2009-7-27 结构抗震设计 1
第三章 地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求
2009-7-27 结构抗震设计 2
第三章 课程内容
§ 3-1 概述
§ 3-2 单自由度弹性体系的地震反应
§ 3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用 —— 地震反应谱法
§ 3-4 多自由度弹性体系的地震反应
§ 3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 —— 振型分解反应谱法
§ 3-6 底部剪力法和时程分析法
§ 3-7 水平地震作用下的扭转效应
§ 3-8 结构的竖向地震作用
§ 3-9 结构自振周期的近似计算
§ 3-10 地震作用计算的一般规定
§ 3-11 结构抗震验算
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第三章重点、难点和基本要求重点和难点,
1,重要术语、概念、定义
2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算
3、底部剪力法
4、结构抗震验算基本要求：
掌握结构抗震验算基本方法
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§ 3-4多自由度弹性体系的地震反应一、多质点和多自由度体系二、两自由度弹性体系的自由振动
1、两自由度运动方程的建立
2、两自由度弹性体系的运动微分方程组
3、两自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动
1,n自由度体系运动微分方程组
2,n自由度弹性体系的自由振动四、振型分解法
1、两自由度体系 振型分解法
2,n自由度体系 振型分解法
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一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反应分析时，
除了少数质量比较集中的结构可以简化为单质点体系外，大量的多层和高层工业与民用建筑、多跨不等高单层工业厂房等，质量比较分散，则应简化为多质点体系来分析，这样才能得出比较符合实际的结果。
一般，对 多质点体系，若只考虑其作单向振动时，则体系的自由度与质点个数相同。
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二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平地震作用下，在时刻 t的变形情况。 Xg(t)为地震时地面运动的水平位移，质点 1和质点 2
沿地面运动方向产生的相对于地面的水平位移分别为 x1(t)和
x2(t),而相对速度则为和,相对加速度为和,绝对加速度分别为
+ 和 + 。
）（ tx1?
）（ tx2? ）（ tx1
）（ tx2 ）（ txg
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1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似,取质点 1作隔离体,则作用在其上的惯性力为：
弹性恢复力为,
阻尼力为,
式中 k11—— 使质点 1产生单位位移而质点 2保持不动时,
在质点 1处所需施加的水平力；
k12—— 使质点 2产生单位位移而质点 1保持不动时,
在质点 1处引起的弹性反力；
c11—— 质点 1产生单位速度而质点 2保持不动时,
在质点 1处产生的阻尼力；
c12—— 质点 2产生单位速度而质点 1保持不动时,
在质点 1处产生的阻尼力；
m1—— 集中在质点 1上的质量。
）（）（ txtxmI g 111
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2、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理,I1+R1+S1=0,经整理得下列运动方程同理对于质点 2:
上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运动微分方程组 。
上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动方程中的系数 kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系数。
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3、两自由度弹性体系的自由振动以两自由度体系为例,令方程组等号右边荷载项为零,
由于阻尼对体系自振周期影响很小,故略去阻尼,即得该体系无阻尼自由振动方程组：
设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微分方程组的解为：
式中 X1和 X2—— 分别为质点 1和质点 2的位移振幅；
ω—— 振动频率； φ—— 初相位 。
经整理后得下列振幅方程,
021211111 ）（）（）（ txktxktxm
022212122 ）（）（）（ txktxktxm
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021212111 XkXmk ）（?
