无线通信工程姚彦教授清华大学微波与数字通信国家重点实验室
2001年 11月 17日第四讲：基带传输
引言
数字信息表示法
基带传输过程
功率谱密度
奈奎斯特准则
最佳检测准则
比特差错率引 言
什么叫基带传输？
数字信号的电脉冲不对载波进行调制，直接送往信道进行传输的方法，叫基带传输。
无线通信为什么要讨论基带传输？
1、一个载波传输系统，在调制前与解调后所进行的信号变换过程，如：编码、译码、
滤波、判决、抽样、再生，和基带传输过程十分相似。基带传输的方法完全可以用于载波传输。
2、载波传输系统在一定条件下完全可以用等效基带传输系统来代替。有关基带传输系统的一些分析结果，如：功率谱密度、比特差错率可以推广到载波传输系统。
数字信息的表示法数字信息可以用 抽象代码 或 传输代码 来表示
抽象代码
一组数字或文字符号；
记为,是一组随机序列；
Ik 表示码元,k表示序号，
Ik所能取得的各个符号值为符号集,
在满足马尔可夫过程时，
其统计特性完全可以由状态概率 pi(i = 1,2,…..,M)
及转移概率 pi,j(n) (i,j =
1,2 ……,M) 来描述。
二进制抽象代码举例：
0,1
＋ 1，－ 1
S0,S1
kI
MiS i,.....,2,1,?
传输代码
一组电脉冲波形；
记为 u(t) =,
是一个随机过程；
uk (t)表示在
kTS?t?(k+1)TS时隙中的 码元,k表示序号；
uk (t)所能取得的各个波形组成为波形集,
传输代码和抽象代码的映射关系
二进制传输代码举例：
非归零码、归零码
k
k tu )(
Mitg i,.....,2,1),(?
多进制在数字通信系统中，为了提高传输效率，往往采用多进制。
最常用的多进制为 2l进制，即二进制、四进制、
八进制，等等。
一个多进制抽象代码可以表示成多进制数，也可以表示成二进制数组。
如,0 1 2 3
00 01 10 11
信息量在不考虑传输误差情况下，一个随机等概分布的 M进制码元所包含的信息量：
I ＝ log2(M) 比特
码元速率 （符号速率、
键控速率、数码率）：
？波特（ Baud)
信息速率 （比特率）：
？比特 /秒（ bits/s)
基带传输过程
基带传输 过程,发端滤波器、基带信道、噪声与干扰、收端滤波器、再生器
传输过程的畸变：干扰与噪声、波形失真
再生器的作用
什么叫 眼图？
如何观察眼图？
眼图质量的几个重要参数：
－－眼图开启度
－－眼皮厚度
－－交叉点发散度
比特差错率（ BER）
－各种叫法：误码率、
误字率、码元差错率、
比特差错率、符号差错率
－发生差错的原因
－差错的计算及测量
－ BER和 Eb/N0的关系曲线功率谱密度定义
平稳随机过程的功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换。
数字信息的抽象代码是平稳的随机序列，但映射成传输代码，却不是平稳的随机过程。
传输代码的自相关函数在一个码元内和时间起点有关，即：
R(t1+kTs,t2+KTs)＝ R(t1,t2)
并呈现周期性，称为 广义周期平稳随机过程 。
求出平均自相关函数：
其中,t=t1,?=t2-t1。
对此进行傅里叶变换，得到平均的功率谱密度,
2/
2/
1 ),()(
S
S
S
T
T
T dttRR
deRfS fj
uu
2)()(
计算方法之一
u(t)的自相关函数：
Ru(t,t+?) =
E(u*(t)u(t+? ))
在一个周期中求平均：
进行傅里叶变换：
其中 Gi(f)为 gi(t)的傅里叶变换,Rik(l)为 aim和
ai(m+l)的互相关。
自相关函数法多进制数字信号可以写成：
其中（ a1n,a2n,……,aMn)是抽象代码 In对应的随机变量组,gi(t),i=1,2,…,M是相应的波形集。设 In是一个马尔可夫过程，其状态概率为 pi,i=1,2,…,M，
转移概率为 pi,k(l),i或
k=1,2,…,M
n
M
i
Siin nTtgatu
1
)()(
dtttRTR
S
S
T
T
u
S
u ),(
1)( 2/
2/
l
M
i
M
k
Tjl
kiik
S
u sefGfGlRTfS
1 1
* )()()(1)(?
