第 8章 其它类型的数字滤波器第 8章 其它类型的数字滤波器
8.1 几种特殊的滤波器
8.2 格型滤波器
8.3 简单整系数数字滤波器
8.4 采样率转换滤波器第 8章 其它类型的数字滤波器
8.1 几种特殊的滤波器
8.1.1 全通滤波器如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或 1，
即
|H(e jω)|=1,0≤ω≤2π (8.1.1)
则该滤波器称为全通滤波器 。 全通滤波器的频率响应函数可表示成
H(e jω)=e jφ(ω) (8.1.2)
第 8章 其它类型的数字滤波器全通滤波器的系统函数一般形式如下式：
0
0
12
12
012
12
()
,1
1
N
Nk
k
k
N
k
k
k
N N N
N
N
N
az
Hz
az
z a z a z a
a
a z a z a z
(8.1.3)
或者写成二阶滤波器级联形式：
21
12
21
1 21
() 1
L
ii
i ii
z a z aHz
a z a z
(8.1.4)
第 8章 其它类型的数字滤波器下面证明 (8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性 。
1
00
00
()
()
()
NN
N k k
kk
NNkk
NN
kk
kk
kk
a z a z
Dz
H z z z
Dz
a z a z
(8.1.5)
式中,由于系数 ak是实数,所以
0
() N kk
k
D z a z?
1( ) ( ) ( )
()
( ) 1
()
j
jj
ze
j
j
j
D z D e D e
De
He
De
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.1 全通滤波器一组 =零极点示意图
I m ( z )
z
k
R e ( z )
z
k
*
p
k
p
k
*
第 8章 其它类型的数字滤波器观察图 8.1.1,如果将零点 zk和极点 p*k组成一对,
将零点 z*k与极点 pk组成一对,那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现,即如果 z-1k为全通滤波器的零点,则 z*k必然是全通滤波器的极点 。 因此,
全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：
1
1
1
() 1
N
k
k k
zzHz
zz
(8.1.6)
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.1.2 梳状滤波器例如,,0<a<1,零点为 1,极点为 a,所以 H(z)表示一个高通滤波器 。 以 zN代替 H(z)
的 z,得到：
1
1
1()
1
zHz
az
1()
1
N
N
N
zHz
az
(8.1.7)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.2 梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性 (N=8)
1()
1
NN
N
zHz
az
I m ( z )
R e ( z )
1
( a )
α
N
1
零点在单位圆上极点在半径为 的圆上
α
N
1
0
N
2π
N
4 π
N
6 π
N
8π
N
10 π
ω
( b )
H
k
( e
j ω
)
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.1.3 最小相位系统最小相位系统在工程理论中较为重要,下面给出最小相位系统的几个重要特点 。
(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数 H(z)均可由一个最小相位系统 Hmin(z)和一个全通系统 Hap(z)级联而成,即
H(z)=Hmin(z)·Hap(z) (8.1.8)
证明 假设因果稳定系统 H(z)仅有一个零点在单位圆外,令该零点为 z=1/z0,| z0 |<1,则 H(z)可表示为第 8章 其它类型的数字滤波器
1
11 0
1 0 1 0 1
0
1
1 0
10 1
0
1
( ) ( )( ) ( )( )
1
( )( 1 )
1
zz
H z H z z z H z z z
zz
zz
H z z z
zz
(8.1.9)
(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中,最小相位系统的相位延迟 (负的相位值 )最小 。
高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数相乘来表示 。 一阶和二阶全通系统的系统函数分别如
(8.1.10)和 (8.1.11)式：
第 8章 其它类型的数字滤波器
① 对 (8.1.10)式，
1
1
1
11
11
()
1
()
11
op
op
za
Hz
az
z a z a
Hz
az a z
(8.1.10)
(8.1.11)
其中 a为实数,且 |a|<1；
1
()
( ) ( ) j
ap
j
jj
ap ap jze
za
H z z
za
ea
H e H z e
ea
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.3 一阶全通系统具有非正 =相位的几何证明图
z ＝ e
j ω
ω
α
a
ω
2
第 8章 其它类型的数字滤波器由于上式中分数部分的分子,分母是共轭的,因此相角相反,所以
arg［ Hap(e jω)］ =ω-2 arg(e jω -a)
对 0≤ω≤π,关于 arg(e jω -a)作图如图 8.1.3 所示,
图中 α=arg(ejω -a)。 ;
由图 8.1.3可见,
ar g ( )
2
ar g [ ( )] 0
j
j
ap
ea
He
第 8章 其它类型的数字滤波器
② 对 (8.1.11)式,
2( ),1
a r g [ ( ) ] 2 [ a r g ( ) a r g ( ) ]
jj
jj
ap jj
j j j
ap
e a e a
H e e a
e a e a
H e e a e a
故画出上式中的各相角如图 8.1.4 所示 。 图中
α1=arg(ejω -a),α2=arg(ejω-a*)。 由图可看出,
12
0
z a a a
z z z?
根据三角形外角大于内角的定理有
12
12ar g [ ( )] 2 [ ( )] 0
j
ap
aa
H e a a?
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.4 二阶全通系统具有非正 =相位的几何证明图
z ＝ e
j ω
ω
α
1
a
a
*
α
1
α
2
ω
ω
z
*
＝ e
－ j ω
z
0
第 8章 其它类型的数字滤波器由 (8.1.8)式有
m in
m in
m in m in
m in m in
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( 0 )
( ) ( 0 )
ap
jj
z
z
H z H z H z
H e H e
h n I Z T H z
h n I Z T H z
H z h
H z h
由初值定理可得出由于
1
1() 1
i
a p iz
ii i z
zaH z a
az
第 8章 其它类型的数字滤波器对因果稳定系统,|ai|<1,所以
|h(0)|<|hmin(0)| (8.1.12)
(8.1.12)式说明,在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中,最小相位系统对 δ(n)的响应波形延迟最小 。
如果定义 h(n)的积累能量 E(m)为
2
0
22
m i n
00
( ) ( ),0
( ) ( )
m
n
mm
nn
E m h n m
h n h n
则最小相位系统的最小能量延迟可用 (8.1.13)式,即。
第 8章 其它类型的数字滤波器由于 |H(e jω)|=|Hmin(e jω)|,即
22
m i n
22
m i n
00
( ) ( )
( ) ( )
jj
nn
H e d H e d
h n h n
由 parseval定理有
(3) 最小相位系统保证其逆系统存在 。 给定一个因果稳定系统 H(z)=B(z)/A(z),定义其逆系统为
1 ( )()
( ) ( )IN V
AzHz
H z B z
(8.1.14)
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.2 格型滤波器
8.2.1 全零点格型滤波器一个 M阶的 FIR滤波器的系统函数 H(z)可写成如下形式：
()
01
( ) ( ) 1
MM
i i i
iM
ii
H z B z b z b z
(8.2.1)
其中,b(i)M表示 M阶 FIR滤波器的第 i个系数,
并假设首项系数 b0=1。 H(z)对应的格型结构如图 8.2.1
所示 。
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.1 全零点格型滤波器网络结构
x ( n ) e
0
r
0
z － 1
k 1
k
1
r
1
z － 1 r
2
k 2
k
2
e
2
z － 1 r
M － 1
z － 1
k
M － 1
k M － 1
e
M － 1
k M
k
M
y ( n )
e
1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.2 全零点格型结构 =基本单元
r
m － 1
k
m
k
m
r
m
z
－ 1
e
m － 1
e
m
第 8章 其它类型的数字滤波器下面推导由 H(z)=B(z)的系数 {bi}求出格型结构网络系数 {ki}的逆推公式 。 图 8.2.2 所示基本格型单元的输入,输出关系如下式：
em(n)=e m-1 (n)+r m-1(n-1)km (8.2.2a)
rm (n)=e m-1 (n)·km+rm-1 (n-1) (8.2.2b)
且 e0(n)=r0 (n)=x(n) (8.2.2c)
y(n)=em (n) (8.2.2d)
第 8章 其它类型的数字滤波器设 Bm(z),Jm(z)分别表示由输入端 x(n)至第 m个基本单元上,下输出端 em(n),rm(n)}对应的系统函数,即
()
0
1
0
( ) ( ) / ( ) 1,1,2,,
( ) ( ) / ( ),1,2,,
m
ii
m m m
i
mm
B z E z E z b z m M
J z R z R z m M
(8.2.3a)
(8.2.3b)
当 m=M时,Bm(z)=B(z)。 对 (8.2.2)式两边进行 Z变换得
1
11
1
11
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m
m m m m
E z E z k z R z
R z k E z z R z
(8.2.4a)
(8.2.4b)
第 8章 其它类型的数字滤波器对 (8.2.4a)和 (8.2.4b)式分别除以 E0(z)和 R0(z),再由 (8.2.3a)和 (8.2.3b)式有
1
1
1
1
1
2
1
1( ) ( )
( ) ( )
1 ()
()()
() 1
mmm
mm m
m m
mmm
m m
kzB z B z
J z J zkz
k Bz
Jzk z zBz
Jz k
(8.2.5)
(8.2.6)
第 8章 其它类型的数字滤波器由 (8.2.3)式有 B0(z)=J0(z)=1,所以
11
1 0 1 0 1
11
1 1 0 0 1
11
11
( ) ( ) ( ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
B z B z k z J z k z
J z k B z z J z k z
J z z B z
令 m=2,3,:,M,可推出
1( ) ( )mmmJ z z B z
(8.2.7)
将上式分别代入 (8.2.5)和 (8.2.6)式得
1
11
1
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
1
m
m m m m
m
m m m
m
m
B z B z k z B z
B z k z B z
Bz
k
(8.2.8a)
(8.2.8b)
第 8章 其它类型的数字滤波器下面导出 km与滤波器系数 b(m)m之递推关系 。 将
(8.2.3a)式代入 (8.2.8a)及 (8.2.8b)式,利用待定系数法可得到如下两组递推关系：
( ) ( ) ( )
11
()
( ) ( )
() 1
1 2
1
mm
i i m i
m m m m
m
mm
i m i
i m m m
m
m
bk
b b k b
kb
b k b
b
k
(8.2.9)
(8.2.10)
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.2.1 FIR滤波器由如下差分方程给定：
1 3 5 1( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
2 4 8 3y n x n x n x n x n
求其格型结构系数,并画出格型结构图 。
解 对差分方程两边进行 Z变换的 H(z)=B3(z)：
3
( ) 1 2 3
33
1
(1) ( 2 ) ( 3 )
3 3 3
( 3 )
33
13 5 1
( ) ( ) 1 1
24 8 3
13 5 1
,,
24 8 3
1
3
i
i
H z B z b z z z
b b b
kb
第 8章 其它类型的数字滤波器
(1 ) ( 2 )
(1 )
3 3 3
2 2
3
( 2 ) (1 )
( 2 ) 3 3 3
2 2
3
( 2 )
22
(1 ) (1 )
(1 )
2 2 2
1 2
2
(1 )
11
13 5
3
24 24
8
18
9
1
12
1
2
1
14
1
4
b k b
b
k
b k b
b
k
kb
b k b
b
k
kb
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.3 H(z)的格型结构流图
1 / 4
z － 1
1 / 4
z － 1
1 / 2
1 / 2
1 / 3
1 / 3
z － 1
y ( n )
x ( n )
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.2.2 全极点 (IIR)格型滤波器
IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数,可以根据 FIR格型结构开发 。 设一个全极点系统函数由下式给定：
()
1
11()
()1 M ii
M
i
Hz
Azaz?
