第二章习题解答
p.52
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
可见无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：
在球坐标中
同向。表示向外传播的球面波。
可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∴波函数不能按方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：无关，是定态问题。其定态S—方程
在各区域的具体形式为
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
令，得
其解为 ④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
⑤
⑥
⑤
⑥
∴
由归一化条件
得
由
可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为
#
2.4,证明（2.6-14）式中的归一化常数是
证： （2.6-14）
由归一化，得
∴归一化常数 #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：
令，得
由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。
可见是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的代换，得
②
利用，得
③
比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演 而得其对方，由①经反演，可得③，
④
由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
⑤
④乘 ⑤，得
可见，
当时，，具有偶宇称，
当时，，具有奇宇称，
当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
#
2.7 一粒子在一维势阱中
运动，求束缚态()的能级所满足的方程。
解：粒子所满足的S-方程为
按势能的形式分区域的具体形式为
Ⅰ： ①
Ⅱ： ②
Ⅲ： ③
整理后，得
Ⅰ, ④
Ⅱ：, ⑤
Ⅲ： ⑥
令
则
Ⅰ, ⑦
Ⅱ：, ⑧
Ⅲ： ⑨
各方程的解为
由波函数的有限性，有
因此
由波函数的连续性，有
整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
∵
∴
即 为所求束缚态能级所满足的方程。#
方法二：接（13）式
#
另一解法：
(11)-(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)-(10)
令 则
合并：
利用
#
2-7一粒子在一维势阱
中运动，求束缚态的能级所满足的方程。
解：（最简方法-平移坐标轴法）
Ⅰ： （χ≤0）
Ⅱ： （0＜χ＜2）
Ⅲ： （χ≥2）
束缚态＜＜
因此
由波函数的连续性，有
(7)代入(6)
利用(4)、(5)，得
#
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。
定态S-方程为
对各区域的具体形式为
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
Ⅳ：
对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故
而, ①
②
③
对于束缚态来说，有
∴ ④
⑤
⑥
各方程的解分别为
由波函数的有限性，得
∴
由波函数及其一阶导数的连续，得
∴
⑦
⑧
⑨
⑩
由⑦、⑧，得 (11)
由 ⑨、⑩得
(12)
令，则①式变为
联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须
把代入即得
此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
此即为所求方程。 #
补充1：设 ，求A =？
解：由归一化条件，有
利用
∴ #
补充2：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。
解：基态能量为
设基态的经典界限的位置为，则有
∴
在界限外发现振子的几率为
式中为正态分布函数
当。查表得
∴
∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #
补充3：试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为
①
把代入上式，有
把代入①式左边，得
当时，左边 = 右边。 n = 3
，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。
周世勋 第二章 小结
1．波函数的统计解释
微观体系的状态由波函数所完全描写。归一化的波函数模的平方，给出了时刻在点附近找到粒子的几率密度。
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。
2．态叠加原理
如果是微观粒子的可能状态，那么它们的线性叠加也是微观粒子的可能状态。
3．薛定谔方程
微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程
当无关时，这时粒子的状态变化遵从定态薛定谔方程，这时的波函数称为定态波函数，它具有如下的形式：
其中波函数的空间部分满足下面的定态薛定谔方程。
上面这个方程即是能量的本征值方程。
4．几率流密度和几率守恒定律
几率流密度与几率密度满足下列连续性
5．定态薛定谔方程的应用实例
①一维无限深势阱
能量本征值
能量本征函数
②一维线性谐振子
能量本征值
能量本征函数
③势垒贯穿
方形势垒
能量本征值 任意正值
当能量很小，势垒宽度不太小，即满足时，贯穿系数为
对于任意势垒，贯穿系数为
p.52
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
可见无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：
在球坐标中
同向。表示向外传播的球面波。
可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∴波函数不能按方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：无关，是定态问题。其定态S—方程
在各区域的具体形式为
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
令，得
其解为 ④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
⑤
⑥
⑤
⑥
∴
由归一化条件
得
由
可见E是量子化的。
对应于的归一化的定态波函数为
#
2.4,证明（2.6-14）式中的归一化常数是
证： （2.6-14）
由归一化，得
∴归一化常数 #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：
令，得
由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。
可见是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
①
将式中的代换，得
②
利用，得
③
比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演 而得其对方，由①经反演，可得③，
④
由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
⑤
④乘 ⑤，得
可见，
当时，，具有偶宇称，
当时，，具有奇宇称，
当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
#
2.7 一粒子在一维势阱中
运动，求束缚态()的能级所满足的方程。
解：粒子所满足的S-方程为
按势能的形式分区域的具体形式为
Ⅰ： ①
Ⅱ： ②
Ⅲ： ③
整理后，得
Ⅰ, ④
Ⅱ：, ⑤
Ⅲ： ⑥
令
则
Ⅰ, ⑦
Ⅱ：, ⑧
Ⅲ： ⑨
各方程的解为
由波函数的有限性，有
因此
由波函数的连续性，有
整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
∵
∴
即 为所求束缚态能级所满足的方程。#
方法二：接（13）式
#
另一解法：
(11)-(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)-(10)
令 则
合并：
利用
#
2-7一粒子在一维势阱
中运动，求束缚态的能级所满足的方程。
解：（最简方法-平移坐标轴法）
Ⅰ： （χ≤0）
Ⅱ： （0＜χ＜2）
Ⅲ： （χ≥2）
束缚态＜＜
因此
由波函数的连续性，有
(7)代入(6)
利用(4)、(5)，得
#
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。
定态S-方程为
对各区域的具体形式为
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
Ⅳ：
对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故
而, ①
②
③
对于束缚态来说，有
∴ ④
⑤
⑥
各方程的解分别为
由波函数的有限性，得
∴
由波函数及其一阶导数的连续，得
∴
⑦
⑧
⑨
⑩
由⑦、⑧，得 (11)
由 ⑨、⑩得
(12)
令，则①式变为
联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须
把代入即得
此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
此即为所求方程。 #
补充1：设 ，求A =？
解：由归一化条件，有
利用
∴ #
补充2：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。
解：基态能量为
设基态的经典界限的位置为，则有
∴
在界限外发现振子的几率为
式中为正态分布函数
当。查表得
∴
∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #
补充3：试证明是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为
①
把代入上式，有
把代入①式左边，得
当时，左边 = 右边。 n = 3
，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为。
周世勋 第二章 小结
1．波函数的统计解释
微观体系的状态由波函数所完全描写。归一化的波函数模的平方，给出了时刻在点附近找到粒子的几率密度。
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。
2．态叠加原理
如果是微观粒子的可能状态，那么它们的线性叠加也是微观粒子的可能状态。
3．薛定谔方程
微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程
当无关时，这时粒子的状态变化遵从定态薛定谔方程，这时的波函数称为定态波函数，它具有如下的形式：
其中波函数的空间部分满足下面的定态薛定谔方程。
上面这个方程即是能量的本征值方程。
4．几率流密度和几率守恒定律
几率流密度与几率密度满足下列连续性
5．定态薛定谔方程的应用实例
①一维无限深势阱
能量本征值
能量本征函数
②一维线性谐振子
能量本征值
能量本征函数
③势垒贯穿
方形势垒
能量本征值 任意正值
当能量很小，势垒宽度不太小，即满足时，贯穿系数为
对于任意势垒，贯穿系数为
