2009-7-27 结构抗震设计 1
第三章 地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求
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第三章 课程内容
§ 3-1 概述
§ 3-2 单自由度弹性体系的地震反应
§ 3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用 —— 地震反应谱法
§ 3-4 多自由度弹性体系的地震反应
§ 3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 —— 振型分解反应谱法
§ 3-6 底部剪力法和时程分析法
§ 3-7 水平地震作用下的扭转效应
§ 3-8 结构的竖向地震作用
§ 3-9 结构自振周期的近似计算
§ 3-10 地震作用计算的一般规定
§ 3-11 结构抗震验算
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第三章重点、难点和基本要求重点和难点,
1,重要术语、概念、定义
2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算
3、底部剪力法
4、结构抗震验算基本要求：
掌握结构抗震验算基本方法
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§ 3-1 概述一、地震作用
1、地震作用与地震荷载
2、加速度反应谱
3、地震作用分析（求解）方法
4、地震作用分析 （求解） 方法的适用性二、地震反应
1、结构地震反应
2、结构地震反应分析（求解）方法三、地震作用分析和地震反应分析
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一、地震作用
1、地震作用与地震荷载
2、加速度反应谱
3、地震作用分析（求解）方法
4、地震作用分析 （求解） 方法的适用性
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1、地震作用与地震荷载地震释放的能量,以地震波的形式向四周扩散,地震波到达地面后引起地面运动,使地面原来处于静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动 。 在振动过程中所引起的结构上的惯性力称为地震作用 。
在振动过程中所引起的结构上的惯性力是一种能反映地震影响的等效荷载,所以地震作用可以理解为一种由于地震引起的间接作用于结构上的能反映地震影响的地震等效荷载 。
由于属于间接作用,不称为,地震荷载,,而称为
,地震作用,。
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2、加速度反应谱地震作用与一般静荷载不同,它不仅取决于地震烈度大小,而且与建筑结构的动力特性 (如结构自振周期,
阻尼等 )有密切关系 。 目前,在我国和其他许多国家的抗震设计规范中,广泛采用反应谱理论来确定地震作用,其中以加速度反应谱应用最多 。
加速度反应谱,就是单质点弹性体系在一定的地面运动作用下,最大反应加速度 (一般用相对值 )与体系自振周期的变化曲线 。 若已知体系的自振周期,利用反应谱曲线和相应计算公式,可很方便地确定体系的反应加速度,进而求出地震作用 。
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3、地震作用分析（求解）方法地震作用是很复杂的，地震作用不是直接作用在结构上的荷载，而是地面运动引起结构的惯性力；地震的地面运动，不仅有两个水平方向的运动分量，而且还有竖向分量以及转动分量；地震作用的发生和强度又具有很大的不确定性。因此，地震作用计算特别是建筑结构抗震设计的计算，应在符合结构地震反应特点和规律的基础上给予尽量的简化。由于结构类型和体型简单与复杂的差异等，所以在地震作用计算中又可分为简化方法和较为复杂的精细方法。与各类型结构相适应的地震作用分析方法可归纳如下：
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4、地震作用分析 （求解） 方法的适用性底部剪力法 不超过 40m的规则结构两个主轴的振型分解反应谱法一般的规则结构考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法质量和刚度分布明显不对称结构考虑竖向地震作用 8,9度时的大跨、长悬臂结构和 9度时的高层建筑一维或二维时程分析法的补充计算特殊不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑
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二、地震反应
1、结构地震反应
2、结构地震反应分析（求解）方法
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1、结构地震反应结构由地震引起的振动称为结构的地震反应,它包括地震在结构中引起的内力,变形,位移,速度和加速度等 。
要进行结构的抗震验算,必须先进行结构的地震作用和地震反应分析 。
结构的地震反应是一种动力反应，结构地震反应分析属于结构动力学的范畴，与静力分析相比要复杂得多，因为反应的大小不仅与外来干扰作用的大小及其随时间的变化规律有关，而且还取决于结构本身的动力特性 (如结构自振周期和阻尼等 )。由于地震时地面运动为一种随机过程，运动极不规则，而建筑结构是动力特性十分复杂的空间体系，故由地震引起的结构振动是一种很复杂的空间振动。在进行分析时，常须作出一系列简化的假定。
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2、结构地震反应分析（求解）方法目前在工程上求解结构地震反应的方法主要有两类：
1）、拟静力方法拟静力方法，或称等效荷载法，即通过反应谱理论将地震对房屋结构的影响，用等效的荷载来反映（即根据地震引起的房屋结构的最大加速度反应求出的惯性力），然后用静力方法计算结构在等效荷载作用下的内力及位移，再进行结构的抗震能力验算，从而使结构抗震计算这一动力问题转化成相当于静力荷载作用下的静力计算问题。
