第三章习题解答
3.1 一维谐振子处在基态，求：
(1)势能的平均值；
(2)动能的平均值；
(3)动量的几率分布函数。
解：(1)?
(2)
或
(3)
动量几率分布函数为
#
3.2.氢原子处在基态，求：
(1)r的平均值；
(2)势能的平均值；
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
解：(1)
(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
令
当为几率最小位置
∴ 是最可几半径。
(4)
(5)
动量几率分布函数
#
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
证：电子的电流密度为
在球极坐标中为
式中为单位矢量
中的和部分是实数。
∴
可见，
#
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。
(1)求一圆周电流的磁矩。
(2)证明氢原子磁矩为
原子磁矩与角动量之比为
这个比值称为回转磁比率。
解：(1) 一圆周电流的磁矩为
（为圆周电流，为圆周所围面积）
(2)氢原子的磁矩为
在单位制中
原子磁矩与角动量之比为
#
3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
转子绕一固定轴转动：
转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有
哈米顿算符
其本征方程为 (无关，属定态问题)
令 ，则
取其解为 (可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有
即
∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为
A为归一化常数，由归一化条件
∴ 转子的归一化波函数为
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
无关，属定态问题，其本征方程为
(式中设为的本征函数，为其本征值)
令 ，则有
此即为角动量的本征方程，其本征值为
其波函数为球谐函数
∴ 转子的定态能量为
可见，能量是分立的，且是重简并的。
#
3.6 设t=0时，粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：
可见，动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
∴
∴ 动量的平均值为
# ********shangshuyihe*******
3.7 一维运动粒子的状态是
其中，求：
(1)粒子动量的几率分布函数；
(2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由
∴
动量几率分布函数为
(2)
#
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
动量的几率分布函数为
先把归一化，由归一化条件，
∴
∴
∴
3.9.设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
角动量平方有确定值为
角动量Z分量的可能值为
其相应的几率分别为
,
其平均值为
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在的区域，，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
()
由于在的区域内，。只求角动量为零的情况，即，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为，则粒子的能量的本征方程为
令 ，得
其通解为
波函数的有限性条件知,有限，则
A = 0
∴
由波函数的连续性条件，有
∵ ∴
∴
其中B为归一化，由归一化条件得
∴
∴ 归一化的波函数
#
3.11,求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系
解,
3.12.粒子处于状态
式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系
解：①先把归一化，由归一化条件，得
∴ /
∴ 是归一化的
② 动量平均值为
③
（奇被积函数）
#
11/10 补充
1．试以基态氢原子为例证明：的本征函数，而是的本征函数。
可见，
可见，是的本征函数。
2．证明：的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。
解,
∴
的电子，其
∴
当时
为最大值。即在方向发现电子的几率最大。
在其它方向发现电子的几率密度均在～之间。
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为的球壳内被发现的几率最大(为第一玻尔轨道半径 )。
证：①对1s态，
令
易见,当不是最大值。
为最大值，所以处于1s态的电子在处被发现的几率最大。
②对2p态的电子
令
易见,当为最小值。
∴ 为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。
③对于3d态的电子
令
易见,当为几率最小位置。
∴ 为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。
张 P.74 21 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
其中 ，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。
解：设电场强度为，方向沿χ轴负向，则总势能为
，
势能曲线如图所示。则透射系数为
式中为电子能量。，由下式确定
∴
令 ，则有
∴透射系数
27/9 全是补充题：
1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① ； ② ； ③
解：①是线性算符
②不是线性算符
③是线性算符
2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
3、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？
①,② ,③， ④， ⑤
解：①
∴ 不是的本征函数。
②
∴ 不是的本征函数，其对应的本征值为1。
③
∴ 可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。
④
∴ 是的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤
∴ 是的本征函数，其对应的本征值为－1。
4．试求算符的本征函数。
解：的本征方程为
（的本征值）
第二章 薛定格方程
3．如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
解,
方程（分区域）：
Ⅰ： ∴
Ⅲ： ∴
Ⅱ：
令
标准条件：
∴
∵
∴
取 ,即
∴
∴
∴ 粒子的波函数为
粒子的能级为
由归一化条件，得
∴
∴ 粒子的归一化波函数为
4．证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为的球壳处的几率最（为第一玻尔轨道半径）。
证：
令 ，则得
∴为几率最小处。
∴为几率最大处。
令 ，则得
∴ 为最大几率位置。
当 时，
∴为几率最小位置。
令 ，得
同理可知 为几率最小处。
为几率最大处。
5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解：
令 ，得
，
,∴ 为几率最小处。
,∴ 为几率最大处。
6．设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求
①的平均值；
②势能的平均值。
解：①
②
7．粒子在势能为
的场中运动。证明对于能量的状态，其能量由下式决定：
（其中）
证：方程
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
令
则得
Ⅰ：
Ⅱ,
Ⅲ,
其通解为
利用标准条件，由有限性知
∴
由连续性知
①
②
③
④
由①、②，得
⑤
由③、④，得
⑥
而
把⑤、⑥代入，得
整理，得
令
∴
由，得
###
第三章 力学量的算符表示
1、2（略）。
3．设波函数，求
解：
4．说明：如果算符和都是厄米的，那么
(+)也是厄米的
证,
∴ +也是厄米的。
5．问下列算符是否是厄米算符：
① ②
解：①
因为
∴ 不是厄米算符。
②
∴ 是厄米算符。 ##
6 （略）
7．如果算符满足关系式，求证
①
②
证,①
②
8．求
解,
= 0
9,
解,
= 0
3.1 一维谐振子处在基态，求：
(1)势能的平均值；
(2)动能的平均值；
(3)动量的几率分布函数。
解：(1)?
