第三章 立体的投影一、本章重点：
平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影；
立体与平面相交其交线的画法，既求截交线；
两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
二、本章难点：
圆球和圆环的投影及表面上点的投影；
圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法；
求作相贯线。
三、本章要求：
通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线。
四、本章内容：
§3—1 平面立体的投影一、棱柱棱柱的投影如下图，是一六棱柱，它是由上下两正六边和六个矩形的侧面所围成。对各投影进行分析。
作投影图时，先画出中心线对称线，再画出六棱柱的水平投影正六边形，最后按投影规律作出其它投影。
正六棱柱的投影及表面上取点
2．棱柱表面上取点
1）棱柱表面都处于特殊位置，其表面上的点可利用平面的积聚性求得；
2）求解时，注意水平投影和侧面投影的Y值要相等；
3）点的可见性的判断，面可见，点则可见，反之不可见。
三、棱锥
1．棱锥的投影
正三棱锥的投影
1）分析三棱锥各平面的投影；
2）作三棱锥的三面投影。
2．棱锥表面上的点棱锥表面上点的投影可在平面上作辅助线进行求解，如下图。
棱锥表面上取点
§3—2 曲面立体的投影一、圆柱
1．圆柱面的形成有一母线绕与它平行的轴线旋转而成。
2．圆柱体的投影对圆柱体的各个投影进行分析。
3．圆柱表面上的点在圆柱表面上有两点M和N，已知M的正面投影m’，N点的侧面投影（n”），求作M和N的另外两个投影。如图所示。
圆柱表面上取点圆柱表面上点的投影，在投影面为圆的投影中，其表面上点的投影都在该圆上。注意：Y值要相等。
二、圆锥
1．圆锥面的形成有一母线绕和它相交的轴线旋转而成。
2．圆锥的投影对圆锥的投影进行分析，如图
圆锥的投影
3．圆锥表面上的点圆锥的三个投影都没有积聚性，因而圆锥表面上点的投影，就不能直接求得，要采用辅助素线和辅助圆法。
（1）辅助素线法，如图（b）。
圆锥表面上取点
（2）辅助轧圆法：如上图（c）。注意在画圆时，半径是从中心线到轮廓素线，而不是从中心线到点。
三、圆球
1．圆球的形成球面可看成是以一圆为母线，以其直径为轴线旋转而成。
2．圆球的投影圆球的投影是与圆球直径相同的三个圆，这三个圆分别是三个不同方向球的轮廓的素线圆投影，不能认为是球面上同一圆的三个投影。对投影图进行分析。
圆球的投影
3．圆球表面上点的投影圆球表面上点的投影，要作辅助圆，圆的半径是从中心线到轮廓线，作图时要注意。
圆球表面上取点四、圆环
1．圆环的形成圆环可看成是以圆为母线，绕与它在同一平面上的轴线旋转而形成的。
2．圆环的投影
（1）对圆环的投影进行分析；
（2）如何画圆环的投影图。
3．圆环表面上的点
圆环表面上取点利用辅助圆求点的投影。
§3—3 平面与立体相交一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，所得的交线是由直线组成的封闭大多边形，该多边形的边就是平面立体表面与截平面的交线，其顶点是棱线与截平面的交点。
如图，是一三棱锥被一正垂面截切，求截交线。
三棱锥的截交线求平面立体的截交线，关键是找到平面与立体棱线的共有点（平面与立体的交点），然后将各点连接即为所求。
二、平面与曲面立体表面相交
1．平面与圆柱表面相交平面与圆柱表面相交，有三种情况，见P78表3—1
例题 求圆柱被一正垂面截切后的截交线。如图。
圆柱被斜截后的截交线
1）分析
2）作图：利用表面取点的方法，作出一系列的点，再将这些点的同面投影连接起来就所求的截交线。
