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目标规划 Goal Programming（ GP）
第四章目标规划
—— 多目标线性规划
2
目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划问题及其数学模型目标规划（ Goal Programming ）方法是 Charnes和 Cooper
于 1961年提出的，目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题的 方法，是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
为了学习和初步掌握 目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别，我们分析如下案例 ——
3
目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题背景材料：
王老板一直从事专业家具制造，主要生产桌子、椅子两种家具，
王老板的经营环境主要受到两种资源 —— 木工和油漆工每天的有效工作时间的限制。 王老板过去的经营环境条件如下：
1,每天木工和油漆工的总有效工作时间分别为 11小时 和 10小时 。
2、每生产一把 椅子需要 2小时 的木工,1小时 的油漆工。
3、每生产一张 桌子需要 1小时 的木工,2小时 的油漆工。
4、每生产一把 椅子和 一张 桌子分别可获利润 8元,10元 。
求解此线性规划问题可以得到王老板的最优方案：
每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。
4
目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利润为其生产、经营的 唯一目标 。然而，市场经济环境下新的问题出现了，它迫使王老板不得不考虑 …...
（ 1） 首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断决策减少椅子的产量，其产量 最好不大于 桌子的产量。
（ 2） 其次，市场上找不到符合生产质量要求的 木工了，因此 决不可能 考虑增加 木工这种 资源来增加产量，并且由于某种原因 木工 决不可能 加班。
（ 3） 再其次，应 尽可能充分 利用 油漆工的有效工作时间，但油漆工希望 最好不 加班。
（ 4） 最后，新王老板考虑 最好达到并超过 预计利润指标 56元。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题讨论 ——
1,王老板 现在 的生产、经营问题 —— 多个目标的生产问题
2,决策变量 —— 椅子、桌子的生产量 x1,x2
引入一种新的变量 —— 正、负 偏差变量 d +,d -,d +,d - ≥0。
3,约束条件 ——
绝对 约束,目标 约束 —— 硬 约束,软 约束。
4,目标函数 ——
优先 因子（ 优先 等级） P1,P2,…,规定 Pk>> Pk+1,k=1，
2,… 。表示 Pk比 Pk+1有更大的 优先 权。这意味着当目标与目标之间发生冲突时应按其优先等级来实现。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题目标规划 独特的 目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、
负偏差变量和赋予相应的优先因子而 构造 的。当每一目标值确定后，
决策者的要求是尽可能 缩小偏离目标值 。
因此，目标规划的目标函数只能是 min Z = f（ d +,d - ）。
其基本形式有三种：
7
目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题
（ 1） 要求 恰好达到 目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小
min Z = f（ d ++ d - ）
（ 2） 要求 不超过 目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量要尽可能地小
min Z = f（ d +）
（ 3） 要求 超过 目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要尽可能地小
min Z = f（ d -）
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题归纳上面的分析 —— 新王老板应在 木工每天的有效工作时间受到严格限制的基础上按顺序考虑其他目标的实现。
目标 优先等级：
（ 1） P1—— 椅子的产量 最好不大于 桌子的产量。
（ 2） P2—— 充分利用 油漆工的有效工作时间，但希望 不加班 。
（ 3） P3—— 总 利润不小于 56元。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题决策变量：
（ 1） x1—— 椅子的产量,x2—— 桌子的产量。
（ 2） P1等级 正、负偏差变量 —— d1+,d1-
P2等级 正、负偏差变量 —— d2+,d2-
P3等级 正、负偏差变量 —— d3+,d3-
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-≥ 0
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题约束条件：
（ 1） 绝对 约束 —— 2x1+ x2 ≤ 11
（ 2） 目标 约束 —— x1 - x2 + d1- - d1+ = 0 （ P1 ）
x1 + 2x2 + d2- - d2+ = 10 （ P2 ）
8x1 +10x2 + d3- - d3+ = 56 （ P3 ）
目标函数：
min Z = P1 d1++ P2（ d2-+ d2+） + P3 d3-
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题王老板的多目标线性规划问题 —— 目标规划问题：
min Z = P1 d1++ P2（ d2-+ d2+） + P3 d3-
s.t,2x1+ x2 ≤ 11
x1 - x2 + d1- - d1+= 0
x1 + 2x2 + d2- - d2+= 10
8x1 +10x2 + d3- - d3+= 56
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-≥ 0
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法如何求解多目标线性规划问题，其方法与求解线性规划问题的方法相似 —— 目标线性规划 单纯形法。但是，对于只有 两个决策变量 的 目标线性规划问题同样可以采用图解的方法来揭示问题的解的某种特征。