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2）、直接动力法直接动力法，即在选定的地震地面加速度作用下，用数值积分的方法直接求解结构体系时运动微分方程，求出结构反应与时间变化的关系，得出所谓时程曲线，故此法亦称时程分析法。该法要求结构体系的动力学模型比较精确，且整个计算过程只能依靠电子计算机来完成。
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三、地震作用分析和地震反应分析对结构而言，地震作用相当于外荷载，而地震反应
（效应、响应）相当于在外荷载作用下结构的反应
（效应、响应），包括 地震在结构中引起的内力、变形、位移、速度和加速度等。
要进行房屋结构的抗震验算，必须先进行房屋结构的地震反应分析，而要进行地震反应分析，又必须先确定地震作用的大小（等效地震荷载大小） 。
结构抗震设计和抗震验算的主要内容是,1、确定 地震作用大小（地震荷载大小）； 2、分析结构的地震反应；
3、结构 抗震验算
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§ 3-2 单自由度弹性体系的地震反应求单自由度弹性体系的地震反应就是求在地震动作用下，
地面位移 xg(t)(已知 )和结构相对于地面的相对位移 x(t)
（ 未知）之间的关系。
求单自由度弹性体系的地震作用（ F） 就是求在振动过程中所引起的体系上的惯性力 [用 xg(t)和 x(t)表示 ]，也即是找到 F和 x(t),也即 F和 xg(t)的关系。
xg(t) 和 F通过 x(t)由惯性力联系，这样，就可以由已知
xg(t) 得到 F； 而 xg(t)由 加速度反应谱 提供。
一、单自由度弹性体系二、单自由度弹性体系的运动方程三、单自由度弹性体系的自由振动 ----齐次微分方程通解四、单自由度弹性体系的强迫振动
----微分方程的特解
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一、单自由度弹性体系
1,单质点弹性体系
2,单自由度弹性体系
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1、单质点弹性体系某些简单的建筑结构,例如等高单层厂房,因其质量绝大部分集中于屋盖,故在进行地震反应分析时,可将该结构中参与振动的所有质量按动能等效的原理全部折算至屋盖,而将柱视作一无重量的弹性直杆,这样就形成了一个单质点弹性体系 。
又如水塔,因其质量绝大部分集中于塔顶储水柜处,故亦可按单质点体系来分析其振动 。
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2,单自由度弹性体系若忽略杆的轴向变形，当该体系只作水平单向振动时，
质点只有单向水平位移，故为一个单自由度弹性体系。
注意：单质点弹性体系和 单自由度弹性体系的区别
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二、单自由度弹性体系的运动方程为了研究单自由度弹性体系的水平地震反应,首先应建立体系在水平地震作用下的运动方程 。
如设地震时地面水平运动的位移为 xg(t),质点相对地面的水平位移为 x(t),它们皆为时间 t的函数,则质点的绝对位移为 xg(t)+x(t),而绝对加速度为：
)()( txtx g
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1、惯性力取质点作隔离体,由结构动力学可知,此时刻作用在它上面的力有三种,即惯性力,
弹性恢复力及阻尼力 。
1,惯性力为质点的质量 m与其绝对加速度的乘积：
式中负号表示惯性力的方向与绝对加速度的方向相反 。
)()( txtxmI g
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2、弹性恢复力和 3、阻尼力
2,弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的一种力,它是由质点支承杆弹性变形引起的,其大小与质点的相对位移 x(t)成正比,即,S=-kx(t)
式中 k—— 弹性直杆的刚度，即质点产生单位水平位移时，在质点上所需施加的水平力；
负号表示恢复力的方向总是和质点位移方向相反。
3,阻尼力是使结构体系振动逐渐衰减的力,反映了造成系统能量耗散的诸因素 (如材料内摩擦,构件连接处的摩擦,空气阻尼等 )的作用 。 通常采用便于计算的粘滞阻尼理论,即假定阻尼力的大小与质点的相对速度成正比,而力的方向与相对速度的方向相反,即：
式中 c—— 阻尼系数；
）（ txcD
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4、运动方程根据达朗贝尔原理，上述三个力构成一个平衡力系，故得平衡方程,I+D+S=0,即上述方程是在水平地震作用下质点的运动方程。其中 可由地震时地面加速度实测记录得到，而 x(t)为待求的位移反应。这一方程与动力学中单质点弹性体系在外加动力荷载 作用下的运动方程相同。
由此可知，单自由度体系在地面运动加速度 作用下的动力效应，与在质点上加一动力荷载 时所产生的动力效应相同。
上式可简化成式中：
为一常系数二阶非齐次线性微分方程，其通解由两部分组成，一为齐次解，一为特解。前者代表体系的自由振动，后者代表体系在地震作用下的强迫振动。
）（）（）（）（ txmtkxtxctxm g
）（ txg
)(txm g
）（ txg
)(txm g
）（）（ω）（ζω）（ txtxtxtx g 22
mk / kmcmc 22
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三、单自由度弹性体系的自由振动 ----齐次微分方程通解运动方程对应的齐次方程为,
上式为有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程，方程等号右边荷载项为零，表示体系在振动过程中无外部干扰作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响而引起的。上式的通解即为运动方程式的齐次解。
对于一般结构体系，其阻尼较小 (ζ<1),上式的解为,
式中：,B,C为积分常数，由运动初始条件确定。
若在初始时刻 t＝ 0时，体系的初始位移 x(0)＝ x0,初始速度，
，则可得,B= x0,
代入上式得,
上式就是有阻尼单自由度体系自由振动的解，即运动方程在给定的初始条件时的解答。
02 2 ）（ω）（ζω）（ txtxtx
）（）（ tCtBetx t s i nc o s
21
00 vx?）（?
