第八章 数值积分 /* Numerical Integration */
近似计算
ba dxxfI )(
§ 1 Newton-Cotes 公式思路 利用 插值多项式 则积分易算。)()( xfxP n?
在 [a,b]上取 a? x0 < x1 <…< xn? b，做 f 的 n 次插值多项式,即得到
n
k
kkn xlxfxL
0
)()()(
ba ba knk k dxxlxfdxxf )()()( 0 Ak
ba kj xx xxk dxA jk j )( )(
由 决定，
与 无关。
节点
f (x)
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/





b
a
n
k
k
x
n
b
a
n
b
a
n
b
a
n
k
kk
dxxx
n
f
dxxRdxxLxf
xfAdxxf
fR
0
)1(
0
)(
)!1(
)(
)()]()([
)()(
][
误差
§ 1 Newton-Cotes Formulae
定义 若某个求积公式所对应的误差 R[ f ]满足,R[ Pk ]=0 对 任意 k? n 阶 的多项式成立,且 R[ Pn+1 ]? 0 对 某个 n+1 阶多项式成立,则称此求积公式的 代数精度 为 n 。
例,对于 [a,b]上 1次插值，有 )()()(
1 bfafxL ab axba bx
)]()([)( 2221 bfafdxxfAA abbaab
考察其代数精度。 f(x)
a b
f(a)
f(b)梯形公式
/* trapezoidal rule*/
解,逐次检查公式是否精确成立代入 P0 = 1,b
a abdx1
]11[2ab=
代入 P1 = x,=
代入 P2 = x2,?
2
22 abb
a dxx
][2 baab
3
2 33 abb
a dxx
][ 222 baab
代数精度 = 1
§ 1 Newton-Cotes Formulae
注,形如 的求积公式至少有 n 次代数精度?该公式为 插值型 （即,）
n
k
kk xfA
0
)(
ba kk dxxlA )(
当节点 等距分布 时,ni
n
abhhiax
i,...,1,0,,?

dxxx xxA nx
x ij ji
j
i


0 )(
)(

n
ji
inn
ji
dtjtinin abdthhji hjt
00
)()!(! )1)(()( )(
令 htax
Cotes系数 )(n
iC
注,Cotes 系数仅取决于 n 和 i，
可查表得到。与 f (x) 及区间 [a,b]均无关。
§ 1 Newton-Cotes Formulae
2
1,
2
1 )1(
1)1(0 CC
n = 1:
)]()([2)( bfafabdxxfba
Trapezoidal Rule
dxbxaxffR ba x ))((!2 )(][
/* 令 x = a+th,h = b?a,用中值定理 */
1,],[,)(12
1 3 abhbafh
代数精度 = 1
n = 2:
6
1,
3
2,
6
1 )2(
2
)2(
1
)2(
0 CCC
)]()(4)([6)( 2 bffafabdxxf baba
Simpson’s Rule
代数精度 = 3
2,),(,)(90
1][ )4(5 abhbafhfR
n = 3,Simpson’s 3/8-Rule,代数精度 = 3,)(
803][ )5(5?fhfR
n = 4,Cotes Rule,代数精度 = 5,)(
9 4 58][ )6(7?fhfR
Excuses for not
doing homework
I could only get arbitrarily
close to my textbook,
I couldn't actually
reach it,
HW,
p.170
#3
n 为 偶数阶 的 Newton-Cotes
公式至少有 n+1 次代数精度。