计算方法之一（续）
得到：
存在线谱和连续谱
线谱不存在的充分必要条件：
功率谱密度的一般表达式
特例：纯随机数字信号转移概率退化为状态概率
pik(l) = pk
M
i
M
K l
Tjll
ikkii
S
M
i
ii
S
u
SepfGfGp
T
fGp
T
fS
1 1 1
)(*
2
1
)()(Re
2
)(
1
)(
M
i
M
k
kiki
S
M
i
iii
S
N
s
M
i
sii
S
u
fGfGpp
T
fGpp
T
NffNfGp
T
fS
1 1
*
1
2
2
1
2
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2
)()1(
1
)()(
1
)(?
M
i
ii
M
i
Sii
tgp
NfGp
1
1
0)(,
0)(
或计算方法之二
样本函数 uT(t)的功率密度
对此随机过程进行统计平均
可以证明，
样本统计法先证明可行性。
从随机过程 u(t)中截取一段
取 uT(t)的傅里叶变换
计算 uT(t)的平均功率
Tt Tttutu T,0 ),()(
dtetufU ftj
TT
2)()（
df
T
fU
tu
T
dttu
T
P
T
T
T
T
Tu
2
)(
)(
2
1
)(
2
1
2
22
TfUfS Tu T 2/)()( 2?
TfUEfSE Tu T 2/)()( 2?
)()(lim fSfSE uuT T
计算方法之二 (续）
特例：二进制随机数字信号其中 Ik是平稳、遍历、纯随机的二进制序列，以 p1的概率取 1，以 p0的概率取 0，
p1+p0=1
从 u(t)中截取 (－ KTS,KTS)一段，
分成二部分：
u(t,T)=?(t,T)+?(t,T)
其中,?(t,T)＝ E(u(t,T))
(t,T)=u(t,T)-?(t,T)
k Sksk
kTtgIkTtgItu )()1()()( 01
用样本统计法计算?(t)的功率谱密度：
用样本统计法计算?(t)的功率谱密度：
讨论：线谱、连续谱
N sssS NffNfGpNfGpTfS )()()(1)( 200112
2
0111 )()()1(
1)( fGfGpp
TfS S
举例
单极性基带信号
波形集：
g1(t)=g(t),概率 1/2
g0(t)=0.概率 1/2
功率谱密度：
讨论
双极性基带信号
波形集：
g1(t)=g(t),概率 1/2
g0(t)=－ g(t),概率 1/2
功率谱密度：
如果 g(t)为幅度等于 A,码长为 TS的非归零脉冲,则：
2)(1)( fG
TfS Su?
2
2 s in)(
S
S
Su fT
fTTAfS
N
SS
S
S
u
NffNfG
T
fG
T
fS
)()(
4
1
)(
4
1
)(
2
2
2
奈奎斯特准则说明
奈奎斯特第一准则：
抽样点无失真准则，
或无码间串扰 （ ISI
Free)准则
奈奎斯特第二准则：
转换点无失真准则，
或无抖动 （ Jitter Free）
准则
奈奎斯特第三准则：
波形面积无失真准则。
数字信号在传输过程中产生二种畸变：叠加干扰与噪声，出现波形失真。
瑞典科学家哈利?奈奎斯特在 1928年为解决电报传输问题提出了数字波形在无噪声线性信道上传输时的无失真条件，称为奈奎斯特准则。
第一准则
理想低通滤波器频域响应
2/,0
2/,)( 020
S
S
ftj
S
ff
ffeThfH?
