随机变量及其分布
内容提要
本章主要讲述随机变量与分布函数，一维离散型随机变量，连续型随机变量的概率密度，二维随机变量及其分布，边缘分布与随机变量的独立性,随机变量函数的分布等内容。
重点分析
了解随机变量的概念、离散型随机变量及概率函数（分布列）的概念和性质、连续型随机变量及概率密度的概念和性质。
了解分布函数的概念与性质，会利用概率分布计算有关事件的概率。
掌握二项分布、泊松分布、正态分布，了解均匀分布与指数分布。
会求简单随机变量函数的概率分布。
了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的联合分布函数、联合概率函数、联合概率密度的概念和性质。
了解二维随机变量的边缘分布。
了解随机变量的独立性。
会求两个独立随机变量和的分布。
难点分析
随机变量与分布函数、分布律与密度函数的概念、性质的理解。
二项分布、泊松分布、正态分布的掌握。
求简单随机变量函数的概率分布。
习题布置
习题2 (2,4,6,8,10,13,15,17,20,22)
备注
教 学 内 容( Contents )
Chapter Two 随机变量及其分布(Random Variable and Distribution)
§2.1 一维随机变量(One-dimension Random Variable)
一,随机变量与分布函数（Random variable and distribution function）
我们讨论过不少随机试验，其中有些实验的结果就是数量，有些虽然本身不是数量，但可以用数量来表示实验的结果。
Example 2.1 从一批废品率为的产品中有放回地抽取次，每次取一件产品，及录取到废品的次数，这一试验的样本空间为.如果用表示取到废品的次数，那末，的取值依赖于实验结果，当实验结果确定了，的取值也就随之确定了。比如，进行了一次这样的随机试验，实验结果，即在次抽取中，只有一次取到了废品，那末 .
Example 2.2 掷一枚匀称的硬币，观察正面、背面的出现情况。这一试验的样本空间为，其中表示“正面朝上”,表示“背面朝上” 。如果引入变量，对实验的两个结果，将的值分别规定为和，即, 。一旦实验的结果确定了，的取值也就随之确定了。
从上述两个例子可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把实验的结果与实数对应起来，即可把实验的结果数量化。由于这样的数量依赖实验的结果，而对随机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什麽值，即它的取值具有随机性，我们称这样的变量为随机变量。事实上，随机变量就是随试验结果的不同而变化的量。因此可以说，随机变量是随试验结果的函数。我们可以把例2.1 中的写成,其中.把例2.2 中的写成
,一般的，我们有以下定义：
Definition 2.1 设为一随机试验,为他的样本空间,若,为单值实函数，且对于任意实数，集合 都是随机事件，则称为随机变量。(Let a random experiment, is its sample space,if, is a single value real function and the set are all random occurrence for arbitrary real value,then define is random variable.)
随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别，他们都是从一个集合到另一个集合的映射，它们的区别主要在于：普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值，而随机变量的取值在做实验之前是不确定的，只有在做了试验之后，依据所出现的结果才能确定。定义中要求对任一实数， 都是事件，这说明并非任何定义在上的函数都是随机变量，而是对着函数有一定的要求。定义中的要求无非是说，当我们把随机试验的结果数量化时，不可随心所欲，而是应该合乎概率公理体系的规范。今后，在不必强调时，常省去，简记为，而的集合所表示的事件简记为 ,
引入了随机变量之后，随机事件就可以用随机变量来描述，例如，在某城市中考察人口的年龄结构，年龄在80岁以上的长寿者，年龄介于18岁至35岁之间的年轻人，以及不到12岁的儿童，它们各自的比率如何。从表面上看，这些是孤立事件，但若我们引进一个随机变量,表示随机抽取一个人的年龄 ； 那末，上述几个事件可以分别表示成 , 及.由此可见，随机事件的概念是被包容在随机变量这个更广的概念之内的。
对于随机变量，我们不只是看它取哪些值，更重要的是看它以多大的概率取那些值。由随机变量的定义可知，对于每一个实数, 都是一个事件，因此有一个确定的概率与相对应，所以，概率是的函数。这个函数在理论和应用中都是很重要的，为此，我们有以下定义：
Definition 2.2 设为一个随机变量，为任意实数，称函数 为的分布函数。(Let is a random variable, is arbitrary real value,then define is the distribution function of .)
显然，在上述定义中，当固定为时，为事件的概率，当变化时，概率便是的函数。
分布函数的性质(The property of distribution function)
（1） ,
（2） 是自变量的非降函数，即当时，必有.因为当时有，从而有.
（3） 对自变量右连续，即对任意实数，，事实上，
右连续性是随机变量的分布函数的普遍性质。对连续的随机变量，是连续函数。对离散的随机变量，在可能值处，是右连续的。
§2.2 一维离散型随机变量
(One Dimension Discrete Random Variable)
一、离散型随机变量的概率分布(discrete random variable and probability distribution)
离散型随机变量只可能取有限个或可列个值，设可能取的值为.
Definition 2.3 设离散型随机变量可能取的值为，且取这些值的概率为：
(
则称上述一系列等式为随机变量的概率分布。(Suppose the value for the discrete random variable in the following sequence,,and the probability of the value for is
(
then define the set of equations is probability distribution of.）
为了直观起见，有时将的取值及其对应的概率列表如下：
……
…
……
…
我们称这种表为离散型随机变量的概率分布表(Table of probability distribution)。式子，（和概率分布表都称为离散型随机变量的分布律(Law of distribution)。
由概率的定义知，离散型随机变量的概率分布具有以下两个性质：
（1） （非负性）
（2） （归一性）
这里当取有限个值n时，记号为 ，当取无限可列个值时，记号为.
（3） 分布函数，这里和式是对所有满足的求和。
Example 2.3 设袋中装有6个球，编号为{-1，2，2，2，3，3}，从袋中任取一球，求取到的球的号的分布律。
Solution 因为可取的值为-1，2，3，而且，，，所以的分布律为
-1
2
3
Example 2.4 在贝努里概型中，次独立试验，事件发生的次数为随机变量，它的所有可能取值为，的分布律为
)
二,几种常用的离散型分布(Several special discrete models)
下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布（简称分布）。
1,两点分布如果随机变量只可能取0和1两个值，且它的分布列为，则称服从两点分布(Two-point distribution)（或0—1分布）。两点分布的概率分布表为：
1 0
1-
二项分布如果随机变量只可能取的值为0,1,2,…,n，它的分布列为,(其中.则称服从参数为的二项分布(the Binomial Distribution)，记为.当时，二项分布就是两点分布。
例2.4本身就是二项分布。
Example 2.5 某车间有8台5.6千瓦的车床，每台车床由于工艺上的原因，常要停车。设各车床停车是相互独立的，每台车床平均每小时停车12分钟。
（1）求在某一指定的时刻车间恰有两台车床停车的概率。
（2）全部车床用电超过30千瓦的可能有多大？
Solution 由于每台车床使用是独立的，而且每台车床只有开车与停车两种情况，且开车的概率为12/60=0.2，因此，这是一个8重贝努里试验。若用表示任意时刻同时工作的车床数，则，其分布律为
,(
（1）所求概率为.
