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基 本 知 识第一章 基本知识第 一 章
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本章知识要点第一章 基本知识
★ 常用的几种编码 。
★ 带符号二进制数的代码表示 ；
★ 常用计数制及其转换 ；
★ 数字系统的基本概念 ；
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1.1 概 述
1.1.1 数字系统第一章 基本知识众所周知，我们现在处在一个 信息的时代 ！请问,信息的概念是什么？
信息具备哪些能力?
信息的概念,人们站在不同的角度，对“信息”给出了不同的解释。
诸如，“信息是表征物理量数值特征的量”，“信息是物质的反映”，
“信息是人类交流的依据”,?,
广义的说，“信息是对客观世界所存在的各种差异的描述”。
一、信息与数字
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二、数字系统什么是数字系统?
数字系统是一个能对数字信号进行存储,传递和加工的实体,它由实现各种功能的数字逻辑电路相互连接而成 。 例如,
数字计算机 。
第一章 基本知识
1,数字信号若信号的变化在时间上和数值上都是离散的,或者说断续的,则称为离散信号 。 离散信号的变化可以用不同的数字反映,
所以又称为数字信号,简称为数字量 。
例如,学生成绩记录,工厂产品统计,电路开关的状态等 。
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第一章 基本知识例如,某控制系统框图如下图所示 。
执行机构数字量 数字量模拟量 模拟量控制信号被测参数一次仪表计算机被控对象
D/AA/D
数字系统中处理的是数字信号,当数字系统要与模拟信号发生联系时,必须经过模 /数 (A/D)转换和数 /模 (D/A)转换电路,
对信号类型进行变换 。
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2,数字逻辑电路用来处理数字信号的电子线路称为 数字电路 。 由于数字电路的各种功能是通过逻辑运算和逻辑判断来实现的,
所以数字电路又称为 数字逻辑电路 或者 逻辑电路 。
第一章 基本知识
(1) 电路的基本工作信号是二值信号 。 它表现为电路中电压的,高,或,低,,开关的,接通,或,断开,,晶体管的,导通,或,截止,等两种稳定的物理状态 。
(2) 电路中的半导体器件一般都工作在开,关状态 。
数字逻辑电路具有如下特点,
(3) 电路结构简单、功耗低、便于集成制造和系列化生产；
产品价格低廉、使用方便、通用性好。
(4) 由数字逻辑电路构成的数字系统工作速度快,精度高,
功能强,可靠性好 。
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由于数字逻辑电路具有上述特点,所以,数字逻辑电路的应用十分广泛 。
随着半导体技术和工艺的发展,出现了数字集成电路,
集成电路发展十分迅速 。
数字集成电路按照集成度的高低可分为小规模 （ SSI）,
中规模 （ MSI）,大规模 （ LSI） 和超大规模 （ VLSI） 几种类型 。
第一章 基本知识
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数字计算机是一种能够自动,高速,精确地完成数值计算,数据加工和控制,管理等功能的数字系统 。
1,数字计算机第一章 基本知识三,数字计算机及其发展数字计算机从 1946年问世以来,其发展速度是惊人的 。
根据组成计算机的主要元器件的不同,至今已经历了四代 。
具体如下表所示 。
2,计算机的发展计算机总的发展 趋势是,速度 ↑,功能 ↑,可靠性 ↑,体积 ↓,价格 ↓,功耗 ↓。
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1.1.2 数字逻辑电路的类型和研究方法由于这类电路的输出与过去的输入信号无关,所以不需要有记忆功能 。
一、数字逻辑电路的类型第一章 基本知识组合逻辑电路,如果一个逻辑电路在任何时刻的稳定输出仅取决于该时刻的输入，而与电路过去的输入无关，则称为组合逻辑 (Combinational Logic)电路。
根据一个电路是否具有记忆功能，可将数字逻辑电路分为 组合逻辑电路 和 时序逻辑电路 两种类型。
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时序逻辑电路按照是否有统一的时钟信号进行同步,又可进一步分为 同步时序逻辑电路 和 异步时序逻辑电路 。
第一章 基本知识时序逻辑电路,如果一个逻辑电路在任何时刻的稳定输出不仅取决于该时刻的输入，而且与过去的输入相关，则称为时序逻辑 (Sequential Logic)电路。
由于这类电路的输出与过去的输入信号无关,所以不需要有记忆功能 。
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二、数字逻辑电路的研究方法对数字系统中逻辑电路的研究有 两个主要任务,一是分析,二是 设计 。
对一个已有的数字逻辑电路,研究它的工作性能和逻辑功能称为 逻辑分析 ；
根据提出的逻辑功能,在给定条件下构造出实现预定功能的逻辑电路称为 逻辑设计,或者 逻辑综合 。
第一章 基本知识逻辑电路分析与设计的方法随着集成电路的迅速发展在不断发生变化,最成熟的方法是 传统的方法 。
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1．逻辑电路分析和设计的传统方法传统方法,传统方法是建立在小规模集成电路 基础 之上的,它以技术经济指标作为 评价 一个设计方案优劣的主要性能指标,设计时追求的 目标是如何使一个电路达到 最简 。
第一章 基本知识如何达到最简呢？ 在组合逻辑电路设计时,尽可能使电路中的逻辑门和连线数目达到最少 。 而在时序逻辑电路设计时,则尽可能使电路中的触发器,逻辑门和连线数目达到最少 。
注意：一个最简的方案并不等于一个最佳的方案！
最佳方案应满足全面的性能指标和实际应用要求。所以，在用传统方法求出一个实现预定功能的最简结构之后，往往要根据实际情况进行相应调整。
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2．用中、大规模集成组件进行逻辑设计的方法第一章 基本知识用中、大规模集成组件去构造满足各种功能的逻辑电路时，
如何寻求经济合理的方案呢？ 要求设计人员 必须注意：
▲ 充分了解各种器件的逻辑结构和外部特性，做到合理选择器件；
▲ 充分利用每一个已选器件的功能，用灵活多变的方法完成各类电路或功能模块的设计；
▲ 尽可能减少芯片之间的相互连线。
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3．用可编程逻辑器件 (PLD)进行逻辑设计的方法各类可编程逻辑器件 (PLD)的出现，给逻辑设计带来了一种全新的方法。人们不再用常规硬线连接的方法去构造电路，
而是 借助丰富的计算机软件对器件进行编程烧录来实现各种逻辑功能，这给逻辑设计带来了极大的方便。
第一章 基本知识
4．用计算机进行辅助逻辑设计的方法面对日益复杂的集成电路芯片设计和数字系统设计,人们不得不越来越多地 借助计算机进行辅助逻辑设计 。 目前,
已有各种设计数字系统的软件在市场上出售 。 计算机辅助逻辑设计方法正在不断推广和应用 。 不少人认为计算机设计自动化已形成计算机科学中的一个独立的学科 。
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1.2.1 进位计数制数制是人们对数量计数的一种统计规律 。 生活中广泛使用的是十进制,而数字系统中使用的是二进制 。
1.2 数制及其转换
666
6× 102 6× 101 6× 100
如
(666)10=6× 102+6× 101+6× 100
同一个字符 6从左到右所代表的值依次为 600,60,6。 即第一章 基本知识十进制中采用了 0,1,…,9共十个基本数字符号，进位规律是“逢十进一”。 当用若干个数字符号并在一起表示一个数时，处在不同位置的数字符号，其值的含意不同。
一,十进制
