第三章 随机变量的数字特征
内容提要
本章主要讲述离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量的函数的数学期望，数学期望的性质；方差的概念，方差的计算，方差的性质；协方差及相关系数的定义，协方差与相关系数的性质，矩等内容．
重点分析
理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算．
了解二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差．
了解矩、相关系数的概念及其性质与计算．
难点分析
数学期望与方差的概念、性质与计算．
矩、相关系数的概念、性质与计算．
习题布置
习题3 (1,3,5,7,11,1520,22,24)
备注
教 学 内 容( Contents )
Chapter Three 随机变量的数字特征(Figure Characteristic of Random Variable)
第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数．
§3.1 数学期望(随机变量的均值)
Mathematical Expectation（Average of Random Variable）
一,离散型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of discrete random variable)
Example 3.1 某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为
事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下：
Definition 3.1 设离散型随机变量的分布律为表3-1
表3-1
若级数绝对收敛，则称其为随机变量的数学期望(Mathematical expectation)或均值(Average)．记为．若级数发散，则称随机变量的数学期望不存在．(Suppose is a discrete random variable,which distribution law is table 3-1,if progression is absolutely convergent,then it is called mathematical expectation (or average) of random variable ,which is written ,If seriesis divergent,then random variable has not mathematical expectation.)
Example 3.2 一批产品在有一二三等品及废品4种，所占比例分别为，各级产品的出厂价分别为6元，4.8元，4元，0元，求产品的平均出厂价．
Solution 由题意产品的平均出厂价为
(元)
Example 3.3 设随机变量服从二项分布，求它的数学期望．
Solution 由于
因而
Example 3.4 设随机变量服从参数为的泊松分布，求它的数学期望．
Solution 由于
因而
Example 3.5 已知离散型随机变量的概率分布为
，求．
Solution
二,连续型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of a continual random variable)
Definition 3.2 设连续型随机变量的分布密度函数为，若积分绝对收敛，则称其为的数学期望或均值．记为，．(Suppose is a continuous random variable,which its probability density function is ,if integral,,is absolutely convergent,then it is called mathematical expectation (or average) of random variable,which is written,and .)
Example 3.6 设随机变量服从正态分布，求．
Solution 由于正态分布的密度函数为
因而
令 ，则 ．
Example 3.7 设随机变量服从参数为的指数分布，求．
Solution 由于指数分布的密度函数为
因而
．
Example 3.8 设随机变量服从上的均匀分布，求．
Solution 由于均匀分布的密度函数为
因而 ．
Example 3.9 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为，由于积分发散，因而不存在．
三,随机变量的函数的数学期望(Mathematical expectation of random variable function)
Theorem 3.1 设为随机变量的函数：(g是连续函数)，（1）是离散型随机变量，分布律为；若级数绝对收敛，则有 ．（2）是连续型随机变量，它的分布密度为，若积分绝对收敛，则有 ．(Suppose Y is a function of random variable,(g is a continuous function),(1) is a discrete random variable,distribution law is ; if series,,is absolutely convergent,then ,(2) is a continuous random variable,its probability distribution density function is ,if integral is absolutely convergent,then .)
（证明略）
定理3.1告诉我们：求时，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了．
Theorem 3.2 设是随机变量的连续函数，（1）是二维离散型随机变量，联合分布律为；则有 ．（设该级数绝对收敛）（2）是二维连续型随机变量，联合分布密度为，则有．（设该积分绝对收敛）(Suppose is a continuous function of random vector,,(1) are discrete random vector of two dimensions,its joint distribution law is
;
then ,(Suppose this series is absolutely convergent)
(2) are continuous random vector of two dimensions,its joint distribution density function is ,then ,(Suppose this integral is absolutely convergent)
（证明略）
Example 3.10 设随机变量服从正态分布，求 (1)；(2) ．
Solution (1) ,令，
则
由分部积分法有
因而
(2) ,令，则
．
Example 3.11 设的概率密度函数为
求．
Solution 由定理3.2,，
Example 3.12 随机变量的分布律如表3-2：
表3-2
X
0 1 2 3
P
求．
Solution
四,数学期望的性质（The property of mathematical expectation）
1,设是常数，则有．
2,设是随机变量，设是常数，则有．
3,设，是随机变量，则有,（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）
4,设，是相互独立的随机变量，则有．（该性质可推广到有限个随机变量之积的情况）
1、2由读者自己证明．我们来证明3和4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证．
Proof,设二维连续型随机变量的联合分布密度为，其边缘分布密度为，,则
+
.
