第七讲 MATLAB的符号计算所谓符号计算是指在运算时,无须事先对变量赋值,而将所得到结果以标准的符号形式来表示。
MathWorks公司以 Maple的内核作为符号计算引擎（ Engine），依赖 Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：
基本符号工具箱和扩展符号工具箱。
一、符号计算基础一、符号计算基础
（一） 定义符号变量参与符号运算的对象可以是符号变量,
符号表达式或符号矩阵 。 符号变量要先定义,后引用 。 可以用 sym函数,syms函数将运算量定义为符号型数据 。 引用符号运算函数时,用户可以指定函数执行过程中的变量参数；若用户没有指定变量参数,
则使用 findsym函数默认的变量作为函数的变量参数 。
1,sym函数
sym函数的主要功能是创建符号变量,以便进行符号运算,也可以用于创建符号表达式或符号矩阵 。 用 sym函数创建符号变量的一般格式为：
x = sym(‘x’)
其目的是将 ’ x’创建为符号变量,以 x作为输出变量名 。
每次调用该函数,可以定义一个符号变量 。
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
【 例 1】 作符号计算：
a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，
应先将 a,b,x,y定义为符号运算量
15 byax byax
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
a=sym(‘a’); %定义 ‘ a’为符号运算量,输出变量名为 a
y =2/bb=sym(‘b’);
x=sym(‘x’);
y=sym(‘y”);
[x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)
%以 a,b为符号常数,x,y为符号变量即可得到方程组的解：
x =3/a
y =2/b
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
【 例 2】 已知一复数表达式 z=x+i*y,试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式 。
为了使乘积表达式 x^2+y^2非负,这里,把变量 x和 y定义为实数 。
x=sym(‘x’,’real’);
y=sym(‘y’,’real’);
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
z=x+i*y; %定义复数表达式
conj(z); %求共轭复数
expand(z*conj(z)) %求表达式与其共轭复数乘积的多项式
ans =
x^2+y^2
若要去掉 ’ x’的属性,可以使用下面语句
x = sym(‘x’,’unreal’)
将 ’ x’创建为纯格式的符号变量 。
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
2,syms函数
syms函数的功能与 sym函数类似 。 syms
函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量,其一般格式为：
syms arg1 arg2 … argN
用于将 rg1,arg2,…,argN等符号创建为符号型数据 。
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
（二）默认符号变量在数学表达式中,一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数,而用排在后面的字母表示变量 。 例如：
f=ax2+bx+c
表达式中的 a,b,c通常被认为是常数,用作变量的系数；而将 x看作自变量 。
一、符号计算基础例如,数学表达式
f=xn
g=sin(at+b)
根据数学式中表示自变量的习惯,默认 a,b,c为符号常数,x为符号变量 。
若在 MATLAB中表示上述表达式，首先用 syms 函数定义 a,b,n,t,x为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认 a,b,c为符号常数,x,t为符号变量。
即,对函数 f求导为,df/dx
对函数 g求导为,dg/dt
一、符号计算基础
（二）默认符号变量为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名,可以用 findsym函数查询默认的变量 。 该函数的引用格式为：
findsym（ f,n）
说明,f为用户定义的符号函数,
n为正整数,表示查询变量的个数 。
n=i,表示查询 i个系统默认变量 。 n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量 。
一、符号计算基础
（二）默认符号变量
【 例 3 】 查询符号函数
f=xn
g=sin(at+b)
中的系统默认变量 。
syms a b n t x %定义符号变量
f=x^n; %给定符号函数
g=sin(a*t+b);
findsym(f,1) %在 f函数中查询 1个系统默认变量
ans= x
表示 f函数中查询的 1个系统默认变量为 x。
一、符号计算基础
（二）默认符号变量
（三） 符号表达式符号表达式由符号变量,函数,算术运算符等组成 。
符号表达式的书写格式与数值表达式相同 。 例如,数学表达式其符号表达式为,1+sqr(5*x))/2
注意,在定义表达式前应先将表达式中的字符 x定义为符号变量 。
2
51 x?