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广义地说,一种进位计数制包含着 基数 和 位权 两个基本的因素：
基数,指计数制中所用到的数字符号的个数 。 在基数为 R
计数制中,包含 0,1,…,R-1共 R个数字符号,进位规律是
,逢 R进一,。 称为 R进位计数制,简称 R进制 。
第一章 基本知识位权,是指在一种进位计数制表示的数中,用来表明不同数位上数值大小的一个固定常数 。 不同数位有不同的位权,
某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权 。 R进制数的位权是 R的整数次幂 。
例如,十进制数的位权是 10的整数次幂,其个位的位权是 100,十位的位权是 101…… 。
二,R进制
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一个 R进制数 N可以有两种表示方法：
(1) 并列表示法 (又称位置计数法 )
(N)R = ( Kn-1Kn-2… K1K0,K-1K-2… K-m )R
(2) 多项式表示法 (又称按权展开法 )
(N)R = Kn-1× Rn-1 + Kn-2× Rn-2 +… +K1× R1 + K0× R0
+ K-1× R-1 + K-2× R-2+ … + K-m× R-m
第一章 基本知识其中,R—— 基数 ; n——整数部分的位数；
m—— 小数部分的位数；
Ki —— R进制中的一个数字符号，其取值范围为 0≤ Ki≤ R-1 (-m≤i≤n-1)。
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(3) 位权是 R的整数次幂,第 i位的权为 Ri (-m≤i≤n-1)。
R进制的特点可归纳如下：
(1) 有 0,1,…,R-1共 R个数字符号 ;
(2) ―逢 R进一,,,10‖表示 R;
第一章 基本知识
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基数 R=2的进位计数制称为二进制 。 二进制数中 只有 0
和 1两个基本数字符号,进位规律是,逢二进一,。 二进制数的位权是 2的整数次幂 。
三、二进制任意一个二进制数 N可以表示成其中,n—整数位数； m—小数位数；
Ki —为 0或者 1,-m≤i≤n-1。
(N)2 = (Kn-1Kn-2…K 1K0.K-1K-2…K -m)2
= Kn-1× 2n-1+Kn-2× 2n-2+…+K 1× 21+K0× 20
+K-1× 2-1+K-2× 2-2+…+K -m× 2-m
第一章 基本知识
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例如,一个二进制数 1011.01可以表示成,
(1011.01)2 = 1× 23+0× 22+1× 21+1× 20+0× 2-1+1× 2-2
第一章 基本知识二进制数的运算规则如下：
加法规则 0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=0 (进位为 1)
减法规则 0-0=0 1-0=1
1-1=0 0-1=1 (借位为 1)
乘法规则 0× 0=0 0× 1=0
1× 0=0 1× 1=1
除法规则 0÷ 1=0 1÷ 1=1
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因为二进制中只有 0和 1两个数字符号,可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数 。 例如,可以用晶体管的截止和导通表示 1和 0,或者用电平的高和低表示 1和 0等 。
所以,在数字系统中普遍采用二进制 。
二进制的优点,运算简单,物理实现容易,存储和传送方便,可靠 。
二进制的缺点,数的位数太长且字符单调,使得书写,
记忆和阅读不方便 。
因此,人们在进行指令书写,程序输入和输出等工作时,
通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写 。
第一章 基本知识
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四,八 进制基数 R=8的进位计数制称为八进制 。 八进制数中有 0、
1,…,7共 8个基本数字符号,进位规律是,逢八进一,。
八进制数的 位权是 8的整数次幂 。
任意一个八进制数 N可以表示成
(N)8 =(Kn-1Kn-2… K1K0,K-1K-2… K-m)8
= Kn-1× 8n-1+Kn-2× 8n-2+… +K1× 81+K0× 80
+K-1× 8-1+K-2× 8-2+… +K-m× 8-m
其中,n—整数位数； m—小数位数；
Ki—0～ 7中的任何一个字符,-m ≤i≤n -1。
第一章 基本知识
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五、十六进制基数 R=16的进位计数制称为十六进制 。 十六进制数中有 0,1,…,9,A,B,C,D,E,F共 16个数字符号,其中,
A～ F分别表示十进制数的 10～ 15。 进位规律为,逢十六进一,。 十六进制数的 位权是 16的整数次幂 。
任意一个十六进制数 N可以表示成
(N)16 = (Kn-1Kn-2… K1K0,K-1K-2… K-m)16
= Kn-1× 16n-1+Kn-2× 16n-2+… +K1× 161+K0× 160
+K-1× 16-1+K-2× 16-2+… +K-m× 16-m
其中,n—整数位数； m—小数位数； Ki—表示 0～ 9,A～ F
中的任何一个字符,-m ≤i≤ n-1。
第一章 基本知识
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1.2.2 数制转换方法：多项式替代法一、二进制数与十进制数之间的转换
1,二进制数转换为十进制数将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。
例如，（ 10110.101） 2 =（？） 10
(10110.101)2=1× 24+1× 22+1× 21+1× 2-1+1× 2-3
= 16+4+2+0.5+0.125
= (22.625)10
第一章 基本知识数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制 。 从实际应用出发,要求掌握二进制数与十进制数,八进制数和十六进制数之间的相互转换 。
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方法：基数乘除法十进制数转换成二进制数时,应对整数和小数分别进行处理 。
整数转换 ——采用,除 2取余,的方法；
小数转换 ——采用,乘 2取整,的方法 。
(1) 整数转换
,除 2取余,法,将十进制整数 N除以 2,取余数计为 K0 ；
再将所得商除以 2,取余数记为 K1； …… 。 依此类推,直至商为 0,取余数计为 Kn-1为止 。 即可得到与 N对应的 n位二进制整数 Kn-1… K1K0。
第一章 基本知识
2,十进制数转换为二进制数
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例如,（ 35） 10=（？ ） 2
2 3 5 余数
2 1 7 ……… 1 （ K0） 低位
2 8 ……… 1 （ K1）
2 4 ……… 0 （ K2）
2 2 ……… 0 （ K3）
2 1 ……… 0 （ K4）
0 ……… 1 （ K5） 高位即 (35)10=(100011)2
第一章 基本知识
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例如,（ 0.6875） 10 =（？ ） 2
(2) 小数转换
,乘 2取整,法,将十进制小数 N 乘以 2,取积的整数记为 K–1；再将积的小数乘以 2,取整数记为 K–2； …… 。 依此类推,直至其小数为 0或达到规定精度要求,取整数记作 K–m为止 。 即可得到与 N 对应的 m位二进制小数 0.K-1K-2… K-m。
第一章 基本知识高位 1(K-1)…… 1.3 7 5 0
0(K-2)…… 0.7 5 0 0
