动画第十八章 振动第四篇第十八章 振动
§ 18— 1 简谐振动的特征与规律
§ 18— 2 阻尼振动与受迫振动（自学）
§ 18— 3 简谐振动的合成一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
力学量（如位移） 机械振动电磁振动最基本,最简单、最重要的振动是简谐振动 。
电磁量（如 I,V,E,B）
1
问：广义地说什么是振动？
振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的一种基本运动形式。
x
o
k
x
运动学特征
m
k
§ 18— 1 简谐振动的特征与规律
1,特征
p
NF动力学特征
合F
xxmka 2
由 kxmaF
合微分方程特征
0x
dt
xd 2
2
2

x可代表任意物理量
kx m
2
以弹簧振子为例得出普遍结论：
2,规律速 度
)ts i n (Adtdxv
加速度 )tc o s (A
dt
dva 2
)tc o s (Ax位 移 振动方程
2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.5
0.5
1
v
t?
x a
解 可得0xdt xd 222
3
势 能
)t(c o skA
2
1
kx
2
1W
22
2
p

)t(s inmA
2
1
mv
2
1W
222
2
k

动 能总 能
22
22
pk
)A(m
2
1
kA
2
1
kx
2
1
mv
2
1
WWW



守恒！
-1 -0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
kW pW
W
2 4 6 8 10 12
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
kWpW
x t
4
3,描述简谐振动的基本量
)tc o s (Ax由
A,?,?,
由系统性质决定（故称固有频率）。
0xdt xd 222
由 定出 。
T
22 。
由初始条件决定。 （重点！）
由初始条件决定。
0t? 位相为? 称初位相。，
圆频率（ 2?秒内振动的次数 )。
)t( 位相（决定振动状态的物理量）。
A
振幅（最大位移的绝对值）。
5
，位移,速度0t?
0x 0v
设
c o sAx 0?
s i nAv 0
得
0
0
2
0
2
0
x
v
tg
)v(xA


简谐振动问题类型：
（ 1）证明为简谐振动，并求周期？
（ 2）写出振动方程？
6
已知,M,m,h,k.例 1.
（ 1）证明物从静止落下与板粘在一起后作简谐振动，并求周期。
（ 2）当物与板相碰时作为记时起点，写出振动方程。
解：（ 1） 首先选一坐标系，
原点放在受力平衡处。
kLMg?
)lL(kg)Mm(
h
m
M
k
L
x o
x
l
FF
pp 任意 处分析受力：x
7
L
h
m
M
k
ox
x
l
FF
pp
kx)xlL(kg)mMF（合为简谐振动由
kxdt xd)mM( 2
2

0xmM kdt xd 2
2

为简谐振动
mM
k

得即
0x
dt
xd 2
2
2

其中
k
mM22T
任意 处分析受力：x
g)mM(P
)xlL(kF
合力 =？
8
h
m
M
k
L o
x
x
l
FF
pp
（ 2） 0t?
kmglx 0
mM
gh2mv
0
（注意正负号！）
k)mM(g h m2)kmg()v(xA 222020
g)mM(kh2tg)xv(tg 1o01
振动方程为
)g)mM( kh2tgtmM kc o s (k)mM( g h m2)kmg(x 1
2
2

代入公式得讨论：若 轴向上为正，写方程有那些变化？x
o
x
x
kx)xlL(kg)mMF （合 9
取第 3象限值取第 1象限值例 2,两轮的轴互相平行，相距 2 d,两轮转速相同而方向相反,将质量为 m 的一匀质薄板搁在两轮上，板与轮的摩檫系数为,若板的质心 C 起初距一轮较近（如图）试证明 板作简谐振动 并求 周期。
m
CO
d2
10
动画
mg
X
Y
O
1N 2
N
1f 2f
c
d2
证明：建立坐标系如图,研究对象：板
mg N1 N2 f1 f2
021 mgNNF y
m?m 2121 NNffF x
板受力：
NN 21
选 点为转轴0 0?0
012 m g xdNdN
0?
x
11
mg
Y
O
1N
2N
1f 2f
c
d2
X
012 m g xdNdN dm g xNN 21
d
gm
gd2
2
m