00 xvC
）（）（ txvtxetx t s i nc o s 000
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讨论（ 1）
(1)当体系无阻尼 (ζ=0)时：
自由振动是简谐振动，振动一次所需要的时间 T称为自振周期，即为：
T=2π/ω
或自振周期的倒数即 f=1/T称为频率,如 T用秒 (s)表示,则 f的单位为 1
／ s,或称为赫兹 (Hz),它表示体系在每秒钟内的振动次数 。 若
ω=2π/T=2πf,
则 ω表示体系在 2π秒内的振动次数,称为无阻尼自振圆频率 。 ω单位为弧度／秒 (rad／ s)或 1／秒 (1／ s)。
由上式可知，自振周期只与体系的质量和刚度有关，质量越大，周期越长，而刚度越大，周期越短。自振周期是结构的一种固有属性，
是结构本身的一个很重要的动力特征。
kmT /2
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讨论（ 2）和（ 3）
(2)有阻尼单自由度体系的自由振动为按指数函数 衰减的等时振动。
其振幅随时间 t的增加而减小，且 ζ越大，振幅衰减越快；体系每振动一个循环的时间间隔是相等的，习惯上仍称此时间间隔为周期,即为有阻尼时的自振圆频率。
由式 可知，当阻尼系数 c增大至一定值时，即时,ζ=1,则,表示结构体系不发生振动，此时的阻尼系数
cr称为临界阻尼系数，它只取决于体系的质量 m和刚度 κ。
由于 表示结构的阻尼系数 c与临界阻尼系数 cr的比值，
故 ζ称为临界阻尼比，简称阻尼比。
(3)阻尼也是结构的一个重要动力特征，阻尼比是表示结构阻尼的参数。
对于实际的房屋结构，阻尼比 ζ一般为 0.01～ 0.1，通常取 ζ=0.05，
此时 =0.99875ω≈ω,在实际计算中可近似地取,
也就是说，在计算结构体系的自振圆频率或自振周期时，可不考虑阻尼的影响。
对单自由度弹性体系，均可按式 计算自振周期。
te
/2T
21
kmcmc 22 kmmcc 22
0
c
cmc 2
21
kmT /2
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四、单自由度弹性体系的强迫振动
----微分方程的特解
1．瞬时冲量及其引起的自由振动设一瞬时荷载作用于单质点体系，荷载作用时间 dt短暂，
则荷载 P与 dt的乘积，即 Pdt称为瞬时冲量。设体系原先处于静止状态，质点的位移和速度均为零，因此在瞬时冲量作用前后的时刻，其位移不会发生变化，而应为零。
所以在瞬时冲量作用后，质点的初位移 x0=0,但质点会获得初速度 v0,由于瞬时冲量的作用，质量为 m的质点的动量变化就是 m v0,根据动量定理，即 Pdt= m v0,故得 v0= Pdt/m
体系将在此初始条件下作自由振动，根据有阻尼单自由度体系自由振动的解，即由式得体系在任一时刻 t的位移,）（）（ t
xvtxetx t s i nc o s 00
0
tmP d tetx t s in）（
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2．杜哈默积分 ----微分方程的特解运动方程式 的等号右边项可视为作用于单位质量上的动力荷载，则该方程的特解就是由此动力荷载引起的单自由度体系强迫振动的解。
设地面运动加速度 随时间变化，将其划分成无数多个连续作用的瞬时荷载，在 t=τ时，此一瞬时荷载为,其作用时间为 dτ,则瞬时冲量为,体系由这一瞬时冲量所引起的位移可由式得到。只须将式中的 Pdt改为,并取 m=1，
同时将 t 改为 t-τ,这是因为上述瞬时冲量是在 t=τ时作用，而不是在 t=0
时作用，于是得微分位移将所有瞬时冲量引起的微分位移叠加，即可得体系在整个受荷过程中引起的总位移反应，故对上式从初始时刻 （ τ=0） 到 τ=t 进行积分，可得任一时刻 t的位移反应，即上式称为杜哈默 (Duhamel)积分，它就是所求的特解，它与齐次解的和就是运动方程式的通解。
当体系初始处于静止状态时，即初速度 v0和初位移 x0均为零，由式：
可知齐次解为零，故：
杜哈默积分（微分方程的特解）也就是地震发生前处于静止状态的单自由度体系地震位移反应的计算公式。
）（）（ω）（ζω）（ txtxtxtx g 22
）（ txg
）（?gx
dxg ）（
tmP d tetx t s in）（ dxg ）（
dtxetdx gt ）（）（）（ ）（ s i n
t tgt dtextdxtx 00 s i n1 ）（）（）（）（ ）（
）（）（ txvtxetx t s i nc o s 000
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§ 3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用
----地震反应谱法一、水平地震作用的计算公式二,建筑的重力荷载代表值三、抗震设计反应谱
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一、水平地震作用的计算公式地面水平运动时,作用于单自由度体系质点上的惯性力 F（ t） 为若考虑到 cx(t)<<kx(t)而略去不计,则得上式表明,在地震作用下,质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性力成正比,且比例系数为体系的刚度 k。 因此可以认为这一位移是由该瞬时的惯性力引起的,故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载 。
若考虑到,并取,则得水平地震作用,即在结构抗震设计中,只需求出 水平地震作用的最大绝对值,即质点质量 m与最大绝对加速度的乘积 。
）（）（）（ txtxmtF g
）（）（）（）（）（）（ tkxtkxtxctxtxmtF g
mk /
t tg dtexmtxmtF 02 s i n ）（）（）（）（ ）（
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计算水平地震作用最大值的基本公式设 F为水平地震作用最大值，则得或,这里，
令：,
代入上式，并以 FEK代替 F,则得计算水平地震作用的基本公式：
式中,FEK--水平地震作用标准值； Sa--质点加速度最大值；
----地震动峰值加速度； β----动力系数； k----地震系数；
α----地震影响系数； G----建筑的重力荷载代表值。
求作用在质点上的水平地震作用 FEK,关键在于求出地震系数 k和动力系数 β,或者是地震影响系数 α。
m a x0m a x s i nt tgg dtexmtxtxmF ）（）（）（）（ ）（
amSF? m a x0 s i nt tga dtexS ）（）（ ）（
m a xga xS kgxg?m a x
GGkgmkF EK
maxgx