理想低通滤波器时域响应
)(
)(s in)(
0
0
0 ttf
ttfhth
S
S
第一准则（续）
第一准则的推广：
升余弦滚降滤波器
左图为频域响应
为滚降系数
时域响应：
2220 41
co ss i n)(
tf
tf
tf
tfhth
S
S
S
S
第二准则
第二准则表示在转换点无失真。
令传输信道的时域响应为 h(t),输入为冲激函数的随机序列，则满足第二准则的条件为：
1,0,0
1,0,)
2(
1
0 i
ihTiTth S
S
第二准则（续）
满足第二准则的频域响应为
其中?0＝ 2?fSt0,令
t0=0,有：
N
S
S
i
ji
N
i
ff
T
fTh
eiffH
，
2
2co s2
)2()1(
1
0
N
S
S
i
N
i
ff
T
fTh
iffH
，
2
2co s2
)2()1(
1?
第二准则（续）
同时满足第一准则和第二准则的滤波器
频域响应为?＝ 1升余弦滚降特性的滤波器。
带宽为,(－ fS,fS )
时域响应为?＝ 1升余弦滚降特性的滤波器。
时间为,(－ TS,TS )
满足第二准则的理想滤波器频域响应时域响应
N
N
S
S
ff
ffTfThfH
,0
,22co s2)( 0?
220 41
co s4)(
tf
tfhth
S
S
第三准则
第三准则：波形面积无失真准则。
第 n时隙的波形面积，只决定于该时隙码元的取值，
而和其它时隙的码元无关。
可以证明：满足第三准则的滤波器，是一个对矩形脉冲的输出响应满足第一准则的滤波器。
关系如下：
S
S
fT
fTfNfN
s i n)()( 13
第三准则（续）
第三准则滤波器的实用价值
由于一般的数字信号不可能是冲激响应，而是矩形脉冲，为了满足第一准则，实际上都需要采用第三准则滤波器。
有时把具有：
特性的滤波器称为网孔均衡器。
S
S
fT
fT
s in
最佳检测准则基带传输模型
HT (f) HR (f)+
u(t) v(t)
n0 (t)
)()()(
)()(
tntxtv
kTtItu
k
sk
dfefHfHth
kTthItx
ftj
RT
k
sk
2)()()(
)()(
并有：
在 t=t0时刻对 v(t)抽样，得到：
其中 n0是高斯噪声，均值为 0，方差为
以上假定系统满足奈奎斯特第一准则。
抽样点信噪比
000000 )()()( nxtntxtvv
dfefHfHIhIx
dffHN
ftj
RT
Rn
02
0000
2
0
2
)()(
)(
而：
X0为抽样点信号变量,n0为抽样点噪声变量。当 I0为双极性二进制码时，抽样点信噪比可以写成：
dffHN
dfefHfH
x
R
ftj
RT
n 2
0
2
2
2
2
0
)(
)()( 0?
＝
根据积分的施瓦兹不等式
有：
抽样点信噪比（续）
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf 22
2
)()()()(
dffHdffH
dfefHfH
RT
ftj
RT
22
2
2
)()(
)()( 0
－
此式相等的条件：
这时抽样点信噪比取得最大值：
02*0 )()( tfjTR efHCfH
00
2
2
*2
00
2
*
0
m a x
)(
)(
)()(
N
E
N
dffH
dffHCN
dffHCfH
s
T
T
TT
＝
令,C0＝ 1,t0＝ 0，
有：
收发滤波器满足共轭相等条件。
共轭匹配
结论：基带信号在 AWGN
信道上实现最佳检测的条件是收发滤波器共轭匹配，
这时抽样点的信噪比取得最大值，并等于归一化信噪比。
)()( * fHfH TR?