（2）由于30千瓦的电量只能供5台车床同时工作，“用电超过30千瓦”意味着有6台或6台以上的车床同时工作，这一事件的概率为
=
Theorem2.1(Poisson theorem) 设随机变量服从二项分布,且，则。(Lethave the Binomial distribution with parameter and,and ,then
.）
Proof,令=，有
=
对任意固定的k，当时
，，
及
所以
在应用中，当很大，且很小，而是一个大小适当的数（通常）时，有以下的泊松分布近似公式
其中.而关于的值，可以查表（见附表）。
泊松分布如果随机变量所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为
，
其中是常数，则称服从参数为的泊松分布(Poisson distribution)，记为.
泊松分布在各领域中有着广泛的应用。例如某段时间内电话机接到的呼唤次数，候车的乘客数，放射性物质在某段时间内放射的粒子数，纺纱机的断头数，某页书上的印刷错误的个数等等都可以用泊松分布来描述。前面已知当较大、很小，且是一个大小适当的数（通常）,可以用泊松分布近似代替二项分布(取)。
Example 2.6 某商店出售某种商品。根据经验，此商品的月销售量服从的泊松分布。问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求？
Solution 设月初库存件，依题意
那么
即
查附表3，可知最小应是8，即月初进货时要库存8件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求。
Example 2.7 一本500页的书，共500错字，每个字等可能的出现在每一页上，求在给定的某一页上最多两个错字的概率。
Solution 设表示在给定的某一页上出现的错字的个数，则，因为n很大，，所以可以用泊松分布近似计算，依题意
超几何分布设一批产品共有个，其中有个次品，现从中任取个（）,则这个产品中所含的次品数是一个离散型随机变量，所有可能的取值为0，1，2，…，,( 其中)，其概率分布为：
（=0,1,2,…,），称之为超几何分布(Super geometry distribution)。
几何分布从一批次品率为（）的产品中逐个地随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止。设检验的次数为，则可能取的值为1，2，3，…,其概率分布为：
，称这种概率分布为几何分布(Geometry distribution)。
§2.3 连续型随机变量的概率密度
(Probability Density of Continuous Random Variable)
除了离散型随机变量外，还有一类重要的随机变量——连续型随机变量，这种随机变量可以取某个区间或的一切值。由于这种随机变量的所有可能取值无法像离散型随机变量那样一一排列，因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概率分布，刻画这种随机变量的概率分布可以用分布函数，但在理论上和实践中更常用的方法是用所谓的概率密度。
一,分布密度的概念(The concept of density distribution)
Definition 2.4 设随机变量的的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对于任意实数，有：
则称为连续型随机变量，而称为的分布密度函数（或概率密度函数），简称分布密度（或概率密度）。(Suppose distribution function for random variable,if there exists a nonnegative integral function,such that for arbitrary ,there is
then define is a continuous random variable and is density function distribution(or probability density function),for short distribution density
( or probability density),)
由分布密度的定义及概率的性质可知分布密度必须满足：
（1） 0 ；从几何上看，分布密度函数的曲线在横轴的上方；
（2） ；这是因为 是必然事件，所以
从几何上看，对于任一连续型随机变量，分布密度函数与数轴所围成的面积是1；
（3） 对于任意实数，且有；
（4）若在点处连续，则有.
Note, 对于任意实数有,即连续型随机变量取某一实数值的概率为零。从而有：
该式说明，当计算连续型随机变量在某一区间上取值的概率时，区间端点对概率无影响。
事实上，因为事件与事件互不相容，且
所以
即
由定义可知，连续型随机变量就是存在理论分布曲线的随机变量，这一理论分布曲线对应着一个函数，称为连续型随机变量的分布密度函数。连续型随机变量落入微小区间的概率为,称为连续型随机变量的概率元。它起着离散型随机变量分布列中类似的作用。
Example 2.8 设随机变量X具有概率密度
（1）试确定常数；
（2）求；
（3）求.
Solution （1）由于，即
=
得.于是的概率密度
；
（2） =;
（3）由定义= 。当时，=0；当时，
= =
所以
.
二、几个常用的连续型随机变量的分布(Several special continuous models)
1,均匀分布如果随机变量的概率密度为
则称服从上的均匀分布(Uniform distribution)。
如果服从上的均匀分布，那末,对于任意满足的，应有
该式说明取值于中任意小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关。这就是均匀分布的概率意义。
2,指数分布如果随机变量的概率密度为
则称服从指数分布(Index distribution)（参数为）。
指数分布也被称为寿命分布，如电子元件的寿命，电话通话的时间，随机服务系统的服务时间等都可近似看作是服从指数分布的。
3,正态分布如果随机变量的概率密度为
；
其中为常数，则称服从参数为的正态分布(Normal distribution)，记为.
由高等数学可知， 当时，达到最大值；在 处，曲线有拐点；（如图2—1） 的图形对称于直线 ； 以轴为渐近线； 若固定，则曲线沿轴平行移动，曲线的几何图形不变；（如图2—2）⑤ 若固定，改变值，由的最大值可知，当越大，的图形越平坦；当越小，的图形越陡峭。（如图2—3）
图2-1 图2-2 图2-3
特别的，当时，称服从标准正态分布(Standard normal distribution)，即，密度函数为
标准正态分布的分布函数为
对于标准正态分布的分布函数，有下列等式
对于，只要设，就有
所以，如果，那么
为了应用方便，编制了标准正态分布函数的函数值表；对于一般的正态分布函数，可以通过变量替换化为标准正态分布函数。
3规则(3law),服从正态分布的随机变量落在区间内的概率为0.9973，落在该区间外的概率只有0.0027.也就是说，几乎不可能在区间之外取值。
Example 2.9 设，求
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.
Solution 查标准正态分布表
(1) =.
(2) =.
(3) =.
(4) =.
(5)
Example 2.10 设，求
（1）； （2）；（3）.