在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束条件。
在此基础上，再按照目标优先级别从高到低的顺序，逐个地考虑各个目标约束条件。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法王老板的目标规划新问题图解
min Z = P1 d1++ P2（ d2-+ d2+） + P3 d3-
s.t,2x1+ x2 ≤ 11
x1 - x2 + d1- - d1+= 0
x1 + 2x2 + d2- - d2+= 10
8x1 +10x2 + d3- - d3+= 56
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3- ≥ 0
8x1 +10x2 = 56
x1 - x2 = 0
x1 + 2x2 = 10
2x1+ x2 =11
绝对约束域
d2+
d3+
d3-
d2-
d1-
d1+
（ 10/3,10/3）
（ 2,4）
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法案例 ——
电视机厂装配彩色和黑白两种电视机，每装配一台电视机需占用装配线 1小时，装配线每周计划开动 40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是 24台，每台可获利 80元； 每周黑白电视机的销量是
30台，每台可获利 40元。决策者的目标为：
第一优先级目标,充分利用 装配线每周计划开动的 40小时；
第二优先级目标,允许 装配线 加班；但加班时间 每周尽量不超过
10小时；
第三优先级目标,装配电视机的数量尽量满足市场需求。因为彩色电视机的利润更高（是黑白电视机利润的 2倍），取其市场需求满足权系数为 2。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法目标线性规划模型：
x1 —— 彩色电视机的生产量
x2 —— 黑白电视机的生产量
x1 + x2 + d1- - d1+= 40
x1 + x2 + d2- - d2+= 40+10=50
x1 + d3- - d3+= 24
x2 + d4- - d4+= 30
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-≥ 0
min Z = P1 d1-+ P2 d2++ P3（ 2d3- +1d4-）
s.t.
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法电视机厂的 目标线性规划问题 ——图解：
d3-
d1-
d3+
d4+
d2+d1
+
d4-
d2-
x2
x1
x1 + x2 = 40
x1 + x2 = 50
x1 = 24
x2 = 30
满意解（ 24,26）
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划模型的一般形式：
Min Z =∑ Pl（ ∑（ wlk-dk- + wlk+dk+ ） ）L k =1l =1 K
∑ckj xj + dk- - dk+ = gk,k =1,2,…,K
j =1
n
∑aij xj ≤（ =,≥） bi,i =1,2,…,m
j =1
n
xj ≥ 0,j =1,2,…,n
dk-,dk+ ≥ 0,k =1,2,…,K
S.t.
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法目标规划的模型实际上是求 min 型的线性规划，因此，也可以用单纯形法求解。
在采用单纯形法求解目标规划时，检验数是各优先因子的线性组合。因此，在判别各检验数的正负及大小时，关键是要注意到优先因子的级别。当检验数按优先级别从高到低已满足最优性条件时，
且无法进一步优化时，从单纯形表上就可以得到目标规划的最优解或满意解。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例 现有如下目标规划问题
Min Z = P1d1- +P2d2+ +P3d3-
5x1 + 10x2 + x3 = 60
x1 – 2x2 + d1- – d1+ = 0
4x1 + 4x2 + d1- – d1+ = 36
6x1 + 8x2 + d1- – d1+ = 48
xj,di-,di+ ≥ 0
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 5 10 1 0 0 0 0 0 0
P1 d1- 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 4 4 0 0 0 1 -1 0 0
P3 d3- 48 6 8 0 0 0 0 0 1 -1
j?
P1 1
P2 1
P3 1
-1 2 1
-6 -8 1
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 5 10 1 0 0 0 0 0 0
P1 d1- 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 4 4 0 0 0 1 -1 0 0
P3 d3- 48 6 8 0 0 0 0 0 1 -1
j?
P1 -1 2 1
P2 1
P3 -6 -8 1
基 解
0 20 -5 5
0 x
0 12 -4 4 -
0 20 -6 6 -
1
-20 6 -6
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0
0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0
P3 d3- 48 0 20 0 -6 6 0 0 1 -1
j?
P1 1
P2 1
P3 -20 6 -6 1
基 解
12 0 1 -1 -1 1
24/5 0 2/5 -2/5 1/10 -1/10
36/5 0 -2/5 2/5 -3/5 3/5
0 x2 12/5 1 -3/10 3/10 1/20 -1/20
1
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的灵敏度分析目标规划的灵敏度分析主要针对优先级别进行，其原因是目标优先级别和权系数的确定往往带有一定的主观性。分析的方法主要是通过改变优先级别的顺序来观察解的变化情况。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
第四章结束谢谢！
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0
0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0
P3 d3- 48 0 20 0 -6 6 0 0 1 -1
j?