(8.2.12)
图 8.2.4 全极点 (IIR))滤波器格型结构
k
2
y ( n )x ( n )
e
M
r
M
e
M － 1
z － 1 r M － 1
k
M － 1
－ k
M － 1
z － 1
e
1
－ k
2
r
2 z
－ 1 r
1
e
0
k
1
－ k
1
z － 1 r 0
k
M
－ k
M
e
2
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.2.2 设全极点 IIR滤波器系统函数为求其格型结构网络系数,并画出格型结构 。
1 2 3
1()
1 3 5 11
2 4 8 3
Hz
z z z
解
3
1 2 ( )
3
1
(1) ( 2 ) ( 3 )
3 3 3
13 5
( ) ( ) 1 1
24 8
13 5 1
3,,,
24 8 3
ii
MM
i
B z A z z z b z
M b b b
由例 8.2.1 所求 FIR格型结构网络系数：
1 2 3
1 1 1,,
4 2 3k k k
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.5 例 8.2.2 中的 IIR格型结构
z － 1
1 / 4
z － 1
－ 1 / 2
1 / 21 / 3
z － 1
x ( n )
y ( n )
－ 1 / 3 － 1 / 4
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.3 简单整系数数字滤波器
8.3.1 建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器
1,多项式拟合的基本概念设序列 x(n)中的一组数据为 x(i),i=-M,:,0,:,M,我们可以构造一个 p阶多项式 fi来拟和这一组数据 x(i),2
02
0
22
0
,2
[ ( )] [ ( )]
p
pk
i i p k
k
pMM
k
ik
i M i M k
f a a i a i a i a i p M
E f x i a i x i
总的拟合误差为
(8.3.1)
(8.3.2)
第 8章 其它类型的数字滤波器为了使拟合满足最小均方误差准则,令 E对各系数的导数为零,即令
0
0
2 [ ( ) ] 0,,1,,
()
()
pM
kr
k
i M kr
p MM
k r r
k
k i M i M
M
r
r
iM
M
kr
kr
iM
E
a i x i i r p
a
a i x i i
F x i i
si
则 (8.3.3)式可写成如下形式：
0
p
r k k r
k
F a s?
(8.3.3)
(8.3.4)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2.最佳拟合模板与简单整系数 FIR滤波器的单位脉冲响应 h(n)
在实际应用中,并不将 fi的 p+1 个系数全求出来,
而是只求出 a0,就可实现对 x(n)的最佳拟合 。 由 (8.3.1)
式可知,
例如,当 M=2,p=2 时,为五点二次 (抛物线 )多项式拟合 。 据 (8.3.4)式,并考虑当 k+r=奇数时 sk+r=0,有
00iifa
(8.3.5)
0 0 2 2 0
2 0 4 2 2
4 0 2 2
0 2
0 4 2
s a s a F
s a s a F
s F s F
a
s s s
第 8章 其它类型的数字滤波器其中，
代入上式可得
22 2
0 2 4 0 2
22
5,1 0,3 4,( ),( )
ii
s s s F x i F x i i
0
3 ( 2 ) 1 2 ( 1 ) 1 7 ( 0) 1 2 ( 1 ) 3 ( 2 )
35
x x x x xa (8.3.6)
3,12,17,12,3
()
35
17 24 c o s 6 c o s 2
()
35
j
hn
He?
(8.3.7)
(8.3.8)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.1 低通滤波器幅频特性
(a) M=2,p=2; (b) M=3,p=3
0
H
(
e
j
ω
)
0
0,5
1,0
0,1 0,2 0,50,3 0,4
ω /
( a )
0
H
(
e
j
ω
)
0
0,5
1,0
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
2 π ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.3.2 建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器如前所述,在单位圆上等间隔分布 N个零点,则构成,梳状滤波器,。 如果在 z=1 处再设置一个极点,
对消该处的零点,则构成低通滤波器,其系统函数和频率响应函数分别为
1
( 1 ) / 2
1
()
1
1 s i n ( / 2 )
()
1 s i n ( / 2 )
N
Lp
jN
j j N
Lp j
z
Hz
z
eN
H e e
e
(8.3.9a
(8.3.9b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.2 低通滤波器零,极点分布及幅频特性 (N=10)
(a) (8.3.9a)式的零,极点分布图； (b) (8.3.9b)式的幅频特性
I m [ z ]
R e [ z ]
( a )
0
H
(
e
j
ω
)
0
5
10
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
2 / 1 0π
ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器基于同样的思想,在 z=-1 处设置一个极点对消该处的零点,则构成高通滤波器,其系统函数及频率响应函数分别为
1
[( 1 ) / 2 / 2 ]
1
()
1
1 s i n ( / 2 )
()
1 co s ( / 2 )
N
HP
jN
j j N
HP j
z
Hz
z
eN
H e e
e
(8.3.10a)
(8.3.10b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.3 高通滤波器零,极点分布及幅频特性
(a) (8.3.10a)式零,极点分布； (b) 幅频特性
0
H
(
e
j
ω
)
0
5
10
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
I m [ z ]
R e [ z ]
( a )
2 / 1 0π
ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器假设我们要求带通滤波器的中心频率为 ω0,0< ω0
<π,应当在 z=ejω0和 z= e-jω0处设置一对共轭极点,则带通滤波器的系统函数和频响函数为
001 1 1 2
0
[( 2 ) / 2 / 2 ]
0
11
()
( 1 )( 1 ) 1 2 c o s ( )
s i n ( / 2 )
()
c o s c o s
NN
BP jj
j j N
BP
zz
Hz
e z e z z z
N
H e e
(8.3.11a)
(8.3.11b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.4 带通滤波器零,极点分布及幅频特性 (N=12,ω0=π/6)
(a) (8.3.11a)式的零,极点分布； (b) 幅频特性曲线
0
H
(
e
j
ω
)
0
7
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
I m [ z ]
R e [ z ]
( a )
/ 6π
6
5
4
3
2
1
ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器例如,取理想全通滤波器频响为
HAP(e jω)=ce -jωm,m为正整数,c为常数要从 HBP(ejω)中减去带通滤波器 HBP (ejω)时,二者的相位特性必须一致 。 为此,HBP(z)取为如下形式 (若取 (8.3.11a)式,存在一常数相移 π/2)：
001 1 2
0
11()
( 1 ) ( 1 ) 1 2 c o s
NN
BP jj
zzHz
e z e z z
(8.3.12a)
相应的频响函数为
( 2 ) / 2
0
c o s ( / 2)()
c o s c o s
j j N
BP
NH e e
(8.3.12b)
第 8章 其它类型的数字滤波器取 HAP(ejω))中的 m=N/2-1即可满足相位特性一致条件,带阻滤波器的系统函数和频响函数分别为
( 1 )
2
12
0
( 2 ) / 2
0
1
( ) ( ) ( )
1 2 co s ( )
co s ( / 2 )
( ) ( ) ( ) [ ]
co s co s
N N
B S A P B P
j j j j N
B S A P B P
z
H z H z H z C z
zz
N
H e H e H e C e
(8.3.13a)
(8.3.13b)
1
1( ) ( )
1
N
k
LP
zHz
z
(8.3.14)
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.3.1 设计一个简单整系数低通滤波器,要求
f≤60 Hz时,衰减不大于 3 dB,阻带最大衰减 αs=40 dB，
采样频率 fs=1200 Hz。
解 由 (8.3.9b)和 (8.3.14)式知道
si n( / 2 )()
si n( / 2 )
k
j
LP
NHe
(8.3.15)
式中有两个未知数 N和 k。
由已知条件可知,通带边界频率 fp=60 Hz，
ap=3 dB,相应的数字滤波器的 3 dB通带边界频率为
12 2 60
120 0 10pp f T rad
第 8章 其它类型的数字滤波器为了书写简单,令
0
0
0
()
si n( / 20)
()
si n( / 20)
si n( 3 / 2 )
()
si n( 3 / 2 )
si n( / 20) 3
,si n( )
0,15 6 2
33
20 lg 20 lg ( si n( ) ) 20 lg ( si n( ) )
22
P
s
jk
LP
k
j
L P P
k
j
L P s
kk
Ps
k
k
s
s
H e N H
N
H e H
H e H
N
N
HH
N
H
a N N
H N N
(8.3.16)
(8.3.17)
(8.3.18)
第 8章 其它类型的数字滤波器当 N较大时,sin(3π/2N)≈3π/2N,所以,可用
3π/2N代替 sin(3π/2N),得到,
3
2 0 l g 1 3,4 6
2
40
2,9 7
1 3,4 6 1 3,4 6
3
s
s
a k k
a
k
k
频响的主瓣宽度由 N确定,当 αp给定时,ωp与主瓣宽度有关 。 所以,为了求得 N值,应利用下式：0
s i n ( / 2 )
2 0 l g 2 0 l g
s i n ( / 2 )
s i n
2 0 l g 2 0 l g
s i n
k
p
p
pp
p
NH
a
HN
xx
ak
xx
当 ωp很小时,sin(ωp/2)≈ ωp /2,并令 N ωp /2=x,则第 8章 其它类型的数字滤波器因为在 ωp处 sinx/x恒为正,所以有
/ 20
24
2
/ 20
sin
10
sin
1
3 ! 5 !
