第二章 点、直线和平面的投影一、本章重点：
点的坐标与投影，重影点；
直线在三面投影体系中的投影特性；
平面的投影特性，平面上的直线和点。
二、本章难点：
求线段的实长及其对投影面的倾角；
两直线的相对位置；
直线上的点和平面上的线。
三、本章要求：
同本章的过学习，要掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影，一般位置直线求实长和对投影面的倾角，两直线的相对位置以及直线与平面的相对位置。
四、本章内容,
§2—1投影法的基本知识一、投影法的概念有太阳光和灯光照射时，物体就会在地面或墙上有影子，如下图。
这种用投影线通过物体，在给定投影平面上作出物体投影的
投影概念方法称为投影法。
二、投影法的种类
1．中心投影法投影线从一点发出，如上图。该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。
2．平行投影法投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。如下图。
平行投影法的正投影 平行投影法的斜投影
平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。
平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。
§2—2 点的投影一、多面投影的形成点在一个投影面中的投影不能够反映点在空间的位置，如右图，A、A0的投影都是a,这样一来就不能唯一确定A点的空间位置。因此，利用相互垂直的的两个或三个投影面 体系，作出多面正投影。 点的投影二、点在两个投影面体系中的投影如图
点在两面体系中的投影投影特性：
（1）点的正面投影和水平投影连线垂直OX轴，即a’a⊥OX;
（2）点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离，反映该点到V面的距离，即a’ax=Aa,aax=Aa’。
三、点在三个投影面体系中的投影点在两面投影体系已能确定该点的空间位置，但为了更清楚地表达某些形体，有时需要在两投影面体系基础上，再增加一个与H面及V面垂直的侧立的投影面W面，形成三面投影体系。如下图。
点在三面体系中的投影
投影特性：（1）a’a⊥OX,a’a”⊥OZ,aayH⊥OYH,a”ayW⊥OYW
（2）a’ax=Aa,aax=Aa’。 a’aZ=Aa”
四、点的投影与坐标根据点的三面投影可以确定点在空间位置，点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。
点的正面投影由点的X、Z坐标决定，点的水平投影由点的X、Y坐标决定，点的侧面投影由点的Y、Z坐标决定。
例题1 已知点A（20，15，10）、B（30，10，0）、C（15，0，0）求作各点的三面投影。
分析：由于ZB=0，所以B点在H面上，YC=0，ZC=0，则点C在X轴上。
在OX轴上量取oax=20;
过ax作aa’⊥OX轴，并使aax=15,a’aZ=10;
过a’作aa”⊥OZ轴，并使a”aZ= aax,a,a’,a”即为所求A点的三面投影。
根据点的坐标求点的投影作B点的投影：
在OX轴上量取obX=30;
过bX作bb’⊥OX轴，并使b’bX=0,bbX=10,由于ZB=0，b’,bX 重合。即b’在X轴上；
因为ZB=0，b’在OYW轴上，在该轴上量取Obyw=10,得b”，则b、b’,b”即为所求B点的三面投影。
作C点的投影：
在OX轴上量取OCX=15;
由于Yc=0，Zc=0,c、c’都在OX轴上，与c重合，c”与原点O重合。
五、两点的相对位置空间点的相对位置，可以利用两点在同面投影的坐标来判断，其中左右由X坐标差判别，上下由Z坐标差判别，前后由Y坐标差判别。如图。
两点间的相对位置
Za>ZbA点在B点上方，Ya>YbA点在B点的前方，Xa>XbA点在B点的左方。A点在B点的左前上方。
六、重影点
重影点当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投影线上时，两点在该投影面上的投影重
合，称为重影点。如上图。
§2—3 直线的投影一、直线的投影直线可以由线上的两点确定，所以直线的投影就是点的投影，然后将点的同面投影连接，即为直线的投影，如图。
直线的三面投影二、各种位置直线的投影投影面平行线直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。
正平线——平行于V面倾斜于H、W面；
水平线——平行于H面倾斜于V、W面；
侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。
投影面平行线特性：
平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。P36表2—1。
投影面垂直线直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。
正垂线——垂直于V面平行于H、W面；
铅垂线——垂直于H面平行于V、W面；
侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。
投影面垂直线特性：
垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。表2—2
3．一般位置直线直线与三个投影面都处于倾斜位置，称为一般位置直线。
一般位置直线一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹角也不反映空间直线对投影面的夹角。