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二,建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用 (惯性力 )的各种竖向荷载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物重力荷载的取值称为 重力荷载代表值 。《抗震规范》规定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重 (恒载 )标准值和各可变荷载 (活荷载 )组合值之和。各可变荷载的组合值系数 按规范取值 。
由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用组合值 (即组合值系数乘以可变荷载标准值 )，故建筑物的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的
“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定的，所以按式 计算得到的地震作用也是标准值。
GF
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组合值系数可变荷载种类 组合值系数雪荷载 0.5
屋面积灰荷载 0.5
屋面活荷载 不考虑按实际情况考虑的楼面活荷载 1.0
按等效均布活荷载考虑的楼面活荷载藏书库、档案库 0.8
其它民用建筑 0.5
吊车悬吊物重力 硬钩吊车 0.3
软钩吊车 不考虑
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三、抗震设计反应谱
1,地震系数 k
地震系数 是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。
显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以,地震系数与地震烈度 有关，都是地震强烈程度的参数。
例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是这次地震在该处的 k值 (以重力加速度 g为单位 )。
gtxk g /)( m a x
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设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系：
从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。
但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一度,k值大致增加一倍。
设防烈度 6 7 8 9
地震系数 0.05 0.10(0.15) 0.20(0.30) 0.40
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地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系表中设计基本地震加速度的取值与,中国地震动参数区划图,所规定的地震动峰值加速度相当 。
设防烈度与地震系数的对应关系地震系数 地震动峰值加速度地震系数 是地震动峰值加速度 （ 地面运动的最大绝对加速度 ） 与重力加速度的比值,也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度 。
抗震设防烈度 6 7 8 9
设计基本地震加速度 0.05g 0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
设防烈度 6 7 8 9
地震系数 0.05 0.10(0.15) 0.20(0.30) 0.40
g
txk g m a x)(
maxgx
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2、动力系数动力系数：
是单自由度弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面运动最大加速度的比值,表示由于动力效应,质点的最大绝对加速度比地面运动最大加速度放大了多少倍 。
β无量纲,其值与地震烈度无关,因为当 增大或减小时,Sa相应随之增大或减小 。 这样就可利用所有不同烈度的地震记录进行计算和统计 。
动力系数 β还可以表示为：
由上式可知,动力系数与地面运动加速度记录 的特征,结构的自振周期 T及阻尼比 ζ有关 。 当地面加速度记录 和阻尼比 ζ给定时,
就可根据不同的 T值算出动力系数 β,从而得到一条 β~T曲线 。 这条曲线就称为动力系数反应谱曲线 。
动力系数是单质点 m最大反应加速度 Sa与地面运动最大加速度之比,而 对于给定的地震是个定值,所以 β~T曲线实质上是一种加速度反应谱曲线 。
m a x/ ）（ txS ga
max）（ txg
m a x0
2
m a x
2s i n12t tT
g
g
dtTextxT ）（）（）（ ）（
)(txg
)(txg
m ax）（ txg
m ax）（ txg
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3、地震影响系数地震影响系数：
表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度 g为单位的最大反应加速度 。
地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比 （ ） 。
《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的，
其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）确定：
gSk a /
GFEK
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（ 1） 地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）
----地震影响系数； ----地震影响系数最大值；
----结构自振周期； ----特征周期（？？）；
----直线下降段的下降斜率调整系数；
----阻尼调整系数； ----衰减指数
max?
1?
T
2?
g T
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（ 2） 抗震设计反应谱的特征及参数取值
1） 曲线由四部分组成，其值也由 四部分构成 。
2） 结构自振周期
1、单自由度体系：
----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移
2、多质点体系：近似计算
3） 特征周期
4） 地震影响系数最大值,
5） 对应于阻尼比等于 0.05和不等于 0.05，抗震设计反应谱的形状参数（,,）不同：
即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随周期的增大而减小。
T
gGT /2
g T
max?
1? 2?