基带传输响应最佳化
基带传输的最佳响应是收发滤波器各为平方根奈奎斯特滤波器
收发滤波器响应：
)()()( 1 fNfHfH RT
比特差错率说明
比特差错率是数字信号传输的一项重要指标
下面讨论计算过程
计算时的假设
传输信道是 AWGN
信道
传输信道是线性信道
收发滤波器满足无码间串扰条件，并且共轭匹配双极性二进制码
接收端抽样点的电压
v0=x0+n0
服从高斯分布，均值为＋ h0，
－ h0,方差为?n2
v0的条件概率密度函数如上图所示
判决规则
误判区
计算平均比特差错率
0
2
2
0
0
0002
0
0001
2
1
2
1
2/
2
1
22
1
)1/(
)1/(
N
E
e r f c
e r f c
h
e r f c
dvIvpp
dvIvppP
b
n
e
单极性二进制码
计算过程同双极性二进制码
计算结果：
讨论
04
1
2
1
N
Ee r f cP b
e?
存在码间串扰
存在码间串扰时的比特差错率
定义码间串扰量
= h(t0-Ts) =h(t0+Ts)
比特差错率表达式其中,?＝ h02/?n2为抽样点信噪比,?＝?/h0为相对码间串扰量
2/21
2
1
2/21
2
1
2/
4
1
－＋
＋
er f c
er f cer f cP e
2001年 11月 17日第四讲：基带传输
引言
数字信息表示法
基带传输过程
功率谱密度
奈奎斯特准则
最佳检测准则
比特差错率引 言
什么叫基带传输？
数字信号的电脉冲不对载波进行调制，直接送往信道进行传输的方法，叫基带传输。
无线通信为什么要讨论基带传输？
1、一个载波传输系统，在调制前与解调后所进行的信号变换过程，如：编码、译码、
滤波、判决、抽样、再生，和基带传输过程十分相似。基带传输的方法完全可以用于载波传输。
2、载波传输系统在一定条件下完全可以用等效基带传输系统来代替。有关基带传输系统的一些分析结果，如：功率谱密度、比特差错率可以推广到载波传输系统。
数字信息的表示法数字信息可以用 抽象代码 或 传输代码 来表示
抽象代码
一组数字或文字符号；
记为,是一组随机序列；
Ik 表示码元,k表示序号，
Ik所能取得的各个符号值为符号集,
在满足马尔可夫过程时，
其统计特性完全可以由状态概率 pi(i = 1,2,…..,M)
及转移概率 pi,j(n) (i,j =
1,2 ……,M) 来描述。
二进制抽象代码举例：
0,1
＋ 1，－ 1
S0,S1
kI
MiS i,.....,2,1,?
传输代码
一组电脉冲波形；
记为 u(t) =,
是一个随机过程；
uk (t)表示在
kTS?t?(k+1)TS时隙中的 码元,k表示序号；
uk (t)所能取得的各个波形组成为波形集,
传输代码和抽象代码的映射关系
二进制传输代码举例：
非归零码、归零码
k
k tu )(
Mitg i,.....,2,1),(?
多进制在数字通信系统中，为了提高传输效率，往往采用多进制。
最常用的多进制为 2l进制，即二进制、四进制、
八进制，等等。
一个多进制抽象代码可以表示成多进制数，也可以表示成二进制数组。
如,0 1 2 3
00 01 10 11
信息量在不考虑传输误差情况下，一个随机等概分布的 M进制码元所包含的信息量：
I ＝ log2(M) 比特
码元速率 （符号速率、
键控速率、数码率）：
？波特（ Baud)
信息速率 （比特率）：
？比特 /秒（ bits/s)
基带传输过程
基带传输 过程,发端滤波器、基带信道、噪声与干扰、收端滤波器、再生器
传输过程的畸变：干扰与噪声、波形失真
再生器的作用
什么叫 眼图？
如何观察眼图？
眼图质量的几个重要参数：
－－眼图开启度
－－眼皮厚度
－－交叉点发散度
比特差错率（ BER）
－各种叫法：误码率、
误字率、码元差错率、
比特差错率、符号差错率
－发生差错的原因
－差错的计算及测量
－ BER和 Eb/N0的关系曲线功率谱密度定义
平稳随机过程的功率谱密度可以定义为自相关函数的傅里叶变换。
数字信息的抽象代码是平稳的随机序列，但映射成传输代码，却不是平稳的随机过程。
传输代码的自相关函数在一个码元内和时间起点有关，即：
R(t1+kTs,t2+KTs)＝ R(t1,t2)
并呈现周期性，称为 广义周期平稳随机过程 。
求出平均自相关函数：
其中,t=t1,?=t2-t1。
对此进行傅里叶变换，得到平均的功率谱密度,
2/
2/
1 ),()(
S
S
S
T
T
T dttRR
deRfS fj
uu
2)()(
计算方法之一
u(t)的自相关函数：
Ru(t,t+?) =
E(u*(t)u(t+? ))
在一个周期中求平均：
进行傅里叶变换：
其中 Gi(f)为 gi(t)的傅里叶变换,Rik(l)为 aim和
ai(m+l)的互相关。
自相关函数法多进制数字信号可以写成：
其中（ a1n,a2n,……,aMn)是抽象代码 In对应的随机变量组,gi(t),i=1,2,…,M是相应的波形集。设 In是一个马尔可夫过程，其状态概率为 pi,i=1,2,…,M，
转移概率为 pi,k(l),i或
k=1,2,…,M
n
M
i
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1
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S
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l
M
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1 1
* )()()(1)(?