1 10
3!
p
p
k
k
x
x
x x x
x
x
将 sinx/x展开成台劳级数：
仅取前两项近似得代入 αp=3 dB,k=3,解出 x=0.8078,N=5.14,取 N=6，
所求低通滤波器系统函数为
6
3
1
1( ) ( )
1LP
zHz
z
(8.3.19)
第 8章 其它类型的数字滤波器可求出 |HLP(ej0)|=216,如果希望 |HLP(ej0)|=1,则取
6
3
1
1()
1()
216LP
z
zHz
例 8.3.2 在信号采集时,往往会受到 50 Hz电源频率干扰,现希望设计一个整系数 50 Hz陷波器,
滤除 50 Hz干扰 。 要求陷波器阻带尽量窄,最好在 50
Hz± 2 Hz以内,而通带应尽量平坦 。 给定采样频率
fs=400 Hz,试设计该陷波器 。
第 8章 其它类型的数字滤波器解 由前述可知,这类整系数陷波器要用一个全通滤波器减去一个带通滤波器实现 。 所以,该题的关键是设计一个满足要求的带通滤波器 。 如前述,带通滤波器的系统函数应取 (8.3.12a)式的形式：
12
0
1( ) ( )
1 2 c o s ( )
N
k
BP
zHz
zz?
(8.3.20)
/ 4 1 / 4 1 3 / 4 1 3 1 4( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1j j j je z e z e z e z z
第 8章 其它类型的数字滤波器由于第一个极点 z=ejπ/4一定是 HBP(z)的一个零点,
所以将其代入 (8.3.20)式分子中,应有
4
( 2 1 )4
10
1,
jN
jN
jl
e
e e l
为整数所以,N/4=2l+1,N=4(2l+1),即 N应是 4 的奇数倍,即
4 ( 2 1)
4
4
1
()
1
c o s[ 2 ( 2 1 ) ]
()
c o s 2
l
BP
j j l
BP
z
Hz
z
l
H e e
(8.3.21a)
(8.3.21b)
其频响函数为第 8章 其它类型的数字滤波器
24 ( 2 1 ) 1 9 6 2
4 2 1 9 2
242 4 2 4 2
2
192
2
1 ( 1 )
( ) [( ) ] [ ]
( 2 1 ) ( 1 ) 2 0 4 1 ( 1 )
c o s 1 9 6
( ) [ 1 ]
2 0 4 1 c o s 2
l
l
B S l
jj
BS
zz
H z z z
l z z
H e e
(8.3.24a)
(8.3.24b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.5 50 Hz数字陷波器幅频特性
(a) l=50,k=1; (b) l=24,k=1; (c) l=24,k=2
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.4 采样率转换滤波器
8.4.1 信号的整数倍抽取设 x(n1,T1)是连续信号 xa(t)的采样序列,采样率
F1=1/T1(Hz),T1称为采样间隔,单位为秒,即
x(n1T1)=xa(n1T1) (8.4.1)
T2=DT1 (8.4.2)
第 8章 其它类型的数字滤波器图中 n1和 n2分别表示 x(n1T1)和 x(n2T2)序列的序号,
于是有
y(n2T2)=x(n2DT1) (8.4.3)
当 n1=n2D时,y(n2T2)=x(n1T1)。
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.1 数字信号的抽取
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 n
1
x ( n
1
T
1
)
T
1
↓ D
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
( a )
＝ D
T
1
T
2
( b )
0 n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
( c )
1 2 3 4 5
第 8章 其它类型的数字滤波器如果 x(n1T1)是连续信号 xa(t)的采样信号,则 xa(t)和
x(n1T1)的傅里叶变换 Xa(jΩ)和 X(ejω1)将分别是
1 1 1
11
( ) ( )
( ) ( )
d e f
jt
aa
d e f
j j n
n
X j x t e d t
X e x n T e
(8.4.4)
(8.4.5)
其中,Ω=2πf(rad/s),f为模拟频率变量,ω1为数字频率。
1
11
1
1
1
2
1
( ) ( )
j
a s a l
k
f
T
F
X e x j j k
TT
由 (2.4.7)式有
(8.4.6)
(8.4.7)
第 8章 其它类型的数字滤波器为了对抽样前后的频谱进行比较,作图时均以模拟角频率 Ω为自变量 (横坐标 ),为此按 (8.4.6)式将
X(ejω1)写成 Ω的函数为
11
11
1
1( ) ( ) ( )j T j
T a s a l
k
X e X e x j j kT
(8.4.8)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.2 xa(t),x(n1T1)及其傅里叶变换
0
FT
x
a
( t )
0t Ω
( a )
0
FT
0t Ω
( b )
x ( n
1
T
1
)
X
a
( j )Ω
X ( e
j T
) ＝ X ( e
j
)
Ω 1 ω 1
T
1
Ω
c
－ Ω
c
－ Ω
sa 1 Ω
sa 1
＝
T
1
2 π
Ω
c
－ Ω
c
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.3 抽取后的 y(n2T2)及其频谱 Y(ejω2)
0
n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
0 ΩDΩ
sa 2
FT
Ω
sa 2
＝
D
1
Ω
sa 1
Y ( e j T )Ω 2
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.4 带有抗混叠滤波器的抽取系统框图
h ( n 1 T 1 ) ↓ D
x ( n 1 T 1 ) v ( n 1 T 1 ) y ( n 2 T 2 )
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.5 信号在抽取前后的时域和频域示意图
T
2
0 Ω
FT
Ω
c
－ Ω
c
－ Ω
sa 1 Ω
sa 1
＝
T
1
2π
0
n
1
v ( n
1
T
1
)
T
0 Ω
FT
( b )
－ Ω
sa 1
Ω
sa 1
－ Ω
c
′
Ω
c
′
0
n
2
y ( n
2
T
2
)
0 Ω
FT
( c )
－ Ω
sa 1
Ω
sa 1
Ω
sa 2
＝ －
D
1
Ω
sa 1
0
n
1
x ( n
1
T
1
)
T
1
( a )
X ( e
j
)
ω
1
V ( e
j
)
ω
1
Y ( e
j
)
ω
2
第 8章 其它类型的数字滤波器在抽取前先令 x(n1T1)乘以周期序列 (n1T1),即~?
~~
1 1 1 1 1 1
~
1
11
( ) ( ) ( )
1,0,,2
()
0,
x n T x n T n T
n D D
nT
其它
(8.4.9)
(8.4.10)
其中,(n1T1)定义如下：~?
1
1
11
21~~
11
2211~~
11
00
( ) ( ) 1
11
( ) ( )
D
j k n
D
n
DD
j k n j k n
DD
kk
A k n T e
n T A k e e
DD
于是 (n1T1) 的 DFS展开式为~
第 8章 其它类型的数字滤波器将 (8.4.12)式代入 (8.4.9)式得
1
21^
1 1 1 1
0
1( ) ( )D j k nD
k
x n T x n T eD
(8.4.13)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.6 对 x(n1T1)的直接抽取和等效抽取
0
n
1
x ( n
1
T
1
)
0
n
1
x ( n
1
T
1
)
0
n
1
(n
1
T
1
)
λ
～
1
0
n
1
T
2
2 T
2
＝ DT
1
x ( n
1
T
1
) ＝ x ( n
1
T
1
)
(n
1
T
1
)
λ
～
^
0 n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
＝ DT
1
1 2 3 4 5 0 n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
1 2 3 4 5
直接抽取第 8章 其它类型的数字滤波器下面推导 Y(e jω2)与 X(e jω1)的关系：
2 2 2 1 2
22
12
2
2 2 2 1
21
( ) ( ) ( )
()
j j n j T D m
nn
j D m
n
Y e y n T e y n D T e
y n D T e
1
2 1 1 1 1
11
1
21^
1 1 1 1
0
21
()
0
1
( ) ( ) [ ( ) ]
1
()
D
j kn
j j n j nD
n n k
D
jk
D
k
Y e x n T e x n T e e
D
Xe
D
令 则21 2
21,,
jjj Dz e z e W e
1
21
0
1( ) ( )D k
k
Y z X z WD
(8.4.14)
(8.4.15)
第 8章 其它类型的数字滤波器式中,.所以有 (省去 z2的下标 )
1 1 2 / 1/12j j T j T D Dz e e e z
1
1/
0
1( ) ( )D Dk
k
Y z X z WD
(8.4.16)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4,7 在 Ωc>Ωsa2/2时,抽取前后信号的时域和频域关系示意图
( d )
0 Ω
FT
Ω
c
－ Ω
c
0
n
1
T
1
T
1
( a )
Ω
sa 1
＝
T
1
2 π
( k )
Λ
～
X ( e
j T
)
Ω
1
^
(n
1
T
1
)
λ
～
x ( n
1
T
1
)
0
T
2
y ( n
2
T
2
)
k
FT
0
n
1
T
1
T
1
( b )
DT
1
0
…
0
Ω
FT
0 n
1
T
1
DT
( c )
Ω
sa 1
＝
T
1
2 π
x ( n
1
T
1
)
^
2 DT 3 DT
X ( e
j T
)
Ω 1
0
Ω
FT
Y ( e
j T
)
Ω 2
Ω
sa 2
＝
D
1
Ω
sa 1
＝
DT
1
＝
2 π
n
2
T
2
1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.8 在 Ωc<Ωsa2/2时,抽取前后信号的时域和频域关系示意图
0 ΩΩ
c
－ Ω
c
Ω
sa 1
X ( e
j T
)
Ω 1
( a )
0 k
( b )
( k )
Λ
～
0 ΩΩ
sa 1
( c )
Ω
sa 1
/ D
－ 1－ 2－ 3 1 2 3 4 5
0 Ω
( d )
Y ( e
j T
)
Ω
2
Ω
sa 1
/ D＝Ω
sa 2
X ( e
j T
)
Ω 1
^
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.4.1 一整数倍抽取系统如图 8.4.9所示,试求输出序列 y(n2T2)。
解 设输入序列 x(n1T1)是已知的,且设抽取后信号的采样率仍满足采样定理 。
图 8.4.9 整数倍抽取系统
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
↓ D
↓ D
x
0
( n
1
T
1
) y
0
( n
2
T
2
)
y
1
( n
2
T
2
)x
1
( n
1
T
1
)
z
1
－ 1
第 8章 其它类型的数字滤波器图中 x0(n1T1)=x(n1T1)
x1(n1T1)=x［ (n1-1)T1］
所以
y0(n2T2)=y0(n2DT1)=x0(n2DT1)
y1(n2T2)=y1(n2DT1)=x1(n2DT1)=x［ (n2D-1)T1］
故 y2(n2T2)=y0(n2T2)+y1(n2T2)
=x(n2DT1)+x［ (n2D-1)T1］
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.4.2 信号的整数倍内插
1,整数倍内插的概念与内插方法从理论上讲,可以对已知的采样序列 x(n1T1)进行
D/A转换,得到原来的模拟信号 x(t),然后再对 x(t)进行较高采样率的采样得到 y(n2T2),这里
T1=IT2 (8.4.17)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.10 内插概念示意图
x ( n
1
T
1
)
( a )
0
T
1
n
1
x ( t )
( b )
0 t
y ( n
2
T
2
)
( c )
0
T
2
n
2
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.11 零值内插方案的系统框图 图 8.4.12内插过程中的各序列
x ( n 1 T 1 ) v ( n 2 T 2 ) y ( n 2 T 2 )h ( n
2 T 2 )↑ I
x ( n
1
T
1
)
0
T
1
n
1
y ( n
2
T
2
)
v ( n
2
T
2
)
0
T
1
n
2
0
n
2
T
2
T
2
第 8章 其它类型的数字滤波器
2,整数倍内插的频域解释为了回答上面的问题,我们设 x(n1T1)为模拟信号
x(t)的采样序列,并假定 x(t)及其傅里叶变换 X(jΩ)如图
8.4.13所示 。
图 8.4.13 x(t)和 X(jΩ)的示意图
x ( t )
0 t 0 ΩΩ
c
－ Ω
c
X ( j )Ω
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.14 x(n1T1),y(n2T2)和 I=3
12( ),( )jjX e Y e
0 Ω
0
n
1
( a )
3 Ω
sa 1
x ( n
1
T
1
)
T
1
X ( e
j T
)
Ω 1
Ω
sa 1
－ Ω
c
Ω
c
0 Ω0 n
2
( b )
y ( n
2
T
2
)
T
2
Y ( e
j T
)
Ω
2
－ Ω
c
Ω
c
Ω
sa 2
＝ IΩ
sa 1
第 8章 其它类型的数字滤波器下面分析图 8.4.11 中 v(n2T2)的频谱,最后讨论为了得到满足插值要求的 y(n2T2)(如图 8.4.14 所示 ),对
h(n2T2)的技术要求 。
1
22
22
( ),0,,2,
()
0,
T
x n n I I
v n T I