性质3得证．
又若和相互独立，此时，故有
]
性质4得证．
Example 3.13 设独立同分布，且，那么服从，因而．
§3.2 方 差(variance)
前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；因此，通常用来描述随机变量与均值的偏离程度．
一,方差的概念(Conception of variance)
Definition 3.3 设是随机变量，存在，就称其为的方差，记为(或)，即
=
称为标准差，记为．(Suppose is a random variable,if is exist,then it is called variance of,and written or ,namely
=,
is called standard variance,and written .
二,方差的计算(Calculation of variance)
1,=
Proof,由方差的定义及数学期望的性质
2,是离散型随机变量，分布律为；则
3,是连续型随机变量，它的分布密度为，则
Example 3.14 (1) 求例3.12中的方差,
(2) 求例3.5中的方差．
Solution (1) ．
(2) ，
Example 3.15 设随机变量服从正态分布，求．
Solution 由于
而 (例11),因而 ．
正态随机变量的“规则”：
从这个数据看到，正态随机变量的值几乎完全落在了区间．
Example 3.16 设随机变量服从参数为的泊松分布，求．
Solution 由于=,而
，
因而 ．
Example 3.17 设随机变量服从参数为的指数分布，求．
Solution 由于指数分布的密度函数为
故 ．
Example 3.18 设随机变量服从上的均匀分布，求．
Solution 由于均匀分布的密度函数为,，
故
Example 3.19 已知随机变量的密度函数为
又已知，求．
Solution
解之得 ,
三,方差的性质(The property of variance)
设是常数，则有；
设是常数，则有；
设，是相互独立的随机变量，则有；
设是相互独立的随机变量，则．
（以上4个性质的证明留给读者自己完成．）
Example 3.20 设随机变量服从二项分布，求．
Solution 由性质4,设独立同分布，且，
那么服从，因而,
又因为 ，
因此 ．
Example 3.21 设的概率密度函数为
求及．
Solution
．
Example 3.22 一台设备由三大件组成，载设备的运转过程中需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部分相互独立,表示需要调整的部件数，试求的分布，．
Solution 设，由于各部件相互独立，则有
§3.3 协方差及相关系数、矩
(Covariance,Correlation coefficient and Moment)
我们除了讨论与的数学期望和方差外，还需讨论描述与之间相互关系的数字特征．本节讨论这方面的数字特征,
一,协方差及相关系数的定义(Covariance and correlation coefficient)
Definition 3.4 设有二维随机变量，如果存在，则称为随机变量与的协方差．记为，即
称为随机变量与的相关系数．若，称与不相关．(Suppose there are two dimension random variable,if is exist,then it is called covariance of random variableand ,and written ,namely
,
is called correlation coefficient of random variable and ,If ,then and is not correlational..)