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设计特征周期规范规定,根据建筑工程的实际情况,将地震动反应谱特征周期 Tg,取名为,设计特征周期,。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境确定 。 （ 所谓地震环境,是指建筑物所在地区及周围可能发生地震的震源机制,震级大小,震中距远近以及建筑物所在地区的场地条件等 。 ）
抗震设计中,设计特征周期 Tg的取值根据,设计地震分组,确定 。
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设计地震分组
GB50011— 2001规范在附录 A中规定了县级及县级以上城镇的中心地区 (如城关地区 )的抗震设防烈度,设计基本地震加速度和所属的设计地震分组 。
特 征 周 期 Tg 值设计地震分组场地类别
Ⅰ Ⅱ Ⅲ IV
第一组 0.25 0.35 0.45 0.65
第二组 0.30 0.40 0.55 0.75
第三组 0.35 0.45 0.65 0.90
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水平地震影响系数最大值（阻尼比 0.05）
注：括号数字分别对应于 设计基本地震加速度 0.15g
和 0.30g地区的地震作用影响系数。
地 震影 响烈 度
6 7 8 9
多遇地震 0.04 0.08（ 0.12） 0.16（ 0.24） 0.32
罕遇地震 0.50（ 0.72） 0.90（ 1.20） 1.40
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设计基本地震加速度
1,设计基本地震加速度定义,50年设计基准期超越概率 10％ 的地震加速度设计取值 。
抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系表中设计基本地震加速度的取值与,中国地震动参数区划图,所规定的地震动峰值加速度相当 。
抗震设防烈度 6 7 8 9
设计基本地震加速度
0.05g 0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
第三章 地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求
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第三章 课程内容
§ 3-1 概述
§ 3-2 单自由度弹性体系的地震反应
§ 3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用 —— 地震反应谱法
§ 3-4 多自由度弹性体系的地震反应
§ 3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 —— 振型分解反应谱法
§ 3-6 底部剪力法和时程分析法
§ 3-7 水平地震作用下的扭转效应
§ 3-8 结构的竖向地震作用
§ 3-9 结构自振周期的近似计算
§ 3-10 地震作用计算的一般规定
§ 3-11 结构抗震验算
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第三章重点、难点和基本要求重点和难点,
1,重要术语、概念、定义
2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算
3、底部剪力法
4、结构抗震验算基本要求：
掌握结构抗震验算基本方法
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§ 3-1 概述一、地震作用
1、地震作用与地震荷载
2、加速度反应谱
3、地震作用分析（求解）方法
4、地震作用分析 （求解） 方法的适用性二、地震反应
1、结构地震反应
2、结构地震反应分析（求解）方法三、地震作用分析和地震反应分析
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一、地震作用
1、地震作用与地震荷载
2、加速度反应谱
3、地震作用分析（求解）方法
4、地震作用分析 （求解） 方法的适用性
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1、地震作用与地震荷载地震释放的能量,以地震波的形式向四周扩散,地震波到达地面后引起地面运动,使地面原来处于静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动 。 在振动过程中所引起的结构上的惯性力称为地震作用 。
在振动过程中所引起的结构上的惯性力是一种能反映地震影响的等效荷载,所以地震作用可以理解为一种由于地震引起的间接作用于结构上的能反映地震影响的地震等效荷载 。
由于属于间接作用,不称为,地震荷载,,而称为
,地震作用,。
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2、加速度反应谱地震作用与一般静荷载不同,它不仅取决于地震烈度大小,而且与建筑结构的动力特性 (如结构自振周期,
阻尼等 )有密切关系 。 目前,在我国和其他许多国家的抗震设计规范中,广泛采用反应谱理论来确定地震作用,其中以加速度反应谱应用最多 。
加速度反应谱,就是单质点弹性体系在一定的地面运动作用下,最大反应加速度 (一般用相对值 )与体系自振周期的变化曲线 。 若已知体系的自振周期,利用反应谱曲线和相应计算公式,可很方便地确定体系的反应加速度,进而求出地震作用 。
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3、地震作用分析（求解）方法地震作用是很复杂的，地震作用不是直接作用在结构上的荷载，而是地面运动引起结构的惯性力；地震的地面运动，不仅有两个水平方向的运动分量，而且还有竖向分量以及转动分量；地震作用的发生和强度又具有很大的不确定性。因此，地震作用计算特别是建筑结构抗震设计的计算，应在符合结构地震反应特点和规律的基础上给予尽量的简化。由于结构类型和体型简单与复杂的差异等，所以在地震作用计算中又可分为简化方法和较为复杂的精细方法。与各类型结构相适应的地震作用分析方法可归纳如下：
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4、地震作用分析 （求解） 方法的适用性底部剪力法 不超过 40m的规则结构两个主轴的振型分解反应谱法一般的规则结构考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法质量和刚度分布明显不对称结构考虑竖向地震作用 8,9度时的大跨、长悬臂结构和 9度时的高层建筑一维或二维时程分析法的补充计算特殊不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑
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二、地震反应
1、结构地震反应
2、结构地震反应分析（求解）方法
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1、结构地震反应结构由地震引起的振动称为结构的地震反应,它包括地震在结构中引起的内力,变形,位移,速度和加速度等 。
要进行结构的抗震验算,必须先进行结构的地震作用和地震反应分析 。