是简谐振动！
T
m?m 2121 NNffF x
2
2
dt
xdm?
0x
d
g
dt
xd
2
2
m
d
m g xm
12
l例 3,单摆长 （ 1）证明 小角度 摆动为简谐振动，
并求周期。
（ 2）若将摆拉至最大角度 放手为计时起点，写出振动方程。
0?
解：（ 1）摆沿圆弧运动，只需分析任意角位移 处切向力：?
s i nmgF?
切向力大小?mg?
（小角度
!5!3s i n
53
…, )
考虑方向
mgF
（ 线性振动 ）
0?
F
mg
T
o
简谐振动！?
（非线性振动 混沌） 13
mgmaF
又
2
2
dt
dl
dt
dva?
dt
dlv（ ）
gdtdl 22
即 0
l
g
dt
d
2
2

l
g
g
l22T?

02
02
0m )(
Ω角振幅
（ 2）
0t?
初角位移
0? 00?Ω
初角速度，
0tg
0
0Ω


0
？
0?
0?t
l
mg
T
O?F
)tco s (m
振动方程
14
取值范围（ 0— 2 ）或（ - — ）之间。

o
哪一个是 的正确值？
c o s00 1c o s
故应取初位相
0
)tlgc o s (0
振动方程?
15
4,旋转矢量表示法
)c o s ( tAx
注意各量对应关系！
t?
x
x
o
t
0t?
A
A
16
动画利用旋转矢量很容易求出简谐振动的位相和初位相例 4,已知位相求状态如：位相 3t 1,问状态？
3?
x
x
x2Ax?,且向 负向运动。
位相 23t
2
，问状态？
0x?,且向 正向运动。x
例 5,已知状态求位相（特别是初位相）
，,,求？如,0t? 2Ax
00v >0
3或35
如,0t?,
2Ax 0,0v <0,求？
43
如：
2A
2A?
o
o
注意四个特殊状态的 值！?
A
17
例 6,已知简谐振动,当 时位移为 且向 负向运动。
求（ 1）振动方 程。
（ 2） 且向 正向运动时的速度、加速度及从这一位置回到平衡位置的最小时间 。
cm10A? 0t?s2T?
cm5? x
cm5x? x
解（ 1） )tc o s (Ax
T2
)sra d(
t
0t?
2A?由旋转矢量 得 32
)32tco s (1.0x
x
（ 2）先求 由旋转矢量法t
s1Δt
（半个周期）
18
o
2/A
s/m27.0
)32s i n (1.0
)ts i n (Av




2
2
2
s/m49.0
)32c o s (1.0
)tc o s (Aa





由旋转矢量法
6
5
32Δ
'
s6565ΔtΔ
'

（用解析法也可求出！）
19
0t?
2A?
t
x
't
例 7,已知 x t 曲线，写出振动方程，
并求它们的位相差？
x
Δ
解,m2.0A?
)s/1(2T2
2
3
1
或 2
)23t2c o s (2.0x 1
3
5
2

3
或
)35t2c o s (2.0x 2
62
3
3
5Δ
12

m/x
s/ t
o 1 2 3 4 5 6
1.0
2.0 12s4T?
1A
2A
20
m1.0
m/x
s/to 1 2 3 4 5 6
1.0
122.0
x
Δ
1A
2A
62
3
3
5Δ
12

（ 1）位相差反映了两振动达到同一状态有时间差
ΔtΔ? )s
3
1
2
6(
讨论：
（ 2）若不给,如何求出？cm2.0A? A
利用曲线 2正方向端点
33
2
2tΔΔ

m2.0)3c o s ( 1.0A
21
m1.0
阻尼振动 受迫振动 共振 （ ）
外
m大
k小要使 ！
外大理石板充气轮胎?
m
k
如何设计一防振台？
小
22
§ 18— 2 阻尼振动与受迫振动（自学）
还有多级隔振！
多级低通滤波汽车的减振系统轮胎轮轴底座弹簧车身座椅弹簧乘客
23
§ 18— 3 简谐振动的合成
1,两同方向同频率的简谐振动的合成分振动,x1=A1cos(? t+? 1)x2=A2cos(? t+? 2)
合振动,x = x1+ x2
x =A cos(? t+?)
合振动是简谐振动,其频率仍为?，
)co s (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s ins intg