Solution（1）=.
（2）.
（3）=
=
=.
Example 2.11 设一批零件的长度服从参数为的正态分布，规定长度在内为合格品，现任取1个零件，问它为合格品的概率？
Solution 由题意，即求
=
Example 2.12 公共汽车的高度是按男子与车门定碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高（单位:cm）服从正态分布，试确定车门的高度。
Solution 设车门的高度为(cm).依题意有
即
因为，查标准正态分布表得，所以得
即(cm)，故车门的设计高度至少应为184cm方可保证男子与车门碰头的概率在以下。
§2.4 二维随机变量及其分布
(Two-dimension Random Variable and Distribution)
一,二维随机变量及分布函数( Two-dimension random variable and distribution function)
在实际问题中，有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，炮弹弹着点的位置要用其横坐标与纵坐标来确定。又如，在制定我国的服装标准时，需同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、臀围等多个变量。对于同一个实验结果的各个随机变量之间，一般有某种联系，因而需要把它们作为一个整体来研究。本章只介绍二维情况，有关的内容可以推广到多于二维的情况。
Definition 2.5 设为随机试验的样本空间，,是定义在上的随机变量，则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量，称的取值规律为二维分布,(Suppose is a sample space for random experiment,, are random variables on S,then define ordered array is two-dimension random variable or two-dimension random vector,the rule of value for is two-dimension distribution.）
Definition 2.6设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。(Suppose is two-dimension random variable,for arbitrary real value ，call distribution function for two-dimension random variable or unity distribution function,)
如果把二维随机变量看作平面上具有随机坐标的点，那末分布函数在（）处的函数值就是随机点落在以点（）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。
二维随机变量的分布函数的性质(The properties of distribution function for two-dimension random variable),
（1） ；
（2） 是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有 ；对于任意固定的，当时有 .
（3） 对于任意固定的，；对于任意固定的，,并且 ,.
二,二维离散型随机变量的概率分布(Probability distribution of two-dimension discrete random variable)
Definition 2.7 如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。(If the value of two-dimension random variable is finite or countable,then is called two-dimension discrete random variable.)
显然，如果是二维离散型随机变量，则均为一维离散型随机变量；反之亦成立。
Definition 2.8 设二维随机变量所有可能取的值为，则称为的概率分布，或称为的联合分布。(If all value of two-dimension random variable is，then call probability distribution or unity distribution,)
二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示：
… ,..
.
.
,.,,..
,.,,..
...,..,..,..,..
,.,,..
...,..,..,..,.,
显然，具有以下性质：
（1） 1,2,…）;
（2） ;
（3）如果是二维离散型随机变量，那末它的分布函数可按下式求得：,这里和式是对一切满足不等式，的来求和的。
Example 2.13 1个口袋中有大小形状相同的2红、4白6个球，从袋中不放回地取两次球。设随机变量
,。
求(的分布律及.
Solution 利用概率的乘法公式及条件概率定义，可得二维随机变量(X,Y)的联合分布律
把的联合分布律写成表格的形式：
Y
X
0
1
0
1
。
三,二维连续型随机变量的概率分布(Probability distribution of two-dimension continuous random variable)
Definition 2.9 设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有
则称是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的分布密度，或称为的联合密度。 (Suppose is two-dimension random variable,if there is nonnegative,for arbitrary real value such that
then call two-dimension continuous random variable,is called the distribution density of two-dimension continuous random variable .)
二维分布密度具有以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ,其中D为XOY平面上的任意一个区域；
（4） 如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则
二元函数在几何上表示一个曲面，通常称这个曲面为分布曲面(distribution curved surface)。由性质（2）知，介于分布曲面和平面之间的空间区域的全部体积等于1；由性质（3）知，落在区域内的概率等于以为底、曲面为顶的柱体体积。
这里的性质（1），（2）是概率密度的基本性质。我们不加证明地指出：任何一个二元实函数，若它满足性质（1），（2），则它可以成为某二维随机变量的概率密度。
二维均匀分布(two-dimension uniform distribution) 设为二维随机变量，是平面上的一个有界区域，其面积为，又设
若的密度为上式定义的函数，则称二维随机变量在上服从二维均匀分布。
可验证满足概率密度的基本性质。
二维正态分布(two-dimension normal distribution) 若二维随机变量的概率密度为
（ ）
其中都是常数，且，则称服从二维正态分布.
可以证明满足概率密度的两条基本性质。
§2.5 边缘分布与随机变量的独立性
(Marginal Distribution and Independence of Random Variable)
一,边缘分布(Marginal distribution)
作为的整体的二维随机变量的取值情况，可由它的联合分布函数为或它的联合密度函数全面地描述。由于都是随机变量，因此也可以单独考虑某一个随机变量的概率分布问题。
Definition 2.10 设是二维随机变量，称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。(Suppose is two-dimension random variable,call the probability distribution of measure X marginal distribution on X for ; the probability distribution of measure Y marginal distribution on Y for .Their distribution function and density function marked by andleave each other.）
由于的联合分布全面的描述了的取值情况，因此，当已知的联合分布时，是容易求得关于或关于的边缘分布。
先看离散情况：（其中U是必然事件）
若已知，则随机变量的概率分布为关于的边缘分布如下：
同样得到关于的边缘分布：，.
记,所以关于的边缘分布列为：
,.,,.,
..,...
关于的边缘分布列为：
,.,,.,
..,,..
下面看连续型的情形：
Theorem 2.2 设是的联合密度函数，则
分别是关于的边缘分布密度函数。(Suppose is the unity density function of ,then
is the marginal distribution density function foronleave each other.)
二、随机变量的独立性(Independence of random variable)
Definition2.11 设是二维随机变量，如果对于任意有，则称随机变量与是相互独立的。(Suppose is two-dimension random variable,if for all real value such that ，then random variable X and Y is called independence mutually.）
如果记，那么上式为；可见，的相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。由的联合分布函数、边缘分布函数的定义，可得，该式可用来判断的相互独立性。
Theorem 2.3 设是二维离散型随机变量， ，依次是，的概率分布，则相互独立的充要条件是：对于所有可能的取值，都有 ,即对所有的，都有 。(Suppose is two-dimension random variable, ，is the probability distribution of ,in turn,then sufficient and necessary condition for independence of X and Y is,for all values of :，there are ，namely for all ，there are .)