结构的地震反应是一种动力反应，结构地震反应分析属于结构动力学的范畴，与静力分析相比要复杂得多，因为反应的大小不仅与外来干扰作用的大小及其随时间的变化规律有关，而且还取决于结构本身的动力特性 (如结构自振周期和阻尼等 )。由于地震时地面运动为一种随机过程，运动极不规则，而建筑结构是动力特性十分复杂的空间体系，故由地震引起的结构振动是一种很复杂的空间振动。在进行分析时，常须作出一系列简化的假定。
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2、结构地震反应分析（求解）方法目前在工程上求解结构地震反应的方法主要有两类：
1）、拟静力方法拟静力方法，或称等效荷载法，即通过反应谱理论将地震对房屋结构的影响，用等效的荷载来反映（即根据地震引起的房屋结构的最大加速度反应求出的惯性力），然后用静力方法计算结构在等效荷载作用下的内力及位移，再进行结构的抗震能力验算，从而使结构抗震计算这一动力问题转化成相当于静力荷载作用下的静力计算问题。
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2）、直接动力法直接动力法，即在选定的地震地面加速度作用下，用数值积分的方法直接求解结构体系时运动微分方程，求出结构反应与时间变化的关系，得出所谓时程曲线，故此法亦称时程分析法。该法要求结构体系的动力学模型比较精确，且整个计算过程只能依靠电子计算机来完成。
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三、地震作用分析和地震反应分析对结构而言，地震作用相当于外荷载，而地震反应
（效应、响应）相当于在外荷载作用下结构的反应
（效应、响应），包括 地震在结构中引起的内力、变形、位移、速度和加速度等。
要进行房屋结构的抗震验算，必须先进行房屋结构的地震反应分析，而要进行地震反应分析，又必须先确定地震作用的大小（等效地震荷载大小） 。
结构抗震设计和抗震验算的主要内容是,1、确定 地震作用大小（地震荷载大小）； 2、分析结构的地震反应；
3、结构 抗震验算
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§ 3-2 单自由度弹性体系的地震反应求单自由度弹性体系的地震反应就是求在地震动作用下，
地面位移 xg(t)(已知 )和结构相对于地面的相对位移 x(t)
（ 未知）之间的关系。
求单自由度弹性体系的地震作用（ F） 就是求在振动过程中所引起的体系上的惯性力 [用 xg(t)和 x(t)表示 ]，也即是找到 F和 x(t),也即 F和 xg(t)的关系。
xg(t) 和 F通过 x(t)由惯性力联系，这样，就可以由已知
xg(t) 得到 F； 而 xg(t)由 加速度反应谱 提供。
一、单自由度弹性体系二、单自由度弹性体系的运动方程三、单自由度弹性体系的自由振动 ----齐次微分方程通解四、单自由度弹性体系的强迫振动
----微分方程的特解
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一、单自由度弹性体系
1,单质点弹性体系
2,单自由度弹性体系
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1、单质点弹性体系某些简单的建筑结构,例如等高单层厂房,因其质量绝大部分集中于屋盖,故在进行地震反应分析时,可将该结构中参与振动的所有质量按动能等效的原理全部折算至屋盖,而将柱视作一无重量的弹性直杆,这样就形成了一个单质点弹性体系 。
又如水塔,因其质量绝大部分集中于塔顶储水柜处,故亦可按单质点体系来分析其振动 。
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2,单自由度弹性体系若忽略杆的轴向变形，当该体系只作水平单向振动时，
质点只有单向水平位移，故为一个单自由度弹性体系。
注意：单质点弹性体系和 单自由度弹性体系的区别
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二、单自由度弹性体系的运动方程为了研究单自由度弹性体系的水平地震反应,首先应建立体系在水平地震作用下的运动方程 。
如设地震时地面水平运动的位移为 xg(t),质点相对地面的水平位移为 x(t),它们皆为时间 t的函数,则质点的绝对位移为 xg(t)+x(t),而绝对加速度为：
)()( txtx g
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1、惯性力取质点作隔离体,由结构动力学可知,此时刻作用在它上面的力有三种,即惯性力,
弹性恢复力及阻尼力 。
1,惯性力为质点的质量 m与其绝对加速度的乘积：
式中负号表示惯性力的方向与绝对加速度的方向相反 。
)()( txtxmI g
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2、弹性恢复力和 3、阻尼力
2,弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的一种力,它是由质点支承杆弹性变形引起的,其大小与质点的相对位移 x(t)成正比,即,S=-kx(t)
式中 k—— 弹性直杆的刚度，即质点产生单位水平位移时，在质点上所需施加的水平力；
负号表示恢复力的方向总是和质点位移方向相反。
3,阻尼力是使结构体系振动逐渐衰减的力,反映了造成系统能量耗散的诸因素 (如材料内摩擦,构件连接处的摩擦,空气阻尼等 )的作用 。 通常采用便于计算的粘滞阻尼理论,即假定阻尼力的大小与质点的相对速度成正比,而力的方向与相对速度的方向相反,即：
式中 c—— 阻尼系数；
）（ txcD
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4、运动方程根据达朗贝尔原理，上述三个力构成一个平衡力系，故得平衡方程,I+D+S=0,即上述方程是在水平地震作用下质点的运动方程。其中 可由地震时地面加速度实测记录得到，而 x(t)为待求的位移反应。这一方程与动力学中单质点弹性体系在外加动力荷载 作用下的运动方程相同。
由此可知，单自由度体系在地面运动加速度 作用下的动力效应，与在质点上加一动力荷载 时所产生的动力效应相同。
上式可简化成式中：
为一常系数二阶非齐次线性微分方程，其通解由两部分组成，一为齐次解，一为特解。前者代表体系的自由振动，后者代表体系在地震作用下的强迫振动。
）（）（）（）（ txmtkxtxctxm g
）（ txg
)(txm g
）（ txg
)(txm g
）（）（ω）（ζω）（ txtxtxtx g 22
mk / kmcmc 22
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三、单自由度弹性体系的自由振动 ----齐次微分方程通解运动方程对应的齐次方程为,
上式为有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程，方程等号右边荷载项为零，表示体系在振动过程中无外部干扰作用，振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响而引起的。上式的通解即为运动方程式的齐次解。
对于一般结构体系，其阻尼较小 (ζ<1),上式的解为,
式中：,B,C为积分常数，由运动初始条件确定。
若在初始时刻 t＝ 0时，体系的初始位移 x(0)＝ x0,初始速度，
，则可得,B= x0,
代入上式得,
上式就是有阻尼单自由度体系自由振动的解，即运动方程在给定的初始条件时的解答。
02 2 ）（ω）（ζω）（ txtxtx
）（）（ tCtBetx t s i nc o s
21
00 vx?）（?
