§ 5 微分方程组与高阶方程 /* Systems of Differential
Equations and Higher-Order Equations */
一阶微分方程组
IVP的一般形式为：
=?
=?
))(,...),(,()(
.........
))(,...),(,()(
1
111
xyxyxfxy
xyxyxfxy
mmm
m
初值 0002020101 )(,...,)(,)( mm yxyyxyyxy ===
将问题记作 向量形式,令：
=


=


=
0
0
1
0
11
..
.,
..
.,
..
.
mmm y
y
y
f
f
f
y
y
y

=
=?
00 )(
),()(
yxy
yxfxy 前述所有公式皆适用于向量形式。
高阶微分方程
§ 5 Systems of DE’s and Higher-Order Equations
==?=
=
-
-
-
10
)1(
1000
)1()(
)(,...,)(,)(
),...,,,(
n
n
nn
axyaxyaxy
yyyxfy
化作 一阶微分方程组 求解。
引入新变量
)1(21,.,,,,-=?== nn yyyyyy
=?
=?
=?
-
),.,,,,(
.
.
.
1
1
21
nn
nn
yyxfy
yy
yy 初值条件为：
10
102
001
)(
...
)(
)(
-=
=
=
nn axy
axy
axy
§ 6 边值问题的数值解 /* Boundary-Value Problems */
2 阶常微分方程边值问题

==
=
)(,)(
),(),,(
byay
baxyyxfy
打靶法 /* shooting method */
先猜测一个初始斜率
y?(a) = s，通过解初值问题
=?
=
=
say
aay
yyxfy
)(
)(
),,(
y(b) =?(s)
找出 s*使得?(s*) =?，即把问题转化为求方程?(s) -? = 0
的根。
y
x0 a b
y x( )?
斜率 = s0
( )s0
斜率 = s1
( )s1
每计算一个?(s)
都必须解一个 ODE.
有限差分法 /* finite difference method */
§ 6 Boundary -Value Problems
将求解区间 [a,b] 等分为 N 份，取节点 xi = a + ih
(i= 0,…,N )，在每一个节点处将 y? 和 y离散化 。
)(12
)()()()(
)( )4(
2
yhh h
hxyxy
h
xyhxy
xy -
----?
=
泰勒展开
)()()(2)( 22 hOh hxyxyhxy?-?-?=
)(2 )()()( 2hOh hxyhxyxy?--?=?


==
-=-=?- -?-?
N
ii
ii
iii
yy
Ni
h
yyyxf
h
yyy
,
1,...,1)
2
,,(2
0
11
2
11