Theorem 2.4 设是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数与边缘密度函数，则相互独立的充要条件是：对任意的实数，都有 。(Supposeis two-dimension random variable,is unity density function and marginal density function leave each other,then sufficient and necessary condition for independence of and is,for all real values ，there are .）
Example 2.14 设(X,Y)的联合分布律为
Y
X
0
1
2
3
0
1
0
2
0
0
3
0
0
0
试求关于和关于的边缘分布，并判断是否相互独立？
Solution 由表中可按行加得，按列加得
Y
X
0
1
2
3
0
1
0
2
0
0
3
0
0
0
即得关于X的边缘分布
及关于Y的边缘分布
由于，而，所以互不独立。
Example２.15 设二维随机变量具有密度函数
试求:
（1）常数；
（2）落在如图2—4 所示的三角区域内的概率；
（3）关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。
图2-4
Solution （1）
=
所以
;
（2）;
（3）关于的边缘分布密度函数为
当时，=0.
当时,
故有
=；
同理可求得关于的边缘分布密度函数为
=,
因为对任意的实数，都有 ，所以相互独立。
Example 2.16 设服从域（如图2—5）上的均匀分布，求关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。
Solution 由均匀分布的定义，的联合分布密度函数为
图2-5
关于的边缘分布密度函数为
关于的边缘分布密度函数为
在,,的连续点处，由于，所以不相互独立。
§2.6 随机变量函数的分布
(Distribution for Function of Random Variable)
在许多实际问题中,所考虑的随机变量往往依赖于另一个随机变量.例如设是圆柱体的直径,它是随机变量.而圆柱体的横断面面积也是随机变量.在试验中,当取的可能值时，就取得可能值。不过不是试验的直接结果，而是通过普通的函数关系而得。这时随机变量是随机变量的函数，记为.一般地，设是随机变量，则函数也是随机变量。本节将讨论如何从一些随机变量的概率分布导出这些随机变量的函数的概率分布。
一,一个离散型随机变量的函数的分布(Distribution for the function of single discrete random variable)
当是离散型随机变量时，也是随机变量，这时设随机变量的概率分布为
… …
… …
当取某值时，随机变量取值，如果所有的值全不相等，则随机变量的概率分布是：
… …
… …
如果某些有相同的值，则这些相同的值仅取一次。根据概率加法定理应把相应的概率值加起来，就得到的分布。
Example 2.17 设的分布律为
X
0.1
0.2
0.3
0.4
求（1）的分布律；（2）的分布律。
Solution （1） 因为的可能取值为，而且
，，
，
因而,的分布律为
Y
0.1
0.2
0.3
0.4
(2) 类似地可求出的分布律为
X
0.1
0.2
0.3
0.4
因为的可能取的值为，而且
所以的分布律可整理为
0
1
4
0.2
0.4
0.4
Example 2.18 设随机变量的分布律为
1
2
．．．
n
．．．
．．．
．．．
求随机变量的分布律。
Solution 因为
，
所以的所有可能的取值为。
由于取值时，对应的都取，根据上述方法得
故的分布律为
Ｙ
－１
０
１
p
二,一个连续型随机变量的函数的分布(Distribution for the function of single continuous random variable)
在应用中最常见的情形是连续型随机变量的函数。设是连续型随机变量，已知为其概率密度，那么应当如何确定随机变量的概率密度呢？
Example 2.19 设连续型随机变量具有概率密度，求随机变量（其中为常数且）的概率密度.
Solution 设的分布函数为，当，则
上式两边对求导数得
当，则
上式两边对ｙ求导数得
于是
Example 2.20 设，求的概率密度。
Solution 注意到总是取非负值，因此，当时，
当时，
对求导数得
一般地，我们有以下定理。
Theorem 2.5 如果将连续型随机变量和连续型随机变量的概率密度函数分别记为，则（或）时有：,这里是的反函数。(If mark the probability density function of continuous random variable X and continuous random variable leave each other,then when （or）,there is ,there is inverse function of .)
证明从略。
三,两个随机变量的函数的分布(Distribution for the function of two random variable)
和的分布(Distribution of sum)
Problem：已知的联合密度为，求的密度函数。
先求的分布函数：由分布函数的定义知对任意有，由于事件等价于事件，于是，所以（由图2—6）
图2-6
在积分中，和是固定的，令，则得
由概率密度的定义
由于的对称性，也有
上两式为的密度函数的一般公式。
特别当相互独立时，由于对一切都有，此时的密度函数的公式为：
或 （2.1）
上式称为卷积公式(Convolve formula )。
Example 2.21 设，且与相互独立，求的概率密度。
Solution 由(2.1)式有
令
可见是正态随机变量的密度函数，从它的结构可以看出～.
这个结论还可以推广到个随机变量和的情况。
Theorem 2.6 设，，…，相互独立，且，则其和仍服从正态分布，且
(Suppose ，，…，independence,and
Then sum of them still obey normal distribution,and
)
Example 2.22 两台同样自动记录仪，每台无故障工作时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当期发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度函数f(x)。
Solution 设第一台和第二台无故障工作时间分别为和，它们是两个相互独立的随机变量，且它们的分布密度均为
而，由(2.1)式的概率密度函数为
令，
所以，两台记录仪无故障工作的总时间的密度函数为
（2） 瑞利分布（Rayleigh distribution）
Problem,已知互相独立，且 ，求的密度函数.