一、符号计算基础
（四） 生成符号函数将表达式中的自变量定义为符号变量后，
赋值给符号函数名，即可生成符号函数。
例如有一数学表达式：
2
22
),(
c
byaxyxf
一、符号计算基础其用符号表达式生成符号函数 fxy的过程为：
syms a b c x y %定义符号运算量
fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2 %生成符号函数生成符号函数 fxy后,即可用于微积分等符号计算 。
一、符号计算基础
（四） 生成符号函数
【 例 4】 定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2,分别求该函数对 x,y的导数和对 x的积分 。
syms a b c x y %定义符号变量
fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2； %生成符号函数
diff(fxy,x) %符号函数 fxy对 x求导数
ans =2*a*x/c^2
diff(fxy,y) %符号函数 fxy对 y求导数
ans =2*b*y/c^2 %符号函数 fxy对 x求积分
int(fxy,x)
ans =1/c^2*(1/3*a*x^3+b*y^2*x)
一、符号计算基础
（四） 生成符号函数二、微积分
（一） 微积分函数
1.求极限函数 limit用于求符号函数 f的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能：
二、微积分
limit(f,x,a),求符号函数 f（ x）的极限值。即计算当变量 x趋近于常数 a时,f（ x）函数的极限值。
limit(f,a),求符号函数 f（ x）的极限值。由于没有指定符号函数 f（ x）的自变量，则使用该格式时，符号函数 f（ x）的变量为函数
findsym(f)确定的默认自变量，既变量 x趋近于 a。
limit(f),求符号函数 f（ x）的极限值。符号函数 f（ x）的变量为函数 findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于 0，即 a=0的情况。
limit(f,x,a,'right'),求符号函数 f的极限值。 'right'表示变量 x
从右边趋近于 a。
limit(f,x,a,'left'),求符号函数 f的极限值。 'left'表示变量 x从左边趋近于 a。
二、微积分
【 例 5】 求极限
syms x； %定义符号变量
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3； %确定符号表达式
w=limit(f) %求函数的极限
w = -1/2
x
eex t g xx
x 3
s i n
0 s in
)1(2)1(li m
二、微积分
2,微分函数
diff函数用于对符号表达式 s求微分 。 该函数的一般引用格式为：
diff(s,’v’,n)
二、微积分说明：
应用 diff（ s） 没有指定微分变量和微分阶数,则系统按 findsym函数指示的默认变量对符号表达式 s求一阶微分 。
应用 diff（ s,‘ v’） 或 diff（ s,sym（ ‘ v’）） 格式,
表示以 v为自变量,对符号表达式 s求一阶微分 。
应用 diff（ s,n） 格式,表示对符号表达式 s求 n阶微分,n为正整数 。
应用 diff（ s,‘ v’,n） diff（ s,n,‘ v’） 格式,表示以 v为自变量,对符号表达式 s求 n阶微分 。
【 例 6】 求导数：
x = sym('x'); %定义符号变量
t = sym('t');
diff(sin(x^2)) %求导运算
ans =
2*cos(x^2)*x
dx
xd 2s i n
二、微积分
3．积分函数积分函数 int（ s,v,a,b)可以对被积函数或符号表达式 s求积分 。 其引用格式为：
int（ s,v,a,b)
说明：
应用 int（ s） 格式,表示没有指定积分变量和积分阶数时,系统按
findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式 s求一阶积分 。
应用 int（ s,v） 格式,表示以 v为自变量,对被积函数或符号表达式
s求一阶不定积分 。
应用积分函数时,如果给定 a,b两项,表示是进行定积分运算 。 a、
b分别表示定积分的下限和上限 。 不指定积分的下限和上限表示求不定积分 。
二、微积分
【 例 7】 求下述积分 。
求积分：
syms x
int(1/(1+x^2))
ans =
atan(x)
dxx 21 1
二、微积分
4,级数 (级数求和 )
级数求和运算是数学中常见的一种运算 。
例如：
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… +anxn
函数 symsum可以用于此类对符号函数 f的求和运算 。 该函数的引用时,应确定级数的通项式 s，
变量的变化范围 a和 b。 该函数的引用格式为：
symsum(s,a,b)
二、微积分
【 例 8】 求级数的和,键入：