二,协方差与相关系数的性质(Property of covariance and correlation coefficient)
1,协方差的性质
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) 若与相互独立，则，即与不相关．反之，若与不相关，与不一定相互独立．
(7) ．
2,相关系数的性质
(1) ；
(2) 若与相互独立，则；
(3) 当与有线性关系时，即当（为常数，）时，，
且 ；
(4) 的充要条件是，存在常数使．
事实上相关系数只是随机变量间线性关系其强弱的一个度量，当表明随机变量与具有线性关系时为正线性相关,时为负线性相关，当时，这种线性相关程度就随着的减小而减弱，当时，就意味着随机变量与是不相关的．
Example 3.23 设是服从上的均匀分布，又，试求相关系数．
Solution
因而 ．
相关系数=0，随机变量与不相关，但是有，从而与不独立．
Example 3.24 设二维随机变量的概率密度函数为
证明随机变量与不相关，也不相互独立．
证明 由于关于轴、轴对称，有
，
因而 即是与不相关．
又由于 ,．
显然在上，，所以与不相互独立．
三,矩 (Moment)
Definition 3.5 设和是随机变量，若存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩．若存在，称它为的阶中心矩．若存在，称它为和的阶混合矩．若存在，称它为和的阶混合中心矩．(Suppose and are random variables,if ,is exist,it is called order origin moment of ,If ,is in existence,then it is called order central moment of ,If ,is in existence,then it is called order hybrid moment ofand,If ,is in existence,then it is called order hybrid central moment of and .)
显然，的数学期望是的一阶原点矩，方差是的二阶中心矩，协方差是和的二阶混合中心矩．
第三章小结(Summary of Chapter Three)
1,数学期望的性质
(1) 设是常数，则有．(2) 设是随机变量，设是常数，则有．(3) 设，是随机变量，则有,（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）.(4) 设，是相互独立的随机变量，则有．（改性质可推广到有限个随机变量之积的情况）
2,方差的计算
(1)=[]．(2)是离散型随机变量，分布律为；则=.(3)是连续型随机变量，它的分布密度为，则=.
3,方差的性质
(1) 设是常数，则有；(2) 设是常数，则有；(3) 设，是相互独立的随机变量，则有；(4)设是相互独立的随机变量，则．
4．几个重要随机变量分布的数学期望及方差
(1) 0—1分布：=，=．(2) 二项分布,=，=．(3) 泊松分布,=，=．(4) 均匀分布：设是服从上的均匀分布 =，=．(5) 正态分布,，则=，=．(6) 指数分布：设服从参数为的指数分布，则=，=．
内容提要
本章主要讲述离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量的函数的数学期望，数学期望的性质；方差的概念，方差的计算，方差的性质；协方差及相关系数的定义，协方差与相关系数的性质，矩等内容．
重点分析
理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算．
了解二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差．
了解矩、相关系数的概念及其性质与计算．
难点分析
数学期望与方差的概念、性质与计算．
矩、相关系数的概念、性质与计算．
习题布置
习题3 (1,3,5,7,11,1520,22,24)
备注
教 学 内 容( Contents )
Chapter Three 随机变量的数字特征(Figure Characteristic of Random Variable)
第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数．
§3.1 数学期望(随机变量的均值)
Mathematical Expectation（Average of Random Variable）
一,离散型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of discrete random variable)
Example 3.1 某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为
事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下：
Definition 3.1 设离散型随机变量的分布律为表3-1
表3-1
若级数绝对收敛，则称其为随机变量的数学期望(Mathematical expectation)或均值(Average)．记为．若级数发散，则称随机变量的数学期望不存在．(Suppose is a discrete random variable,which distribution law is table 3-1,if progression is absolutely convergent,then it is called mathematical expectation (or average) of random variable ,which is written ,If seriesis divergent,then random variable has not mathematical expectation.)
Example 3.2 一批产品在有一二三等品及废品4种，所占比例分别为，各级产品的出厂价分别为6元，4.8元，4元，0元，求产品的平均出厂价．
Solution 由题意产品的平均出厂价为
(元)
Example 3.3 设随机变量服从二项分布，求它的数学期望．
Solution 由于
因而
Example 3.4 设随机变量服从参数为的泊松分布，求它的数学期望．
Solution 由于
因而
Example 3.5 已知离散型随机变量的概率分布为
，求．
Solution
二,连续型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of a continual random variable)
Definition 3.2 设连续型随机变量的分布密度函数为，若积分绝对收敛，则称其为的数学期望或均值．记为，．(Suppose is a continuous random variable,which its probability density function is ,if integral,,is absolutely convergent,then it is called mathematical expectation (or average) of random variable,which is written,and .)