1(K-3)…… 1.5 0 0 0
0.6 8 7 5
整数部分 × 2
× 2
低位 1(K-4)…… 1.0 0 0 0
× 2
× 2
即,
(0.6875)10=(0.1011)2
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二、二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换第一章 基本知识
1,二进制数与八进制数之间的转换二进制数转换成八进制数,以小数点为界,分别往高,
往低每 3位为一组,最后不足 3位时用 0补充,然后写出每组对应的八进制字符,即为相应八进制数 。
例如,（ 11100101.01） 2 = （？ ） 8
011 100 101,010
3 4 5,2
即 (11100101.01)2=(345.2)8
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5 6,7
101 110,111
即,(56.7)8 = (101110.111)2
例如,（ 56.7） 8 = （？ ） 2
第一章 基本知识八进制数转换成二进制数时,只需将每位八进制数用 3位二进制数表示,小数点位置保持不变 。
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第一章 基本知识
2,二进制数与十六进制数之间的转换二进制数转换成十六进制数,以小数点为界,分别往高,往低每 4位为一组,最后不足 4位时用 0补充,然后写出每组对应的十六进制字符即可 。
例如,（ 101110.011） 2 = （？ ） 16
即,
(101110.011)2 = (2E.6)１６
0010 1110,0110
2 E,6
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十六进制数转换成二进制数时,只需将每位十六进制数用 4位二进制数表示,小数点位置保持不变 。
例如,（ 5A.B） 16 = （？ ） 2
即,(5A.B)１６ =(1011010.1011)2
5 A,B
0101 1010,1011
第一章 基本知识
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1.3 带符号二进制数的代码表示为了标记一个数的正负，人们通常在一个数的前面用
,+‖号表示正数，用,-‖号表示负数。在数字系统中，符号和数值一样是用 0和 1来表示的，一般将数的最高位作为符号位，用 0表示正，用 1表示负 。 其格式为
Xf Xn-1 Xn-2 … X1 X0
↑
符号位通常将用,+”,,-”表示正、负的二进制数称为符号数的 真值,而把将符号和数值一起编码表示的二进制数称为 机器数 或 机器码 。
常用的机器码有 原码,反码 和 补码 三种。
第一章 基本知识
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1.3.1 原码
X 0≤X ＜ 1
［ X］ 原 =
1-X -1＜ X≤ 0
0 正即 符号位
1 负数值位,不变一、小数原码的定义设二进制小数 X = ± 0.x-1x-2… x-m，则其原码定义为原码,符号位用 0表示正,1表示负；数值位保持不变 。 原码表示法又称为符号 —数值表示法 。
第一章 基本知识
34
例如,若 X1 = +0.1011,X2 = -0.1011
则 ［ X1］ 原 = 0.1011
［ X2］ 原 = 1-(-0.1011)=1.1011
根据定义,小数,0”的原码可以表示成 0.0… 0或 1.0… 0。
第一章 基本知识
35
二、整数原码的定义
X 0 ≤ X ＜ 2n
［ X］ 原 =
2n-X -2n ＜ X ≤ 0
设二进制整数 X = ± xn-1xn-2… x0,则其原码定义为例如,若 X1 = +1101,X2 = -1101,则 X1和 X2的原码为
［ X1］ 原 = 01101
［ X2］ 原 = 24-(-1101)=10000+1101=11101
同样,整数,0”的原码也有两种形式,即 00… 0和 10… 0。
第一章 基本知识
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第一章 基本知识原码的 优点,简单易懂,求取方便 ;
缺点,加、减运算不方便。
当进行两数加、减运算时，要根据运算及参加运算的两个数的符号来确定是加还是减；如果是做减法，还需根据两数的大小确定被减数和减数，以及运算结果的符号。显然，这将增加运算的复杂性。
为了克服原码的缺点,引入了反码和补码 。
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1.3.2 反码
X 0 ≤ X ＜ 1
［ X]反 =
(2-2-m)+X -1 ＜ X ≤ 0
第一章 基本知识一、小数反码的定义设二进制小数 X = ± 0.x-1x-2… x-m，则其反码定义为带符号二进制数的反码表示：
符号位 ———用 0表示正,用 1表示负；
数值位 ———正数反码的数值位和真值的数值位相同；
而负数反码的数值位是真值的数值位按位变反 。
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例如,若 X1 = +0.1011,X2 = -0.1011，则 X1和 X2的反码为
［ X1］ 反 = 0.1011
［ X2］ 反 = 2-2-4+X2=10.0000-0.0001-0.1011=1.0100
根据定义,小数,0”的反码有两种表示形式,即
0.0… 0和 1.1… 1。
第一章 基本知识即 -0,1 0 1 1
1,0 1 0 0
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二、整数反码的定义设二进制整数 X = ± xn-1xn-2… x0,则其反码定义为第一章 基本知识即 - 1 0 0 1
1 0 1 1 0
整数,0”的反码也有两种形式,即 00… 0和 11… 1。
例如,若 X1 = +1001,X2 = -1001,则 X1和 X2的反码为
［ X1］ 反 = 01001
［ X2］ 反 = (25-1)+X = (100000-1)+(-1001)
= 11111-1001 = 10110
［ X］ 反 =
(2n+1-1)+X -2n ＜ X ≤ 0
X 0 ≤ X ＜ 2n
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采用反码进行加、减运算时，无论进行两数相加还是两数相减，均可通过加法实现。
加、减运算规则如下：
［ X1 + X2］ 反 =［ X1］ 反 +［ X2］ 反
［ X1 – X2］ 反 =［ X1］ 反 +［ -X2］ 反第一章 基本知识运算时,符号位和数值位一样参加运算 。 当符号位有进位产生时,应将进位加到运算结果的最低位,才能得到最后结果 。
41
1.3.3 补码带符号二进制数的补码表示：
符号位 ——用 0表示正,用 1表示负；
数值位 ——正数补码的数值位与真值相同； 负数补码的数值位是真值的数值位按位变反,并在最低位加 1。
设二进制小数 X = ± 0.x-1x-2… x-m,则其补码定义为一、小数补码的定义
X 0 ≤ X ＜ 1
［ X］ 补 =
2+X -1 ≤ X ＜ 0
第一章 基本知识
42
例如,若 X 1= +0.1011,X 2 = -0.1011,则 X1和 X2的补码为
［ X1］ 补 = 0.1011
［ X2］ 补 = 2 + X = 10.0000 - 0.1011
= 1.0101
注意,小数,0”的补码只有一种表示形式,即 0.0… 0。
第一章 基本知识即 -0,1 0 1 1
1,0 1 0 0
+ 1
1,0 1 0 1
43
二、整数补码的定义设二进制整数 X = ± xn-1xn-2… x0,则其补码定义为
X 0 ≤ X ＜ 2n
［ X］ 补 =
2n+1+X -2n ≤ X ＜ 0
例如,若 X1 = +1010,X2 = -1010,则 X1和 X2的补码为
[X1］ 补 = 01010（ 正数补码的数值位与真值相同 。 ）
［ X2］ 补 = 25 + X = 100000-1010
= 10110（ 负数补码的数值位是真值的数值位按位变反,并在最低位加 1。 ）