三、一般位置直线的实长及其与投影面夹角一般位置直线的投影即不反映实长又不反映对投影面的真实倾斜角度。要求得实长和夹角，我们利用直角三角形法求得。如图所示。
求一般位置直线的实长及对投影面的夹角四、直线上点的投影如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例。
直线上的点五、两直线的相对位置
1．两直线平行
两直线平行两直线空间平行，投影面上的投影也相互平行。
2．两直线相交
两直线相交空间两直线相交，交点K是两直线的共有点，K点的投影，符合点的投影规律。
3．两直线交叉
两直线交叉空间两直线不平行又不相交时称为交叉。交叉两直线的同面投影可能相交，但它们各个投影的交点不符合点的投影规律。
六、两直线垂直相交空间两直线垂直相交，其中有一直线平行于某投影面时，则两直线在所平行的投影面上的投影反映直角。
垂直相交两直线的投影证明：因为AB⊥BC，AB⊥Bb，所以AB必垂直于BC和Bb决定的平面Q及Q面上过垂足B的任何一直线（BC1、BC2……）因AB∥ab故ab也必垂直于Q面过垂足b的任一直线，即ab⊥bc。
例题：如图，已知点C及直线AB的两面投影，试过C点作直线AB的垂线CD，D为垂足，并求CD的实长。
求点到直线的垂足及距离分析：因为ab∥OX，所以AB是正平线，又因CD与AB垂直相交，D为交点，则a’b’⊥ c’d’,由d’可在ab上求得d。利用直价三角形法可求得CD的实长。
作法：1）c’作c’d’⊥a’b’得交点d’；
2）由d’引投影连线与ab交得d;
3）连c和d，则c’d’、cd即为垂线CD的两面投影；
4）用直角三角形法求得C与直线AB之间的真实距离CD。
§2—4 平面的投影一、平面的表示法用几何元素表示平面
用几何元素表示平面用迹线表示平面
用迹线表示平面二、各种位置平面的投影
1．投影面平行面平面在三投影面体系中，平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面。
正平面——平行于V面而垂直于H、W面；
水平面——平行于H面而垂直于V、W面；
侧平面——平行于W面而垂直于H、V面。
投影面平行面特性：
平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其余的投影都是平行于投影轴的直线；
2．投影面垂直面在三投影面体系中，垂直于一个投影面，而对另外两投影面倾斜的平面。
正垂面——垂直V面而倾斜于H、W面；
铅垂面——垂直H面而倾斜于V、W面；
侧垂面——垂直W面而倾斜于V、H面。
投影面垂直面特性：
平面在所垂直的投影上的投影积聚成一直线，该直线于投影轴的夹角，就是该平面对另外两个投影面的真实倾角，而另外两个投影面上的投影是该平面的类似形。
3．一般位置平面平面对三个投影面都倾斜。
平面对三个投影面的相对位置分析可得出平面的投影特性：
（1）平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线——积聚性；
（2）平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形——实形性；
（3）平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影为类似图形——类似性。
三、平面上的直线和点
1．平面上的直线
（1）直线通过平面上的已知两点，则该直线在该平面上。
（2）直线通过平面上的一已知点，且又平行于平面上的一已知直线，则该直线在该平面上。
2．平面上的点点在平面上的几何条件是：如果点在平面上的一已知直线上，则该点必在平面上，因此在平面上找点时，必须先要在平面上取含该点的辅助直线，然后在所作辅助直线上求点。
3．平面上的投影面的平行线平面上的投影面平行线的投影，既有投影面平行线具有的特性，又要满足直线在平面上的几何条件。
例题：已知三角形ABC的两面投影，在三角形ABC平面上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前13mm，试求K点的两面投影。（如下图）
平面上取点
分析：由已知条件可知K点在A点之下15mm，之前13mm，我们可以利用平面上的投影面平行线作辅助线求得。K点在A点之下15mm，可利用平面上的水平线，K点在A点之前13mm，可利用平面上的正平线，K点必在两直线的交点上。
作法：1）从a’向下量取15mm，作一平行于OX轴的直线，与a’b’交于m’，与a’c’交于n’;
2）求水平线MN的水平投影m、n；
3）从a向前量取13mm，作一平行于OX轴的直线，与?ab交于g，与ac交于h，则mn 与gh 的交点即为k；
4）由g、h求g’、h’，则g’h’与m’n’交于k’，k’即为所求。
4．平面上的最大斜度线属于定平面且垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。平面上垂直于水平线的直线，称为平面上对H面的最大斜度线；垂直于正平线的直线，称为平面上对V面的最大斜度线；垂直于侧平线的直线，称为平面上对W面的最大斜度线。
本章小结：
1．点是组合成几何平面的基本元素，对点的投影要熟练掌握，由点的两个投影可作出第三投影，由点的坐标可作出点的投影，由点对投影面的相对位置，可作出点的投影，重影点的判断。
2．直线对投影面的各种相对位置的投影特性，直线上点的投影，两直线平行、相交、交叉以及两直线垂直相交的投影。
3．平面对于投影面的各种相对位置的投影特性，平面上的点和直线，平面上的投影面平行线，平面上的最大斜度线。
