第三章 矩阵的初等变换
§3.1 矩阵的秩
1,子式：在中,选取行与列,位于交叉处的个数按照原来的
相对位置构成阶行列式,称为的一个阶子式,记作．
对于给定的,不同的阶子式总共有个．
2,矩阵的秩：在中，若
(1) 有某个阶子式；
(2) 所有的阶子式（如果有阶子式的话）．
称的秩为,记作,或者 ．规定：
性质：(1) 
(2) 时
(3) 
(4) 中的一个
(5) 中所有的
例1 ,求．
解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式
计算知,所有的3阶子式,故．
[注] ,若,称为行满秩矩阵；
若,称为列满秩矩阵．
,若,称为满秩矩阵（可逆矩阵,非奇异矩阵）；
若,称为降秩矩阵（不可逆矩阵,奇异矩阵）．
§3.2 矩阵的初等变换
1,初等变换 行变换 列变换
① 对调  
② 数乘  
③ 倍加  
经过初等变换得到,记作,
2,等价矩阵：若,称与等价,记作．
(1) 自反性：
(2) 对称性：
(3) 传递性：,
定理1 ．
　 证 只需证明．
设,仅证行变换之(3)的情形：

(1) 若,则有
不含：
含,不含：
含,且含：
故中所有的阶子式
,于是可得．
(2) 若或者,构造矩阵
,
由(1)可得

其余情形类似．
例2 ,求．
解 ,故．
行最简形：
标准形：
定理2 若,则
：行阶梯形

：行最简形
定理3 若,则,称为的等价标准形．
推论1 若满秩,则．
推论2 ．
§3.3 解线性方程组的消元法
例如 
 
  
解线性方程组的初等变换,
(1) 互换两个方程的位置
(2) 用非零数乘某个方程
(3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程
用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：


方程组, 或者 
增广矩阵：
设,且的左上角阶子式,则
,行最简形
的同解方程组为
 (3.4)
若,则方程组(3.4)无解：
若,则方程组(3.4)有解：
(1) 时,方程组(3.4)成为
,,…, 是其唯一解
(2) 时,方程组(3.4)成为

一般解为

其中为任意常数．
定理4 ,
(1) 有解；
(2) 有解时,若,则有唯一解；
　 若,则有无穷多组解．
定理5 (1) 有非零解；
(2) 有非零解．
课后作业：习题三 1,2,3,4