其它 (8.4.18) 2 2 2 2 2
22
1 2 1 1
2 1 1
11
2 2 2 2
/2
1 1 1
/
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
j j n j T n
nn
j T n I j T n
n I n n
j T j
V e v n T e v n T e
n
x T e x n T e
I
X e X e
(8.4.19)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.15 和 频谱图 (I=3)
12( ) ( )jjX e V e
0 Ω
0
n
1
( a )
x ( n
1
T
1
)
T
1
X ( e
j T
)
Ω 1
Ω
sa 1
0 Ω
( b )
v ( n
2
T
2
)
T
2
V ( e
j T
)
Ω 2
0
n
2
Ω
sa 2
＝ IΩ
sa 1
3 Ω
sa 1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.16 低通滤波器的理想幅频特性
0 ΩΩ
sa 2
H ( e j T )Ω 2
Ω
sa 2
/2Ω
c
－ Ω
c
第 8章 其它类型的数字滤波器
3.内插器的输入,输出关系
1) 时域输入,输出关系由图 8.4.11,有
1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ),
()
0,
n
y n T v m T h n T m T
m
x T x n m n I T IT
v m T I
及其它所以
1
2 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )
n
y n T x n T h n T n T
(8.4.21)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2) 频域输入,输出关系
2 2 2
2 1 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j j j
j j j j I j
Y e V e H e
Y e XY e H e X e H e
(8.4.22)
(8.4.23)
由 (8.4.19)式知道,所以
21( ) ( )jjV e X e
在复频域分析图 8.4.11 时,其输入 x(n1T1)的
Z变换 X(z1)与输出 y(n2T2)的 Z变换 Y(z2)的关系推导如下：
2
2
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) n
n
Y z V z H z
V z V n T z
(8.4.24)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2
2
1
1
22
1 2 2 1
1 1 2
2
( ),
()
()
n
n
In
n
I
nn
x T z n n
II
x n T z
Xz
(8.4.25)
为 I的整数倍即
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
I
I
Y z X z H z
Y z X z H z
所以
(8.4.26)式中所有变量都为 z2,所以可去掉下标得
(8.4.26)
(8.4.27)
第 8章 其它类型的数字滤波器
4.整数倍抽取和内插在数字语音系统中的应用
1) 数字语音系统中信号的采样过程及存在的问题 。
2) 数字语音系统中改进的 A/D转换方案第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.17 语音信号的一般采样过程
－ Ω
h
x ( t ) v ( t ) v ( n T )
A / D Ch ( t )
( a )
0
t
x ( t )
Ω
X ( j )Ω
0 Ω
h
＝ 2 f
h
π
( b )
－ Ω
p
Ω
H ( j )Ω
0
( c )
Ω
p
＝ Ω
h
0
t
v ( t )
Ω
( d )
－ Ω
h
Ω
h
0
0
n
v ( n T )
ω
( e )
0
V ( j )Ω
V ( e
j
)
ω
T
2π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.18 数字语音系统的改进 A/D转换器方案及其各点信号波形与相应频谱
h ( n
1
T
1
) ↓ 2
w ( n
1
T
1
) v ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
A / D
w ( t )
g ( t )
x ( t )
－ Ω
h
0
t
x ( t )
Ω
X ( j )Ω
0
－ Ω
h
Ω0
Ω
h
Ω
h
G ( j )Ω
－ Ω
h
Ω0 Ω
h
0
t
w ( t )
Ω
sa 1
W ( j )Ω
( a )
( b )
( c )
3 Ω
h
3 Ω
h
－ 3Ω
sa 1
－ 3Ω
sa 1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.18 数字语音系统的改进 A/D转换器方案及其各点信号波形与相应频谱
Ω0
0
n
1
w ( n
1
T
1
)
Ω
sa 1
Ω0 Ω
sa 1
ω
1
W ( e
j T
)
Ω
1
H ( e
j T
)
Ω
1
Ω0 Ω
sa 1
V ( e
j T
)
Ω
1
0
n
1
v ( n
1
T
1
)
( e )
( f )
( g )
T
1
－ Ω
h
Ω
h
＝ 4 Ω
h
Ω0
Y ( e
j T
)
Ω
2
0
n
1
y ( n
2
T
2
)
( h )
T
2
－ Ω
h
Ω
h
T
1
4 Ω
h
2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.19 改进的 D/A转换方案框图
D / A C
y ( n 2 T 2 )^
↑ 2
v ( n 1 T 1 )^ v ( t )^
h ( t )^
x ( t )^
h ( n 1 T 1 )^
第 8章 其它类型的数字滤波器对 (n1T1)进行 D/A变换,得到：
^v
^
^
1 1 1 1
11
( ),()
0
v n T t n Tvt
t n T
时时第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.20 (n2T2)及 (n1T1)的时域和频域表示^y ^
v
Ω0
0
n
2
( a )
T
2
y ( n
2
T
2
)
^
Y ( e
j T
)
Ω 2
^
Ω
sa 2
＝
T
2
2 π
Ω0
0
n
1
( b )
T
2
v ( n
1
T
1
)
^
V ( e
j T
)
Ω 1
^
Ω
sa 2
Ω
sa 1
T
1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.21 (t)的时域和频域表示^v
Ω0
0
t Ω
sa 1T
1
v ( t )
^
V ( j
)Ω
^
2 T
1
π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.22 模拟低通滤波器 幅频特性要求^()ht
Ω0
H ( j
)Ω
^
2 T
1
π
2 T
1
π
－
2 T
1
3π
－
2 T
1
3π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.23 恢复模拟信号 及其频谱^()xt
Ω0
0
t
x ( t )
^
X ( j
)Ω
^
2 T
1
π
2 T
1
π
－
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.4.3 多采样率 FIR系统的网络结构
1.整数倍抽取器的 FIR直接实现整数 (D)倍抽取器框图如图 8.4.24 所示 。 抗混叠低通滤波器用 FIR结构时,抽取器的时域输入,输出关系为 ( h(rT1)长度为 N)
1
1 1 1 1 1
0
2 2 1
( ) ( ) [( ) ]
( ) ( )
N
r
v n T h r T x n r T
y n T v D T
(8.4.29)
(8.4.30)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.24 D倍抽取器框图
h ( n 1 T 1 )
x ( n 1 T 1 ) v ( n 1 T 1 ) y ( n 2 T 2 )
↓ D
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.25 D倍抽取器的 FIR直接实现
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 ) v ( n
1
T
1
)
h ( T
1
)
x [ ( n
1
－ 1) T
1
]
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
x [ ( n
1
－ N ＋ 2) T
1
]
x [ ( n
1
－ N ＋ 1) T
1
]
h [ ( N － 2 ) T
1
]
h [ ( N － 1 ) T
1
]
↓ D
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.26 等效变换后 D倍抽取器的 FIR直接实现
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )
h ( T
1
)
x [ ( n
1
－ 1) T
1
]
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
x [ ( n
1
－ N ＋ 2) T
1
]
x [ ( n
1
－ N ＋ 1) T
1
]
h [ ( N － 2 ) T
1
]
h [ ( N － 1 ) T
1
]
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.27 抽取器 FIR结构的线性相位形式
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
x ( n
1
T
1
)
h ( 0 ) y ( n
2
T
2
)
h ( T
1
)
h (2 T
1
)
h (3 T
1
)
h (4 T
1
)
h (5 T
1
)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2.整数倍内插器的 FIR直接实现整数倍内插系统框图如图 8.4.28 所示 。 滤除镜像频谱滤波器 h(n2T2)采用 FIR结构时,I倍内插器的 FIR直接实现结构如图 8.4.29 所示 。
图 8.4.28 整数倍内插系统框图
x ( n 1 T 1 ) w ( n 2 T 2 ) y ( n 2 T 2 )
h ( n 2 T 2 )↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.29 整数倍内插器 FIR直接实现结构
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )w ( n
2
T
2
)
h ( T
2
)z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.30 FIR滤波网络的转置型结构
y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )w ( n
2
T
2
)
h ( T
2
)
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
z
－ 1
2
z
－ 1
2
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.31 滤波网络转置后的内插系统的直接实现
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )w ( n
2
T
2
)
h ( T
2
)
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.32 内插系统直接实现的高效结构
y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )x ( n
1
T
1
)
h ( T
2
)
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
z
－ 1
2
z
－ 1
2
↑ I
↑ I
↑ I
↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.33 内插器的线性相位 FIR直接实现
y ( n
2
T
2
)
z
－ 1
2
x ( n
1
T
1
) h ( 0 )
h ( T
2
)
h (2 T
2
)
h (3 T
2
)
h (4 T
2
)
↑ I
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
↑ I ↑ I
↑ I
↑ I
↑ I↑ I
↑ I
↑ I
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
8.1 几种特殊的滤波器
8.2 格型滤波器
8.3 简单整系数数字滤波器
8.4 采样率转换滤波器第 8章 其它类型的数字滤波器
8.1 几种特殊的滤波器
8.1.1 全通滤波器如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或 1，
即
|H(e jω)|=1,0≤ω≤2π (8.1.1)
则该滤波器称为全通滤波器 。 全通滤波器的频率响应函数可表示成
H(e jω)=e jφ(ω) (8.1.2)
第 8章 其它类型的数字滤波器全通滤波器的系统函数一般形式如下式：
0
0
12
12
012
12
()
,1
1
N
Nk
k
k
N
k
k
k
N N N
N
N
N
az
Hz
az
z a z a z a
a
a z a z a z
(8.1.3)
或者写成二阶滤波器级联形式：
21
12
21
1 21
() 1
L
ii
i ii
z a z aHz
a z a z
(8.1.4)
第 8章 其它类型的数字滤波器下面证明 (8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性 。
1
00
00
()
()
()
NN
N k k
kk
NNkk
NN
kk
kk
kk
a z a z
Dz
H z z z
Dz
a z a z
(8.1.5)
式中,由于系数 ak是实数,所以
0
() N kk
k
D z a z?