00 xvC
）（）（ txvtxetx t s i nc o s 000
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讨论（ 1）
(1)当体系无阻尼 (ζ=0)时：
自由振动是简谐振动，振动一次所需要的时间 T称为自振周期，即为：
T=2π/ω
或自振周期的倒数即 f=1/T称为频率,如 T用秒 (s)表示,则 f的单位为 1
／ s,或称为赫兹 (Hz),它表示体系在每秒钟内的振动次数 。 若
ω=2π/T=2πf,
则 ω表示体系在 2π秒内的振动次数,称为无阻尼自振圆频率 。 ω单位为弧度／秒 (rad／ s)或 1／秒 (1／ s)。
由上式可知，自振周期只与体系的质量和刚度有关，质量越大，周期越长，而刚度越大，周期越短。自振周期是结构的一种固有属性，
是结构本身的一个很重要的动力特征。
kmT /2
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讨论（ 2）和（ 3）
(2)有阻尼单自由度体系的自由振动为按指数函数 衰减的等时振动。
其振幅随时间 t的增加而减小，且 ζ越大，振幅衰减越快；体系每振动一个循环的时间间隔是相等的，习惯上仍称此时间间隔为周期,即为有阻尼时的自振圆频率。
由式 可知，当阻尼系数 c增大至一定值时，即时,ζ=1,则,表示结构体系不发生振动，此时的阻尼系数
cr称为临界阻尼系数，它只取决于体系的质量 m和刚度 κ。
由于 表示结构的阻尼系数 c与临界阻尼系数 cr的比值，
故 ζ称为临界阻尼比，简称阻尼比。
(3)阻尼也是结构的一个重要动力特征，阻尼比是表示结构阻尼的参数。
对于实际的房屋结构，阻尼比 ζ一般为 0.01～ 0.1，通常取 ζ=0.05，
此时 =0.99875ω≈ω,在实际计算中可近似地取,
也就是说，在计算结构体系的自振圆频率或自振周期时，可不考虑阻尼的影响。
对单自由度弹性体系，均可按式 计算自振周期。
te
/2T
21
kmcmc 22 kmmcc 22
0
c
cmc 2
21
kmT /2
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四、单自由度弹性体系的强迫振动
----微分方程的特解
1．瞬时冲量及其引起的自由振动设一瞬时荷载作用于单质点体系，荷载作用时间 dt短暂，
则荷载 P与 dt的乘积，即 Pdt称为瞬时冲量。设体系原先处于静止状态，质点的位移和速度均为零，因此在瞬时冲量作用前后的时刻，其位移不会发生变化，而应为零。
所以在瞬时冲量作用后，质点的初位移 x0=0,但质点会获得初速度 v0,由于瞬时冲量的作用，质量为 m的质点的动量变化就是 m v0,根据动量定理，即 Pdt= m v0,故得 v0= Pdt/m
体系将在此初始条件下作自由振动，根据有阻尼单自由度体系自由振动的解，即由式得体系在任一时刻 t的位移,）（）（ t
xvtxetx t s i nc o s 00
0
tmP d tetx t s in）（
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2．杜哈默积分 ----微分方程的特解运动方程式 的等号右边项可视为作用于单位质量上的动力荷载，则该方程的特解就是由此动力荷载引起的单自由度体系强迫振动的解。
设地面运动加速度 随时间变化，将其划分成无数多个连续作用的瞬时荷载，在 t=τ时，此一瞬时荷载为,其作用时间为 dτ,则瞬时冲量为,体系由这一瞬时冲量所引起的位移可由式得到。只须将式中的 Pdt改为,并取 m=1，
同时将 t 改为 t-τ,这是因为上述瞬时冲量是在 t=τ时作用，而不是在 t=0
时作用，于是得微分位移将所有瞬时冲量引起的微分位移叠加，即可得体系在整个受荷过程中引起的总位移反应，故对上式从初始时刻 （ τ=0） 到 τ=t 进行积分，可得任一时刻 t的位移反应，即上式称为杜哈默 (Duhamel)积分，它就是所求的特解，它与齐次解的和就是运动方程式的通解。
当体系初始处于静止状态时，即初速度 v0和初位移 x0均为零，由式：
可知齐次解为零，故：
杜哈默积分（微分方程的特解）也就是地震发生前处于静止状态的单自由度体系地震位移反应的计算公式。
）（）（ω）（ζω）（ txtxtxtx g 22
）（ txg
）（?gx
dxg ）（
tmP d tetx t s in）（ dxg ）（
dtxetdx gt ）（）（）（ ）（ s i n
t tgt dtextdxtx 00 s i n1 ）（）（）（）（ ）（
）（）（ txvtxetx t s i nc o s 000
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§ 3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用
----地震反应谱法一、水平地震作用的计算公式二,建筑的重力荷载代表值三、抗震设计反应谱
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一、水平地震作用的计算公式地面水平运动时,作用于单自由度体系质点上的惯性力 F（ t） 为若考虑到 cx(t)<<kx(t)而略去不计,则得上式表明,在地震作用下,质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性力成正比,且比例系数为体系的刚度 k。 因此可以认为这一位移是由该瞬时的惯性力引起的,故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载 。
若考虑到,并取,则得水平地震作用,即在结构抗震设计中,只需求出 水平地震作用的最大绝对值,即质点质量 m与最大绝对加速度的乘积 。
）（）（）（ txtxmtF g
）（）（）（）（）（）（ tkxtkxtxctxtxmtF g
mk /
t tg dtexmtxmtF 02 s i n ）（）（）（）（ ）（
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计算水平地震作用最大值的基本公式设 F为水平地震作用最大值，则得或,这里，
令：,
代入上式，并以 FEK代替 F,则得计算水平地震作用的基本公式：
式中,FEK--水平地震作用标准值； Sa--质点加速度最大值；
----地震动峰值加速度； β----动力系数； k----地震系数；
α----地震影响系数； G----建筑的重力荷载代表值。
求作用在质点上的水平地震作用 FEK,关键在于求出地震系数 k和动力系数 β,或者是地震影响系数 α。
m a x0m a x s i nt tgg dtexmtxtxmF ）（）（）（）（ ）（
amSF? m a x0 s i nt tga dtexS ）（）（ ）（
m a xga xS kgxg?m a x
GGkgmkF EK
maxgx
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二,建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用 (惯性力 )的各种竖向荷载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物重力荷载的取值称为 重力荷载代表值 。《抗震规范》规定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重 (恒载 )标准值和各可变荷载 (活荷载 )组合值之和。各可变荷载的组合值系数 按规范取值 。
由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用组合值 (即组合值系数乘以可变荷载标准值 )，故建筑物的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的
“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定的，所以按式 计算得到的地震作用也是标准值。
GF
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组合值系数可变荷载种类 组合值系数雪荷载 0.5