整数,0”的补码也只有一种表示形式,即 00… 0。
第一章 基本知识
44
采用补码进行加,减运算时,可以将加,减运算均通过加法实现 。
运算时,符号位和数值位一样参加运算,若符号位有进位产生,则应将进位丢掉后才能得到正确结果 。
第一章 基本知识运算规则如下,
［ X1 + X2］ 补 =［ X1］ 补 +［ X2］ 补
［ X1 – X2］ 补 =［ X1］ 补 +［ -X2］ 补
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1.4 几种常用的编码
1.4.1 十进制数的二进制编码（ BCD码）
第一章 基本知识用 4位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称为二 –十进制代码，或称 BCD(Binary Coded Decimal)码 。
BCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。常用的
BCD码有 8421码,2421码 和 余 3码。
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第一章 基本知识十进制数字符号 0~9与 8421码,2421码 和 余 3码 的对应关系如下表所示。
0 0000 0000 0011
1 0001 0001 0100
2 0010 0010 0101
3 0011 0011 0110
4 0100 0100 0111
5 0101 1011 1000
6 0110 1100 1001
7 0111 1101 1010
8 1000 1110 1011
9 1001 1111 1100
十进制字符 8421码 2421码 余 3码常用的 3种 BCD码
47
一,8421码
8421码,是用 4位二进制码表示一位十进制字符的一种 有权码,4位二进制码从高位至低位的权依次为 23,22,21,20，
即为 8,4,2,1,故称为 8421码 。
按 8421码编码的 0～ 9与用 4位二进制数表示的 0～ 9完全一样。所以,8421码是一种人机联系时广泛使用的中间形式。
(1) 8421码中不允许出现 1010～ 1111六种组合 (因为没有十进制数字符号与其对应 )。
(2) 十进制数字符号的 8421码与相应 ASCII码的低四位相同,这一特点有利于简化输入输出过程中 BCD码与字符代码的转换 。
注意：
第一章 基本知识
48
8421码与十进制数之间的转换是 按位进行 的,即十进制数的每一位与 4位二进制编码对应 。 例如,
1,8421码与十进制数之间的转换
(258)10= (0010 0101 1000)8421码
(0001 0010 0000 1000)8421码 = (1208)10
例如,
(28） 10 =（ 11100） 2 =（ 00101000） 8421
2,8421码与二进制的区别第一章 基本知识
49
二,2421码
2421码,是用 4位二进制码表示一位十进制字符的另一种有权码,4位二进制码从高位至低位的权依次为 2,4,2、
1,故称为 2421码 。
若一个十进制字符 X的 2421码为 a3 a2 a1 a0，则该字符的值为
X = 2a3 + 4a2 + 2a1 + 1a0
例如,(1101)2421码 = (7)10
第一章 基本知识
2421码与十进制数之间的转换同样是按位进行的,例如,
(258)10 = (0010 1011 1110)2421码
(0010 0001 1110 1011)2421码 = (2185)10
1,2421码与十进制数之间的转换
50
第一章 基本知识
(1) 2421码不具备单值性 。 例如,0101和 1011都对应十进制数字 5。 为了与十进制字符一一对应,2421码不允许出现
0101～ 1010的 6种状态 。
2,注意
(3) 应与二进制数进行区别 !
(2) 2421码是一种对 9的自补代码 。 即一个数的 2421码只要自身按位变反,便可得到该数对 9的补数的 2421码 。 例如,
(4)10 (0100)2421
(1011)2421 (5)10
具有这一特征的 BCD码可给运算带来方便,因为直接对
BCD码进行运算时,可利用其对 9的补数将减法运算转化为加法运算 。
51
三、余 3码第一章 基本知识余 3码,是由 8421码加上 0011形成的一种无权码，由于它的每个字符编码比相应 8421码多 3，故称为余 3码。
例如，十进制字符 5的余 3码等于 5的 8421码 0101加上 0011，
即为 1000。
2,余 3码与十进制数进行转换时,每位十进制数字的编码都应余 3。 例如,
(256)10= (0101 1000 1001)余 3码
(1000 1001 1001 1011)余 3码 = (5668)10
注意,
1,余 3码中不允许出现 0000,0001,0010,1101,1110和
1111六种状态。
3,余 3码是一种对 9的自补代码。
52
第一章 基本知识
1.4.2 可靠性编码作用,提高系统的可靠性。
为了减少或者发现代码在形成和传送过程中都可能发生的错误。形成了各种编码方法。下面，介绍两种常用的可靠性编码。
一,格雷 (Gray)码
1,特点,任意两个相邻的数,其格雷码仅有一位不同 。
2,作用,避免代码形成或者变换过程中产生的错误 。
53
转换规则如下：
3,典型格雷码与普通二进制码之间的转换 。
设二进制码为 B = Bn-1Bn-2 … Bi+1Bi … B1B0
对应格雷码为 G = Gn-1Gn-2 … Gi+1Gi … G1G0
有,Gn-1 = Bn-1
Gi = Bi+1⊕B i 0 ≤ i≤ n-2
其中,运算,⊕,称为,异或,运算,运算规则是：
0⊕ 0=0； 0⊕ 1=1；
1⊕ 0=1； 1⊕ 1=0。
第一章 基本知识
54
例如,1 0 1 1 0 1 0 0 二进制数
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
1 1 1 0 1 1 1 0 Gray码
↘ ↓↘↓↘↓↘↓↘↓↘↓↘↓
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
思考,如何将 Gray码转换成二进制码？
第一章 基本知识
55
二、奇偶检验码奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程中是否产生错误的代码 。
2,编码方式,有两种编码方式,
奇检验,使信息位和检验位中,1”的个数共计为奇数；
偶检验,使信息位和检验位中,1”的个数共计为偶数 。
信息位 (7位 ) 采用奇检验的检 验位 (1位 ) 采用偶检验的检 验位 (1位 )
1001100 0 1
第一章 基本知识
1．组成：
信息位 ——位数不限的一组二进制代码两部分组成奇偶检验位 ——仅有一位。
例如,
56
3,检验码的工作原理奇偶检验码的工作原理如下图所示 。
检测器编码器
x1
x2
x3
x4
1 1
1
1
1
1
0
0 0
0 1
F
P(奇 )
发送端 接收端第一章 基本知识
57
4,特点
(1) 编码简单,容易实现 ；
(2) 奇偶检验码只有检错能力,没有纠错能力 ；
(3) 只能发现单错,不能发现双错 。
第一章 基本知识
58
1.4.3 字符编码数字系统中处理的数据除了数字之外,还有字母,运算符号,标点符号以及其他特殊符号,人们将这些符号统称为字符 。 所有字符在数字系统中必须用二进制编码表示,通常将其称为 字符编码 。
最常用的字符编码是美国信息交换标准码,简称 ASCII码
(American Standard Code for Information Interchange)。
ASCII码用 7位二进制码表示 128种字符,由于数字系统中实际是用一个字节表示一个字符,所以使用 ASCII码时,通常在最左边增加一位奇偶检验位 。
第一章 基本知识
基 本 知 识第一章 基本知识第 一 章
2
本章知识要点第一章 基本知识
★ 常用的几种编码 。
★ 带符号二进制数的代码表示 ；
★ 常用计数制及其转换 ；
★ 数字系统的基本概念 ；
3
1.1 概 述
1.1.1 数字系统第一章 基本知识众所周知，我们现在处在一个 信息的时代 ！请问,信息的概念是什么？
信息具备哪些能力?