设（）是平面上的随机点的位置，那末显然是随机点（）到原点的距离。
问题成为：在所设条件下，求随机点到原点的距离的概率分布。
因为互相独立，且
，
Result 的分布函数为；的密度函数为：
如果随机变量的密度函数如上式，则称服从参数为的瑞利分布。
第二章小结(Summary of Chapter Two)
1,本章首先介绍了随机变量的概念。用随机变量描述随机现象是近代概率中最重要的方法。要习惯于用随机变量来表达随机事件。
2,对于随机变量，除了要知道它可能取哪些值，更重要的是要知道它以怎样的概率取这些值。本章介绍了表达这种概率分布的几种方法,
离散型
分布律
分布函数
连续型
概率密度
不论其中哪种方法，都能全面刻划随机变量的概率分布规律，统称为“分布”。
本章介绍了几种常见的分布，其中最主要的是二项分布和正态分布。
4,本章以二维随机变量为例，讨论了多维随机变量。因为，多个随机变量放在一起研究，不但要研究各个变量的个别性质，而且要考虑到它们之间的联系。因而有联合分布函数、联合分布律、联合密度函数和边缘分布函数、边缘分布律、边缘密度函数的问题，还有独立的问题。
随机变量的函数的分布的推导，在数理统计和概率论的许多应用中都很重要，应当牢固地掌握。
内容提要
本章主要讲述随机变量与分布函数，一维离散型随机变量，连续型随机变量的概率密度，二维随机变量及其分布，边缘分布与随机变量的独立性,随机变量函数的分布等内容。
重点分析
了解随机变量的概念、离散型随机变量及概率函数（分布列）的概念和性质、连续型随机变量及概率密度的概念和性质。
了解分布函数的概念与性质，会利用概率分布计算有关事件的概率。
掌握二项分布、泊松分布、正态分布，了解均匀分布与指数分布。
会求简单随机变量函数的概率分布。
了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的联合分布函数、联合概率函数、联合概率密度的概念和性质。
了解二维随机变量的边缘分布。
了解随机变量的独立性。
会求两个独立随机变量和的分布。
难点分析
随机变量与分布函数、分布律与密度函数的概念、性质的理解。
二项分布、泊松分布、正态分布的掌握。
求简单随机变量函数的概率分布。
习题布置
习题2 (2,4,6,8,10,13,15,17,20,22)
备注
教 学 内 容( Contents )
Chapter Two 随机变量及其分布(Random Variable and Distribution)
§2.1 一维随机变量(One-dimension Random Variable)
一,随机变量与分布函数（Random variable and distribution function）
我们讨论过不少随机试验，其中有些实验的结果就是数量，有些虽然本身不是数量，但可以用数量来表示实验的结果。
Example 2.1 从一批废品率为的产品中有放回地抽取次，每次取一件产品，及录取到废品的次数，这一试验的样本空间为.如果用表示取到废品的次数，那末，的取值依赖于实验结果，当实验结果确定了，的取值也就随之确定了。比如，进行了一次这样的随机试验，实验结果，即在次抽取中，只有一次取到了废品，那末 .
Example 2.2 掷一枚匀称的硬币，观察正面、背面的出现情况。这一试验的样本空间为，其中表示“正面朝上”,表示“背面朝上” 。如果引入变量，对实验的两个结果，将的值分别规定为和，即, 。一旦实验的结果确定了，的取值也就随之确定了。
从上述两个例子可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把实验的结果与实数对应起来，即可把实验的结果数量化。由于这样的数量依赖实验的结果，而对随机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什麽值，即它的取值具有随机性，我们称这样的变量为随机变量。事实上，随机变量就是随试验结果的不同而变化的量。因此可以说，随机变量是随试验结果的函数。我们可以把例2.1 中的写成,其中.把例2.2 中的写成
,一般的，我们有以下定义：
Definition 2.1 设为一随机试验,为他的样本空间,若,为单值实函数，且对于任意实数，集合 都是随机事件，则称为随机变量。(Let a random experiment, is its sample space,if, is a single value real function and the set are all random occurrence for arbitrary real value,then define is random variable.)
随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别，他们都是从一个集合到另一个集合的映射，它们的区别主要在于：普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值，而随机变量的取值在做实验之前是不确定的，只有在做了试验之后，依据所出现的结果才能确定。定义中要求对任一实数， 都是事件，这说明并非任何定义在上的函数都是随机变量，而是对着函数有一定的要求。定义中的要求无非是说，当我们把随机试验的结果数量化时，不可随心所欲，而是应该合乎概率公理体系的规范。今后，在不必强调时，常省去，简记为，而的集合所表示的事件简记为 ,
引入了随机变量之后，随机事件就可以用随机变量来描述，例如，在某城市中考察人口的年龄结构，年龄在80岁以上的长寿者，年龄介于18岁至35岁之间的年轻人，以及不到12岁的儿童，它们各自的比率如何。从表面上看，这些是孤立事件，但若我们引进一个随机变量,表示随机抽取一个人的年龄 ； 那末，上述几个事件可以分别表示成 , 及.由此可见，随机事件的概念是被包容在随机变量这个更广的概念之内的。
对于随机变量，我们不只是看它取哪些值，更重要的是看它以多大的概率取那些值。由随机变量的定义可知，对于每一个实数, 都是一个事件，因此有一个确定的概率与相对应，所以，概率是的函数。这个函数在理论和应用中都是很重要的，为此，我们有以下定义：
Definition 2.2 设为一个随机变量，为任意实数，称函数 为的分布函数。(Let is a random variable, is arbitrary real value,then define is the distribution function of .)
显然，在上述定义中，当固定为时，为事件的概率，当变化时，概率便是的函数。
分布函数的性质(The property of distribution function)
（1） ,
（2） 是自变量的非降函数，即当时，必有.因为当时有，从而有.
（3） 对自变量右连续，即对任意实数，，事实上，
右连续性是随机变量的分布函数的普遍性质。对连续的随机变量，是连续函数。对离散的随机变量，在可能值处，是右连续的。
§2.2 一维离散型随机变量
(One Dimension Discrete Random Variable)
一、离散型随机变量的概率分布(discrete random variable and probability distribution)
离散型随机变量只可能取有限个或可列个值，设可能取的值为.
Definition 2.3 设离散型随机变量可能取的值为，且取这些值的概率为：
(
则称上述一系列等式为随机变量的概率分布。(Suppose the value for the discrete random variable in the following sequence,,and the probability of the value for is
(
then define the set of equations is probability distribution of.）
为了直观起见，有时将的取值及其对应的概率列表如下：
……
…
……
…
我们称这种表为离散型随机变量的概率分布表(Table of probability distribution)。式子，（和概率分布表都称为离散型随机变量的分布律(Law of distribution)。
由概率的定义知，离散型随机变量的概率分布具有以下两个性质：
（1） （非负性）
（2） （归一性）
这里当取有限个值n时，记号为 ，当取无限可列个值时，记号为.
（3） 分布函数，这里和式是对所有满足的求和。
Example 2.3 设袋中装有6个球，编号为{-1，2，2，2，3，3}，从袋中任取一球，求取到的球的号的分布律。
Solution 因为可取的值为-1，2，3，而且，，，所以的分布律为
-1
2
3
Example 2.4 在贝努里概型中，次独立试验，事件发生的次数为随机变量，它的所有可能取值为，的分布律为
)
二,几种常用的离散型分布(Several special discrete models)
下面介绍几种常用的离散型随机变量的概率分布（简称分布）。
1,两点分布如果随机变量只可能取0和1两个值，且它的分布列为，则称服从两点分布(Two-point distribution)（或0—1分布）。两点分布的概率分布表为：
1 0
1-
二项分布如果随机变量只可能取的值为0,1,2,…,n，它的分布列为,(其中.则称服从参数为的二项分布(the Binomial Distribution)，记为.当时，二项分布就是两点分布。
例2.4本身就是二项分布。
Example 2.5 某车间有8台5.6千瓦的车床，每台车床由于工艺上的原因，常要停车。设各车床停车是相互独立的，每台车床平均每小时停车12分钟。
（1）求在某一指定的时刻车间恰有两台车床停车的概率。
（2）全部车床用电超过30千瓦的可能有多大？
Solution 由于每台车床使用是独立的，而且每台车床只有开车与停车两种情况，且开车的概率为12/60=0.2，因此，这是一个8重贝努里试验。若用表示任意时刻同时工作的车床数，则，其分布律为
,(
（1）所求概率为.