1( ) ( ) ( )
()
( ) 1
()
j
jj
ze
j
j
j
D z D e D e
De
He
De
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.1 全通滤波器一组 =零极点示意图
I m ( z )
z
k
R e ( z )
z
k
*
p
k
p
k
*
第 8章 其它类型的数字滤波器观察图 8.1.1,如果将零点 zk和极点 p*k组成一对,
将零点 z*k与极点 pk组成一对,那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现,即如果 z-1k为全通滤波器的零点,则 z*k必然是全通滤波器的极点 。 因此,
全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：
1
1
1
() 1
N
k
k k
zzHz
zz
(8.1.6)
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.1.2 梳状滤波器例如,,0<a<1,零点为 1,极点为 a,所以 H(z)表示一个高通滤波器 。 以 zN代替 H(z)
的 z,得到：
1
1
1()
1
zHz
az
1()
1
N
N
N
zHz
az
(8.1.7)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.2 梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性 (N=8)
1()
1
NN
N
zHz
az
I m ( z )
R e ( z )
1
( a )
α
N
1
零点在单位圆上极点在半径为 的圆上
α
N
1
0
N
2π
N
4 π
N
6 π
N
8π
N
10 π
ω
( b )
H
k
( e
j ω
)
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.1.3 最小相位系统最小相位系统在工程理论中较为重要,下面给出最小相位系统的几个重要特点 。
(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数 H(z)均可由一个最小相位系统 Hmin(z)和一个全通系统 Hap(z)级联而成,即
H(z)=Hmin(z)·Hap(z) (8.1.8)
证明 假设因果稳定系统 H(z)仅有一个零点在单位圆外,令该零点为 z=1/z0,| z0 |<1,则 H(z)可表示为第 8章 其它类型的数字滤波器
1
11 0
1 0 1 0 1
0
1
1 0
10 1
0
1
( ) ( )( ) ( )( )
1
( )( 1 )
1
zz
H z H z z z H z z z
zz
zz
H z z z
zz
(8.1.9)
(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中,最小相位系统的相位延迟 (负的相位值 )最小 。
高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数相乘来表示 。 一阶和二阶全通系统的系统函数分别如
(8.1.10)和 (8.1.11)式：
第 8章 其它类型的数字滤波器
① 对 (8.1.10)式，
1
1
1
11
11
()
1
()
11
op
op
za
Hz
az
z a z a
Hz
az a z
(8.1.10)
(8.1.11)
其中 a为实数,且 |a|<1；
1
()
( ) ( ) j
ap
j
jj
ap ap jze
za
H z z
za
ea
H e H z e
ea
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.3 一阶全通系统具有非正 =相位的几何证明图
z ＝ e
j ω
ω
α
a
ω
2
第 8章 其它类型的数字滤波器由于上式中分数部分的分子,分母是共轭的,因此相角相反,所以
arg［ Hap(e jω)］ =ω-2 arg(e jω -a)
对 0≤ω≤π,关于 arg(e jω -a)作图如图 8.1.3 所示,
图中 α=arg(ejω -a)。 ;
由图 8.1.3可见,
ar g ( )
2
ar g [ ( )] 0
j
j
ap
ea
He
第 8章 其它类型的数字滤波器
② 对 (8.1.11)式,
2( ),1
a r g [ ( ) ] 2 [ a r g ( ) a r g ( ) ]
jj
jj
ap jj
j j j
ap
e a e a
H e e a
e a e a
H e e a e a
故画出上式中的各相角如图 8.1.4 所示 。 图中
α1=arg(ejω -a),α2=arg(ejω-a*)。 由图可看出,
12
0
z a a a
z z z?
根据三角形外角大于内角的定理有
12
12ar g [ ( )] 2 [ ( )] 0
j
ap
aa
H e a a?
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.1.4 二阶全通系统具有非正 =相位的几何证明图
z ＝ e
j ω
ω
α
1
a
a
*
α
1
α
2
ω
ω
z
*
＝ e
－ j ω
z
0
第 8章 其它类型的数字滤波器由 (8.1.8)式有
m in
m in
m in m in
m in m in
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) [ ( ) ]
( ) ( 0 )
( ) ( 0 )
ap
jj
z
z
H z H z H z
H e H e
h n I Z T H z
h n I Z T H z
H z h
H z h
由初值定理可得出由于
1
1() 1
i
a p iz
ii i z
zaH z a
az
第 8章 其它类型的数字滤波器对因果稳定系统,|ai|<1,所以
|h(0)|<|hmin(0)| (8.1.12)
(8.1.12)式说明,在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中,最小相位系统对 δ(n)的响应波形延迟最小 。
如果定义 h(n)的积累能量 E(m)为
2
0
22
m i n
00
( ) ( ),0
( ) ( )
m
n
mm
nn
E m h n m
h n h n
则最小相位系统的最小能量延迟可用 (8.1.13)式,即。
第 8章 其它类型的数字滤波器由于 |H(e jω)|=|Hmin(e jω)|,即
22
m i n
22
m i n
00
( ) ( )
( ) ( )
jj
nn
H e d H e d
h n h n
由 parseval定理有
(3) 最小相位系统保证其逆系统存在 。 给定一个因果稳定系统 H(z)=B(z)/A(z),定义其逆系统为
1 ( )()
( ) ( )IN V
AzHz
H z B z
(8.1.14)
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.2 格型滤波器
8.2.1 全零点格型滤波器一个 M阶的 FIR滤波器的系统函数 H(z)可写成如下形式：
()
01
( ) ( ) 1
MM
i i i
iM
ii
H z B z b z b z
(8.2.1)
其中,b(i)M表示 M阶 FIR滤波器的第 i个系数,
并假设首项系数 b0=1。 H(z)对应的格型结构如图 8.2.1
所示 。
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.1 全零点格型滤波器网络结构
x ( n ) e
0
r
0
z － 1
k 1
k
1
r
1
z － 1 r
2
k 2
k
2
e
2
z － 1 r
M － 1
z － 1
k
M － 1
k M － 1
e
M － 1
k M
k
M
y ( n )
e
1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.2 全零点格型结构 =基本单元
r
m － 1
k
m
k
m
r
m
z
－ 1
e
m － 1
e
m
第 8章 其它类型的数字滤波器下面推导由 H(z)=B(z)的系数 {bi}求出格型结构网络系数 {ki}的逆推公式 。 图 8.2.2 所示基本格型单元的输入,输出关系如下式：
em(n)=e m-1 (n)+r m-1(n-1)km (8.2.2a)
rm (n)=e m-1 (n)·km+rm-1 (n-1) (8.2.2b)
且 e0(n)=r0 (n)=x(n) (8.2.2c)
y(n)=em (n) (8.2.2d)
第 8章 其它类型的数字滤波器设 Bm(z),Jm(z)分别表示由输入端 x(n)至第 m个基本单元上,下输出端 em(n),rm(n)}对应的系统函数,即
()
0
1
0
( ) ( ) / ( ) 1,1,2,,
( ) ( ) / ( ),1,2,,
m
ii
m m m
i
mm
B z E z E z b z m M
J z R z R z m M
(8.2.3a)
(8.2.3b)
当 m=M时,Bm(z)=B(z)。 对 (8.2.2)式两边进行 Z变换得
1
11
1
11
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m m m m
m m m m
E z E z k z R z
R z k E z z R z
(8.2.4a)
(8.2.4b)
第 8章 其它类型的数字滤波器对 (8.2.4a)和 (8.2.4b)式分别除以 E0(z)和 R0(z),再由 (8.2.3a)和 (8.2.3b)式有
1
1
1
1
1
2
1
1( ) ( )
( ) ( )
1 ()
()()
() 1
mmm
mm m
m m
mmm
m m
kzB z B z
J z J zkz
k Bz
Jzk z zBz
Jz k
(8.2.5)
(8.2.6)
第 8章 其它类型的数字滤波器由 (8.2.3)式有 B0(z)=J0(z)=1,所以
11
1 0 1 0 1
11
1 1 0 0 1
11
11
( ) ( ) ( ) 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
B z B z k z J z k z
J z k B z z J z k z
J z z B z
令 m=2,3,:,M,可推出
1( ) ( )mmmJ z z B z
(8.2.7)
将上式分别代入 (8.2.5)和 (8.2.6)式得
1
11
1
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
()
1
m
m m m m
m
m m m
m
m
B z B z k z B z
B z k z B z
Bz
k
(8.2.8a)
(8.2.8b)
第 8章 其它类型的数字滤波器下面导出 km与滤波器系数 b(m)m之递推关系 。 将
(8.2.3a)式代入 (8.2.8a)及 (8.2.8b)式,利用待定系数法可得到如下两组递推关系：
( ) ( ) ( )
11
()
( ) ( )
() 1
1 2
1
mm
i i m i
m m m m
m
mm
i m i
i m m m
m
m
bk
b b k b
kb
b k b
b
k
(8.2.9)
(8.2.10)
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.2.1 FIR滤波器由如下差分方程给定：
1 3 5 1( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
2 4 8 3y n x n x n x n x n
求其格型结构系数,并画出格型结构图 。
解 对差分方程两边进行 Z变换的 H(z)=B3(z)：
3
( ) 1 2 3
33
1
(1) ( 2 ) ( 3 )
3 3 3
( 3 )
33
13 5 1
( ) ( ) 1 1
24 8 3
13 5 1
,,
24 8 3
1
3
i
i
H z B z b z z z
b b b
kb
第 8章 其它类型的数字滤波器
(1 ) ( 2 )
(1 )
3 3 3
2 2
3
( 2 ) (1 )
( 2 ) 3 3 3
2 2
3
( 2 )
22
(1 ) (1 )
(1 )
2 2 2
1 2
2
(1 )
11
13 5
3
24 24
8
18
9
1
12
1
2
1
14
1
4
b k b
b
k
b k b
b
k
kb
b k b
b
k
kb
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.3 H(z)的格型结构流图
1 / 4
z － 1
1 / 4
z － 1
1 / 2
1 / 2
1 / 3
1 / 3
z － 1
y ( n )
x ( n )
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.2.2 全极点 (IIR)格型滤波器
IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数,可以根据 FIR格型结构开发 。 设一个全极点系统函数由下式给定：
()
1
11()
()1 M ii
M
i
Hz
Azaz?