022222121 XmkXk ）（?
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1）,自振频率和自振周期上式为 Xl和 X2的线性齐次方程组；体系在自由振动时,
X1和 X2不能同时为零,否则体系就不可能产生振动 。
为使上式有非零解,其系数行列式必须等于零,即：
展开行列式,可得 ω2的二次方程,
上式称为频率方程,解之得：
由此可求得 ω的两个正实根,它们就是体系的两个自振圆频率 。 其中较小的一个用 ωl表示,称为第一频率或基本频率,较大的一个 ω2
称为第二频率 。
利用式 可由 ωl和 ω2求得体系的两个自振周期,即
T1=2π/ω1和 T2=2π/ω2,且 T1＞ T2,T1称为第一周期或基本周期,
T2称为第二周期 。
02
22221
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k
m
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2）,主振型由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频率方程并不是独立的，振幅方程的解只能是两质点位移振幅的比值，如,或当,振幅比值为：
当,振幅比值为：
式中,—— 体系按频率 ωj (频率序号 j=1,2)自由振动时，质点 i (质点编号 i=1,2)的位移振幅。
当,质点位移,和当,质点位移,和式中 —— 体系按频率 ωj(频率序号 j=1,2)自由振动时，质点 i(质点编号 i=1,2)的位移
12
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1
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1
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jix
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则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比值分别为：
当 时,当 时，
上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就表明，对应于各个自振频率，体系在相应自由振动过程中的任意时刻，两质点的位移比值 (或振动曲线形状 )始终保持不变，且等于 Xj2／ Xj1,改变的只是位移大小和方向。这种保持质点位移比值不变的振动形式 (或形状 )称为主振型。当体系按第一频率 ω1振动时的振动形式称为第一主振型 (简称第一振型或基本振型 )，而对应于第二频率 ω2
的振动形式称为第二主振型 (简称第二振型 )。
主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决于体系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应地就有多少个主振型。
12
11211
11
12
11
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1 2 12
11221
21
22
21
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3）、自由振动方程的通解两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也即：
其中 X11,X12,X21,X22,φ1,φ2由初始条件确定 。
由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。
）（）（）（ 222111111 s i ns i n tXtXtx
）（）（）（ 222211122 s i ns i n tXtXtx
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4）、质点复合振动振型曲线和惯性力两自由度弹性体系分别按频率 ω1和 ω2作简谐振动时，两个振型的变形曲线及两质点上相应的惯性力如图所示。
惯性力可表示为,其中 i为质点编号,j为振型序号,而且主振型变形曲线可视为体系上相应的惯性力引起的静力变形曲线,因为由 可知,结构在任一瞬时的位移就是等于惯性力所产生的静力位移 。
在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。
jijijii xmxm 2
)()( tkxtF?
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5）、主振型的正交性根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一主振型的位移上所做的功，这样可得到：
整理后得到：
由于 ω1≠ω2,所以：
上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。
物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。
1222222112122122122112111211 XXmXXmXXmXXm ）（）（）（）（
022122211112221 ））（（ XXmXXm
02212221111 XXmXXm
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三、多自由度弹性体系的自由振动
1,n自由度体系运动微分方程组
2,n自由度弹性体系的自由振动
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1,n自由度体系运动微分方程组把两自由度弹性体系的运动微分方程组推广到 n
自由度体系，则其运动微分方程组应由 n个方程组成，一般表达式为,
式中 Cij—— 质点 j产生单位速度,而其它质点保持不动时,
在质点 i处产生的阻尼力；
kij—— 质点 j产生单位位移,而其它质点保持不动时,
在质点 i处引起的弹性反力；
mi—— 集中在质点 i的质量 。
求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自由振动得来的。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。
）（）（）（）（ txmtxktxctxm gin
j
jij
n
j
jijii
11
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2,n自由度弹性体系的自由振动对于 n自由度体系，由上式可得其自由振动方程组：
（ i=1,2,…,n）
设微分方程组的解为,
代入上式，经整理后得：
…………………………
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j
jijii txktxm
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0121212111 nn XkXkXmk ）（?
0222222121 nn XkXmkXk ）（?
022211 nnnnnn XmkXkXk ）（?