信息的概念,人们站在不同的角度，对“信息”给出了不同的解释。
诸如，“信息是表征物理量数值特征的量”，“信息是物质的反映”，
“信息是人类交流的依据”,?,
广义的说，“信息是对客观世界所存在的各种差异的描述”。
一、信息与数字
4
二、数字系统什么是数字系统?
数字系统是一个能对数字信号进行存储,传递和加工的实体,它由实现各种功能的数字逻辑电路相互连接而成 。 例如,
数字计算机 。
第一章 基本知识
1,数字信号若信号的变化在时间上和数值上都是离散的,或者说断续的,则称为离散信号 。 离散信号的变化可以用不同的数字反映,
所以又称为数字信号,简称为数字量 。
例如,学生成绩记录,工厂产品统计,电路开关的状态等 。
5
第一章 基本知识例如,某控制系统框图如下图所示 。
执行机构数字量 数字量模拟量 模拟量控制信号被测参数一次仪表计算机被控对象
D/AA/D
数字系统中处理的是数字信号,当数字系统要与模拟信号发生联系时,必须经过模 /数 (A/D)转换和数 /模 (D/A)转换电路,
对信号类型进行变换 。
6
2,数字逻辑电路用来处理数字信号的电子线路称为 数字电路 。 由于数字电路的各种功能是通过逻辑运算和逻辑判断来实现的,
所以数字电路又称为 数字逻辑电路 或者 逻辑电路 。
第一章 基本知识
(1) 电路的基本工作信号是二值信号 。 它表现为电路中电压的,高,或,低,,开关的,接通,或,断开,,晶体管的,导通,或,截止,等两种稳定的物理状态 。
(2) 电路中的半导体器件一般都工作在开,关状态 。
数字逻辑电路具有如下特点,
(3) 电路结构简单、功耗低、便于集成制造和系列化生产；
产品价格低廉、使用方便、通用性好。
(4) 由数字逻辑电路构成的数字系统工作速度快,精度高,
功能强,可靠性好 。
7
由于数字逻辑电路具有上述特点,所以,数字逻辑电路的应用十分广泛 。
随着半导体技术和工艺的发展,出现了数字集成电路,
集成电路发展十分迅速 。
数字集成电路按照集成度的高低可分为小规模 （ SSI）,
中规模 （ MSI）,大规模 （ LSI） 和超大规模 （ VLSI） 几种类型 。
第一章 基本知识
8
数字计算机是一种能够自动,高速,精确地完成数值计算,数据加工和控制,管理等功能的数字系统 。
1,数字计算机第一章 基本知识三,数字计算机及其发展数字计算机从 1946年问世以来,其发展速度是惊人的 。
根据组成计算机的主要元器件的不同,至今已经历了四代 。
具体如下表所示 。
2,计算机的发展计算机总的发展 趋势是,速度 ↑,功能 ↑,可靠性 ↑,体积 ↓,价格 ↓,功耗 ↓。
9
1.1.2 数字逻辑电路的类型和研究方法由于这类电路的输出与过去的输入信号无关,所以不需要有记忆功能 。
一、数字逻辑电路的类型第一章 基本知识组合逻辑电路,如果一个逻辑电路在任何时刻的稳定输出仅取决于该时刻的输入，而与电路过去的输入无关，则称为组合逻辑 (Combinational Logic)电路。
根据一个电路是否具有记忆功能，可将数字逻辑电路分为 组合逻辑电路 和 时序逻辑电路 两种类型。
10
时序逻辑电路按照是否有统一的时钟信号进行同步,又可进一步分为 同步时序逻辑电路 和 异步时序逻辑电路 。
第一章 基本知识时序逻辑电路,如果一个逻辑电路在任何时刻的稳定输出不仅取决于该时刻的输入，而且与过去的输入相关，则称为时序逻辑 (Sequential Logic)电路。
由于这类电路的输出与过去的输入信号无关,所以不需要有记忆功能 。
11
二、数字逻辑电路的研究方法对数字系统中逻辑电路的研究有 两个主要任务,一是分析,二是 设计 。
对一个已有的数字逻辑电路,研究它的工作性能和逻辑功能称为 逻辑分析 ；
根据提出的逻辑功能,在给定条件下构造出实现预定功能的逻辑电路称为 逻辑设计,或者 逻辑综合 。
第一章 基本知识逻辑电路分析与设计的方法随着集成电路的迅速发展在不断发生变化,最成熟的方法是 传统的方法 。
12
1．逻辑电路分析和设计的传统方法传统方法,传统方法是建立在小规模集成电路 基础 之上的,它以技术经济指标作为 评价 一个设计方案优劣的主要性能指标,设计时追求的 目标是如何使一个电路达到 最简 。
第一章 基本知识如何达到最简呢？ 在组合逻辑电路设计时,尽可能使电路中的逻辑门和连线数目达到最少 。 而在时序逻辑电路设计时,则尽可能使电路中的触发器,逻辑门和连线数目达到最少 。
注意：一个最简的方案并不等于一个最佳的方案！
最佳方案应满足全面的性能指标和实际应用要求。所以，在用传统方法求出一个实现预定功能的最简结构之后，往往要根据实际情况进行相应调整。
13
2．用中、大规模集成组件进行逻辑设计的方法第一章 基本知识用中、大规模集成组件去构造满足各种功能的逻辑电路时，
如何寻求经济合理的方案呢？ 要求设计人员 必须注意：
▲ 充分了解各种器件的逻辑结构和外部特性，做到合理选择器件；
▲ 充分利用每一个已选器件的功能，用灵活多变的方法完成各类电路或功能模块的设计；
▲ 尽可能减少芯片之间的相互连线。
14
3．用可编程逻辑器件 (PLD)进行逻辑设计的方法各类可编程逻辑器件 (PLD)的出现，给逻辑设计带来了一种全新的方法。人们不再用常规硬线连接的方法去构造电路，
而是 借助丰富的计算机软件对器件进行编程烧录来实现各种逻辑功能，这给逻辑设计带来了极大的方便。
第一章 基本知识
4．用计算机进行辅助逻辑设计的方法面对日益复杂的集成电路芯片设计和数字系统设计,人们不得不越来越多地 借助计算机进行辅助逻辑设计 。 目前,
已有各种设计数字系统的软件在市场上出售 。 计算机辅助逻辑设计方法正在不断推广和应用 。 不少人认为计算机设计自动化已形成计算机科学中的一个独立的学科 。
15
1.2.1 进位计数制数制是人们对数量计数的一种统计规律 。 生活中广泛使用的是十进制,而数字系统中使用的是二进制 。
1.2 数制及其转换
666
6× 102 6× 101 6× 100
如
(666)10=6× 102+6× 101+6× 100
同一个字符 6从左到右所代表的值依次为 600,60,6。 即第一章 基本知识十进制中采用了 0,1,…,9共十个基本数字符号，进位规律是“逢十进一”。 当用若干个数字符号并在一起表示一个数时，处在不同位置的数字符号，其值的含意不同。
一,十进制
16
广义地说,一种进位计数制包含着 基数 和 位权 两个基本的因素：
基数,指计数制中所用到的数字符号的个数 。 在基数为 R
计数制中,包含 0,1,…,R-1共 R个数字符号,进位规律是
,逢 R进一,。 称为 R进位计数制,简称 R进制 。
第一章 基本知识位权,是指在一种进位计数制表示的数中,用来表明不同数位上数值大小的一个固定常数 。 不同数位有不同的位权,
某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权 。 R进制数的位权是 R的整数次幂 。
例如,十进制数的位权是 10的整数次幂,其个位的位权是 100,十位的位权是 101…… 。
二,R进制
17
一个 R进制数 N可以有两种表示方法：
(1) 并列表示法 (又称位置计数法 )