计算方法之一（续）
得到：
存在线谱和连续谱
线谱不存在的充分必要条件：
功率谱密度的一般表达式
特例：纯随机数字信号转移概率退化为状态概率
pik(l) = pk
M
i
M
K l
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S
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或计算方法之二
样本函数 uT(t)的功率密度
对此随机过程进行统计平均
可以证明，
样本统计法先证明可行性。
从随机过程 u(t)中截取一段
取 uT(t)的傅里叶变换
计算 uT(t)的平均功率
Tt Tttutu T,0 ),()(
dtetufU ftj
TT
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df
T
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T
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计算方法之二 (续）
特例：二进制随机数字信号其中 Ik是平稳、遍历、纯随机的二进制序列，以 p1的概率取 1，以 p0的概率取 0，
p1+p0=1
从 u(t)中截取 (－ KTS,KTS)一段，
分成二部分：
u(t,T)=?(t,T)+?(t,T)
其中,?(t,T)＝ E(u(t,T))
(t,T)=u(t,T)-?(t,T)
k Sksk
kTtgIkTtgItu )()1()()( 01
用样本统计法计算?(t)的功率谱密度：
用样本统计法计算?(t)的功率谱密度：
讨论：线谱、连续谱
N sssS NffNfGpNfGpTfS )()()(1)( 200112
2
0111 )()()1(
1)( fGfGpp
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举例
单极性基带信号
波形集：
g1(t)=g(t),概率 1/2
g0(t)=0.概率 1/2
功率谱密度：
讨论
双极性基带信号
波形集：
g1(t)=g(t),概率 1/2
g0(t)=－ g(t),概率 1/2
功率谱密度：
如果 g(t)为幅度等于 A,码长为 TS的非归零脉冲,则：
2)(1)( fG
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奈奎斯特准则说明
奈奎斯特第一准则：
抽样点无失真准则，
或无码间串扰 （ ISI
Free)准则
奈奎斯特第二准则：
转换点无失真准则，
或无抖动 （ Jitter Free）
准则
奈奎斯特第三准则：
波形面积无失真准则。
数字信号在传输过程中产生二种畸变：叠加干扰与噪声，出现波形失真。
瑞典科学家哈利?奈奎斯特在 1928年为解决电报传输问题提出了数字波形在无噪声线性信道上传输时的无失真条件，称为奈奎斯特准则。
第一准则
理想低通滤波器频域响应
2/,0
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S
S
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S
ff
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理想低通滤波器时域响应
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第一准则（续）
第一准则的推广：
升余弦滚降滤波器
左图为频域响应
为滚降系数
时域响应：
2220 41
co ss i n)(
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S
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第二准则
第二准则表示在转换点无失真。
令传输信道的时域响应为 h(t),输入为冲激函数的随机序列，则满足第二准则的条件为：
1,0,0
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第二准则（续）