P1 1
P2 1
P3 -20 6 -6 1
目标规划 Goal Programming（ GP）
第四章目标规划
—— 多目标线性规划
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划问题及其数学模型目标规划（ Goal Programming ）方法是 Charnes和 Cooper
于 1961年提出的，目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题的 方法，是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
为了学习和初步掌握 目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别，我们分析如下案例 ——
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题背景材料：
王老板一直从事专业家具制造，主要生产桌子、椅子两种家具，
王老板的经营环境主要受到两种资源 —— 木工和油漆工每天的有效工作时间的限制。 王老板过去的经营环境条件如下：
1,每天木工和油漆工的总有效工作时间分别为 11小时 和 10小时 。
2、每生产一把 椅子需要 2小时 的木工,1小时 的油漆工。
3、每生产一张 桌子需要 1小时 的木工,2小时 的油漆工。
4、每生产一把 椅子和 一张 桌子分别可获利润 8元,10元 。
求解此线性规划问题可以得到王老板的最优方案：
每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利润为其生产、经营的 唯一目标 。然而，市场经济环境下新的问题出现了，它迫使王老板不得不考虑 …...
（ 1） 首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断决策减少椅子的产量，其产量 最好不大于 桌子的产量。
（ 2） 其次，市场上找不到符合生产质量要求的 木工了，因此 决不可能 考虑增加 木工这种 资源来增加产量，并且由于某种原因 木工 决不可能 加班。
（ 3） 再其次，应 尽可能充分 利用 油漆工的有效工作时间，但油漆工希望 最好不 加班。
（ 4） 最后，新王老板考虑 最好达到并超过 预计利润指标 56元。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题讨论 ——
1,王老板 现在 的生产、经营问题 —— 多个目标的生产问题
2,决策变量 —— 椅子、桌子的生产量 x1,x2
引入一种新的变量 —— 正、负 偏差变量 d +,d -,d +,d - ≥0。
3,约束条件 ——
绝对 约束,目标 约束 —— 硬 约束,软 约束。
4,目标函数 ——
优先 因子（ 优先 等级） P1,P2,…,规定 Pk>> Pk+1,k=1，
2,… 。表示 Pk比 Pk+1有更大的 优先 权。这意味着当目标与目标之间发生冲突时应按其优先等级来实现。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题目标规划 独特的 目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、
负偏差变量和赋予相应的优先因子而 构造 的。当每一目标值确定后，
决策者的要求是尽可能 缩小偏离目标值 。
因此，目标规划的目标函数只能是 min Z = f（ d +,d - ）。
其基本形式有三种：
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题
（ 1） 要求 恰好达到 目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小
min Z = f（ d ++ d - ）
（ 2） 要求 不超过 目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量要尽可能地小
min Z = f（ d +）
（ 3） 要求 超过 目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要尽可能地小
min Z = f（ d -）
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题归纳上面的分析 —— 新王老板应在 木工每天的有效工作时间受到严格限制的基础上按顺序考虑其他目标的实现。
目标 优先等级：
（ 1） P1—— 椅子的产量 最好不大于 桌子的产量。
（ 2） P2—— 充分利用 油漆工的有效工作时间，但希望 不加班 。
（ 3） P3—— 总 利润不小于 56元。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题决策变量：
（ 1） x1—— 椅子的产量,x2—— 桌子的产量。
（ 2） P1等级 正、负偏差变量 —— d1+,d1-
P2等级 正、负偏差变量 —— d2+,d2-
P3等级 正、负偏差变量 —— d3+,d3-
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-≥ 0
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题约束条件：
（ 1） 绝对 约束 —— 2x1+ x2 ≤ 11
（ 2） 目标 约束 —— x1 - x2 + d1- - d1+ = 0 （ P1 ）
x1 + 2x2 + d2- - d2+ = 10 （ P2 ）
8x1 +10x2 + d3- - d3+ = 56 （ P3 ）
目标函数：
min Z = P1 d1++ P2（ d2-+ d2+） + P3 d3-
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目标规划 Goal Programming（ GP）
家具制造问题 —— 王老板遇到的 新问题王老板的多目标线性规划问题 —— 目标规划问题：
min Z = P1 d1++ P2（ d2-+ d2+） + P3 d3-
s.t,2x1+ x2 ≤ 11
x1 - x2 + d1- - d1+= 0
x1 + 2x2 + d2- - d2+= 10
8x1 +10x2 + d3- - d3+= 56
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-≥ 0
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法如何求解多目标线性规划问题，其方法与求解线性规划问题的方法相似 —— 目标线性规划 单纯形法。但是，对于只有 两个决策变量 的 目标线性规划问题同样可以采用图解的方法来揭示问题的解的某种特征。
在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束条件。
在此基础上，再按照目标优先级别从高到低的顺序，逐个地考虑各个目标约束条件。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法王老板的目标规划新问题图解
min Z = P1 d1++ P2（ d2-+ d2+） + P3 d3-