（2）由于30千瓦的电量只能供5台车床同时工作，“用电超过30千瓦”意味着有6台或6台以上的车床同时工作，这一事件的概率为
=
Theorem2.1(Poisson theorem) 设随机变量服从二项分布,且，则。(Lethave the Binomial distribution with parameter and,and ,then
.）
Proof,令=，有
=
对任意固定的k，当时
，，
及
所以
在应用中，当很大，且很小，而是一个大小适当的数（通常）时，有以下的泊松分布近似公式
其中.而关于的值，可以查表（见附表）。
泊松分布如果随机变量所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为
，
其中是常数，则称服从参数为的泊松分布(Poisson distribution)，记为.
泊松分布在各领域中有着广泛的应用。例如某段时间内电话机接到的呼唤次数，候车的乘客数，放射性物质在某段时间内放射的粒子数，纺纱机的断头数，某页书上的印刷错误的个数等等都可以用泊松分布来描述。前面已知当较大、很小，且是一个大小适当的数（通常）,可以用泊松分布近似代替二项分布(取)。
Example 2.6 某商店出售某种商品。根据经验，此商品的月销售量服从的泊松分布。问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求？
Solution 设月初库存件，依题意
那么
即
查附表3，可知最小应是8，即月初进货时要库存8件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求。
Example 2.7 一本500页的书，共500错字，每个字等可能的出现在每一页上，求在给定的某一页上最多两个错字的概率。
Solution 设表示在给定的某一页上出现的错字的个数，则，因为n很大，，所以可以用泊松分布近似计算，依题意
超几何分布设一批产品共有个，其中有个次品，现从中任取个（）,则这个产品中所含的次品数是一个离散型随机变量，所有可能的取值为0，1，2，…，,( 其中)，其概率分布为：
（=0,1,2,…,），称之为超几何分布(Super geometry distribution)。
几何分布从一批次品率为（）的产品中逐个地随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止。设检验的次数为，则可能取的值为1，2，3，…,其概率分布为：
，称这种概率分布为几何分布(Geometry distribution)。
§2.3 连续型随机变量的概率密度
(Probability Density of Continuous Random Variable)
除了离散型随机变量外，还有一类重要的随机变量——连续型随机变量，这种随机变量可以取某个区间或的一切值。由于这种随机变量的所有可能取值无法像离散型随机变量那样一一排列，因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概率分布，刻画这种随机变量的概率分布可以用分布函数，但在理论上和实践中更常用的方法是用所谓的概率密度。
一,分布密度的概念(The concept of density distribution)
Definition 2.4 设随机变量的的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对于任意实数，有：
则称为连续型随机变量，而称为的分布密度函数（或概率密度函数），简称分布密度（或概率密度）。(Suppose distribution function for random variable,if there exists a nonnegative integral function,such that for arbitrary ,there is
then define is a continuous random variable and is density function distribution(or probability density function),for short distribution density
( or probability density),)
由分布密度的定义及概率的性质可知分布密度必须满足：
（1） 0 ；从几何上看，分布密度函数的曲线在横轴的上方；
（2） ；这是因为 是必然事件，所以
从几何上看，对于任一连续型随机变量，分布密度函数与数轴所围成的面积是1；
（3） 对于任意实数，且有；
（4）若在点处连续，则有.
Note, 对于任意实数有,即连续型随机变量取某一实数值的概率为零。从而有：
该式说明，当计算连续型随机变量在某一区间上取值的概率时，区间端点对概率无影响。
事实上，因为事件与事件互不相容，且
所以
即
由定义可知，连续型随机变量就是存在理论分布曲线的随机变量，这一理论分布曲线对应着一个函数，称为连续型随机变量的分布密度函数。连续型随机变量落入微小区间的概率为,称为连续型随机变量的概率元。它起着离散型随机变量分布列中类似的作用。
Example 2.8 设随机变量X具有概率密度
（1）试确定常数；
（2）求；
（3）求.
Solution （1）由于，即
=
得.于是的概率密度
；
（2） =;
（3）由定义= 。当时，=0；当时，
= =
所以
.
二、几个常用的连续型随机变量的分布(Several special continuous models)
1,均匀分布如果随机变量的概率密度为
则称服从上的均匀分布(Uniform distribution)。
如果服从上的均匀分布，那末,对于任意满足的，应有
该式说明取值于中任意小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关。这就是均匀分布的概率意义。
2,指数分布如果随机变量的概率密度为
则称服从指数分布(Index distribution)（参数为）。
指数分布也被称为寿命分布，如电子元件的寿命，电话通话的时间，随机服务系统的服务时间等都可近似看作是服从指数分布的。
3,正态分布如果随机变量的概率密度为
；
其中为常数，则称服从参数为的正态分布(Normal distribution)，记为.
由高等数学可知， 当时，达到最大值；在 处，曲线有拐点；（如图2—1） 的图形对称于直线 ； 以轴为渐近线； 若固定，则曲线沿轴平行移动，曲线的几何图形不变；（如图2—2）⑤ 若固定，改变值，由的最大值可知，当越大，的图形越平坦；当越小，的图形越陡峭。（如图2—3）
图2-1 图2-2 图2-3
特别的，当时，称服从标准正态分布(Standard normal distribution)，即，密度函数为
标准正态分布的分布函数为
对于标准正态分布的分布函数，有下列等式
对于，只要设，就有
所以，如果，那么
为了应用方便，编制了标准正态分布函数的函数值表；对于一般的正态分布函数，可以通过变量替换化为标准正态分布函数。
3规则(3law),服从正态分布的随机变量落在区间内的概率为0.9973，落在该区间外的概率只有0.0027.也就是说，几乎不可能在区间之外取值。
Example 2.9 设，求
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.
Solution 查标准正态分布表
(1) =.
(2) =.
(3) =.
(4) =.
(5)
Example 2.10 设，求
（1）； （2）；（3）.