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1）,自振频率和自振周期令方程的系数行列式等于零，即可求得频率方程，此方程是一个以 ω2为未知数的一元 n次方程，解此方程，
可以求出 n个根 ω12,ω22、,…,ωn2,即可得出体系的 n个自振圆频率，按由小到大的顺序排列依次为
ω1<ω2<… <ωi<… <ωn 。
对应的 n个自振周’期由大到小的顺序则为
T1>T2>… >Ti>… >Tn 。
ω2、,…,ωn统称为高阶频率。一般说来，当体系的质点数多于 3个时，频率方程的求解就比较困难，常常不得不借助于一些近似计算方法和电子计算机。
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2）,主振型和自由振动方程的通解对于 n自由度弹性体系，有 n个自振频率，将其依次代入频率方程可求得相应的 n个主振型，除第一主振型外的其它振型统称为高阶振型。
n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由 n
个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为
（ i=1,2,…,n）
式中 —— 第 j 振型 i质点的相对位移；
—— 第 j 振型 i质点的位移振幅。
）（）（）（ j
n
j
jji
n
j
jii tXtxtx
11
s i n
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jiX
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3）,主振型的正交性对 n自由度弹性体系，主振型正交性一般可表示为
（ j≠k）
它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。
其物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。
这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，
也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。
n
i
kijii XXm
1
0
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四、振型分解法多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程为一组相互耦联的微分方程，联立求解有一定困难。
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。
振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。
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1、两自由度体系 振型分解法将质点 m１ 及 m２ 在地震作用下任一时刻的位移 x１ (t)和 x
２ (t)用其两个振型的线性组合来表示：
上式实际上是一个坐标变换公式,x１ (t)和 x２ (t)为原来的几何坐标，而新坐标 q１ (t)和 q２ (t) 称为广义坐标，它们也是时间的函数。
上式也可理解为是将体系的位移按振型加以分解,q１ (t)
和 q２ (t)实际上表示了在任一时刻的位移中第一振型和第二振型所占的分量。
由于体系的振型是唯一确定的，因此，当 q１ (t)和 q２ (t)
确定后,x１ (t)和 x２ (t)也将随之而定。
2121111 XtqXtqtx ）（）（）（
2221212 XtqXtqtx ）（）（）（
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对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：
这里，
解两个解耦的方程可分别求出 q１ (t)和 q２ (t),而 当 q１ (t)
和 q２ (t)确定后,x１ (t)和 x２ (t)也随之而定。
）（）（）（）（ txtqtqtq g 1121111 2
212112
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2221222
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2222112
XmXm
XmXm
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两自由度体系变形按振型分解示意图
＝ ＋
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2,n自由度体系 振型分解法对 n自由度体系，各质点在地震作用下任一时刻的位移
xi(t)也可 用其各个振型的线性组合来表示，即：
（ i=1,2,….,n ）
对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到解耦方程：
式中,称为对应于第 j振型的阻尼比，系数 α1及 α2通常由试验根据 第一、二振型的阻尼比确定，而称为体系在地震反应中第 j振型的振型参与系数。 rj实际上是当各质点位移 x1= x2=… x j=…= x n= 1时的 qj值。
n
j
n
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2212 jjj j?
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解耦方程的解在 解耦方程中，依次取 j=1,2,…,n,可得 n个独立的微分方程，即在每一方程中仅含有一个未知量 qj（ t），
由此可分别解得 q1（ t）,q2（ t）,…,qn（ t）。
可以看到，上述方程与单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式在形式上基本相同，只是 n自由度解耦方程的等号右边多了一个系数 rj,所以 n自由度解耦方程的解可以比照单自由度体系在地震作用下的运动微分方程的解写出：
单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式和解
t jtg
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j
