第二章 矩阵及其运算
§2.1 矩阵
1,方程组由其系数和右端项确定
2,矩阵 设个数排成行列的数表
用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即
,简记为.
(1) 称为的行列元素 (4) 称为方阵
(2) 称为实矩阵 (5) 称为行矩阵
(3) 称为复矩阵 (6) 称为列矩阵
零矩阵：所有元素都是0 的矩阵.
单位矩阵 ；对角矩阵
3,线性变换与矩阵 设变量可由变量表示为
称之为由变量到变量的线性变换,它与矩阵
是一一对应关系．
§2.2 矩阵的基本运算
同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵．
矩阵相等：设,,若
,称.
1,线性运算：,
加法：
数乘：
负矩阵：
减法：
算律：设为同阶矩阵,为常数,则有
(1) (5)
(2) (6)
(3) (7)
(4) (8)
例1 设,
满足,求．
解
2,矩阵乘法：
特殊情形 ,
一般情形 ,
[注] 的列数 = 的行数．
的行数 = 的行数；的列数 = 的列数．
与的先后次序不能改变．
例2 ,,
[注] 无意义．
例3 ,
,
[注] ；,,但是．
算律：(1)
(2)
(3)
(4) ,
验证(1) 设,,,则
应用：,,,
线性方程组的矩阵形式
线性变换的矩阵形式
3,方阵的幂：
,为正整数
,
算律：(1)
(2)
例4 ,求．
解法1
可以验证：
解法2
4,矩阵的转置,
,
算律：(1) (2)
(3) (4)
验证(4) ,
,
故 ，即 ．
对称矩阵：指满足，即
反对称矩阵：指满足，即
5,方阵的行列式：指的元素按照原来的相对位置构成的
行列式,记作,或者．
算律：(1) (2)
(3) (4)
[注] 方阵是数表,而行列式是数值．
,而.
§2.1 矩阵
1,方程组由其系数和右端项确定
2,矩阵 设个数排成行列的数表
用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即
,简记为.
(1) 称为的行列元素 (4) 称为方阵
(2) 称为实矩阵 (5) 称为行矩阵
(3) 称为复矩阵 (6) 称为列矩阵
零矩阵：所有元素都是0 的矩阵.
单位矩阵 ；对角矩阵
3,线性变换与矩阵 设变量可由变量表示为
称之为由变量到变量的线性变换,它与矩阵
是一一对应关系．
§2.2 矩阵的基本运算
同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵．
矩阵相等：设,,若
,称.
1,线性运算：,
加法：
数乘：
负矩阵：
减法：
算律：设为同阶矩阵,为常数,则有
(1) (5)
(2) (6)
(3) (7)
(4) (8)
例1 设,
满足,求．
解
2,矩阵乘法：
特殊情形 ,
一般情形 ,
[注] 的列数 = 的行数．
的行数 = 的行数；的列数 = 的列数．
与的先后次序不能改变．
例2 ,,
[注] 无意义．
例3 ,
,
[注] ；,,但是．
算律：(1)
(2)
(3)
(4) ,
验证(1) 设,,,则
应用：,,,
线性方程组的矩阵形式
线性变换的矩阵形式
3,方阵的幂：
,为正整数
,
算律：(1)
(2)
例4 ,求．
解法1
可以验证：
解法2
4,矩阵的转置,
,
算律：(1) (2)
(3) (4)
验证(4) ,
,
故 ，即 ．
对称矩阵：指满足，即
反对称矩阵：指满足，即
5,方阵的行列式：指的元素按照原来的相对位置构成的
行列式,记作,或者．
算律：(1) (2)
(3) (4)
[注] 方阵是数表,而行列式是数值．
,而.