(8.2.12)
图 8.2.4 全极点 (IIR))滤波器格型结构
k
2
y ( n )x ( n )
e
M
r
M
e
M － 1
z － 1 r M － 1
k
M － 1
－ k
M － 1
z － 1
e
1
－ k
2
r
2 z
－ 1 r
1
e
0
k
1
－ k
1
z － 1 r 0
k
M
－ k
M
e
2
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.2.2 设全极点 IIR滤波器系统函数为求其格型结构网络系数,并画出格型结构 。
1 2 3
1()
1 3 5 11
2 4 8 3
Hz
z z z
解
3
1 2 ( )
3
1
(1) ( 2 ) ( 3 )
3 3 3
13 5
( ) ( ) 1 1
24 8
13 5 1
3,,,
24 8 3
ii
MM
i
B z A z z z b z
M b b b
由例 8.2.1 所求 FIR格型结构网络系数：
1 2 3
1 1 1,,
4 2 3k k k
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.2.5 例 8.2.2 中的 IIR格型结构
z － 1
1 / 4
z － 1
－ 1 / 2
1 / 21 / 3
z － 1
x ( n )
y ( n )
－ 1 / 3 － 1 / 4
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.3 简单整系数数字滤波器
8.3.1 建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器
1,多项式拟合的基本概念设序列 x(n)中的一组数据为 x(i),i=-M,:,0,:,M,我们可以构造一个 p阶多项式 fi来拟和这一组数据 x(i),2
02
0
22
0
,2
[ ( )] [ ( )]
p
pk
i i p k
k
pMM
k
ik
i M i M k
f a a i a i a i a i p M
E f x i a i x i
总的拟合误差为
(8.3.1)
(8.3.2)
第 8章 其它类型的数字滤波器为了使拟合满足最小均方误差准则,令 E对各系数的导数为零,即令
0
0
2 [ ( ) ] 0,,1,,
()
()
pM
kr
k
i M kr
p MM
k r r
k
k i M i M
M
r
r
iM
M
kr
kr
iM
E
a i x i i r p
a
a i x i i
F x i i
si
则 (8.3.3)式可写成如下形式：
0
p
r k k r
k
F a s?
(8.3.3)
(8.3.4)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2.最佳拟合模板与简单整系数 FIR滤波器的单位脉冲响应 h(n)
在实际应用中,并不将 fi的 p+1 个系数全求出来,
而是只求出 a0,就可实现对 x(n)的最佳拟合 。 由 (8.3.1)
式可知,
例如,当 M=2,p=2 时,为五点二次 (抛物线 )多项式拟合 。 据 (8.3.4)式,并考虑当 k+r=奇数时 sk+r=0,有
00iifa
(8.3.5)
0 0 2 2 0
2 0 4 2 2
4 0 2 2
0 2
0 4 2
s a s a F
s a s a F
s F s F
a
s s s
第 8章 其它类型的数字滤波器其中，
代入上式可得
22 2
0 2 4 0 2
22
5,1 0,3 4,( ),( )
ii
s s s F x i F x i i
0
3 ( 2 ) 1 2 ( 1 ) 1 7 ( 0) 1 2 ( 1 ) 3 ( 2 )
35
x x x x xa (8.3.6)
3,12,17,12,3
()
35
17 24 c o s 6 c o s 2
()
35
j
hn
He?
(8.3.7)
(8.3.8)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.1 低通滤波器幅频特性
(a) M=2,p=2; (b) M=3,p=3
0
H
(
e
j
ω
)
0
0,5
1,0
0,1 0,2 0,50,3 0,4
ω /
( a )
0
H
(
e
j
ω
)
0
0,5
1,0
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
2 π ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.3.2 建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器如前所述,在单位圆上等间隔分布 N个零点,则构成,梳状滤波器,。 如果在 z=1 处再设置一个极点,
对消该处的零点,则构成低通滤波器,其系统函数和频率响应函数分别为
1
( 1 ) / 2
1
()
1
1 s i n ( / 2 )
()
1 s i n ( / 2 )
N
Lp
jN
j j N
Lp j
z
Hz
z
eN
H e e
e
(8.3.9a
(8.3.9b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.2 低通滤波器零,极点分布及幅频特性 (N=10)
(a) (8.3.9a)式的零,极点分布图； (b) (8.3.9b)式的幅频特性
I m [ z ]
R e [ z ]
( a )
0
H
(
e
j
ω
)
0
5
10
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
2 / 1 0π
ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器基于同样的思想,在 z=-1 处设置一个极点对消该处的零点,则构成高通滤波器,其系统函数及频率响应函数分别为
1
[( 1 ) / 2 / 2 ]
1
()
1
1 s i n ( / 2 )
()
1 co s ( / 2 )
N
HP
jN
j j N
HP j
z
Hz
z
eN
H e e
e
(8.3.10a)
(8.3.10b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.3 高通滤波器零,极点分布及幅频特性
(a) (8.3.10a)式零,极点分布； (b) 幅频特性
0
H
(
e
j
ω
)
0
5
10
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
I m [ z ]
R e [ z ]
( a )
2 / 1 0π
ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器假设我们要求带通滤波器的中心频率为 ω0,0< ω0
<π,应当在 z=ejω0和 z= e-jω0处设置一对共轭极点,则带通滤波器的系统函数和频响函数为
001 1 1 2
0
[( 2 ) / 2 / 2 ]
0
11
()
( 1 )( 1 ) 1 2 c o s ( )
s i n ( / 2 )
()
c o s c o s
NN
BP jj
j j N
BP
zz
Hz
e z e z z z
N
H e e
(8.3.11a)
(8.3.11b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.4 带通滤波器零,极点分布及幅频特性 (N=12,ω0=π/6)
(a) (8.3.11a)式的零,极点分布； (b) 幅频特性曲线
0
H
(
e
j
ω
)
0
7
0,1 0,2 0,50,3 0,4
( b )
I m [ z ]
R e [ z ]
( a )
/ 6π
6
5
4
3
2
1
ω / 2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器例如,取理想全通滤波器频响为
HAP(e jω)=ce -jωm,m为正整数,c为常数要从 HBP(ejω)中减去带通滤波器 HBP (ejω)时,二者的相位特性必须一致 。 为此,HBP(z)取为如下形式 (若取 (8.3.11a)式,存在一常数相移 π/2)：
001 1 2
0
11()
( 1 ) ( 1 ) 1 2 c o s
NN
BP jj
zzHz
e z e z z
(8.3.12a)
相应的频响函数为
( 2 ) / 2
0
c o s ( / 2)()
c o s c o s
j j N
BP
NH e e
(8.3.12b)
第 8章 其它类型的数字滤波器取 HAP(ejω))中的 m=N/2-1即可满足相位特性一致条件,带阻滤波器的系统函数和频响函数分别为
( 1 )
2
12
0
( 2 ) / 2
0
1
( ) ( ) ( )
1 2 co s ( )
co s ( / 2 )
( ) ( ) ( ) [ ]
co s co s
N N
B S A P B P
j j j j N
B S A P B P
z
H z H z H z C z
zz
N
H e H e H e C e
(8.3.13a)
(8.3.13b)
1
1( ) ( )
1
N
k
LP
zHz
z
(8.3.14)
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.3.1 设计一个简单整系数低通滤波器,要求
f≤60 Hz时,衰减不大于 3 dB,阻带最大衰减 αs=40 dB，
采样频率 fs=1200 Hz。
解 由 (8.3.9b)和 (8.3.14)式知道
si n( / 2 )()
si n( / 2 )
k
j
LP
NHe
(8.3.15)
式中有两个未知数 N和 k。
由已知条件可知,通带边界频率 fp=60 Hz，
ap=3 dB,相应的数字滤波器的 3 dB通带边界频率为
12 2 60
120 0 10pp f T rad
第 8章 其它类型的数字滤波器为了书写简单,令
0
0
0
()
si n( / 20)
()
si n( / 20)
si n( 3 / 2 )
()
si n( 3 / 2 )
si n( / 20) 3
,si n( )
0,15 6 2
33
20 lg 20 lg ( si n( ) ) 20 lg ( si n( ) )
22
P
s
jk
LP
k
j
L P P
k
j
L P s
kk
Ps
k
k
s
s
H e N H
N
H e H
H e H
N
N
HH
N
H
a N N
H N N
(8.3.16)
(8.3.17)
(8.3.18)
第 8章 其它类型的数字滤波器当 N较大时,sin(3π/2N)≈3π/2N,所以,可用
3π/2N代替 sin(3π/2N),得到,
3
2 0 l g 1 3,4 6
2
40
2,9 7
1 3,4 6 1 3,4 6
3
s
s
a k k
a
k
k
频响的主瓣宽度由 N确定,当 αp给定时,ωp与主瓣宽度有关 。 所以,为了求得 N值,应利用下式：0
s i n ( / 2 )
2 0 l g 2 0 l g
s i n ( / 2 )
s i n
2 0 l g 2 0 l g
s i n
k
p
p
pp
p
NH
a
HN
xx
ak
xx
当 ωp很小时,sin(ωp/2)≈ ωp /2,并令 N ωp /2=x,则第 8章 其它类型的数字滤波器因为在 ωp处 sinx/x恒为正,所以有
/ 20
24
2
/ 20
sin
10
sin
1
3 ! 5 !
1 10
3!
p
p
k
k
x
x
x x x
x
x
将 sinx/x展开成台劳级数：
仅取前两项近似得代入 αp=3 dB,k=3,解出 x=0.8078,N=5.14,取 N=6，
所求低通滤波器系统函数为
6
3
1
1( ) ( )
1LP
zHz
z
(8.3.19)
第 8章 其它类型的数字滤波器可求出 |HLP(ej0)|=216,如果希望 |HLP(ej0)|=1,则取
6
3
1
1()
1()
216LP
z
zHz
例 8.3.2 在信号采集时,往往会受到 50 Hz电源频率干扰,现希望设计一个整系数 50 Hz陷波器,
滤除 50 Hz干扰 。 要求陷波器阻带尽量窄,最好在 50
Hz± 2 Hz以内,而通带应尽量平坦 。 给定采样频率
fs=400 Hz,试设计该陷波器 。
第 8章 其它类型的数字滤波器解 由前述可知,这类整系数陷波器要用一个全通滤波器减去一个带通滤波器实现 。 所以,该题的关键是设计一个满足要求的带通滤波器 。 如前述,带通滤波器的系统函数应取 (8.3.12a)式的形式：
12
0
1( ) ( )
1 2 c o s ( )
N
k
BP
zHz
zz?