AA
AA

其中由 矢量合成法
x
2A?
A?
1A?2?
1?
X
1x2x
0t?
可得
24
讨论：两种特殊情况
(1)若两分振动同相
2 1=?2k? (k=0,1,2,… )
(2)若两分振动反相
2 1=?(2k+1)? (k=0,1,2,… )
如 A1=A2,则 A=0
2A
A?
1A
2A
A? 1A?
则,合振幅最大。
21 AAA
则,合振幅最小。
21 AAA
)co s (2 12212221 AAAAA
25
例 8,N个同方向同频率的简谐振动的合成
)tc o s (ax1
)tc o s (ax2
)2tc o s (ax 3
])1N(tco s [ax N
a
o
c
A?
x
R
用矢量合成法 多边形法则设它们的振幅都为,初位相依次相差一个,
其表达式为,
a?
26
a
o
c
A?
x
R
作外接圆，先求半经 R及圆心角由等腰三角形可知
2
a)
2c o s (R?

)2s i n (
2aR

圆心角?N
N
，则
2s i n2
Ns i na
2
Ns i nR2A
)1N(?
由三角形外角等于不相邻内角之和，得
2
)1N(
]2 )1N(tc o s [)2s i n( )2Ns i n(ax
27合振动仍为同频率的简谐振动。
2,两同方向不同频率（相差较小）的简谐振动的合成演示：两音叉 HZ8001 HZ7982
合振幅时强时弱的现象称为拍
HZ2Δ 21拍频
20 40 60 80 100 120
-1
-0.5
0.5
1
20 40 60 80 100 120
-1
-0.5
0.5
1
t
t
t
2x
1x
20 40 60 80 100 120
-2
-1
1
2
21 xx?
28
合振动 x = x1+ x2
设分振动 x1=Acos? 1 tx
2=Acos? 2t
用
2co s2co s2co sco s

tcos?)t(A
合振动特点,（ 1）合振动频率
（ 2） 合振幅
2121 2

)t2co s (A2)t(A 21
)t2co s ()t2co s (A2x 2121
在 0--2A之间随 t周期性变化，
时强时弱，不是谐振动。
合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数称 拍频 。
29
拍频
21Δ
21Δ
则拍圆频率为 圆频率的 2倍，即)t(A
拍的利用
（ 1）乐音调准。
混频 中放 中放电台 1?
本机振荡
K H Z4 6 512
中频（拍频）
K H Z465
（ 2）超外差收音机利用电磁振 动的拍现象 。
30
3,两同频率垂直振动的合成
)c o s (
)c o s (
22
11


tAy
tAx
{
xAAy
1
2
直线椭圆方程,形状决定于 及,。12Δ 1A 2A
分振动消去,得合运动轨迹方程：t
x
y
1A1A?
2A
2A?
（ 1,3象限）
（ 2,4象限） 12Δ
0
.1
)(s i n)c o s (AA xy2
A
y
A
x
12
2
12
21
2
2
2
2
1
2

31
1AyAx 2
2
2
21
2
正椭圆2
2
3?
或
2
2.Δ 圆
21 AA?
x
y
1A1A?
2A
2A?
3.Δ 其它值 斜椭圆之间为右旋?Δ
0?在之间为左旋?Δ2在右旋左旋
32
为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆
0 4? 43?
45?
2
57223?

演示！ 33
4.不同频率垂直方向简谐振动的合成称为 李萨如图形 。 如：
两振动的频率成 正数比 时，合成轨迹稳定，
一般轨迹曲线复杂，且不稳定。
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
x
y
y
x
x
y
x
y
T
T
N
N
由切点数之比 可测频率。
34