Example 3.6 设随机变量服从正态分布，求．
Solution 由于正态分布的密度函数为
因而
令 ，则 ．
Example 3.7 设随机变量服从参数为的指数分布，求．
Solution 由于指数分布的密度函数为
因而
．
Example 3.8 设随机变量服从上的均匀分布，求．
Solution 由于均匀分布的密度函数为
因而 ．
Example 3.9 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为，由于积分发散，因而不存在．
三,随机变量的函数的数学期望(Mathematical expectation of random variable function)
Theorem 3.1 设为随机变量的函数：(g是连续函数)，（1）是离散型随机变量，分布律为；若级数绝对收敛，则有 ．（2）是连续型随机变量，它的分布密度为，若积分绝对收敛，则有 ．(Suppose Y is a function of random variable,(g is a continuous function),(1) is a discrete random variable,distribution law is ; if series,,is absolutely convergent,then ,(2) is a continuous random variable,its probability distribution density function is ,if integral is absolutely convergent,then .)
（证明略）
定理3.1告诉我们：求时，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了．
Theorem 3.2 设是随机变量的连续函数，（1）是二维离散型随机变量，联合分布律为；则有 ．（设该级数绝对收敛）（2）是二维连续型随机变量，联合分布密度为，则有．（设该积分绝对收敛）(Suppose is a continuous function of random vector,,(1) are discrete random vector of two dimensions,its joint distribution law is
;
then ,(Suppose this series is absolutely convergent)
(2) are continuous random vector of two dimensions,its joint distribution density function is ,then ,(Suppose this integral is absolutely convergent)
（证明略）
Example 3.10 设随机变量服从正态分布，求 (1)；(2) ．
Solution (1) ,令，
则
由分部积分法有
因而
(2) ,令，则
．
Example 3.11 设的概率密度函数为
求．
Solution 由定理3.2,，
Example 3.12 随机变量的分布律如表3-2：
表3-2
X
0 1 2 3
P
求．
Solution
四,数学期望的性质（The property of mathematical expectation）
1,设是常数，则有．
2,设是随机变量，设是常数，则有．
3,设，是随机变量，则有,（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）
4,设，是相互独立的随机变量，则有．（该性质可推广到有限个随机变量之积的情况）
1、2由读者自己证明．我们来证明3和4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证．
Proof,设二维连续型随机变量的联合分布密度为，其边缘分布密度为，,则
+
.
性质3得证．
又若和相互独立，此时，故有
]
性质4得证．
Example 3.13 设独立同分布，且，那么服从，因而．
§3.2 方 差(variance)
前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；因此，通常用来描述随机变量与均值的偏离程度．
一,方差的概念(Conception of variance)
Definition 3.3 设是随机变量，存在，就称其为的方差，记为(或)，即
=
称为标准差，记为．(Suppose is a random variable,if is exist,then it is called variance of,and written or ,namely
=,
is called standard variance,and written .