(8.3.20)
/ 4 1 / 4 1 3 / 4 1 3 1 4( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1j j j je z e z e z e z z
第 8章 其它类型的数字滤波器由于第一个极点 z=ejπ/4一定是 HBP(z)的一个零点,
所以将其代入 (8.3.20)式分子中,应有
4
( 2 1 )4
10
1,
jN
jN
jl
e
e e l
为整数所以,N/4=2l+1,N=4(2l+1),即 N应是 4 的奇数倍,即
4 ( 2 1)
4
4
1
()
1
c o s[ 2 ( 2 1 ) ]
()
c o s 2
l
BP
j j l
BP
z
Hz
z
l
H e e
(8.3.21a)
(8.3.21b)
其频响函数为第 8章 其它类型的数字滤波器
24 ( 2 1 ) 1 9 6 2
4 2 1 9 2
242 4 2 4 2
2
192
2
1 ( 1 )
( ) [( ) ] [ ]
( 2 1 ) ( 1 ) 2 0 4 1 ( 1 )
c o s 1 9 6
( ) [ 1 ]
2 0 4 1 c o s 2
l
l
B S l
jj
BS
zz
H z z z
l z z
H e e
(8.3.24a)
(8.3.24b)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.3.5 50 Hz数字陷波器幅频特性
(a) l=50,k=1; (b) l=24,k=1; (c) l=24,k=2
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.4 采样率转换滤波器
8.4.1 信号的整数倍抽取设 x(n1,T1)是连续信号 xa(t)的采样序列,采样率
F1=1/T1(Hz),T1称为采样间隔,单位为秒,即
x(n1T1)=xa(n1T1) (8.4.1)
T2=DT1 (8.4.2)
第 8章 其它类型的数字滤波器图中 n1和 n2分别表示 x(n1T1)和 x(n2T2)序列的序号,
于是有
y(n2T2)=x(n2DT1) (8.4.3)
当 n1=n2D时,y(n2T2)=x(n1T1)。
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.1 数字信号的抽取
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 n
1
x ( n
1
T
1
)
T
1
↓ D
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
( a )
＝ D
T
1
T
2
( b )
0 n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
( c )
1 2 3 4 5
第 8章 其它类型的数字滤波器如果 x(n1T1)是连续信号 xa(t)的采样信号,则 xa(t)和
x(n1T1)的傅里叶变换 Xa(jΩ)和 X(ejω1)将分别是
1 1 1
11
( ) ( )
( ) ( )
d e f
jt
aa
d e f
j j n
n
X j x t e d t
X e x n T e
(8.4.4)
(8.4.5)
其中,Ω=2πf(rad/s),f为模拟频率变量,ω1为数字频率。
1
11
1
1
1
2
1
( ) ( )
j
a s a l
k
f
T
F
X e x j j k
TT
由 (2.4.7)式有
(8.4.6)
(8.4.7)
第 8章 其它类型的数字滤波器为了对抽样前后的频谱进行比较,作图时均以模拟角频率 Ω为自变量 (横坐标 ),为此按 (8.4.6)式将
X(ejω1)写成 Ω的函数为
11
11
1
1( ) ( ) ( )j T j
T a s a l
k
X e X e x j j kT
(8.4.8)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.2 xa(t),x(n1T1)及其傅里叶变换
0
FT
x
a
( t )
0t Ω
( a )
0
FT
0t Ω
( b )
x ( n
1
T
1
)
X
a
( j )Ω
X ( e
j T
) ＝ X ( e
j
)
Ω 1 ω 1
T
1
Ω
c
－ Ω
c
－ Ω
sa 1 Ω
sa 1
＝
T
1
2 π
Ω
c
－ Ω
c
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.3 抽取后的 y(n2T2)及其频谱 Y(ejω2)
0
n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
0 ΩDΩ
sa 2
FT
Ω
sa 2
＝
D
1
Ω
sa 1
Y ( e j T )Ω 2
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.4 带有抗混叠滤波器的抽取系统框图
h ( n 1 T 1 ) ↓ D
x ( n 1 T 1 ) v ( n 1 T 1 ) y ( n 2 T 2 )
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.5 信号在抽取前后的时域和频域示意图
T
2
0 Ω
FT
Ω
c
－ Ω
c
－ Ω
sa 1 Ω
sa 1
＝
T
1
2π
0
n
1
v ( n
1
T
1
)
T
0 Ω
FT
( b )
－ Ω
sa 1
Ω
sa 1
－ Ω
c
′
Ω
c
′
0
n
2
y ( n
2
T
2
)
0 Ω
FT
( c )
－ Ω
sa 1
Ω
sa 1
Ω
sa 2
＝ －
D
1
Ω
sa 1
0
n
1
x ( n
1
T
1
)
T
1
( a )
X ( e
j
)
ω
1
V ( e
j
)
ω
1
Y ( e
j
)
ω
2
第 8章 其它类型的数字滤波器在抽取前先令 x(n1T1)乘以周期序列 (n1T1),即~?
~~
1 1 1 1 1 1
~
1
11
( ) ( ) ( )
1,0,,2
()
0,
x n T x n T n T
n D D
nT
其它
(8.4.9)
(8.4.10)
其中,(n1T1)定义如下：~?
1
1
11
21~~
11
2211~~
11
00
( ) ( ) 1
11
( ) ( )
D
j k n
D
n
DD
j k n j k n
DD
kk
A k n T e
n T A k e e
DD
于是 (n1T1) 的 DFS展开式为~
第 8章 其它类型的数字滤波器将 (8.4.12)式代入 (8.4.9)式得
1
21^
1 1 1 1
0
1( ) ( )D j k nD
k
x n T x n T eD
(8.4.13)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.6 对 x(n1T1)的直接抽取和等效抽取
0
n
1
x ( n
1
T
1
)
0
n
1
x ( n
1
T
1
)
0
n
1
(n
1
T
1
)
λ
～
1
0
n
1
T
2
2 T
2
＝ DT
1
x ( n
1
T
1
) ＝ x ( n
1
T
1
)
(n
1
T
1
)
λ
～
^
0 n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
＝ DT
1
1 2 3 4 5 0 n
2
y ( n
2
T
2
)
T
2
1 2 3 4 5
直接抽取第 8章 其它类型的数字滤波器下面推导 Y(e jω2)与 X(e jω1)的关系：
2 2 2 1 2
22
12
2
2 2 2 1
21
( ) ( ) ( )
()
j j n j T D m
nn
j D m
n
Y e y n T e y n D T e
y n D T e
1
2 1 1 1 1
11
1
21^
1 1 1 1
0
21
()
0
1
( ) ( ) [ ( ) ]
1
()
D
j kn
j j n j nD
n n k
D
jk
D
k
Y e x n T e x n T e e
D
Xe
D
令 则21 2
21,,
jjj Dz e z e W e
1
21
0
1( ) ( )D k
k
Y z X z WD
(8.4.14)
(8.4.15)
第 8章 其它类型的数字滤波器式中,.所以有 (省去 z2的下标 )
1 1 2 / 1/12j j T j T D Dz e e e z
1
1/
0
1( ) ( )D Dk
k
Y z X z WD
(8.4.16)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4,7 在 Ωc>Ωsa2/2时,抽取前后信号的时域和频域关系示意图
( d )
0 Ω
FT
Ω
c
－ Ω
c
0
n
1
T
1
T
1
( a )
Ω
sa 1
＝
T
1
2 π
( k )
Λ
～
X ( e
j T
)
Ω
1
^
(n
1
T
1
)
λ
～
x ( n
1
T
1
)
0
T
2
y ( n
2
T
2
)
k
FT
0
n
1
T
1
T
1
( b )
DT
1
0
…
0
Ω
FT
0 n
1
T
1
DT
( c )
Ω
sa 1
＝
T
1
2 π
x ( n
1
T
1
)
^
2 DT 3 DT
X ( e
j T
)
Ω 1
0
Ω
FT
Y ( e
j T
)
Ω 2
Ω
sa 2
＝
D
1
Ω
sa 1
＝
DT
1
＝
2 π
n
2
T
2
1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.8 在 Ωc<Ωsa2/2时,抽取前后信号的时域和频域关系示意图
0 ΩΩ
c
－ Ω
c
Ω
sa 1
X ( e
j T
)
Ω 1
( a )
0 k
( b )
( k )
Λ
～
0 ΩΩ
sa 1
( c )
Ω
sa 1
/ D
－ 1－ 2－ 3 1 2 3 4 5
0 Ω
( d )
Y ( e
j T
)
Ω
2
Ω
sa 1
/ D＝Ω
sa 2
X ( e
j T
)
Ω 1
^
第 8章 其它类型的数字滤波器例 8.4.1 一整数倍抽取系统如图 8.4.9所示,试求输出序列 y(n2T2)。
解 设输入序列 x(n1T1)是已知的,且设抽取后信号的采样率仍满足采样定理 。
图 8.4.9 整数倍抽取系统
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
↓ D
↓ D
x
0
( n
1
T
1
) y
0
( n
2
T
2
)
y
1
( n
2
T
2
)x
1
( n
1
T
1
)
z
1
－ 1
第 8章 其它类型的数字滤波器图中 x0(n1T1)=x(n1T1)
x1(n1T1)=x［ (n1-1)T1］
所以
y0(n2T2)=y0(n2DT1)=x0(n2DT1)
y1(n2T2)=y1(n2DT1)=x1(n2DT1)=x［ (n2D-1)T1］
故 y2(n2T2)=y0(n2T2)+y1(n2T2)
=x(n2DT1)+x［ (n2D-1)T1］
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.4.2 信号的整数倍内插
1,整数倍内插的概念与内插方法从理论上讲,可以对已知的采样序列 x(n1T1)进行
D/A转换,得到原来的模拟信号 x(t),然后再对 x(t)进行较高采样率的采样得到 y(n2T2),这里
T1=IT2 (8.4.17)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.10 内插概念示意图
x ( n
1
T
1
)
( a )
0
T
1
n
1
x ( t )
( b )
0 t
y ( n
2
T
2
)
( c )
0
T
2
n
2
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.11 零值内插方案的系统框图 图 8.4.12内插过程中的各序列
x ( n 1 T 1 ) v ( n 2 T 2 ) y ( n 2 T 2 )h ( n
2 T 2 )↑ I
x ( n
1
T
1
)
0
T
1
n
1
y ( n
2
T
2
)
v ( n
2
T
2
)
0
T
1
n
2
0
n
2
T
2
T
2
第 8章 其它类型的数字滤波器
2,整数倍内插的频域解释为了回答上面的问题,我们设 x(n1T1)为模拟信号
x(t)的采样序列,并假定 x(t)及其傅里叶变换 X(jΩ)如图
8.4.13所示 。
图 8.4.13 x(t)和 X(jΩ)的示意图
x ( t )
0 t 0 ΩΩ
c
－ Ω
c
X ( j )Ω
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.14 x(n1T1),y(n2T2)和 I=3
12( ),( )jjX e Y e
0 Ω
0
n
1
( a )
3 Ω
sa 1
x ( n
1
T
1
)
T
1
X ( e
j T
)
Ω 1
Ω
sa 1
－ Ω
c
Ω
c
0 Ω0 n
2
( b )
y ( n
2
T
2
)
T
2
Y ( e
j T
)
Ω
2
－ Ω
c
Ω
c
Ω
sa 2
＝ IΩ
sa 1
第 8章 其它类型的数字滤波器下面分析图 8.4.11 中 v(n2T2)的频谱,最后讨论为了得到满足插值要求的 y(n2T2)(如图 8.4.14 所示 ),对
