxf
)(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ],( ba 上的广义积分，记作?
b
a
dxxf )(,
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
二、无界函数的广义积分类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的左邻域内无界,取 0,如果极限
b
a
dxxf )(l i m
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的广义积分，
记作?
b
a
dxxf )(
b
a
dxxf )(l i m
0
.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac 外连续，而在点 c 的邻域内无界,如果两个广义积分
c
a
dxxf )( 和?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(lim 0 bc dxxf )(l i m 0
否则，就称广义积分? ba dxxf )( 发散,
定义中 c为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
例 5 计算广义积分 ).0(
0 22
axa dxa
解,1lim
220 xaax?
ax 为被积函数的无穷间断点,
a xa dx0 22 a xa dx0 220lim
a
a
x
00
a r c s i nl i m?
0a r c s i nlim
0 a
a?
.2例 6 证明广义积分
1
0
1
dx
x q
当 1?q 时收敛，当
1?q 时发散,
,1)1(?q?10 1 dxx q 10 1 dxx10ln x?,
,1)2(?q?10 1 dxx q
1
0
1
1
q
x q
1,
1
1
1,
q
q
q证因此当 1?q 时广义积分收敛，其值为
q?1
1；
当 1?q 时广义积分发散,
例 7 计算广义积分,ln
2
1? xx
dx
解?21 ln xxdx
21
0 ln
l i m?
xx
dx
210 ln )( l nl i m xxd 210 )l n ( l nl i m x
))1l n ( l n ()2l n ( l nlim 0
. 故原广义积分发散,
.
)1(
3
0 32x
dx
1?x 瑕点解
3
0 32)1( x
dx
10 31 32)1()( x dx
10 32)1( x dx 100 32)1(l i m x dx3?
31 32)1( x dx 310 32)1(lim x dx,23 3
30 32)1( x dx ).21(3 3
例 8 计算广义积分注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，
它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
广义积分中,N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。
如 无穷限积分
a aFFdxxf )()()(b FbFdxxf )()()(
a a v d uauvud v )(
再如 瑕积分
)0()()( aFbFdxxfba )()0()( aFbFdxxfba
ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()(
)()0()0()( aFcFcFbF
ba ba v d ua buvud v 0)(
0
2 )1)(1(
1 无关并求其值与?
dxxxI
例 9。证明证 dx
xx
I?
0
2 )1)(1(
1
dx
xx
1
0 1
2 )1)(1(
1
21 II
dx
xx
I?
1
0
21 )1)(1(
1
)
1(
t
x?令
dt
tt
t
1
2 )1)(1(?
21 III
dx
xx
dx
xx
x
1
2
1
2
)1)(1(
1
)1)(1(
41
1
1
2
dx
x
无穷限的广义积分
dxxf )(b dxxf )(a dxxf )(
无界函数的广义积分（ 瑕积分 ）?ba dxxf )(
（ 注意,不能忽略内部的瑕点）
ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
思考题积分 的瑕点是哪几点？?10 1ln dxx x
三、小结积分 可能的瑕点是10 1ln dxx x 1,0 xx
1
lnlim
1 x
x
x
,11lim
1
xx 1 x
不是瑕点,
10 1ln dxx x的瑕点是,0?x
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,广义积分?
1
p
x
dx
当 _______ 时收敛；当 ___ ___ 时发散；
2,广义积分?
1
0
q
x
dx
当 _______ 时收敛；当 ___ ____ 时发散；
3,广义积分
2
)(l n
k
xx
dx
在 ______ 时收敛；在 ____ ___
时发散；
4,广义积分 dxxx 21 =____ ；
5,广义积分?
1
0 21 x
x d x
___ __ _ __ ；
6,广义积分?
x
dttf )( 的几何意义是 ______ __ ___ __ _
___ ___ _ ___ __ ___ _ ___ __ ___,
二,判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：
1,?
0
co s h t d te
pt
)1(?p ； 2,?
22
2
xx
dx；
3,?
0
dxex
xn
（ 为自然数n ）； 4,?
2
0
2
)1( x
dx；
5,
2
1
1x
x d x； 6,
0
22
)1(
ln
dx
x
xx；
7,
1
0
ln xdx
n
.
三,求当 为何值时k,广义积分 )(
)(
ab
ax
dxb
a
k
收敛？又为何值时k
，这广义积分发散？
四,已知
x
xx
x
xf
2,1
20,
2
1
0,0
)(,试用分段函数表示
x
dttf )(,
练习题答案一,1,1,1 pp ； 2,1,1 qq ； 3,1,1 kk ；
4,发散； 5,1 ； 6,过点 轴平行于 yx 的直线左边,曲线 )( xfy? 轴和 x 所围图形的面积,
二,1,
1
2
p
p； 2,? ； 3,!n ； 4,发散；
5,
3
2
2 ； 6,0 ； 7,!)1( n
n
.
三、当 1?k 时收敛于
k
ab
k
1
)(
1
1； 当 1?k 时发散,
四、
xx
xx
x
dttf
x
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2
.