2．平面与圆锥相交平面与圆锥相交的截交线，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，有五种情况，见P79表3—2所示。
例题：求作正平面截切圆锥的截交线。
圆锥的截交线
1）分析：正平面截切，截交线是双曲线。
2）作图：a）求最高点A；
b）最低点D、E；
c）利用素线法求一般点；
d )在正面投影上光滑连接各点。
平面与圆球相交平面与圆球相交，无论平面与圆球的相对位置如何，截交线均为圆。
例题 求作用正垂面P截切圆球的截交线，如图所示。
正垂面截切圆球的截交线分析：圆球被正垂面截切，截交线的正面投影积聚为一直线，水平投影和侧面投影均为椭圆。
作图：1）求最高点A和最低点B；
2）在A、B中间作一水平面Q她与球交于C、D两点；
3）在截交线圆与球面上下分界圆处，定出G、H；
4）利用辅助圆法求一般点；
5）依此光滑连接各点的同面钭影。
三、综合举例例题：求顶尖的截交线，如图。
顶尖截交线分析：顶尖头部是由同轴的圆柱和圆锥组成，被一水平面和一侧平面截切，所求截交线正面和侧面都有积聚性，主要是求水平投影。
作图：1）截交线的正面投影积聚为直线，侧面投影，侧平面反映实形，水平面是直线；
2）由截交线的侧面投影和正面投影画水平投影；
3）将所求各点光滑连接。
§3—4 曲面体与曲面体相交两曲面立体相交，其交线是两曲面立体的共有线，该线也叫相贯线，相贯线上的点是两曲面立体的共有点。
一、表面取点法两个回转体相交，如果其中一个回转体的轴线是垂直投影面的圆柱，则圆柱在该投影面上的投影积聚为一圆，而相贯线的投影也就重合在该圆上。利用表面上取点的方法求相贯的其它投影。
例题：已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线，如图。
两圆柱正交分析：两圆柱轴线垂直相交，一轴线垂直于H面，一轴线垂直于W面，相贯线的水平投影就是有积聚性的圆，侧面投影，是一段两圆柱重合的圆弧，因此只求正面的投影。
作图：1）求特殊点，最高点和最低点；
2）求一般点，定出水平投影面的点，再找出侧面投影上对应的点，根据正面和侧面的点找出正面投影的点；
3）将各点光滑地连接起来。
例题：求作轴线不相交，直径不相等的两圆柱的相贯线，如图。
轴线不相交的两圆柱相贯线分析：同前一题相同，水平面和侧面都有积聚性，圆和圆弧就是相贯线，只求正面投影。
作图：1）求特殊点，最高最低和最前最后四个点；以及最左最右的两个点；
2）求一般点；
3）判别可见性并光滑连接各点。
二、辅助平面法利用辅助平面同时截切相贯的两曲面立体，可找出两曲面立体的截交线的交点，该点即为相贯线上的点，这些点既是回转体表面上的点，又是辅助平面上的点，因此，辅助平面法就是利用三面共点原理。
利用辅助平面法求相贯时，选辅助平面的原则是使辅助平面与曲面立体的截交线的投影为最简单，如直线或圆。
例题：求轴线相互垂直的圆锥和圆柱的相贯线，如图。
圆锥与圆柱的相贯线分析：轴线垂直相交，具有前后对称平面，因此，相贯线是一前后对称的闭合空间曲线，并且前后两部分的正面投影重合，相贯线的侧面投影重合在圆柱具有积聚性的投影圆上，要求的是相贯线的水平投影和正面投影。
作图：1）求特殊点，最高点和最低点A、C和最前点和最后点B、D；
2）求一般点作辅助平面Q1V、Q2V、Q3V、，可求出一般点E、F、G、H；
3）判别可见性，并光滑连接各点。
例题：求作圆台与半圆球的相贯线，如图。
圆台与半圆球的相贯线分析：圆台的轴线不通过圆球的球心，圆台和球有公共的前后对称面，因此，相贯线是前后对称的闭合空间曲线，正面投影重合，水平投影和侧面投影都是对称的曲线。三个投影都没有积聚性，因此，相贯线的三个投影都必须画出。
作图：1）求特殊点，正面投影中，圆台与半圆球两曲面体轮廓线的交点即为相贯线的最高点和最低点；