二,方差的计算(Calculation of variance)
1,=
Proof,由方差的定义及数学期望的性质
2,是离散型随机变量，分布律为；则
3,是连续型随机变量，它的分布密度为，则
Example 3.14 (1) 求例3.12中的方差,
(2) 求例3.5中的方差．
Solution (1) ．
(2) ，
Example 3.15 设随机变量服从正态分布，求．
Solution 由于
而 (例11),因而 ．
正态随机变量的“规则”：
从这个数据看到，正态随机变量的值几乎完全落在了区间．
Example 3.16 设随机变量服从参数为的泊松分布，求．
Solution 由于=,而
，
因而 ．
Example 3.17 设随机变量服从参数为的指数分布，求．
Solution 由于指数分布的密度函数为
故 ．
Example 3.18 设随机变量服从上的均匀分布，求．
Solution 由于均匀分布的密度函数为,，
故
Example 3.19 已知随机变量的密度函数为
又已知，求．
Solution
解之得 ,
三,方差的性质(The property of variance)
设是常数，则有；
设是常数，则有；
设，是相互独立的随机变量，则有；
设是相互独立的随机变量，则．
（以上4个性质的证明留给读者自己完成．）
Example 3.20 设随机变量服从二项分布，求．
Solution 由性质4,设独立同分布，且，
那么服从，因而,
又因为 ，
因此 ．
Example 3.21 设的概率密度函数为
求及．
Solution
．
Example 3.22 一台设备由三大件组成，载设备的运转过程中需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部分相互独立,表示需要调整的部件数，试求的分布，．
Solution 设，由于各部件相互独立，则有
§3.3 协方差及相关系数、矩
(Covariance,Correlation coefficient and Moment)
我们除了讨论与的数学期望和方差外，还需讨论描述与之间相互关系的数字特征．本节讨论这方面的数字特征,
一,协方差及相关系数的定义(Covariance and correlation coefficient)
Definition 3.4 设有二维随机变量，如果存在，则称为随机变量与的协方差．记为，即
称为随机变量与的相关系数．若，称与不相关．(Suppose there are two dimension random variable,if is exist,then it is called covariance of random variableand ,and written ,namely
,
is called correlation coefficient of random variable and ,If ,then and is not correlational..)
二,协方差与相关系数的性质(Property of covariance and correlation coefficient)
1,协方差的性质
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) 若与相互独立，则，即与不相关．反之，若与不相关，与不一定相互独立．
(7) ．
2,相关系数的性质
(1) ；
(2) 若与相互独立，则；
(3) 当与有线性关系时，即当（为常数，）时，，
且 ；
(4) 的充要条件是，存在常数使．
事实上相关系数只是随机变量间线性关系其强弱的一个度量，当表明随机变量与具有线性关系时为正线性相关,时为负线性相关，当时，这种线性相关程度就随着的减小而减弱，当时，就意味着随机变量与是不相关的．
Example 3.23 设是服从上的均匀分布，又，试求相关系数．
Solution
因而 ．
相关系数=0，随机变量与不相关，但是有，从而与不独立．
Example 3.24 设二维随机变量的概率密度函数为
证明随机变量与不相关，也不相互独立．
证明 由于关于轴、轴对称，有
，
因而 即是与不相关．
又由于 ,．
显然在上，，所以与不相互独立．
三,矩 (Moment)
Definition 3.5 设和是随机变量，若存在，称它为的阶原点矩，简称阶矩．若存在，称它为的阶中心矩．若存在，称它为和的阶混合矩．若存在，称它为和的阶混合中心矩．(Suppose and are random variables,if ,is exist,it is called order origin moment of ,If ,is in existence,then it is called order central moment of ,If ,is in existence,then it is called order hybrid moment ofand,If ,is in existence,then it is called order hybrid central moment of and .)
显然，的数学期望是的一阶原点矩，方差是的二阶中心矩，协方差是和的二阶混合中心矩．
第三章小结(Summary of Chapter Three)
1,数学期望的性质
(1) 设是常数，则有．(2) 设是随机变量，设是常数，则有．(3) 设，是随机变量，则有,（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）.(4) 设，是相互独立的随机变量，则有．（改性质可推广到有限个随机变量之积的情况）
2,方差的计算
(1)=[]．(2)是离散型随机变量，分布律为；则=.(3)是连续型随机变量，它的分布密度为，则=.
3,方差的性质
(1) 设是常数，则有；(2) 设是常数，则有；(3) 设，是相互独立的随机变量，则有；(4)设是相互独立的随机变量，则．
4．几个重要随机变量分布的数学期望及方差
(1) 0—1分布：=，=．(2) 二项分布,=，=．(3) 泊松分布,=，=．(4) 均匀分布：设是服从上的均匀分布 =，=．(5) 正态分布,，则=，=．(6) 指数分布：设服从参数为的指数分布，则=，=．
