2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设，则（ ）
. , . .
解：
分析；
（2）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点 振荡间断点解,
分析：所以是函数的可去间断点
（3）设是连续奇函数，是连续偶函数，区域
则正确的（ ）
. .
. .
解,
分析：中为奇函数，为偶函数，所以
（4）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ）
曲边梯形面积. 梯形面积.
曲边三角形面积. 三角形面积.
解,
分析：
其中是矩形面积，为曲边梯形的面积
所以为曲边三角形的面积。
（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵,若，则（ ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆,
解：
分析：，，
故均可逆。
（6）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ）
解：选
分析：
则。记，则
则，正、负惯性指数相同，故选
（7）随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函数为（ ）
. .
. ,
解：
分析：
（8）随机变量，且相关系数，则（ ）
. .
. ,
解：选
分析：用排除法设，由，知道正相关，得，排除、
由，得，
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数在内连续，则,
解：1
分析：由
（10）已知函数连续且，则曲线上对应处切线方程为,
解：
分析：由且连续，则，，所以切线方程为：.
（11）.
解：
分析：
（12）微分方程通解是.
解：
分析：，，
.
（13）设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为.
解：2
分析：设的特征值为，，则存在可逆矩阵，使得
，故，由，
又互不相同，则中有且只有一个为零，故
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
解：
分析：因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限.
解：
(16) （本题满分10分）
设，，求的极值、单调区间和凹凸区间.
解：
.
,令，得.因为，所以.
，得
，得
因此，的单调增区间是；单调减区间是.
由，可知为凹区间.
由知为极小值.
(17)（本题满分10分）
求函数在在约束条件和下的最大和最小值.
解：设
得方程组即，解得 或
得 ，
(18)（本题满分10分）
设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，
求(1)
（2）记，求.
解：
(1),
(2)
(19)（本题满分10分）
是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
（2）证明是周期为2的周期函数．
解：（1）对于，令，则
因为的周期为2，所以
所以
（2）
因为
所以
所以
所以是周期为2的周期函数
（20）（本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解
（3）为何值，方程组有无穷多解解：①
②方程组有唯一解由，知，又，故。
记，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解由，有，则,故
的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。
又，故可取特解为,
所以的通解为为任意常数。
(21)（本题满分11分）
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，
证明（1）线性无关；
（2）令，求.
解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）
又
，整理得：
则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.
故：线性无关.
（2）记则可逆，
即：.
（22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记
（1）求
（2）求的概率密度解：1.
2,当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以 ，则
（23）（本题满分11分）
设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.
解：设每天至少生产件产品。
则合格产品为
废品为
由题意知
因为 x为整数所以
（1）设，则（ ）
. , . .
解：
分析；
（2）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点. 无穷间断点 振荡间断点解,
分析：所以是函数的可去间断点
（3）设是连续奇函数，是连续偶函数，区域
则正确的（ ）
. .
. .
解,
分析：中为奇函数，为偶函数，所以
（4）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ）
曲边梯形面积. 梯形面积.
曲边三角形面积. 三角形面积.
解,
分析：
其中是矩形面积，为曲边梯形的面积
所以为曲边三角形的面积。
（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵,若，则（ ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆,
解：
分析：，，
故均可逆。
（6）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ）
解：选
分析：
则。记，则
则，正、负惯性指数相同，故选
（7）随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函数为（ ）
. .
. ,
解：
分析：
（8）随机变量，且相关系数，则（ ）
. .
. ,
解：选
分析：用排除法设，由，知道正相关，得，排除、
由，得，
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数在内连续，则,
解：1
分析：由
（10）已知函数连续且，则曲线上对应处切线方程为,
解：
分析：由且连续，则，，所以切线方程为：.
（11）.
解：
分析：
（12）微分方程通解是.
解：
分析：，，
.
（13）设3阶矩阵的特征值互不相同，若行列式，则的秩为.
解：2
分析：设的特征值为，，则存在可逆矩阵，使得
，故，由，
又互不相同，则中有且只有一个为零，故
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
解：
分析：因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分10分）
求极限.
解：
(16) （本题满分10分）
设，，求的极值、单调区间和凹凸区间.
解：
.
,令，得.因为，所以.
，得
，得
因此，的单调增区间是；单调减区间是.
由，可知为凹区间.
由知为极小值.
(17)（本题满分10分）
求函数在在约束条件和下的最大和最小值.
解：设
得方程组即，解得 或
得 ，
(18)（本题满分10分）
设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，
求(1)
（2）记，求.
解：
(1),
(2)
(19)（本题满分10分）
是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
（2）证明是周期为2的周期函数．
解：（1）对于，令，则
因为的周期为2，所以
所以
（2）
因为
所以
所以
所以是周期为2的周期函数
（20）（本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解
（3）为何值，方程组有无穷多解解：①
②方程组有唯一解由，知，又，故。
记，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解由，有，则,故
的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。
又，故可取特解为,
所以的通解为为任意常数。
(21)（本题满分11分）
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，
证明（1）线性无关；
（2）令，求.
解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）
又
，整理得：
则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.
故：线性无关.
（2）记则可逆，
即：.
（22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记
（1）求
（2）求的概率密度解：1.
2,当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以 ，则
（23）（本题满分11分）
设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.
解：设每天至少生产件产品。
则合格产品为
废品为
由题意知
因为 x为整数所以