Solution（1）=.
（2）.
（3）=
=
=.
Example 2.11 设一批零件的长度服从参数为的正态分布，规定长度在内为合格品，现任取1个零件，问它为合格品的概率？
Solution 由题意，即求
=
Example 2.12 公共汽车的高度是按男子与车门定碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高（单位:cm）服从正态分布，试确定车门的高度。
Solution 设车门的高度为(cm).依题意有
即
因为，查标准正态分布表得，所以得
即(cm)，故车门的设计高度至少应为184cm方可保证男子与车门碰头的概率在以下。
§2.4 二维随机变量及其分布
(Two-dimension Random Variable and Distribution)
一,二维随机变量及分布函数( Two-dimension random variable and distribution function)
在实际问题中，有一些实验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，炮弹弹着点的位置要用其横坐标与纵坐标来确定。又如，在制定我国的服装标准时，需同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、臀围等多个变量。对于同一个实验结果的各个随机变量之间，一般有某种联系，因而需要把它们作为一个整体来研究。本章只介绍二维情况，有关的内容可以推广到多于二维的情况。
Definition 2.5 设为随机试验的样本空间，,是定义在上的随机变量，则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量，称的取值规律为二维分布,(Suppose is a sample space for random experiment,, are random variables on S,then define ordered array is two-dimension random variable or two-dimension random vector,the rule of value for is two-dimension distribution.）
Definition 2.6设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。(Suppose is two-dimension random variable,for arbitrary real value ，call distribution function for two-dimension random variable or unity distribution function,)
如果把二维随机变量看作平面上具有随机坐标的点，那末分布函数在（）处的函数值就是随机点落在以点（）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。
二维随机变量的分布函数的性质(The properties of distribution function for two-dimension random variable),
（1） ；
（2） 是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有 ；对于任意固定的，当时有 .
（3） 对于任意固定的，；对于任意固定的，,并且 ,.
二,二维离散型随机变量的概率分布(Probability distribution of two-dimension discrete random variable)
Definition 2.7 如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。(If the value of two-dimension random variable is finite or countable,then is called two-dimension discrete random variable.)
显然，如果是二维离散型随机变量，则均为一维离散型随机变量；反之亦成立。
Definition 2.8 设二维随机变量所有可能取的值为，则称为的概率分布，或称为的联合分布。(If all value of two-dimension random variable is，then call probability distribution or unity distribution,)
二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示：
… ,..
.
.
,.,,..
,.,,..
...,..,..,..,..
,.,,..
...,..,..,..,.,
显然，具有以下性质：
（1） 1,2,…）;
（2） ;
（3）如果是二维离散型随机变量，那末它的分布函数可按下式求得：,这里和式是对一切满足不等式，的来求和的。
Example 2.13 1个口袋中有大小形状相同的2红、4白6个球，从袋中不放回地取两次球。设随机变量
,。
求(的分布律及.
Solution 利用概率的乘法公式及条件概率定义，可得二维随机变量(X,Y)的联合分布律
把的联合分布律写成表格的形式：
Y
X
0
1
0
1
。
三,二维连续型随机变量的概率分布(Probability distribution of two-dimension continuous random variable)
Definition 2.9 设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有
则称是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的分布密度，或称为的联合密度。 (Suppose is two-dimension random variable,if there is nonnegative,for arbitrary real value such that
then call two-dimension continuous random variable,is called the distribution density of two-dimension continuous random variable .)
二维分布密度具有以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ,其中D为XOY平面上的任意一个区域；
（4） 如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则
二元函数在几何上表示一个曲面，通常称这个曲面为分布曲面(distribution curved surface)。由性质（2）知，介于分布曲面和平面之间的空间区域的全部体积等于1；由性质（3）知，落在区域内的概率等于以为底、曲面为顶的柱体体积。
这里的性质（1），（2）是概率密度的基本性质。我们不加证明地指出：任何一个二元实函数，若它满足性质（1），（2），则它可以成为某二维随机变量的概率密度。
二维均匀分布(two-dimension uniform distribution) 设为二维随机变量，是平面上的一个有界区域，其面积为，又设
若的密度为上式定义的函数，则称二维随机变量在上服从二维均匀分布。
可验证满足概率密度的基本性质。
二维正态分布(two-dimension normal distribution) 若二维随机变量的概率密度为
（ ）
其中都是常数，且，则称服从二维正态分布.
可以证明满足概率密度的两条基本性质。
§2.5 边缘分布与随机变量的独立性
(Marginal Distribution and Independence of Random Variable)
一,边缘分布(Marginal distribution)
作为的整体的二维随机变量的取值情况，可由它的联合分布函数为或它的联合密度函数全面地描述。由于都是随机变量，因此也可以单独考虑某一个随机变量的概率分布问题。
Definition 2.10 设是二维随机变量，称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。(Suppose is two-dimension random variable,call the probability distribution of measure X marginal distribution on X for ; the probability distribution of measure Y marginal distribution on Y for .Their distribution function and density function marked by andleave each other.）
由于的联合分布全面的描述了的取值情况，因此，当已知的联合分布时，是容易求得关于或关于的边缘分布。
先看离散情况：（其中U是必然事件）
若已知，则随机变量的概率分布为关于的边缘分布如下：
同样得到关于的边缘分布：，.
记,所以关于的边缘分布列为：
,.,,.,
..,...
关于的边缘分布列为：
,.,,.,
..,,..
下面看连续型的情形：
Theorem 2.2 设是的联合密度函数，则
分别是关于的边缘分布密度函数。(Suppose is the unity density function of ,then
is the marginal distribution density function foronleave each other.)
二、随机变量的独立性(Independence of random variable)
Definition2.11 设是二维随机变量，如果对于任意有，则称随机变量与是相互独立的。(Suppose is two-dimension random variable,if for all real value such that ，then random variable X and Y is called independence mutually.）
如果记，那么上式为；可见，的相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。由的联合分布函数、边缘分布函数的定义，可得，该式可用来判断的相互独立性。
Theorem 2.3 设是二维离散型随机变量， ，依次是，的概率分布，则相互独立的充要条件是：对于所有可能的取值，都有 ,即对所有的，都有 。(Suppose is two-dimension random variable, ，is the probability distribution of ,in turn,then sufficient and necessary condition for independence of X and Y is,for all values of :，there are ，namely for all ，there are .)