2）求一般点作辅助水平面QV，与圆台表面和圆球表面的交线都为水平圆，求出水平投影的点，再求正面投影，最后求侧面投影，作一系列的辅助平面可求一系列的点；
3）分别依此光滑连接同面投影的各个点，即为所求相贯线。
三、辅助球面法辅助球面发的条件：两回转体的轴线相交，且平行于某个投影面。
四、相贯线的特殊情况
（1）当回转体与球体相交且球心在回转体轴线上时，相贯线为垂直于轴线的圆。如下图。
回转体与球相贯
（2）当回转体轴线相交，并公切于一个圆球时，相贯线为两条平面曲线——椭圆，如图。
相贯线为平面曲线
（3）当轴线平行的两圆柱体相交时，相贯线为两条直线。如下左图。
（4）当两圆锥共顶相交时，相贯线为直线，如下右图。
相贯线为平行二直线 相贯线为相交二直线五、影响相贯线形状的各因素及相贯线的近似画法
1．影响相贯线形状的各种因素相贯线的形状与回转体表面形状、两回转体的相对位置以及回转体的尺寸大小等因素有关。见P93表3—3和3—4。
2．相贯线的近似画法如图，两圆柱的直径相差较大时，相贯线可以用圆弧代替非圆曲线。
用圆弧代替相贯线六、组合相贯线由两个或两个以上立体相交，其表面将产生几段相贯线，这就是组合相贯线。
绘制组合相贯线时，必须进行形体分析和相贯线分析，搞清楚由哪些形体组成？哪些表面有相交关系？哪些地方应该有交线存在以及是什么类型的交线？做到心中无数，这样才能主动地进行作图。
本章小结：
1．本章开始是无投影轴投影，三面投影中，正面和水平面投影要对正，正面和侧面投影要平齐，水平和侧面投影Y值相等。
2．平面与立体相交，其截交线是截平面与立体表面的共有点的连线。求截交线，就是求立体表面与截平面的公共点。
3．两回转体相交，其交线——相贯线一般是空间曲线，它是相交两回转体的共有线，求相贯线的方法有：表面取点法、辅助平面法和辅助球面法。我们主要掌握利用表面取点法和辅助平面法求解常见的两回转体相交时的相贯线。
4．在有些特殊情况下，两回转体相交的相贯线是平面曲线或直线，在绘图时可以直接画出。
作业：
《机械制图习题集》P13—17
平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影；
立体与平面相交其交线的画法，既求截交线；
两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
二、本章难点：
圆球和圆环的投影及表面上点的投影；
圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法；
求作相贯线。
三、本章要求：
通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线。
四、本章内容：
§3—1 平面立体的投影一、棱柱棱柱的投影如下图，是一六棱柱，它是由上下两正六边和六个矩形的侧面所围成。对各投影进行分析。
作投影图时，先画出中心线对称线，再画出六棱柱的水平投影正六边形，最后按投影规律作出其它投影。
正六棱柱的投影及表面上取点
2．棱柱表面上取点
1）棱柱表面都处于特殊位置，其表面上的点可利用平面的积聚性求得；
2）求解时，注意水平投影和侧面投影的Y值要相等；
3）点的可见性的判断，面可见，点则可见，反之不可见。
三、棱锥
1．棱锥的投影
正三棱锥的投影
1）分析三棱锥各平面的投影；
2）作三棱锥的三面投影。
2．棱锥表面上的点棱锥表面上点的投影可在平面上作辅助线进行求解，如下图。
棱锥表面上取点
§3—2 曲面立体的投影一、圆柱
1．圆柱面的形成有一母线绕与它平行的轴线旋转而成。
2．圆柱体的投影对圆柱体的各个投影进行分析。
3．圆柱表面上的点在圆柱表面上有两点M和N，已知M的正面投影m’，N点的侧面投影（n”），求作M和N的另外两个投影。如图所示。
圆柱表面上取点圆柱表面上点的投影，在投影面为圆的投影中，其表面上点的投影都在该圆上。注意：Y值要相等。
二、圆锥