(N)R = ( Kn-1Kn-2… K1K0,K-1K-2… K-m )R
(2) 多项式表示法 (又称按权展开法 )
(N)R = Kn-1× Rn-1 + Kn-2× Rn-2 +… +K1× R1 + K0× R0
+ K-1× R-1 + K-2× R-2+ … + K-m× R-m
第一章 基本知识其中,R—— 基数 ; n——整数部分的位数；
m—— 小数部分的位数；
Ki —— R进制中的一个数字符号，其取值范围为 0≤ Ki≤ R-1 (-m≤i≤n-1)。
18
(3) 位权是 R的整数次幂,第 i位的权为 Ri (-m≤i≤n-1)。
R进制的特点可归纳如下：
(1) 有 0,1,…,R-1共 R个数字符号 ;
(2) ―逢 R进一,,,10‖表示 R;
第一章 基本知识
19
基数 R=2的进位计数制称为二进制 。 二进制数中 只有 0
和 1两个基本数字符号,进位规律是,逢二进一,。 二进制数的位权是 2的整数次幂 。
三、二进制任意一个二进制数 N可以表示成其中,n—整数位数； m—小数位数；
Ki —为 0或者 1,-m≤i≤n-1。
(N)2 = (Kn-1Kn-2…K 1K0.K-1K-2…K -m)2
= Kn-1× 2n-1+Kn-2× 2n-2+…+K 1× 21+K0× 20
+K-1× 2-1+K-2× 2-2+…+K -m× 2-m
第一章 基本知识
20
例如,一个二进制数 1011.01可以表示成,
(1011.01)2 = 1× 23+0× 22+1× 21+1× 20+0× 2-1+1× 2-2
第一章 基本知识二进制数的运算规则如下：
加法规则 0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=0 (进位为 1)
减法规则 0-0=0 1-0=1
1-1=0 0-1=1 (借位为 1)
乘法规则 0× 0=0 0× 1=0
1× 0=0 1× 1=1
除法规则 0÷ 1=0 1÷ 1=1
21
因为二进制中只有 0和 1两个数字符号,可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数 。 例如,可以用晶体管的截止和导通表示 1和 0,或者用电平的高和低表示 1和 0等 。
所以,在数字系统中普遍采用二进制 。
二进制的优点,运算简单,物理实现容易,存储和传送方便,可靠 。
二进制的缺点,数的位数太长且字符单调,使得书写,
记忆和阅读不方便 。
因此,人们在进行指令书写,程序输入和输出等工作时,
通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写 。
第一章 基本知识
22
四,八 进制基数 R=8的进位计数制称为八进制 。 八进制数中有 0、
1,…,7共 8个基本数字符号,进位规律是,逢八进一,。
八进制数的 位权是 8的整数次幂 。
任意一个八进制数 N可以表示成
(N)8 =(Kn-1Kn-2… K1K0,K-1K-2… K-m)8
= Kn-1× 8n-1+Kn-2× 8n-2+… +K1× 81+K0× 80
+K-1× 8-1+K-2× 8-2+… +K-m× 8-m
其中,n—整数位数； m—小数位数；
Ki—0～ 7中的任何一个字符,-m ≤i≤n -1。
第一章 基本知识
23
五、十六进制基数 R=16的进位计数制称为十六进制 。 十六进制数中有 0,1,…,9,A,B,C,D,E,F共 16个数字符号,其中,
A～ F分别表示十进制数的 10～ 15。 进位规律为,逢十六进一,。 十六进制数的 位权是 16的整数次幂 。
任意一个十六进制数 N可以表示成
(N)16 = (Kn-1Kn-2… K1K0,K-1K-2… K-m)16
= Kn-1× 16n-1+Kn-2× 16n-2+… +K1× 161+K0× 160
+K-1× 16-1+K-2× 16-2+… +K-m× 16-m
其中,n—整数位数； m—小数位数； Ki—表示 0～ 9,A～ F
中的任何一个字符,-m ≤i≤ n-1。
第一章 基本知识
24
1.2.2 数制转换方法：多项式替代法一、二进制数与十进制数之间的转换
1,二进制数转换为十进制数将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。
例如，（ 10110.101） 2 =（？） 10
(10110.101)2=1× 24+1× 22+1× 21+1× 2-1+1× 2-3
= 16+4+2+0.5+0.125
= (22.625)10
第一章 基本知识数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制 。 从实际应用出发,要求掌握二进制数与十进制数,八进制数和十六进制数之间的相互转换 。
25
方法：基数乘除法十进制数转换成二进制数时,应对整数和小数分别进行处理 。
整数转换 ——采用,除 2取余,的方法；
小数转换 ——采用,乘 2取整,的方法 。
(1) 整数转换
,除 2取余,法,将十进制整数 N除以 2,取余数计为 K0 ；
再将所得商除以 2,取余数记为 K1； …… 。 依此类推,直至商为 0,取余数计为 Kn-1为止 。 即可得到与 N对应的 n位二进制整数 Kn-1… K1K0。
第一章 基本知识
2,十进制数转换为二进制数
26
例如,（ 35） 10=（？ ） 2
2 3 5 余数
2 1 7 ……… 1 （ K0） 低位
2 8 ……… 1 （ K1）
2 4 ……… 0 （ K2）
2 2 ……… 0 （ K3）
2 1 ……… 0 （ K4）
0 ……… 1 （ K5） 高位即 (35)10=(100011)2
第一章 基本知识
27
例如,（ 0.6875） 10 =（？ ） 2
(2) 小数转换
,乘 2取整,法,将十进制小数 N 乘以 2,取积的整数记为 K–1；再将积的小数乘以 2,取整数记为 K–2； …… 。 依此类推,直至其小数为 0或达到规定精度要求,取整数记作 K–m为止 。 即可得到与 N 对应的 m位二进制小数 0.K-1K-2… K-m。
第一章 基本知识高位 1(K-1)…… 1.3 7 5 0
0(K-2)…… 0.7 5 0 0
1(K-3)…… 1.5 0 0 0
0.6 8 7 5
整数部分 × 2
× 2
低位 1(K-4)…… 1.0 0 0 0
× 2
× 2
即,
(0.6875)10=(0.1011)2
28
二、二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换第一章 基本知识
1,二进制数与八进制数之间的转换二进制数转换成八进制数,以小数点为界,分别往高,
往低每 3位为一组,最后不足 3位时用 0补充,然后写出每组对应的八进制字符,即为相应八进制数 。
例如,（ 11100101.01） 2 = （？ ） 8
011 100 101,010
3 4 5,2
即 (11100101.01)2=(345.2)8
29
5 6,7
101 110,111
即,(56.7)8 = (101110.111)2