h(n2T2)的技术要求 。
1
22
22
( ),0,,2,
()
0,
T
x n n I I
v n T I
其它 (8.4.18) 2 2 2 2 2
22
1 2 1 1
2 1 1
11
2 2 2 2
/2
1 1 1
/
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
j j n j T n
nn
j T n I j T n
n I n n
j T j
V e v n T e v n T e
n
x T e x n T e
I
X e X e
(8.4.19)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.15 和 频谱图 (I=3)
12( ) ( )jjX e V e
0 Ω
0
n
1
( a )
x ( n
1
T
1
)
T
1
X ( e
j T
)
Ω 1
Ω
sa 1
0 Ω
( b )
v ( n
2
T
2
)
T
2
V ( e
j T
)
Ω 2
0
n
2
Ω
sa 2
＝ IΩ
sa 1
3 Ω
sa 1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.16 低通滤波器的理想幅频特性
0 ΩΩ
sa 2
H ( e j T )Ω 2
Ω
sa 2
/2Ω
c
－ Ω
c
第 8章 其它类型的数字滤波器
3.内插器的输入,输出关系
1) 时域输入,输出关系由图 8.4.11,有
1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ),
()
0,
n
y n T v m T h n T m T
m
x T x n m n I T IT
v m T I
及其它所以
1
2 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )
n
y n T x n T h n T n T
(8.4.21)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2) 频域输入,输出关系
2 2 2
2 1 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j j j
j j j j I j
Y e V e H e
Y e XY e H e X e H e
(8.4.22)
(8.4.23)
由 (8.4.19)式知道,所以
21( ) ( )jjV e X e
在复频域分析图 8.4.11 时,其输入 x(n1T1)的
Z变换 X(z1)与输出 y(n2T2)的 Z变换 Y(z2)的关系推导如下：
2
2
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) n
n
Y z V z H z
V z V n T z
(8.4.24)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2
2
1
1
22
1 2 2 1
1 1 2
2
( ),
()
()
n
n
In
n
I
nn
x T z n n
II
x n T z
Xz
(8.4.25)
为 I的整数倍即
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
I
I
Y z X z H z
Y z X z H z
所以
(8.4.26)式中所有变量都为 z2,所以可去掉下标得
(8.4.26)
(8.4.27)
第 8章 其它类型的数字滤波器
4.整数倍抽取和内插在数字语音系统中的应用
1) 数字语音系统中信号的采样过程及存在的问题 。
2) 数字语音系统中改进的 A/D转换方案第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.17 语音信号的一般采样过程
－ Ω
h
x ( t ) v ( t ) v ( n T )
A / D Ch ( t )
( a )
0
t
x ( t )
Ω
X ( j )Ω
0 Ω
h
＝ 2 f
h
π
( b )
－ Ω
p
Ω
H ( j )Ω
0
( c )
Ω
p
＝ Ω
h
0
t
v ( t )
Ω
( d )
－ Ω
h
Ω
h
0
0
n
v ( n T )
ω
( e )
0
V ( j )Ω
V ( e
j
)
ω
T
2π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.18 数字语音系统的改进 A/D转换器方案及其各点信号波形与相应频谱
h ( n
1
T
1
) ↓ 2
w ( n
1
T
1
) v ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
A / D
w ( t )
g ( t )
x ( t )
－ Ω
h
0
t
x ( t )
Ω
X ( j )Ω
0
－ Ω
h
Ω0
Ω
h
Ω
h
G ( j )Ω
－ Ω
h
Ω0 Ω
h
0
t
w ( t )
Ω
sa 1
W ( j )Ω
( a )
( b )
( c )
3 Ω
h
3 Ω
h
－ 3Ω
sa 1
－ 3Ω
sa 1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.18 数字语音系统的改进 A/D转换器方案及其各点信号波形与相应频谱
Ω0
0
n
1
w ( n
1
T
1
)
Ω
sa 1
Ω0 Ω
sa 1
ω
1
W ( e
j T
)
Ω
1
H ( e
j T
)
Ω
1
Ω0 Ω
sa 1
V ( e
j T
)
Ω
1
0
n
1
v ( n
1
T
1
)
( e )
( f )
( g )
T
1
－ Ω
h
Ω
h
＝ 4 Ω
h
Ω0
Y ( e
j T
)
Ω
2
0
n
1
y ( n
2
T
2
)
( h )
T
2
－ Ω
h
Ω
h
T
1
4 Ω
h
2 π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.19 改进的 D/A转换方案框图
D / A C
y ( n 2 T 2 )^
↑ 2
v ( n 1 T 1 )^ v ( t )^
h ( t )^
x ( t )^
h ( n 1 T 1 )^
第 8章 其它类型的数字滤波器对 (n1T1)进行 D/A变换,得到：
^v
^
^
1 1 1 1
11
( ),()
0
v n T t n Tvt
t n T
时时第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.20 (n2T2)及 (n1T1)的时域和频域表示^y ^
v
Ω0
0
n
2
( a )
T
2
y ( n
2
T
2
)
^
Y ( e
j T
)
Ω 2
^
Ω
sa 2
＝
T
2
2 π
Ω0
0
n
1
( b )
T
2
v ( n
1
T
1
)
^
V ( e
j T
)
Ω 1
^
Ω
sa 2
Ω
sa 1
T
1
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.21 (t)的时域和频域表示^v
Ω0
0
t Ω
sa 1T
1
v ( t )
^
V ( j
)Ω
^
2 T
1
π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.22 模拟低通滤波器 幅频特性要求^()ht
Ω0
H ( j
)Ω
^
2 T
1
π
2 T
1
π
－
2 T
1
3π
－
2 T
1
3π
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.23 恢复模拟信号 及其频谱^()xt
Ω0
0
t
x ( t )
^
X ( j
)Ω
^
2 T
1
π
2 T
1
π
－
第 8章 其它类型的数字滤波器
8.4.3 多采样率 FIR系统的网络结构
1.整数倍抽取器的 FIR直接实现整数 (D)倍抽取器框图如图 8.4.24 所示 。 抗混叠低通滤波器用 FIR结构时,抽取器的时域输入,输出关系为 ( h(rT1)长度为 N)
1
1 1 1 1 1
0
2 2 1
( ) ( ) [( ) ]
( ) ( )
N
r
v n T h r T x n r T
y n T v D T
(8.4.29)
(8.4.30)
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.24 D倍抽取器框图
h ( n 1 T 1 )
x ( n 1 T 1 ) v ( n 1 T 1 ) y ( n 2 T 2 )
↓ D
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.25 D倍抽取器的 FIR直接实现
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 ) v ( n
1
T
1
)
h ( T
1
)
x [ ( n
1
－ 1) T
1
]
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
x [ ( n
1
－ N ＋ 2) T
1
]
x [ ( n
1
－ N ＋ 1) T
1
]
h [ ( N － 2 ) T
1
]
h [ ( N － 1 ) T
1
]
↓ D
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.26 等效变换后 D倍抽取器的 FIR直接实现
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )
h ( T
1
)
x [ ( n
1
－ 1) T
1
]
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
x [ ( n
1
－ N ＋ 2) T
1
]
x [ ( n
1
－ N ＋ 1) T
1
]
h [ ( N － 2 ) T
1
]
h [ ( N － 1 ) T
1
]
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.27 抽取器 FIR结构的线性相位形式
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
↓ D
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
z
－ 1
1
x ( n
1
T
1
)
h ( 0 ) y ( n
2
T
2
)
h ( T
1
)
h (2 T
1
)
h (3 T
1
)
h (4 T
1
)
h (5 T
1
)
第 8章 其它类型的数字滤波器
2.整数倍内插器的 FIR直接实现整数倍内插系统框图如图 8.4.28 所示 。 滤除镜像频谱滤波器 h(n2T2)采用 FIR结构时,I倍内插器的 FIR直接实现结构如图 8.4.29 所示 。
图 8.4.28 整数倍内插系统框图
x ( n 1 T 1 ) w ( n 2 T 2 ) y ( n 2 T 2 )
h ( n 2 T 2 )↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.29 整数倍内插器 FIR直接实现结构
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )w ( n
2
T
2
)
h ( T
2
)z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.30 FIR滤波网络的转置型结构
y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )w ( n
2
T
2
)
h ( T
2
)
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
z
－ 1
2
z
－ 1
2
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.31 滤波网络转置后的内插系统的直接实现
x ( n
1
T
1
) y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )w ( n
2
T
2
)
h ( T
2
)
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.32 内插系统直接实现的高效结构
y ( n
2
T
2
)
……
h ( 0 )x ( n
1
T
1
)
h ( T
2
)
z
－ 1
2
h [ ( N － 2 ) T
2
]
h [ ( N － 1 ) T
2
]
z
－ 1
2
z
－ 1
2
↑ I
↑ I
↑ I
↑ I
第 8章 其它类型的数字滤波器图 8.4.33 内插器的线性相位 FIR直接实现
y ( n
2
T
2
)
z
－ 1
2
x ( n
1
T
1
) h ( 0 )
h ( T
2
)
h (2 T
2
)
h (3 T
2
)
h (4 T
2
)
↑ I
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
↑ I ↑ I
↑ I
↑ I
↑ I↑ I
↑ I
↑ I
z
－ 1
2
z
－ 1
2
z
－ 1
2