1．圆锥面的形成有一母线绕和它相交的轴线旋转而成。
2．圆锥的投影对圆锥的投影进行分析，如图
圆锥的投影
3．圆锥表面上的点圆锥的三个投影都没有积聚性，因而圆锥表面上点的投影，就不能直接求得，要采用辅助素线和辅助圆法。
（1）辅助素线法，如图（b）。
圆锥表面上取点
（2）辅助轧圆法：如上图（c）。注意在画圆时，半径是从中心线到轮廓素线，而不是从中心线到点。
三、圆球
1．圆球的形成球面可看成是以一圆为母线，以其直径为轴线旋转而成。
2．圆球的投影圆球的投影是与圆球直径相同的三个圆，这三个圆分别是三个不同方向球的轮廓的素线圆投影，不能认为是球面上同一圆的三个投影。对投影图进行分析。
圆球的投影
3．圆球表面上点的投影圆球表面上点的投影，要作辅助圆，圆的半径是从中心线到轮廓线，作图时要注意。
圆球表面上取点四、圆环
1．圆环的形成圆环可看成是以圆为母线，绕与它在同一平面上的轴线旋转而形成的。
2．圆环的投影
（1）对圆环的投影进行分析；
（2）如何画圆环的投影图。
3．圆环表面上的点
圆环表面上取点利用辅助圆求点的投影。
§3—3 平面与立体相交一、平面与平面立体相交平面与平面立体相交，所得的交线是由直线组成的封闭大多边形，该多边形的边就是平面立体表面与截平面的交线，其顶点是棱线与截平面的交点。
如图，是一三棱锥被一正垂面截切，求截交线。
三棱锥的截交线求平面立体的截交线，关键是找到平面与立体棱线的共有点（平面与立体的交点），然后将各点连接即为所求。
二、平面与曲面立体表面相交
1．平面与圆柱表面相交平面与圆柱表面相交，有三种情况，见P78表3—1
例题 求圆柱被一正垂面截切后的截交线。如图。
圆柱被斜截后的截交线
1）分析
2）作图：利用表面取点的方法，作出一系列的点，再将这些点的同面投影连接起来就所求的截交线。
2．平面与圆锥相交平面与圆锥相交的截交线，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，有五种情况，见P79表3—2所示。
例题：求作正平面截切圆锥的截交线。
圆锥的截交线
1）分析：正平面截切，截交线是双曲线。
2）作图：a）求最高点A；
b）最低点D、E；
c）利用素线法求一般点；
d )在正面投影上光滑连接各点。
平面与圆球相交平面与圆球相交，无论平面与圆球的相对位置如何，截交线均为圆。
例题 求作用正垂面P截切圆球的截交线，如图所示。
正垂面截切圆球的截交线分析：圆球被正垂面截切，截交线的正面投影积聚为一直线，水平投影和侧面投影均为椭圆。
作图：1）求最高点A和最低点B；
2）在A、B中间作一水平面Q她与球交于C、D两点；
3）在截交线圆与球面上下分界圆处，定出G、H；
4）利用辅助圆法求一般点；
5）依此光滑连接各点的同面钭影。
三、综合举例例题：求顶尖的截交线，如图。
顶尖截交线分析：顶尖头部是由同轴的圆柱和圆锥组成，被一水平面和一侧平面截切，所求截交线正面和侧面都有积聚性，主要是求水平投影。
作图：1）截交线的正面投影积聚为直线，侧面投影，侧平面反映实形，水平面是直线；
2）由截交线的侧面投影和正面投影画水平投影；
3）将所求各点光滑连接。
§3—4 曲面体与曲面体相交两曲面立体相交，其交线是两曲面立体的共有线，该线也叫相贯线，相贯线上的点是两曲面立体的共有点。
一、表面取点法两个回转体相交，如果其中一个回转体的轴线是垂直投影面的圆柱，则圆柱在该投影面上的投影积聚为一圆，而相贯线的投影也就重合在该圆上。利用表面上取点的方法求相贯的其它投影。
例题：已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线，如图。
两圆柱正交分析：两圆柱轴线垂直相交，一轴线垂直于H面，一轴线垂直于W面，相贯线的水平投影就是有积聚性的圆，侧面投影，是一段两圆柱重合的圆弧，因此只求正面的投影。