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t tgt dtextdxtx 00 s i n1 ）（）（）（）（ ）（
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上述解也可以写成：
这样，
用振型分解法分析时,多自由度弹性体系在地震作用下其中任一质点 i的位移计算公式 。
相当于阻尼比为 ζj,自振频率为 ωj的单自由度弹性体系在地震作用下的位移反应。这个单自由度体系称作与振型 j相应的振子。
rj称为体系在地震反应中第 j振型的振型参与系数。
rj实际上是当各质点位移 x1= x2=… x j=…= x n= 1时的 qj值。
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j
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11
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第三章 地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求
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第三章 课程内容
§ 3-1 概述
§ 3-2 单自由度弹性体系的地震反应
§ 3-3 单自由度弹性体系的水平地震作用 —— 地震反应谱法
§ 3-4 多自由度弹性体系的地震反应
§ 3-5 多自由度弹性体系的水平地震作用 —— 振型分解反应谱法
§ 3-6 底部剪力法和时程分析法
§ 3-7 水平地震作用下的扭转效应
§ 3-8 结构的竖向地震作用
§ 3-9 结构自振周期的近似计算
§ 3-10 地震作用计算的一般规定
§ 3-11 结构抗震验算
2009-7-27 结构抗震设计 3
第三章重点、难点和基本要求重点和难点,
1,重要术语、概念、定义
2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算
3、底部剪力法
4、结构抗震验算基本要求：
掌握结构抗震验算基本方法
2009-7-27 结构抗震设计 4
§ 3-4多自由度弹性体系的地震反应一、多质点和多自由度体系二、两自由度弹性体系的自由振动
1、两自由度运动方程的建立
2、两自由度弹性体系的运动微分方程组
3、两自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动
1,n自由度体系运动微分方程组
2,n自由度弹性体系的自由振动四、振型分解法
1、两自由度体系 振型分解法
2,n自由度体系 振型分解法
2009-7-27 结构抗震设计 5
一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反应分析时，
除了少数质量比较集中的结构可以简化为单质点体系外，大量的多层和高层工业与民用建筑、多跨不等高单层工业厂房等，质量比较分散，则应简化为多质点体系来分析，这样才能得出比较符合实际的结果。
一般，对 多质点体系，若只考虑其作单向振动时，则体系的自由度与质点个数相同。
2009-7-27 结构抗震设计 6
二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平地震作用下，在时刻 t的变形情况。 Xg(t)为地震时地面运动的水平位移，质点 1和质点 2
沿地面运动方向产生的相对于地面的水平位移分别为 x1(t)和
x2(t),而相对速度则为和,相对加速度为和,绝对加速度分别为
+ 和 + 。
）（ tx1?
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1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似,取质点 1作隔离体,则作用在其上的惯性力为：
弹性恢复力为,
阻尼力为,
式中 k11—— 使质点 1产生单位位移而质点 2保持不动时,
在质点 1处所需施加的水平力；
k12—— 使质点 2产生单位位移而质点 1保持不动时,
在质点 1处引起的弹性反力；
c11—— 质点 1产生单位速度而质点 2保持不动时,
在质点 1处产生的阻尼力；
c12—— 质点 2产生单位速度而质点 1保持不动时,
在质点 1处产生的阻尼力；
m1—— 集中在质点 1上的质量。
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2、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理,I1+R1+S1=0,经整理得下列运动方程同理对于质点 2:
上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运动微分方程组 。
上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动方程中的系数 kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系数。
）（）（）（）（）（）（ txmtxktxktxctxctxm g 121211121211111
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3、两自由度弹性体系的自由振动以两自由度体系为例,令方程组等号右边荷载项为零,
由于阻尼对体系自振周期影响很小,故略去阻尼,即得该体系无阻尼自由振动方程组：
设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微分方程组的解为：
式中 X1和 X2—— 分别为质点 1和质点 2的位移振幅；
ω—— 振动频率； φ—— 初相位 。
经整理后得下列振幅方程,
021211111 ）（）（）（ txktxktxm
022212122 ）（）（）（ txktxktxm
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1）,自振频率和自振周期上式为 Xl和 X2的线性齐次方程组；体系在自由振动时,
X1和 X2不能同时为零,否则体系就不可能产生振动 。
为使上式有非零解,其系数行列式必须等于零,即：
展开行列式,可得 ω2的二次方程,
上式称为频率方程,解之得：
由此可求得 ω的两个正实根,它们就是体系的两个自振圆频率 。 其中较小的一个用 ωl表示,称为第一频率或基本频率,较大的一个 ω2