1/12+1/22+1/32+1/42+ ……
syms k
symsum(1/k^2,1,Inf) %k值为 1到无穷大
ans =
1/6*pi^2
其结果为,1/12+1/22+1/32+1/42+ …… =π2/6
二、微积分三、简化方程表达式
1.因式分解
factor函数的功能为：把多项式 S分解为多个因式,各多项式的系数均为有理数 。 格式为：
factor(s)
三、简化方程表达式
【 例 9】 将表达式 (x^9-1)分解为多个因式 。
syms x
factor(x^9-1)
ans =
(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)
2.嵌套将符号多项式 s用嵌套形式表示,即用多层括号的形式表示 。 Horner函数可以实现此功能 。 该函数的格式为：
horner(s)
三、简化方程表达式
【 例 10】 将表达式 x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示 。
syms x
horner(x^3-6*x^2+11*x-6)
ans =
-6+(11+(-6+x)*x)*x
四、解方程解方程函数的格式为：
solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN)
或 solve(expr1,expr2,...,exprN)
其功能为：求解代数方程组 expr1,expr2,...,exprN的根,未知数为
var1,var2,...varN。
说明：
若不指明符号表达式 expr1,expr2,...,exprN的值,系统默认为 0。 例如给出一个表达式 x^2-3*x-8,则系统将按 x^2-3*x-8=0进行运算；
四、解方程
【 例 11】 解代数方程,a*x2-b*x-6=0
syms a b x
solve(a*x^2-b*x-6)
ans =
[ 1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))]
[ 1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))]
即该方程有两个根,x1=1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))；
x2=1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))
四、解方程习题：
1．解方程组：
2.计算：
f(x)=sin(x)
f(x)=1/cos(x)
52 12 yx yx
dxxf )(
MathWorks公司以 Maple的内核作为符号计算引擎（ Engine），依赖 Maple已有的函数库，开发了实现符号计算的两个工具箱：
基本符号工具箱和扩展符号工具箱。
一、符号计算基础一、符号计算基础
（一） 定义符号变量参与符号运算的对象可以是符号变量,
符号表达式或符号矩阵 。 符号变量要先定义,后引用 。 可以用 sym函数,syms函数将运算量定义为符号型数据 。 引用符号运算函数时,用户可以指定函数执行过程中的变量参数；若用户没有指定变量参数,
则使用 findsym函数默认的变量作为函数的变量参数 。
1,sym函数
sym函数的主要功能是创建符号变量,以便进行符号运算,也可以用于创建符号表达式或符号矩阵 。 用 sym函数创建符号变量的一般格式为：
x = sym(‘x’)
其目的是将 ’ x’创建为符号变量,以 x作为输出变量名 。
每次调用该函数,可以定义一个符号变量 。
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
【 例 1】 作符号计算：
a,b,x,y均为符号运算量。在符号运算前，
应先将 a,b,x,y定义为符号运算量
15 byax byax
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
a=sym(‘a’); %定义 ‘ a’为符号运算量,输出变量名为 a
y =2/bb=sym(‘b’);
x=sym(‘x’);
y=sym(‘y”);
[x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)
%以 a,b为符号常数,x,y为符号变量即可得到方程组的解：
x =3/a
y =2/b
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
【 例 2】 已知一复数表达式 z=x+i*y,试求其共轭复数,并求该表达式与其共轭复数乘积的多项式 。
为了使乘积表达式 x^2+y^2非负,这里,把变量 x和 y定义为实数 。
x=sym(‘x’,’real’);
y=sym(‘y’,’real’);
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
z=x+i*y; %定义复数表达式
conj(z); %求共轭复数
expand(z*conj(z)) %求表达式与其共轭复数乘积的多项式
ans =
x^2+y^2
若要去掉 ’ x’的属性,可以使用下面语句