满足第二准则的频域响应为
其中?0＝ 2?fSt0,令
t0=0,有：
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第二准则（续）
同时满足第一准则和第二准则的滤波器
频域响应为?＝ 1升余弦滚降特性的滤波器。
带宽为,(－ fS,fS )
时域响应为?＝ 1升余弦滚降特性的滤波器。
时间为,(－ TS,TS )
满足第二准则的理想滤波器频域响应时域响应
N
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第三准则
第三准则：波形面积无失真准则。
第 n时隙的波形面积，只决定于该时隙码元的取值，
而和其它时隙的码元无关。
可以证明：满足第三准则的滤波器，是一个对矩形脉冲的输出响应满足第一准则的滤波器。
关系如下：
S
S
fT
fTfNfN
s i n)()( 13
第三准则（续）
第三准则滤波器的实用价值
由于一般的数字信号不可能是冲激响应，而是矩形脉冲，为了满足第一准则，实际上都需要采用第三准则滤波器。
有时把具有：
特性的滤波器称为网孔均衡器。
S
S
fT
fT
s in
最佳检测准则基带传输模型
HT (f) HR (f)+
u(t) v(t)
n0 (t)
)()()(
)()(
tntxtv
kTtItu
k
sk
dfefHfHth
kTthItx
ftj
RT
k
sk
2)()()(
)()(
并有：
在 t=t0时刻对 v(t)抽样，得到：
其中 n0是高斯噪声，均值为 0，方差为
以上假定系统满足奈奎斯特第一准则。
抽样点信噪比
000000 )()()( nxtntxtvv
dfefHfHIhIx
dffHN
ftj
RT
Rn
02
0000
2
0
2
)()(
)(
而：
X0为抽样点信号变量,n0为抽样点噪声变量。当 I0为双极性二进制码时，抽样点信噪比可以写成：
dffHN
dfefHfH
x
R
ftj
RT
n 2
0
2
2
2
2
0
)(
)()( 0?
＝
根据积分的施瓦兹不等式
有：
抽样点信噪比（续）
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf 22
2
)()()()(
dffHdffH
dfefHfH
RT
ftj
RT
22
2
2
)()(
)()( 0
－
此式相等的条件：
这时抽样点信噪比取得最大值：
02*0 )()( tfjTR efHCfH
00
2
2
*2
00
2
*
0
m a x
)(
)(
)()(
N
E
N
dffH
dffHCN
dffHCfH
s
T
T
TT
＝
令,C0＝ 1,t0＝ 0，
有：
收发滤波器满足共轭相等条件。
共轭匹配
结论：基带信号在 AWGN
信道上实现最佳检测的条件是收发滤波器共轭匹配，
这时抽样点的信噪比取得最大值，并等于归一化信噪比。
)()( * fHfH TR?
基带传输响应最佳化
基带传输的最佳响应是收发滤波器各为平方根奈奎斯特滤波器
收发滤波器响应：
)()()( 1 fNfHfH RT
比特差错率说明
比特差错率是数字信号传输的一项重要指标
下面讨论计算过程
计算时的假设
传输信道是 AWGN
信道
传输信道是线性信道
收发滤波器满足无码间串扰条件，并且共轭匹配双极性二进制码
接收端抽样点的电压
v0=x0+n0
服从高斯分布，均值为＋ h0，
－ h0,方差为?n2
v0的条件概率密度函数如上图所示
判决规则
误判区
计算平均比特差错率
0
2
2
0
0
0002
0
0001
2
1
2
1
2/
2
1
22
1
)1/(
)1/(
N
E
e r f c
e r f c
h
e r f c
dvIvpp
dvIvppP
b
n
e
单极性二进制码
计算过程同双极性二进制码
计算结果：
讨论
04
1
2
1
N
Ee r f cP b
e?
存在码间串扰
存在码间串扰时的比特差错率
定义码间串扰量
= h(t0-Ts) =h(t0+Ts)
比特差错率表达式其中,?＝ h02/?n2为抽样点信噪比,?＝?/h0为相对码间串扰量
2/21
2
1
2/21
2
1
2/
4
1
－＋
＋
er f c
er f cer f cP e
