2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点.
无穷间断点. 振荡间断点.
解：
分析：，所以是函数的可去间断点。
（2）设连续，，，，则，则（ ）
解：选
分析；用极坐标得
（3）设则函数在原点偏导数存在的情况是( )
解：
分析：，
故，所以偏导数不存在。
所以偏导数存在。故选
（4）曲线段方程为函数在区间上有连续导数则定积分（ ）
曲边梯形面积. 梯形面积.
曲边三角形面积. 三角形面积.
解：
分析：
其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积。
（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆,
解：
分析：，
故均可逆。
（6）设则在实数域上与合同矩阵为（ ）
. .
. ,
解：
分析：
则。记，则
则
正、负惯性指数相同，故选
（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）
. .
. ,
解：
分析：
（8）随机变量，且相关系数，则（ ）
. .
. ,
解：选
分析,用排除法设，由，知道正相关，得，排除、
由，得
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数在内连续，则,
解：1
分析：由
（10）函数，求积分,
解：
分析：
所以
（11）.其中
解：
分析：
（12）微分方程求方程的特解.
解：
分析：由所以，又，所以.
（13）设3阶矩阵的特征值1，2，2， .
解：的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵，使得分析：，
因
，则
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
解：
分析：因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) （本题满分10分）
求极限.
解,
(16) （本题满分10分）
设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求
(1)
（2）记，求.
解：
①
②
(17) （本题满分10分）
是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
（2）证明是周期为2的周期函数．
解：
（1）对于，令，则
因为的周期为2，所以
所以
（2）
因为
所以
所以
所以是周期为2的周期函数
(18) （本题满分10分）
求二重积分其中
解,
(19) （本题满分10分）
已知年复利为0.05，现存万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第年取出10+9万元，问至少为多少时，可以一直取下去？
解：由题得
设
两边求积分
由，
对上式两边求导
令，则
所以至少应为3795.
(20) （本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解，求
（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解解：①
②方程组有唯一解由，知，又，故。
记，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解由，有，则
故
的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。
又，故可取特解为
所以的通解为为任意常数。
（21）（本题满分11分）
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，
证明（1）线性无关；
（2）令，求.
解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）
又
，整理得：
则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.
故：线性无关.
（2）记则可逆，
即：，.
（22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为，记
（1）求
（2）求的概率密度．
解：1.
2,当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以 ，则
（23） （本题满分11分）
是总体为的简单随机样本.记，
，
（1）证 是的无偏估计量.
（2）当时,求.
解：(1)
因为：,,而
,所以 T是的无偏估计
(2) ,,
因为
令
所以
因为 且
,
所以
（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）
跳跃间断点. 可去间断点.
无穷间断点. 振荡间断点.
解：
分析：，所以是函数的可去间断点。
（2）设连续，，，，则，则（ ）
解：选
分析；用极坐标得
（3）设则函数在原点偏导数存在的情况是( )
解：
分析：，
故，所以偏导数不存在。
所以偏导数存在。故选
（4）曲线段方程为函数在区间上有连续导数则定积分（ ）
曲边梯形面积. 梯形面积.
曲边三角形面积. 三角形面积.
解：
分析：
其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积。
（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆,
解：
分析：，
故均可逆。
（6）设则在实数域上与合同矩阵为（ ）
. .
. ,
解：
分析：
则。记，则
则
正、负惯性指数相同，故选
（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）
. .
. ,
解：
分析：
（8）随机变量，且相关系数，则（ ）
. .
. ,
解：选
分析,用排除法设，由，知道正相关，得，排除、
由，得
排除
故选择
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数在内连续，则,
解：1
分析：由
（10）函数，求积分,
解：
分析：
所以
（11）.其中
解：
分析：
（12）微分方程求方程的特解.
解：
分析：由所以，又，所以.
（13）设3阶矩阵的特征值1，2，2， .
解：的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵，使得分析：，
因
，则
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
解：
分析：因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，
所以
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) （本题满分10分）
求极限.
解,
(16) （本题满分10分）
设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求
(1)
（2）记，求.
解：
①
②
(17) （本题满分10分）
是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有
（2）证明是周期为2的周期函数．
解：
（1）对于，令，则
因为的周期为2，所以
所以
（2）
因为
所以
所以
所以是周期为2的周期函数
(18) （本题满分10分）
求二重积分其中
解,
(19) （本题满分10分）
已知年复利为0.05，现存万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第年取出10+9万元，问至少为多少时，可以一直取下去？
解：由题得
设
两边求积分
由，
对上式两边求导
令，则
所以至少应为3795.
(20) （本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解，求
（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解解：①
②方程组有唯一解由，知，又，故。
记，由克莱姆法则知，
③方程组有无穷多解由，有，则
故
的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。
又，故可取特解为
所以的通解为为任意常数。
（21）（本题满分11分）
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，
证明（1）线性无关；
（2）令，求.
解：（1）假设线性相关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零（若同时为0，则为0，由可知）
又
，整理得：
则线性相关，矛盾（因为分别属于不同特征值得特征向量，故线性无关）.
故：线性无关.
（2）记则可逆，
即：，.
（22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为，记
（1）求
（2）求的概率密度．
解：1.
2,当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以 ，则
（23） （本题满分11分）
是总体为的简单随机样本.记，
，
（1）证 是的无偏估计量.
（2）当时,求.
解：(1)
因为：,,而
,所以 T是的无偏估计
(2) ,,
因为
令
所以
因为 且
,
所以