(2)
或
(3)
动量几率分布函数为
#
3.2.氢原子处在基态，求：
(1)r的平均值；
(2)势能的平均值；
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
解：(1)
(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
令
当为几率最小位置
∴ 是最可几半径。
(4)
(5)
动量几率分布函数
#
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
证：电子的电流密度为
在球极坐标中为
式中为单位矢量
中的和部分是实数。
∴
可见，
#
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。
(1)求一圆周电流的磁矩。
(2)证明氢原子磁矩为
原子磁矩与角动量之比为
这个比值称为回转磁比率。
解：(1) 一圆周电流的磁矩为
（为圆周电流，为圆周所围面积）
(2)氢原子的磁矩为
在单位制中
原子磁矩与角动量之比为
#
3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
转子绕一固定轴转动：
转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有
哈米顿算符
其本征方程为 (无关，属定态问题)
令 ，则
取其解为 (可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有
即
∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为
A为归一化常数，由归一化条件
∴ 转子的归一化波函数为
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
无关，属定态问题，其本征方程为
(式中设为的本征函数，为其本征值)
令 ，则有
此即为角动量的本征方程，其本征值为
其波函数为球谐函数
∴ 转子的定态能量为
可见，能量是分立的，且是重简并的。
#
3.6 设t=0时，粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：
可见，动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
∴
∴ 动量的平均值为
# ********shangshuyihe*******
3.7 一维运动粒子的状态是
其中，求：
(1)粒子动量的几率分布函数；
(2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由
∴
动量几率分布函数为
(2)
#
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
动量的几率分布函数为
先把归一化，由归一化条件，
∴
∴
∴
3.9.设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
角动量平方有确定值为
角动量Z分量的可能值为
其相应的几率分别为
,
其平均值为
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在的区域，，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
()
由于在的区域内，。只求角动量为零的情况，即，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为，则粒子的能量的本征方程为
令 ，得
其通解为
波函数的有限性条件知,有限，则
A = 0
∴
由波函数的连续性条件，有
∵ ∴
∴
其中B为归一化，由归一化条件得
∴
∴ 归一化的波函数
#
3.11,求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系
解,
3.12.粒子处于状态
式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系
解：①先把归一化，由归一化条件，得
∴ /
∴ 是归一化的
② 动量平均值为
③
（奇被积函数）
#
11/10 补充
1．试以基态氢原子为例证明：的本征函数，而是的本征函数。
可见，
可见，是的本征函数。
2．证明：的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。
解,
∴
的电子，其
∴
当时
为最大值。即在方向发现电子的几率最大。
在其它方向发现电子的几率密度均在～之间。
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为的球壳内被发现的几率最大(为第一玻尔轨道半径 )。
证：①对1s态，
令
易见,当不是最大值。
为最大值，所以处于1s态的电子在处被发现的几率最大。
②对2p态的电子
令
易见,当为最小值。
∴ 为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。
③对于3d态的电子
令
易见,当为几率最小位置。
∴ 为几率最大位置，即在的球壳内发现球态的电子的几率最大。
张 P.74 21 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
其中 ，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。
解：设电场强度为，方向沿χ轴负向，则总势能为
，
势能曲线如图所示。则透射系数为
式中为电子能量。，由下式确定
∴
令 ，则有
∴透射系数
27/9 全是补充题：
1．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① ； ② ； ③
解：①是线性算符
②不是线性算符
③是线性算符
2．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
3、下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？
①,② ,③， ④， ⑤
解：①
∴ 不是的本征函数。
②
∴ 不是的本征函数，其对应的本征值为1。
③
∴ 可见，是的本征函数，其对应的本征值为－1。
④
∴ 是的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤
∴ 是的本征函数，其对应的本征值为－1。
4．试求算符的本征函数。
解：的本征方程为
（的本征值）
第二章 薛定格方程
3．如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
解,
方程（分区域）：
Ⅰ： ∴
Ⅲ： ∴
Ⅱ：
令
标准条件：
∴
∵
∴
取 ,即
∴
∴
∴ 粒子的波函数为
粒子的能级为
由归一化条件，得
∴
∴ 粒子的归一化波函数为
4．证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为的球壳处的几率最（为第一玻尔轨道半径）。
证：
令 ，则得
∴为几率最小处。
∴为几率最大处。
令 ，则得
∴ 为最大几率位置。
当 时，
∴为几率最小位置。
令 ，得
同理可知 为几率最小处。
为几率最大处。
5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。
解：
令 ，得
，
,∴ 为几率最小处。
,∴ 为几率最大处。
6．设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求
①的平均值；
②势能的平均值。
解：①
②
7．粒子在势能为
的场中运动。证明对于能量的状态，其能量由下式决定：
（其中）
证：方程
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
令
则得
Ⅰ：
Ⅱ,
Ⅲ,
其通解为
利用标准条件，由有限性知
∴
由连续性知
①
②
③
④
由①、②，得
⑤
由③、④，得
⑥
而
把⑤、⑥代入，得
整理，得
令
∴
由，得
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第三章 力学量的算符表示
1、2（略）。
3．设波函数，求
解：
4．说明：如果算符和都是厄米的，那么
(+)也是厄米的
证,
∴ +也是厄米的。
5．问下列算符是否是厄米算符：
① ②
解：①
因为
∴ 不是厄米算符。
②
∴ 是厄米算符。 ##
6 （略）
7．如果算符满足关系式，求证
①
②
证,①
②
8．求
解,
= 0
9,
解,
= 0