称为第二频率 。
利用式 可由 ωl和 ω2求得体系的两个自振周期,即
T1=2π/ω1和 T2=2π/ω2,且 T1＞ T2,T1称为第一周期或基本周期,
T2称为第二周期 。
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2）,主振型由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频率方程并不是独立的，振幅方程的解只能是两质点位移振幅的比值，如,或当,振幅比值为：
当,振幅比值为：
式中,—— 体系按频率 ωj (频率序号 j=1,2)自由振动时，质点 i (质点编号 i=1,2)的位移振幅。
当,质点位移,和当,质点位移,和式中 —— 体系按频率 ωj(频率序号 j=1,2)自由振动时，质点 i(质点编号 i=1,2)的位移
12
1121
1
2 k kmXX
2222
21
1
2 km kXX
1 12
11211
11
12 k kmXX
2
12
11221
21
22 k kmXX
jiX
1 ）（）（ 111111 s in tXtx ）（）（ 111212 s in tXtx
2 ）（）（ 222121 s in tXtx
）（）（ 222222 s in tXtx
jix
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则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比值分别为：
当 时,当 时，
上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就表明，对应于各个自振频率，体系在相应自由振动过程中的任意时刻，两质点的位移比值 (或振动曲线形状 )始终保持不变，且等于 Xj2／ Xj1,改变的只是位移大小和方向。这种保持质点位移比值不变的振动形式 (或形状 )称为主振型。当体系按第一频率 ω1振动时的振动形式称为第一主振型 (简称第一振型或基本振型 )，而对应于第二频率 ω2
的振动形式称为第二主振型 (简称第二振型 )。
主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决于体系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应地就有多少个主振型。
12
11211
11
12
11
12 k kmXXtx tx）（ ）（
1 2 12
11221
21
22
21
22 k kmXXtx tx）（ ）（
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3）、自由振动方程的通解两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也即：
其中 X11,X12,X21,X22,φ1,φ2由初始条件确定 。
由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。
）（）（）（ 222111111 s i ns i n tXtXtx
）（）（）（ 222211122 s i ns i n tXtXtx
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4）、质点复合振动振型曲线和惯性力两自由度弹性体系分别按频率 ω1和 ω2作简谐振动时，两个振型的变形曲线及两质点上相应的惯性力如图所示。
惯性力可表示为,其中 i为质点编号,j为振型序号,而且主振型变形曲线可视为体系上相应的惯性力引起的静力变形曲线,因为由 可知,结构在任一瞬时的位移就是等于惯性力所产生的静力位移 。
在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。
jijijii xmxm 2
)()( tkxtF?
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5）、主振型的正交性根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一主振型的位移上所做的功，这样可得到：
整理后得到：
由于 ω1≠ω2,所以：
上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。
物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。
1222222112122122122112111211 XXmXXmXXmXXm ）（）（）（）（
022122211112221 ））（（ XXmXXm
02212221111 XXmXXm
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三、多自由度弹性体系的自由振动
1,n自由度体系运动微分方程组
2,n自由度弹性体系的自由振动
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1,n自由度体系运动微分方程组把两自由度弹性体系的运动微分方程组推广到 n
自由度体系，则其运动微分方程组应由 n个方程组成，一般表达式为,
式中 Cij—— 质点 j产生单位速度,而其它质点保持不动时,
在质点 i处产生的阻尼力；
kij—— 质点 j产生单位位移,而其它质点保持不动时,
在质点 i处引起的弹性反力；
mi—— 集中在质点 i的质量 。
求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自由振动得来的。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。
）（）（）（）（ txmtxktxctxm gin
j
jij
n
j
jijii
11
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2,n自由度弹性体系的自由振动对于 n自由度体系，由上式可得其自由振动方程组：
（ i=1,2,…,n）
设微分方程组的解为,
代入上式，经整理后得：
…………………………
0
1
）（）（ n
j
jijii txktxm
）（）（ tXtx ii s in
0121212111 nn XkXkXmk ）（?
0222222121 nn XkXmkXk ）（?
022211 nnnnnn XmkXkXk ）（?