x = sym(‘x’,’unreal’)
将 ’ x’创建为纯格式的符号变量 。
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
2,syms函数
syms函数的功能与 sym函数类似 。 syms
函数可以在一个语句中同时定义多个符号变量,其一般格式为：
syms arg1 arg2 … argN
用于将 rg1,arg2,…,argN等符号创建为符号型数据 。
一、符号计算基础
（一） 定义符号变量
（二）默认符号变量在数学表达式中,一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变量的系数,而用排在后面的字母表示变量 。 例如：
f=ax2+bx+c
表达式中的 a,b,c通常被认为是常数,用作变量的系数；而将 x看作自变量 。
一、符号计算基础例如,数学表达式
f=xn
g=sin(at+b)
根据数学式中表示自变量的习惯,默认 a,b,c为符号常数,x为符号变量 。
若在 MATLAB中表示上述表达式，首先用 syms 函数定义 a,b,n,t,x为符号对象。在进行导数运算时，由于没有指定符号变量，则系统采用数学习惯来确定表达式中的自变量，默认 a,b,c为符号常数,x,t为符号变量。
即,对函数 f求导为,df/dx
对函数 g求导为,dg/dt
一、符号计算基础
（二）默认符号变量为了了解函数引用过程中使用的符号变量个数及变量名,可以用 findsym函数查询默认的变量 。 该函数的引用格式为：
findsym（ f,n）
说明,f为用户定义的符号函数,
n为正整数,表示查询变量的个数 。
n=i,表示查询 i个系统默认变量 。 n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量 。
一、符号计算基础
（二）默认符号变量
【 例 3 】 查询符号函数
f=xn
g=sin(at+b)
中的系统默认变量 。
syms a b n t x %定义符号变量
f=x^n; %给定符号函数
g=sin(a*t+b);
findsym(f,1) %在 f函数中查询 1个系统默认变量
ans= x
表示 f函数中查询的 1个系统默认变量为 x。
一、符号计算基础
（二）默认符号变量
（三） 符号表达式符号表达式由符号变量,函数,算术运算符等组成 。
符号表达式的书写格式与数值表达式相同 。 例如,数学表达式其符号表达式为,1+sqr(5*x))/2
注意,在定义表达式前应先将表达式中的字符 x定义为符号变量 。
2
51 x?
一、符号计算基础
（四） 生成符号函数将表达式中的自变量定义为符号变量后，
赋值给符号函数名，即可生成符号函数。
例如有一数学表达式：
2
22
),(
c
byaxyxf
一、符号计算基础其用符号表达式生成符号函数 fxy的过程为：
syms a b c x y %定义符号运算量
fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2 %生成符号函数生成符号函数 fxy后,即可用于微积分等符号计算 。
一、符号计算基础
（四） 生成符号函数
【 例 4】 定义一个符号函数 fxy=(a*x2+b*y2)/c2,分别求该函数对 x,y的导数和对 x的积分 。
syms a b c x y %定义符号变量
fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2； %生成符号函数
diff(fxy,x) %符号函数 fxy对 x求导数
ans =2*a*x/c^2
diff(fxy,y) %符号函数 fxy对 y求导数
ans =2*b*y/c^2 %符号函数 fxy对 x求积分
int(fxy,x)
ans =1/c^2*(1/3*a*x^3+b*y^2*x)
一、符号计算基础
（四） 生成符号函数二、微积分
（一） 微积分函数
1.求极限函数 limit用于求符号函数 f的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。该函数的格式及功能：
二、微积分
limit(f,x,a),求符号函数 f（ x）的极限值。即计算当变量 x趋近于常数 a时,f（ x）函数的极限值。
limit(f,a),求符号函数 f（ x）的极限值。由于没有指定符号函数 f（ x）的自变量，则使用该格式时，符号函数 f（ x）的变量为函数
findsym(f)确定的默认自变量，既变量 x趋近于 a。
limit(f),求符号函数 f（ x）的极限值。符号函数 f（ x）的变量为函数 findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于 0，即 a=0的情况。
limit(f,x,a,'right'),求符号函数 f的极限值。 'right'表示变量 x
从右边趋近于 a。
limit(f,x,a,'left'),求符号函数 f的极限值。 'left'表示变量 x从左边趋近于 a。
二、微积分
【 例 5】 求极限
syms x； %定义符号变量
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3； %确定符号表达式