作业：
《机械制图习题集》P5——9
点的坐标与投影，重影点；
直线在三面投影体系中的投影特性；
平面的投影特性，平面上的直线和点。
二、本章难点：
求线段的实长及其对投影面的倾角；
两直线的相对位置；
直线上的点和平面上的线。
三、本章要求：
同本章的过学习，要掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影，一般位置直线求实长和对投影面的倾角，两直线的相对位置以及直线与平面的相对位置。
四、本章内容,
§2—1投影法的基本知识一、投影法的概念有太阳光和灯光照射时，物体就会在地面或墙上有影子，如下图。
这种用投影线通过物体，在给定投影平面上作出物体投影的
投影概念方法称为投影法。
二、投影法的种类
1．中心投影法投影线从一点发出，如上图。该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。
2．平行投影法投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。如下图。
平行投影法的正投影 平行投影法的斜投影
平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。
平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。
§2—2 点的投影一、多面投影的形成点在一个投影面中的投影不能够反映点在空间的位置，如右图，A、A0的投影都是a,这样一来就不能唯一确定A点的空间位置。因此，利用相互垂直的的两个或三个投影面 体系，作出多面正投影。 点的投影二、点在两个投影面体系中的投影如图
点在两面体系中的投影投影特性：
（1）点的正面投影和水平投影连线垂直OX轴，即a’a⊥OX;
（2）点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离，反映该点到V面的距离，即a’ax=Aa,aax=Aa’。
三、点在三个投影面体系中的投影点在两面投影体系已能确定该点的空间位置，但为了更清楚地表达某些形体，有时需要在两投影面体系基础上，再增加一个与H面及V面垂直的侧立的投影面W面，形成三面投影体系。如下图。
点在三面体系中的投影
投影特性：（1）a’a⊥OX,a’a”⊥OZ,aayH⊥OYH,a”ayW⊥OYW
（2）a’ax=Aa,aax=Aa’。 a’aZ=Aa”
四、点的投影与坐标根据点的三面投影可以确定点在空间位置，点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。
点的正面投影由点的X、Z坐标决定，点的水平投影由点的X、Y坐标决定，点的侧面投影由点的Y、Z坐标决定。
例题1 已知点A（20，15，10）、B（30，10，0）、C（15，0，0）求作各点的三面投影。
分析：由于ZB=0，所以B点在H面上，YC=0，ZC=0，则点C在X轴上。
在OX轴上量取oax=20;
过ax作aa’⊥OX轴，并使aax=15,a’aZ=10;
过a’作aa”⊥OZ轴，并使a”aZ= aax,a,a’,a”即为所求A点的三面投影。
根据点的坐标求点的投影作B点的投影：
在OX轴上量取obX=30;
过bX作bb’⊥OX轴，并使b’bX=0,bbX=10,由于ZB=0，b’,bX 重合。即b’在X轴上；
因为ZB=0，b’在OYW轴上，在该轴上量取Obyw=10,得b”，则b、b’,b”即为所求B点的三面投影。
作C点的投影：
在OX轴上量取OCX=15;
由于Yc=0，Zc=0,c、c’都在OX轴上，与c重合，c”与原点O重合。
五、两点的相对位置空间点的相对位置，可以利用两点在同面投影的坐标来判断，其中左右由X坐标差判别，上下由Z坐标差判别，前后由Y坐标差判别。如图。
两点间的相对位置
Za>ZbA点在B点上方，Ya>YbA点在B点的前方，Xa>XbA点在B点的左方。A点在B点的左前上方。
六、重影点
重影点当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投影线上时，两点在该投影面上的投影重
合，称为重影点。如上图。
§2—3 直线的投影一、直线的投影直线可以由线上的两点确定，所以直线的投影就是点的投影，然后将点的同面投影连接，即为直线的投影，如图。
直线的三面投影二、各种位置直线的投影投影面平行线直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。
正平线——平行于V面倾斜于H、W面；
水平线——平行于H面倾斜于V、W面；
侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。
投影面平行线特性：
平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。P36表2—1。
投影面垂直线直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。
正垂线——垂直于V面平行于H、W面；
铅垂线——垂直于H面平行于V、W面；
侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。
投影面垂直线特性：
垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。表2—2
3．一般位置直线直线与三个投影面都处于倾斜位置，称为一般位置直线。
一般位置直线一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长，而且于投影轴的夹角也不反映空间直线对投影面的夹角。