Theorem 2.4 设是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数与边缘密度函数，则相互独立的充要条件是：对任意的实数，都有 。(Supposeis two-dimension random variable,is unity density function and marginal density function leave each other,then sufficient and necessary condition for independence of and is,for all real values ，there are .）
Example 2.14 设(X,Y)的联合分布律为
Y
X
0
1
2
3
0
1
0
2
0
0
3
0
0
0
试求关于和关于的边缘分布，并判断是否相互独立？
Solution 由表中可按行加得，按列加得
Y
X
0
1
2
3
0
1
0
2
0
0
3
0
0
0
即得关于X的边缘分布
及关于Y的边缘分布
由于，而，所以互不独立。
Example２.15 设二维随机变量具有密度函数
试求:
（1）常数；
（2）落在如图2—4 所示的三角区域内的概率；
（3）关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。
图2-4
Solution （1）
=
所以
;
（2）;
（3）关于的边缘分布密度函数为
当时，=0.
当时,
故有
=；
同理可求得关于的边缘分布密度函数为
=,
因为对任意的实数，都有 ，所以相互独立。
Example 2.16 设服从域（如图2—5）上的均匀分布，求关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。
Solution 由均匀分布的定义，的联合分布密度函数为
图2-5
关于的边缘分布密度函数为
关于的边缘分布密度函数为
在,,的连续点处，由于，所以不相互独立。
§2.6 随机变量函数的分布
(Distribution for Function of Random Variable)
在许多实际问题中,所考虑的随机变量往往依赖于另一个随机变量.例如设是圆柱体的直径,它是随机变量.而圆柱体的横断面面积也是随机变量.在试验中,当取的可能值时，就取得可能值。不过不是试验的直接结果，而是通过普通的函数关系而得。这时随机变量是随机变量的函数，记为.一般地，设是随机变量，则函数也是随机变量。本节将讨论如何从一些随机变量的概率分布导出这些随机变量的函数的概率分布。
一,一个离散型随机变量的函数的分布(Distribution for the function of single discrete random variable)
当是离散型随机变量时，也是随机变量，这时设随机变量的概率分布为
… …
… …
当取某值时，随机变量取值，如果所有的值全不相等，则随机变量的概率分布是：
… …
… …
如果某些有相同的值，则这些相同的值仅取一次。根据概率加法定理应把相应的概率值加起来，就得到的分布。
Example 2.17 设的分布律为
X
0.1
0.2
0.3
0.4
求（1）的分布律；（2）的分布律。
Solution （1） 因为的可能取值为，而且
，，
，
因而,的分布律为
Y
0.1
0.2
0.3
0.4
(2) 类似地可求出的分布律为
X
0.1
0.2
0.3
0.4
因为的可能取的值为，而且
所以的分布律可整理为
0
1
4
0.2
0.4
0.4
Example 2.18 设随机变量的分布律为
1
2
．．．
n
．．．
．．．
．．．
求随机变量的分布律。
Solution 因为
，
所以的所有可能的取值为。
由于取值时，对应的都取，根据上述方法得
故的分布律为
Ｙ
－１
０
１
p
二,一个连续型随机变量的函数的分布(Distribution for the function of single continuous random variable)
在应用中最常见的情形是连续型随机变量的函数。设是连续型随机变量，已知为其概率密度，那么应当如何确定随机变量的概率密度呢？
Example 2.19 设连续型随机变量具有概率密度，求随机变量（其中为常数且）的概率密度.
Solution 设的分布函数为，当，则
上式两边对求导数得
当，则
上式两边对ｙ求导数得
于是
Example 2.20 设，求的概率密度。
Solution 注意到总是取非负值，因此，当时，
当时，
对求导数得
一般地，我们有以下定理。
Theorem 2.5 如果将连续型随机变量和连续型随机变量的概率密度函数分别记为，则（或）时有：,这里是的反函数。(If mark the probability density function of continuous random variable X and continuous random variable leave each other,then when （or）,there is ,there is inverse function of .)
证明从略。
三,两个随机变量的函数的分布(Distribution for the function of two random variable)
和的分布(Distribution of sum)
Problem：已知的联合密度为，求的密度函数。
先求的分布函数：由分布函数的定义知对任意有，由于事件等价于事件，于是，所以（由图2—6）
图2-6
在积分中，和是固定的，令，则得
由概率密度的定义
由于的对称性，也有
上两式为的密度函数的一般公式。
特别当相互独立时，由于对一切都有，此时的密度函数的公式为：
或 （2.1）
上式称为卷积公式(Convolve formula )。
Example 2.21 设，且与相互独立，求的概率密度。
Solution 由(2.1)式有
令
可见是正态随机变量的密度函数，从它的结构可以看出～.
这个结论还可以推广到个随机变量和的情况。
Theorem 2.6 设，，…，相互独立，且，则其和仍服从正态分布，且
(Suppose ，，…，independence,and
Then sum of them still obey normal distribution,and
)
Example 2.22 两台同样自动记录仪，每台无故障工作时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当期发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度函数f(x)。
Solution 设第一台和第二台无故障工作时间分别为和，它们是两个相互独立的随机变量，且它们的分布密度均为
而，由(2.1)式的概率密度函数为
令，
所以，两台记录仪无故障工作的总时间的密度函数为
（2） 瑞利分布（Rayleigh distribution）
Problem,已知互相独立，且 ，求的密度函数.
设（）是平面上的随机点的位置，那末显然是随机点（）到原点的距离。
问题成为：在所设条件下，求随机点到原点的距离的概率分布。
因为互相独立，且
，
Result 的分布函数为；的密度函数为：
如果随机变量的密度函数如上式，则称服从参数为的瑞利分布。
第二章小结(Summary of Chapter Two)
1,本章首先介绍了随机变量的概念。用随机变量描述随机现象是近代概率中最重要的方法。要习惯于用随机变量来表达随机事件。
2,对于随机变量，除了要知道它可能取哪些值，更重要的是要知道它以怎样的概率取这些值。本章介绍了表达这种概率分布的几种方法,
离散型
分布律
分布函数
连续型
概率密度
不论其中哪种方法，都能全面刻划随机变量的概率分布规律，统称为“分布”。
本章介绍了几种常见的分布，其中最主要的是二项分布和正态分布。
4,本章以二维随机变量为例，讨论了多维随机变量。因为，多个随机变量放在一起研究，不但要研究各个变量的个别性质，而且要考虑到它们之间的联系。因而有联合分布函数、联合分布律、联合密度函数和边缘分布函数、边缘分布律、边缘密度函数的问题，还有独立的问题。
随机变量的函数的分布的推导，在数理统计和概率论的许多应用中都很重要，应当牢固地掌握。
