复习题例1 计算．
解 
例2 计算 .
解法1 ,”


解法2 加边法



例3 设 满足,求．
解 并项,
左乘,
计算,

例4 求解,,
解 

(1) ：同解方程组为 
基础解系 ,特解 
通解为  （为任意常数）
(2) ：同解方程组为 
基础解系 ,,
特解 
通解为  （为任意常数）
例5 向量组：,,,
求向量组的一个最大无关组．
解 对矩阵 进行初等行变换可得


(1) ：
的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关
故是的一个最大无关组；
(2) ：
的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关
故是的一个最大无关组．
例6 
用正交变换化为标准形．
解 的矩阵 
的特征多项式 
的两个正交的特征向量 ,
的特征向量 
正交矩阵 
正交变换：标准形
例7 ,秩．
(1) 求；
(2) 用正交变换化为标准形．
解 (1) 的矩阵  （显见）

(2) 

的特征向量依次为
,, （两两正交）
正交矩阵 
正交变换
标准形
例8 设的一个特征向量为,求数及的
全体特征值与特征向量．
解  
  
：
由此可得：对应特征值只有1个线性无关的特征向量,而特征
方程的基础解系为,全体特征向量为．
例9 设方阵的特征值,对应的特征向量分别为,证明：
(1) 不是的特征向量；
(2) ,线性无关．
证 (1) 反证法．若,则

 线性无关  矛盾！
故不是的特征向量．
(2) 设数组使得 ,则

 线性无关  
即．故,线性无关．