三、一般位置直线的实长及其与投影面夹角一般位置直线的投影即不反映实长又不反映对投影面的真实倾斜角度。要求得实长和夹角，我们利用直角三角形法求得。如图所示。
求一般位置直线的实长及对投影面的夹角四、直线上点的投影如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例。
直线上的点五、两直线的相对位置
1．两直线平行
两直线平行两直线空间平行，投影面上的投影也相互平行。
2．两直线相交
两直线相交空间两直线相交，交点K是两直线的共有点，K点的投影，符合点的投影规律。
3．两直线交叉
两直线交叉空间两直线不平行又不相交时称为交叉。交叉两直线的同面投影可能相交，但它们各个投影的交点不符合点的投影规律。
六、两直线垂直相交空间两直线垂直相交，其中有一直线平行于某投影面时，则两直线在所平行的投影面上的投影反映直角。
垂直相交两直线的投影证明：因为AB⊥BC，AB⊥Bb，所以AB必垂直于BC和Bb决定的平面Q及Q面上过垂足B的任何一直线（BC1、BC2……）因AB∥ab故ab也必垂直于Q面过垂足b的任一直线，即ab⊥bc。
例题：如图，已知点C及直线AB的两面投影，试过C点作直线AB的垂线CD，D为垂足，并求CD的实长。
求点到直线的垂足及距离分析：因为ab∥OX，所以AB是正平线，又因CD与AB垂直相交，D为交点，则a’b’⊥ c’d’,由d’可在ab上求得d。利用直价三角形法可求得CD的实长。
作法：1）c’作c’d’⊥a’b’得交点d’；
2）由d’引投影连线与ab交得d;
3）连c和d，则c’d’、cd即为垂线CD的两面投影；
4）用直角三角形法求得C与直线AB之间的真实距离CD。
§2—4 平面的投影一、平面的表示法用几何元素表示平面
用几何元素表示平面用迹线表示平面
用迹线表示平面二、各种位置平面的投影
1．投影面平行面平面在三投影面体系中，平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面。
正平面——平行于V面而垂直于H、W面；
水平面——平行于H面而垂直于V、W面；
侧平面——平行于W面而垂直于H、V面。
投影面平行面特性：
平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其余的投影都是平行于投影轴的直线；
2．投影面垂直面在三投影面体系中，垂直于一个投影面，而对另外两投影面倾斜的平面。
正垂面——垂直V面而倾斜于H、W面；
铅垂面——垂直H面而倾斜于V、W面；
侧垂面——垂直W面而倾斜于V、H面。
投影面垂直面特性：
平面在所垂直的投影上的投影积聚成一直线，该直线于投影轴的夹角，就是该平面对另外两个投影面的真实倾角，而另外两个投影面上的投影是该平面的类似形。
3．一般位置平面平面对三个投影面都倾斜。
平面对三个投影面的相对位置分析可得出平面的投影特性：
（1）平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线——积聚性；
（2）平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形——实形性；
（3）平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影为类似图形——类似性。
三、平面上的直线和点
1．平面上的直线
（1）直线通过平面上的已知两点，则该直线在该平面上。
（2）直线通过平面上的一已知点，且又平行于平面上的一已知直线，则该直线在该平面上。
2．平面上的点点在平面上的几何条件是：如果点在平面上的一已知直线上，则该点必在平面上，因此在平面上找点时，必须先要在平面上取含该点的辅助直线，然后在所作辅助直线上求点。
3．平面上的投影面的平行线平面上的投影面平行线的投影，既有投影面平行线具有的特性，又要满足直线在平面上的几何条件。
例题：已知三角形ABC的两面投影，在三角形ABC平面上取一点K，使K点在A点之下15mm，在A点之前13mm，试求K点的两面投影。（如下图）
平面上取点
分析：由已知条件可知K点在A点之下15mm，之前13mm，我们可以利用平面上的投影面平行线作辅助线求得。K点在A点之下15mm，可利用平面上的水平线，K点在A点之前13mm，可利用平面上的正平线，K点必在两直线的交点上。
作法：1）从a’向下量取15mm，作一平行于OX轴的直线，与a’b’交于m’，与a’c’交于n’;
2）求水平线MN的水平投影m、n；
3）从a向前量取13mm，作一平行于OX轴的直线，与?ab交于g，与ac交于h，则mn 与gh 的交点即为k；
4）由g、h求g’、h’，则g’h’与m’n’交于k’，k’即为所求。
4．平面上的最大斜度线属于定平面且垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。平面上垂直于水平线的直线，称为平面上对H面的最大斜度线；垂直于正平线的直线，称为平面上对V面的最大斜度线；垂直于侧平线的直线，称为平面上对W面的最大斜度线。
本章小结：
1．点是组合成几何平面的基本元素，对点的投影要熟练掌握，由点的两个投影可作出第三投影，由点的坐标可作出点的投影，由点对投影面的相对位置，可作出点的投影，重影点的判断。
2．直线对投影面的各种相对位置的投影特性，直线上点的投影，两直线平行、相交、交叉以及两直线垂直相交的投影。
3．平面对于投影面的各种相对位置的投影特性，平面上的点和直线，平面上的投影面平行线，平面上的最大斜度线。
作业：
《机械制图习题集》P5——9