w=limit(f) %求函数的极限
w = -1/2
x
eex t g xx
x 3
s i n
0 s in
)1(2)1(li m
二、微积分
2,微分函数
diff函数用于对符号表达式 s求微分 。 该函数的一般引用格式为：
diff(s,’v’,n)
二、微积分说明：
应用 diff（ s） 没有指定微分变量和微分阶数,则系统按 findsym函数指示的默认变量对符号表达式 s求一阶微分 。
应用 diff（ s,‘ v’） 或 diff（ s,sym（ ‘ v’）） 格式,
表示以 v为自变量,对符号表达式 s求一阶微分 。
应用 diff（ s,n） 格式,表示对符号表达式 s求 n阶微分,n为正整数 。
应用 diff（ s,‘ v’,n） diff（ s,n,‘ v’） 格式,表示以 v为自变量,对符号表达式 s求 n阶微分 。
【 例 6】 求导数：
x = sym('x'); %定义符号变量
t = sym('t');
diff(sin(x^2)) %求导运算
ans =
2*cos(x^2)*x
dx
xd 2s i n
二、微积分
3．积分函数积分函数 int（ s,v,a,b)可以对被积函数或符号表达式 s求积分 。 其引用格式为：
int（ s,v,a,b)
说明：
应用 int（ s） 格式,表示没有指定积分变量和积分阶数时,系统按
findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式 s求一阶积分 。
应用 int（ s,v） 格式,表示以 v为自变量,对被积函数或符号表达式
s求一阶不定积分 。
应用积分函数时,如果给定 a,b两项,表示是进行定积分运算 。 a、
b分别表示定积分的下限和上限 。 不指定积分的下限和上限表示求不定积分 。
二、微积分
【 例 7】 求下述积分 。
求积分：
syms x
int(1/(1+x^2))
ans =
atan(x)
dxx 21 1
二、微积分
4,级数 (级数求和 )
级数求和运算是数学中常见的一种运算 。
例如：
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+… +anxn
函数 symsum可以用于此类对符号函数 f的求和运算 。 该函数的引用时,应确定级数的通项式 s，
变量的变化范围 a和 b。 该函数的引用格式为：
symsum(s,a,b)
二、微积分
【 例 8】 求级数的和,键入：
1/12+1/22+1/32+1/42+ ……
syms k
symsum(1/k^2,1,Inf) %k值为 1到无穷大
ans =
1/6*pi^2
其结果为,1/12+1/22+1/32+1/42+ …… =π2/6
二、微积分三、简化方程表达式
1.因式分解
factor函数的功能为：把多项式 S分解为多个因式,各多项式的系数均为有理数 。 格式为：
factor(s)
三、简化方程表达式
【 例 9】 将表达式 (x^9-1)分解为多个因式 。
syms x
factor(x^9-1)
ans =
(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)
2.嵌套将符号多项式 s用嵌套形式表示,即用多层括号的形式表示 。 Horner函数可以实现此功能 。 该函数的格式为：
horner(s)
三、简化方程表达式
【 例 10】 将表达式 x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示 。
syms x
horner(x^3-6*x^2+11*x-6)
ans =
-6+(11+(-6+x)*x)*x
四、解方程解方程函数的格式为：
solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN)
或 solve(expr1,expr2,...,exprN)
其功能为：求解代数方程组 expr1,expr2,...,exprN的根,未知数为
var1,var2,...varN。
说明：
若不指明符号表达式 expr1,expr2,...,exprN的值,系统默认为 0。 例如给出一个表达式 x^2-3*x-8,则系统将按 x^2-3*x-8=0进行运算；
四、解方程
【 例 11】 解代数方程,a*x2-b*x-6=0
syms a b x
solve(a*x^2-b*x-6)
ans =
[ 1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))]
[ 1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))]
即该方程有两个根,x1=1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))；
x2=1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))
四、解方程习题：
1．解方程组：
2.计算：
f(x)=sin(x)
f(x)=1/cos(x)
52 12 yx yx
dxxf )(