s.t,2x1+ x2 ≤ 11
x1 - x2 + d1- - d1+= 0
x1 + 2x2 + d2- - d2+= 10
8x1 +10x2 + d3- - d3+= 56
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3- ≥ 0
8x1 +10x2 = 56
x1 - x2 = 0
x1 + 2x2 = 10
2x1+ x2 =11
绝对约束域
d2+
d3+
d3-
d2-
d1-
d1+
（ 10/3,10/3）
（ 2,4）
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法案例 ——
电视机厂装配彩色和黑白两种电视机，每装配一台电视机需占用装配线 1小时，装配线每周计划开动 40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是 24台，每台可获利 80元； 每周黑白电视机的销量是
30台，每台可获利 40元。决策者的目标为：
第一优先级目标,充分利用 装配线每周计划开动的 40小时；
第二优先级目标,允许 装配线 加班；但加班时间 每周尽量不超过
10小时；
第三优先级目标,装配电视机的数量尽量满足市场需求。因为彩色电视机的利润更高（是黑白电视机利润的 2倍），取其市场需求满足权系数为 2。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法目标线性规划模型：
x1 —— 彩色电视机的生产量
x2 —— 黑白电视机的生产量
x1 + x2 + d1- - d1+= 40
x1 + x2 + d2- - d2+= 40+10=50
x1 + d3- - d3+= 24
x2 + d4- - d4+= 30
x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-≥ 0
min Z = P1 d1-+ P2 d2++ P3（ 2d3- +1d4-）
s.t.
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的图解法电视机厂的 目标线性规划问题 ——图解：
d3-
d1-
d3+
d4+
d2+d1
+
d4-
d2-
x2
x1
x1 + x2 = 40
x1 + x2 = 50
x1 = 24
x2 = 30
满意解（ 24,26）
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划模型的一般形式：
Min Z =∑ Pl（ ∑（ wlk-dk- + wlk+dk+ ） ）L k =1l =1 K
∑ckj xj + dk- - dk+ = gk,k =1,2,…,K
j =1
n
∑aij xj ≤（ =,≥） bi,i =1,2,…,m
j =1
n
xj ≥ 0,j =1,2,…,n
dk-,dk+ ≥ 0,k =1,2,…,K
S.t.
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法目标规划的模型实际上是求 min 型的线性规划，因此，也可以用单纯形法求解。
在采用单纯形法求解目标规划时，检验数是各优先因子的线性组合。因此，在判别各检验数的正负及大小时，关键是要注意到优先因子的级别。当检验数按优先级别从高到低已满足最优性条件时，
且无法进一步优化时，从单纯形表上就可以得到目标规划的最优解或满意解。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例 现有如下目标规划问题
Min Z = P1d1- +P2d2+ +P3d3-
5x1 + 10x2 + x3 = 60
x1 – 2x2 + d1- – d1+ = 0
4x1 + 4x2 + d1- – d1+ = 36
6x1 + 8x2 + d1- – d1+ = 48
xj,di-,di+ ≥ 0
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 5 10 1 0 0 0 0 0 0
P1 d1- 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 4 4 0 0 0 1 -1 0 0
P3 d3- 48 6 8 0 0 0 0 0 1 -1
j?
P1 1
P2 1
P3 1
-1 2 1
-6 -8 1
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 5 10 1 0 0 0 0 0 0
P1 d1- 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 4 4 0 0 0 1 -1 0 0
P3 d3- 48 6 8 0 0 0 0 0 1 -1
j?
P1 -1 2 1
P2 1
P3 -6 -8 1
基 解
0 20 -5 5
0 x
0 12 -4 4 -
0 20 -6 6 -
1
-20 6 -6
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0
0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
0 d2- 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0
P3 d3- 48 0 20 0 -6 6 0 0 1 -1
j?
P1 1
P2 1
P3 -20 6 -6 1
基 解
12 0 1 -1 -1 1
24/5 0 2/5 -2/5 1/10 -1/10
36/5 0 -2/5 2/5 -3/5 3/5
0 x2 12/5 1 -3/10 3/10 1/20 -1/20
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的灵敏度分析目标规划的灵敏度分析主要针对优先级别进行，其原因是目标优先级别和权系数的确定往往带有一定的主观性。分析的方法主要是通过改变优先级别的顺序来观察解的变化情况。
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目标规划 Goal Programming（ GP）
第四章结束谢谢！
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目标规划 Goal Programming（ GP）
目标规划的单纯形解法例
cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0
CB 基 解 x1 x2 x3 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
0 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 0
0 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 0
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P3 d3- 48 0 20 0 -6 6 0 0 1 -1
j?
P1 1
P2 1
P3 -20 6 -6 1