屋面积灰荷载 0.5
屋面活荷载 不考虑按实际情况考虑的楼面活荷载 1.0
按等效均布活荷载考虑的楼面活荷载藏书库、档案库 0.8
其它民用建筑 0.5
吊车悬吊物重力 硬钩吊车 0.3
软钩吊车 不考虑
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三、抗震设计反应谱
1,地震系数 k
地震系数 是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。
显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以,地震系数与地震烈度 有关，都是地震强烈程度的参数。
例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是这次地震在该处的 k值 (以重力加速度 g为单位 )。
gtxk g /)( m a x
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设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系：
从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。
但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一度,k值大致增加一倍。
设防烈度 6 7 8 9
地震系数 0.05 0.10(0.15) 0.20(0.30) 0.40
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地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系表中设计基本地震加速度的取值与,中国地震动参数区划图,所规定的地震动峰值加速度相当 。
设防烈度与地震系数的对应关系地震系数 地震动峰值加速度地震系数 是地震动峰值加速度 （ 地面运动的最大绝对加速度 ） 与重力加速度的比值,也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度 。
抗震设防烈度 6 7 8 9
设计基本地震加速度 0.05g 0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
设防烈度 6 7 8 9
地震系数 0.05 0.10(0.15) 0.20(0.30) 0.40
g
txk g m a x)(
maxgx
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2、动力系数动力系数：
是单自由度弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面运动最大加速度的比值,表示由于动力效应,质点的最大绝对加速度比地面运动最大加速度放大了多少倍 。
β无量纲,其值与地震烈度无关,因为当 增大或减小时,Sa相应随之增大或减小 。 这样就可利用所有不同烈度的地震记录进行计算和统计 。
动力系数 β还可以表示为：
由上式可知,动力系数与地面运动加速度记录 的特征,结构的自振周期 T及阻尼比 ζ有关 。 当地面加速度记录 和阻尼比 ζ给定时,
就可根据不同的 T值算出动力系数 β,从而得到一条 β~T曲线 。 这条曲线就称为动力系数反应谱曲线 。
动力系数是单质点 m最大反应加速度 Sa与地面运动最大加速度之比,而 对于给定的地震是个定值,所以 β~T曲线实质上是一种加速度反应谱曲线 。
m a x/ ）（ txS ga
max）（ txg
m a x0
2
m a x
2s i n12t tT
g
g
dtTextxT ）（）（）（ ）（
)(txg
)(txg
m ax）（ txg
m ax）（ txg
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3、地震影响系数地震影响系数：
表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度 g为单位的最大反应加速度 。
地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比 （ ） 。
《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的，
其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）确定：
gSk a /
GFEK
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（ 1） 地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）
----地震影响系数； ----地震影响系数最大值；
----结构自振周期； ----特征周期（？？）；
----直线下降段的下降斜率调整系数；
----阻尼调整系数； ----衰减指数
max?
1?
T
2?
g T
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（ 2） 抗震设计反应谱的特征及参数取值
1） 曲线由四部分组成，其值也由 四部分构成 。
2） 结构自振周期
1、单自由度体系：
----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移
2、多质点体系：近似计算
3） 特征周期
4） 地震影响系数最大值,
5） 对应于阻尼比等于 0.05和不等于 0.05，抗震设计反应谱的形状参数（,,）不同：
即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随周期的增大而减小。
T
gGT /2
g T
max?
1? 2?
2009-7-27 结构抗震设计 40
设计特征周期规范规定,根据建筑工程的实际情况,将地震动反应谱特征周期 Tg,取名为,设计特征周期,。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境确定 。 （ 所谓地震环境,是指建筑物所在地区及周围可能发生地震的震源机制,震级大小,震中距远近以及建筑物所在地区的场地条件等 。 ）
抗震设计中,设计特征周期 Tg的取值根据,设计地震分组,确定 。
2009-7-27 结构抗震设计 41
设计地震分组
GB50011— 2001规范在附录 A中规定了县级及县级以上城镇的中心地区 (如城关地区 )的抗震设防烈度,设计基本地震加速度和所属的设计地震分组 。
特 征 周 期 Tg 值设计地震分组场地类别
Ⅰ Ⅱ Ⅲ IV
第一组 0.25 0.35 0.45 0.65
第二组 0.30 0.40 0.55 0.75
第三组 0.35 0.45 0.65 0.90
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水平地震影响系数最大值（阻尼比 0.05）
注：括号数字分别对应于 设计基本地震加速度 0.15g
和 0.30g地区的地震作用影响系数。
地 震影 响烈 度
6 7 8 9
多遇地震 0.04 0.08（ 0.12） 0.16（ 0.24） 0.32
罕遇地震 0.50（ 0.72） 0.90（ 1.20） 1.40
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设计基本地震加速度
1,设计基本地震加速度定义,50年设计基准期超越概率 10％ 的地震加速度设计取值 。
抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系表中设计基本地震加速度的取值与,中国地震动参数区划图,所规定的地震动峰值加速度相当 。
抗震设防烈度 6 7 8 9
设计基本地震加速度
0.05g 0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