作图：1）求特殊点，最高点和最低点；
2）求一般点，定出水平投影面的点，再找出侧面投影上对应的点，根据正面和侧面的点找出正面投影的点；
3）将各点光滑地连接起来。
例题：求作轴线不相交，直径不相等的两圆柱的相贯线，如图。
轴线不相交的两圆柱相贯线分析：同前一题相同，水平面和侧面都有积聚性，圆和圆弧就是相贯线，只求正面投影。
作图：1）求特殊点，最高最低和最前最后四个点；以及最左最右的两个点；
2）求一般点；
3）判别可见性并光滑连接各点。
二、辅助平面法利用辅助平面同时截切相贯的两曲面立体，可找出两曲面立体的截交线的交点，该点即为相贯线上的点，这些点既是回转体表面上的点，又是辅助平面上的点，因此，辅助平面法就是利用三面共点原理。
利用辅助平面法求相贯时，选辅助平面的原则是使辅助平面与曲面立体的截交线的投影为最简单，如直线或圆。
例题：求轴线相互垂直的圆锥和圆柱的相贯线，如图。
圆锥与圆柱的相贯线分析：轴线垂直相交，具有前后对称平面，因此，相贯线是一前后对称的闭合空间曲线，并且前后两部分的正面投影重合，相贯线的侧面投影重合在圆柱具有积聚性的投影圆上，要求的是相贯线的水平投影和正面投影。
作图：1）求特殊点，最高点和最低点A、C和最前点和最后点B、D；
2）求一般点作辅助平面Q1V、Q2V、Q3V、，可求出一般点E、F、G、H；
3）判别可见性，并光滑连接各点。
例题：求作圆台与半圆球的相贯线，如图。
圆台与半圆球的相贯线分析：圆台的轴线不通过圆球的球心，圆台和球有公共的前后对称面，因此，相贯线是前后对称的闭合空间曲线，正面投影重合，水平投影和侧面投影都是对称的曲线。三个投影都没有积聚性，因此，相贯线的三个投影都必须画出。
作图：1）求特殊点，正面投影中，圆台与半圆球两曲面体轮廓线的交点即为相贯线的最高点和最低点；
2）求一般点作辅助水平面QV，与圆台表面和圆球表面的交线都为水平圆，求出水平投影的点，再求正面投影，最后求侧面投影，作一系列的辅助平面可求一系列的点；
3）分别依此光滑连接同面投影的各个点，即为所求相贯线。
三、辅助球面法辅助球面发的条件：两回转体的轴线相交，且平行于某个投影面。
四、相贯线的特殊情况
（1）当回转体与球体相交且球心在回转体轴线上时，相贯线为垂直于轴线的圆。如下图。
回转体与球相贯
（2）当回转体轴线相交，并公切于一个圆球时，相贯线为两条平面曲线——椭圆，如图。
相贯线为平面曲线
（3）当轴线平行的两圆柱体相交时，相贯线为两条直线。如下左图。
（4）当两圆锥共顶相交时，相贯线为直线，如下右图。
相贯线为平行二直线 相贯线为相交二直线五、影响相贯线形状的各因素及相贯线的近似画法
1．影响相贯线形状的各种因素相贯线的形状与回转体表面形状、两回转体的相对位置以及回转体的尺寸大小等因素有关。见P93表3—3和3—4。
2．相贯线的近似画法如图，两圆柱的直径相差较大时，相贯线可以用圆弧代替非圆曲线。
用圆弧代替相贯线六、组合相贯线由两个或两个以上立体相交，其表面将产生几段相贯线，这就是组合相贯线。
绘制组合相贯线时，必须进行形体分析和相贯线分析，搞清楚由哪些形体组成？哪些表面有相交关系？哪些地方应该有交线存在以及是什么类型的交线？做到心中无数，这样才能主动地进行作图。
本章小结：
1．本章开始是无投影轴投影，三面投影中，正面和水平面投影要对正，正面和侧面投影要平齐，水平和侧面投影Y值相等。
2．平面与立体相交，其截交线是截平面与立体表面的共有点的连线。求截交线，就是求立体表面与截平面的公共点。
3．两回转体相交，其交线——相贯线一般是空间曲线，它是相交两回转体的共有线，求相贯线的方法有：表面取点法、辅助平面法和辅助球面法。我们主要掌握利用表面取点法和辅助平面法求解常见的两回转体相交时的相贯线。
4．在有些特殊情况下，两回转体相交的相贯线是平面曲线或直线，在绘图时可以直接画出。
作业：
《机械制图习题集》P13—17