例如,（ 56.7） 8 = （？ ） 2
第一章 基本知识八进制数转换成二进制数时,只需将每位八进制数用 3位二进制数表示,小数点位置保持不变 。
30
第一章 基本知识
2,二进制数与十六进制数之间的转换二进制数转换成十六进制数,以小数点为界,分别往高,往低每 4位为一组,最后不足 4位时用 0补充,然后写出每组对应的十六进制字符即可 。
例如,（ 101110.011） 2 = （？ ） 16
即,
(101110.011)2 = (2E.6)１６
0010 1110,0110
2 E,6
31
十六进制数转换成二进制数时,只需将每位十六进制数用 4位二进制数表示,小数点位置保持不变 。
例如,（ 5A.B） 16 = （？ ） 2
即,(5A.B)１６ =(1011010.1011)2
5 A,B
0101 1010,1011
第一章 基本知识
32
1.3 带符号二进制数的代码表示为了标记一个数的正负，人们通常在一个数的前面用
,+‖号表示正数，用,-‖号表示负数。在数字系统中，符号和数值一样是用 0和 1来表示的，一般将数的最高位作为符号位，用 0表示正，用 1表示负 。 其格式为
Xf Xn-1 Xn-2 … X1 X0
↑
符号位通常将用,+”,,-”表示正、负的二进制数称为符号数的 真值,而把将符号和数值一起编码表示的二进制数称为 机器数 或 机器码 。
常用的机器码有 原码,反码 和 补码 三种。
第一章 基本知识
33
1.3.1 原码
X 0≤X ＜ 1
［ X］ 原 =
1-X -1＜ X≤ 0
0 正即 符号位
1 负数值位,不变一、小数原码的定义设二进制小数 X = ± 0.x-1x-2… x-m，则其原码定义为原码,符号位用 0表示正,1表示负；数值位保持不变 。 原码表示法又称为符号 —数值表示法 。
第一章 基本知识
34
例如,若 X1 = +0.1011,X2 = -0.1011
则 ［ X1］ 原 = 0.1011
［ X2］ 原 = 1-(-0.1011)=1.1011
根据定义,小数,0”的原码可以表示成 0.0… 0或 1.0… 0。
第一章 基本知识
35
二、整数原码的定义
X 0 ≤ X ＜ 2n
［ X］ 原 =
2n-X -2n ＜ X ≤ 0
设二进制整数 X = ± xn-1xn-2… x0,则其原码定义为例如,若 X1 = +1101,X2 = -1101,则 X1和 X2的原码为
［ X1］ 原 = 01101
［ X2］ 原 = 24-(-1101)=10000+1101=11101
同样,整数,0”的原码也有两种形式,即 00… 0和 10… 0。
第一章 基本知识
36
第一章 基本知识原码的 优点,简单易懂,求取方便 ;
缺点,加、减运算不方便。
当进行两数加、减运算时，要根据运算及参加运算的两个数的符号来确定是加还是减；如果是做减法，还需根据两数的大小确定被减数和减数，以及运算结果的符号。显然，这将增加运算的复杂性。
为了克服原码的缺点,引入了反码和补码 。
37
1.3.2 反码
X 0 ≤ X ＜ 1
［ X]反 =
(2-2-m)+X -1 ＜ X ≤ 0
第一章 基本知识一、小数反码的定义设二进制小数 X = ± 0.x-1x-2… x-m，则其反码定义为带符号二进制数的反码表示：
符号位 ———用 0表示正,用 1表示负；
数值位 ———正数反码的数值位和真值的数值位相同；
而负数反码的数值位是真值的数值位按位变反 。
38
例如,若 X1 = +0.1011,X2 = -0.1011，则 X1和 X2的反码为
［ X1］ 反 = 0.1011
［ X2］ 反 = 2-2-4+X2=10.0000-0.0001-0.1011=1.0100
根据定义,小数,0”的反码有两种表示形式,即
0.0… 0和 1.1… 1。
第一章 基本知识即 -0,1 0 1 1
1,0 1 0 0
39
二、整数反码的定义设二进制整数 X = ± xn-1xn-2… x0,则其反码定义为第一章 基本知识即 - 1 0 0 1
1 0 1 1 0
整数,0”的反码也有两种形式,即 00… 0和 11… 1。
例如,若 X1 = +1001,X2 = -1001,则 X1和 X2的反码为
［ X1］ 反 = 01001
［ X2］ 反 = (25-1)+X = (100000-1)+(-1001)
= 11111-1001 = 10110
［ X］ 反 =
(2n+1-1)+X -2n ＜ X ≤ 0
X 0 ≤ X ＜ 2n
40
采用反码进行加、减运算时，无论进行两数相加还是两数相减，均可通过加法实现。
加、减运算规则如下：
［ X1 + X2］ 反 =［ X1］ 反 +［ X2］ 反
［ X1 – X2］ 反 =［ X1］ 反 +［ -X2］ 反第一章 基本知识运算时,符号位和数值位一样参加运算 。 当符号位有进位产生时,应将进位加到运算结果的最低位,才能得到最后结果 。
41
1.3.3 补码带符号二进制数的补码表示：
符号位 ——用 0表示正,用 1表示负；
数值位 ——正数补码的数值位与真值相同； 负数补码的数值位是真值的数值位按位变反,并在最低位加 1。
设二进制小数 X = ± 0.x-1x-2… x-m,则其补码定义为一、小数补码的定义
X 0 ≤ X ＜ 1
［ X］ 补 =
2+X -1 ≤ X ＜ 0
第一章 基本知识
42
例如,若 X 1= +0.1011,X 2 = -0.1011,则 X1和 X2的补码为
［ X1］ 补 = 0.1011
［ X2］ 补 = 2 + X = 10.0000 - 0.1011
= 1.0101
注意,小数,0”的补码只有一种表示形式,即 0.0… 0。
第一章 基本知识即 -0,1 0 1 1
1,0 1 0 0
+ 1
1,0 1 0 1
43
二、整数补码的定义设二进制整数 X = ± xn-1xn-2… x0,则其补码定义为
X 0 ≤ X ＜ 2n
［ X］ 补 =
2n+1+X -2n ≤ X ＜ 0
例如,若 X1 = +1010,X2 = -1010,则 X1和 X2的补码为
[X1］ 补 = 01010（ 正数补码的数值位与真值相同 。 ）
［ X2］ 补 = 25 + X = 100000-1010
= 10110（ 负数补码的数值位是真值的数值位按位变反,并在最低位加 1。 ）
整数,0”的补码也只有一种表示形式,即 00… 0。
第一章 基本知识
44
采用补码进行加,减运算时,可以将加,减运算均通过加法实现 。
运算时,符号位和数值位一样参加运算,若符号位有进位产生,则应将进位丢掉后才能得到正确结果 。
第一章 基本知识运算规则如下,
［ X1 + X2］ 补 =［ X1］ 补 +［ X2］ 补
［ X1 – X2］ 补 =［ X1］ 补 +［ -X2］ 补
45
1.4 几种常用的编码
1.4.1 十进制数的二进制编码（ BCD码）
第一章 基本知识用 4位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称为二 –十进制代码，或称 BCD(Binary Coded Decimal)码 。
BCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。常用的
BCD码有 8421码,2421码 和 余 3码。
46
第一章 基本知识十进制数字符号 0~9与 8421码,2421码 和 余 3码 的对应关系如下表所示。
0 0000 0000 0011
1 0001 0001 0100
2 0010 0010 0101
3 0011 0011 0110
4 0100 0100 0111
5 0101 1011 1000
6 0110 1100 1001
7 0111 1101 1010
8 1000 1110 1011
9 1001 1111 1100
十进制字符 8421码 2421码 余 3码常用的 3种 BCD码
47
一,8421码
8421码,是用 4位二进制码表示一位十进制字符的一种 有权码,4位二进制码从高位至低位的权依次为 23,22,21,20，
即为 8,4,2,1,故称为 8421码 。
按 8421码编码的 0～ 9与用 4位二进制数表示的 0～ 9完全一样。所以,8421码是一种人机联系时广泛使用的中间形式。
(1) 8421码中不允许出现 1010～ 1111六种组合 (因为没有十进制数字符号与其对应 )。
(2) 十进制数字符号的 8421码与相应 ASCII码的低四位相同,这一特点有利于简化输入输出过程中 BCD码与字符代码的转换 。
注意：
第一章 基本知识
48
8421码与十进制数之间的转换是 按位进行 的,即十进制数的每一位与 4位二进制编码对应 。 例如,
1,8421码与十进制数之间的转换
(258)10= (0010 0101 1000)8421码
(0001 0010 0000 1000)8421码 = (1208)10
例如,
(28） 10 =（ 11100） 2 =（ 00101000） 8421
2,8421码与二进制的区别第一章 基本知识
49
二,2421码
2421码,是用 4位二进制码表示一位十进制字符的另一种有权码,4位二进制码从高位至低位的权依次为 2,4,2、
1,故称为 2421码 。
若一个十进制字符 X的 2421码为 a3 a2 a1 a0，则该字符的值为
X = 2a3 + 4a2 + 2a1 + 1a0
例如,(1101)2421码 = (7)10
第一章 基本知识
2421码与十进制数之间的转换同样是按位进行的,例如,
(258)10 = (0010 1011 1110)2421码
(0010 0001 1110 1011)2421码 = (2185)10
1,2421码与十进制数之间的转换
50
第一章 基本知识
(1) 2421码不具备单值性 。 例如,0101和 1011都对应十进制数字 5。 为了与十进制字符一一对应,2421码不允许出现
0101～ 1010的 6种状态 。
2,注意
(3) 应与二进制数进行区别 !
(2) 2421码是一种对 9的自补代码 。 即一个数的 2421码只要自身按位变反,便可得到该数对 9的补数的 2421码 。 例如,
(4)10 (0100)2421
(1011)2421 (5)10
具有这一特征的 BCD码可给运算带来方便,因为直接对
BCD码进行运算时,可利用其对 9的补数将减法运算转化为加法运算 。
51
三、余 3码第一章 基本知识余 3码,是由 8421码加上 0011形成的一种无权码，由于它的每个字符编码比相应 8421码多 3，故称为余 3码。
例如，十进制字符 5的余 3码等于 5的 8421码 0101加上 0011，
即为 1000。
2,余 3码与十进制数进行转换时,每位十进制数字的编码都应余 3。 例如,
(256)10= (0101 1000 1001)余 3码
(1000 1001 1001 1011)余 3码 = (5668)10
注意,
1,余 3码中不允许出现 0000,0001,0010,1101,1110和
1111六种状态。
3,余 3码是一种对 9的自补代码。
52
第一章 基本知识
1.4.2 可靠性编码作用,提高系统的可靠性。
为了减少或者发现代码在形成和传送过程中都可能发生的错误。形成了各种编码方法。下面，介绍两种常用的可靠性编码。
一,格雷 (Gray)码
1,特点,任意两个相邻的数,其格雷码仅有一位不同 。
2,作用,避免代码形成或者变换过程中产生的错误 。
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转换规则如下：
3,典型格雷码与普通二进制码之间的转换 。
设二进制码为 B = Bn-1Bn-2 … Bi+1Bi … B1B0
对应格雷码为 G = Gn-1Gn-2 … Gi+1Gi … G1G0
有,Gn-1 = Bn-1
Gi = Bi+1⊕B i 0 ≤ i≤ n-2
其中,运算,⊕,称为,异或,运算,运算规则是：
0⊕ 0=0； 0⊕ 1=1；
1⊕ 0=1； 1⊕ 1=0。
第一章 基本知识
54
例如,1 0 1 1 0 1 0 0 二进制数
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
1 1 1 0 1 1 1 0 Gray码
↘ ↓↘↓↘↓↘↓↘↓↘↓↘↓
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
思考,如何将 Gray码转换成二进制码？
第一章 基本知识
55
二、奇偶检验码奇偶检验码是一种用来检验代码在传送过程中是否产生错误的代码 。
2,编码方式,有两种编码方式,
奇检验,使信息位和检验位中,1”的个数共计为奇数；
偶检验,使信息位和检验位中,1”的个数共计为偶数 。
信息位 (7位 ) 采用奇检验的检 验位 (1位 ) 采用偶检验的检 验位 (1位 )
1001100 0 1
第一章 基本知识
1．组成：
信息位 ——位数不限的一组二进制代码两部分组成奇偶检验位 ——仅有一位。
例如,
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3,检验码的工作原理奇偶检验码的工作原理如下图所示 。
检测器编码器
x1
x2
x3
x4
1 1
1
1
1
1
0
0 0
0 1
F
P(奇 )
发送端 接收端第一章 基本知识
57
4,特点
(1) 编码简单,容易实现 ；
(2) 奇偶检验码只有检错能力,没有纠错能力 ；
(3) 只能发现单错,不能发现双错 。
第一章 基本知识
58
1.4.3 字符编码数字系统中处理的数据除了数字之外,还有字母,运算符号,标点符号以及其他特殊符号,人们将这些符号统称为字符 。 所有字符在数字系统中必须用二进制编码表示,通常将其称为 字符编码 。
最常用的字符编码是美国信息交换标准码,简称 ASCII码
(American Standard Code for Information Interchange)。
ASCII码用 7位二进制码表示 128种字符,由于数字系统中实际是用一个字节表示一个字符,所以使用 ASCII码时,通常在最左边增加一位奇偶检验位 。
第一章 基本知识