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1）,自振频率和自振周期令方程的系数行列式等于零，即可求得频率方程，此方程是一个以 ω2为未知数的一元 n次方程，解此方程，
可以求出 n个根 ω12,ω22、,…,ωn2,即可得出体系的 n个自振圆频率，按由小到大的顺序排列依次为
ω1<ω2<… <ωi<… <ωn 。
对应的 n个自振周’期由大到小的顺序则为
T1>T2>… >Ti>… >Tn 。
ω2、,…,ωn统称为高阶频率。一般说来，当体系的质点数多于 3个时，频率方程的求解就比较困难，常常不得不借助于一些近似计算方法和电子计算机。
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2）,主振型和自由振动方程的通解对于 n自由度弹性体系，有 n个自振频率，将其依次代入频率方程可求得相应的 n个主振型，除第一主振型外的其它振型统称为高阶振型。
n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由 n
个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为
（ i=1,2,…,n）
式中 —— 第 j 振型 i质点的相对位移；
—— 第 j 振型 i质点的位移振幅。
）（）（）（ j
n
j
jji
n
j
jii tXtxtx
11
s i n
)(txji
jiX
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3）,主振型的正交性对 n自由度弹性体系，主振型正交性一般可表示为
（ j≠k）
它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。
其物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。
这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，
也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。
n
i
kijii XXm
1
0
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四、振型分解法多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程为一组相互耦联的微分方程，联立求解有一定困难。
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。
振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。
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1、两自由度体系 振型分解法将质点 m１ 及 m２ 在地震作用下任一时刻的位移 x１ (t)和 x
２ (t)用其两个振型的线性组合来表示：
上式实际上是一个坐标变换公式,x１ (t)和 x２ (t)为原来的几何坐标，而新坐标 q１ (t)和 q２ (t) 称为广义坐标，它们也是时间的函数。
上式也可理解为是将体系的位移按振型加以分解,q１ (t)
和 q２ (t)实际上表示了在任一时刻的位移中第一振型和第二振型所占的分量。
由于体系的振型是唯一确定的，因此，当 q１ (t)和 q２ (t)
确定后,x１ (t)和 x２ (t)也将随之而定。
2121111 XtqXtqtx ）（）（）（
2221212 XtqXtqtx ）（）（）（
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对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：
这里，
解两个解耦的方程可分别求出 q１ (t)和 q２ (t),而 当 q１ (t)
和 q２ (t)确定后,x１ (t)和 x２ (t)也随之而定。
）（）（）（）（ txtqtqtq g 1121111 2
212112
12221121
1221111
XmXm
XmXm
）（）（）（）（ txtqtqtq g 2222122 2
2221222
22222121
2222112
XmXm
XmXm
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两自由度体系变形按振型分解示意图
＝ ＋
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2,n自由度体系 振型分解法对 n自由度体系，各质点在地震作用下任一时刻的位移
xi(t)也可 用其各个振型的线性组合来表示，即：
（ i=1,2,….,n ）
对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到解耦方程：
式中,称为对应于第 j振型的阻尼比，系数 α1及 α2通常由试验根据 第一、二振型的阻尼比确定，而称为体系在地震反应中第 j振型的振型参与系数。 rj实际上是当各质点位移 x1= x2=… x j=…= x n= 1时的 qj值。
n
j
n
j
jijjii Xtqtxtx
1 1
)()()(
）（）（）（）（ txtqtqtq gjjjjjjj 22
2212 jjj j?
ni jiini jiij XmXm 1 21 /?
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解耦方程的解在 解耦方程中，依次取 j=1,2,…,n,可得 n个独立的微分方程，即在每一方程中仅含有一个未知量 qj（ t），
由此可分别解得 q1（ t）,q2（ t）,…,qn（ t）。
可以看到，上述方程与单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式在形式上基本相同，只是 n自由度解耦方程的等号右边多了一个系数 rj,所以 n自由度解耦方程的解可以比照单自由度体系在地震作用下的运动微分方程的解写出：
单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式和解
t jtg
j
j
j dtextq
jj
0 s i n
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）（）（ω）（ζω）（ txtxtxtx g 22
t tgt dtextdxtx 00 s i n1 ）（）（）（）（ ）（
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上述解也可以写成：
这样，
用振型分解法分析时,多自由度弹性体系在地震作用下其中任一质点 i的位移计算公式 。
相当于阻尼比为 ζj,自振频率为 ωj的单自由度弹性体系在地震作用下的位移反应。这个单自由度体系称作与振型 j相应的振子。
rj称为体系在地震反应中第 j振型的振型参与系数。
rj实际上是当各质点位移 x1= x2=… x j=…= x n= 1时的 qj值。
）（）（ ttq jjj
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n
j
jijj
n
j
jiji XtXtqtx
11
）（）（）（?
