动画第十九章 机械波第四篇第十九章 机械波
§ 19—1 波动的基本概念
§ 19—2 波动方程（波动表达式或波函数）
§ 19—3 波的能量及传播
§ 19—4 多普勒效应
§ 19—6 波的干涉
§ 19—5 惠更斯原理波动是振动的传播 机械波电磁波
§ 19—1 波动的基本概念
1,机械波产生的条件演示,横波、纵波（观察波动的特点）。
2,波动的特点：
（ 1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。
（ 2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（ 3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。
（ 4）振动状态、波形、能量向前传播。
波源、媒质。
1
动画动画
u
振动与波动区别联系振动研究一个质点的运动。
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。
波动是振动的传播。
3,描述波动的基本量波长?
周期 T
波速 u
uT
波源定媒质定
2
气、液、固体中纵、横波波速公式固体中纵波波速横波波速气、液中纵波波速绳中横波波速
Yu?
杨氏模量质量密度
Gu?
切变模量
Bu?
容变 模量
Tu?
张力质量线密度
F?
F
3
水面波是什么波? 纵波与横波的合成
4
4,波阵面与波线波阵面 振动状态相同的点连成的面。
波线 波传播的方向线。
球面波 平面波研究波动抓住一条波线研究即可。
最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！ 5
§ 19—2 波动方程（波动表达式或波函数）
以平面简谐波为例。
1,波动方程的建立
o px x
u
y
反映任意点任意时刻振动位移的方程为波动方程。
设原点 振动方程为o
tco sAy o
)uxt(co sAy 波动方程点振动经过传播时间任意 点重复 点振动，
传至 点，
o op
p
u
xt?Δ
x等于 点 时刻的振动状态，故 点 时刻振动位移为
o p t?t u
p t即 点 时刻的振动状态
6
2,波动方程的意义是,的函数，分三种情况讨论：y x t
1xx?（ 1） 一定时，x
)uxt(co sAy 1
处质点 振动方程1x
u
x 1 为此点初位相
（ 2） 一定时，
1tt?t
)uxt(co sAy 1
时刻 波形方程
1t
y
t
振动曲线
7
)uxt(co sAy o px x
u
y
1x
x
y
波形曲线
]
u
)tux(
)tt[(c o sA
)
u
x
t(c o sAy
Δ
Δ
表明：在 时刻 处质点振动状态与时刻
tt Δ? tux Δ?
处质点振动状态相同，即振动状态在 时间传播了 距离，即波形以 速度传播。
t x
tΔ tuΔ u
（ 3）当,都变，方程表示不同时刻的波形，
即 波形的传播 。
x t
x
y t tt Δ? u
x
u tΔ
8
2Tt?Δ
4Tt?Δ
22TutuΔ
44TutuΔ
Tt?Δ若 uTtu Δ
则
总之：各点位移变化,才使波形变化！
x
y ut
4
Tt?
9
4
3,讨论：
（ 1）波动方程的几种标准形式
2T2
uuT
)tkxc o s (A
)kxtc o s (A
)
x
T
t
(2c o sA)
u
x
t(c o sAy
2k? 称波数也可写成复数形式 )kxt(iAey （取实部）
例 1,已知 )x5t1 0 0c o s (05.0y(SI 制 )
求,,,？A T u?
解：比较得 m05.0A 100
T
2? s02.0501T
52 m26.152 s/m63
Tu
10
已知：
tco sAy o
（ 2）波沿 反向传播，波动方程如何？x
x
y
o
u
px
解,点比 点早振动 时间p o
u
x
即 点 时刻的振动状态与点在 时状态相同，
故
p t
o
u
xt?
)uxt(co sAy
)uxt(co sAy
“-”沿 正向x
“+”沿 负向x
任意点比参考点晚振动，减去传播时间；
任意点比参考点早振动，加上传播时间。
波动方程
11
写出波动方程？
)tco s (Ay a
p
x解：
u
xxt aΔ
])u xxt(co s [Ay a
x
y u
ax
o
a
p若,p
,p
x
,,p
x
)u xxt( a
)u xxt( a
若 p,,p
则则
（注意 有正负！）x
例 2,已知波沿 正向传播，波速为,处振动方程为
x u
axx?
u
xxt aΔ
u
xxt aΔ
若给距离 又如何？l )
u
xlt( a
l
12
cm/y
cm/x
5.0
1
0 2 5 8 11 14
s/cm10u?
x
p
例 3,波形如图0t?
cm1A? cm12
s2.11012uT
s/r a d35T2
先写 点振动方程o
0? 3
y3
)3t35co s ()tco s (Ay 00
波动方程
]3)10xt(35co s []3)uxt(35co s [y s,g,cm(
制 )
（ 1）写出波动方程。
13
关键确定由图可知解：（ 1）
o
cm/y
cm/x
5.0
1
0 2 5 8 11 14
s/cm10u?
])uxt(co s [Ay 011
])uxt(co s [Ay 022
（ 2） 处
1x
2x
处
（ 2）求两处质点振动位相差。
cm11x,cm5x 21
解：
位相差
)115(
12
2
)xx(
2
)xx(
2
)xx(
u
21
121212Δ
x2 ΔΔ
波程差位相差反位相
14
cm/y
cm/x
5.0
1
0 2 5 8 11 14
s/cm10u?（ 3）画 时波形曲线，
此刻 处质点振动位移、速度、加速度？
4T3t?
cm2x? 4
T3t?0t?
]3)10xt(35co s [y
位移振动速度
t
yv
振动加速度
0]3)1024T3(35c o s [)35(t ya 22
2
023co s]3)1024T3(35co s [
s/cm23.53523s i n35]3)10 24T3(35s i n [35
15
0t?
cm/y
cm/x
5.0
1
0 2 5 8 11 14
s/cm10u?
（ 4）若图为 波形，
波动方程如何？
s2.0t?
方法 1：
3t 0
6
Ts2.0t
36
T
T
2
0
00
)t35co s (y o
)]10xt(35co s [y
将波形倒退 得出 波形，再写方程！
6
0t?
波形
0t?
s2.0t?
方法 2：
00
…..
16
解：关键是求 o点的初位相
4,波动微分方程
)uxt(co sAy
)uxt(s i nAty )uxt(s i nuAxy
)uxt(c o sAt y 22
2
)
u
xt(c o s
uAx
y
2
2
2
2
2
2
22
2
t
y
u
1
x
y
)uxt(G)uxt(F)x,t(y
)t,z,y,x(?
2
2
22
2
2
2
2
2
tu
1
zyx?
2
2
2
2
tu
1
通解三维空间或波速沿 方向一维波动微分方程x
沿 负向x沿 正向x
E?,电磁波B?
17
§ 19—3 波的能量及传播
1,波的能量不论纵波和横波各媒质块中都有振动动能和形变势能。
设 )
u
xt(co sAy
u
VΔ
形变势能
)
u
x
t(s inVA
2
1
)
t
y
(m
2
1
mv
2
1
W
222
22
k
Δ
考虑 体积中物质的振动动能
VΔ
W p?
u
可证明
kp WW? )u
xt(s i nVA
2
1 222 Δ
VΔ
18
x
u结论：
（ 1） 波动动能与势能数值相同，位相相同。同时变大，
同时变小。
最大则 也最大，如平衡位置。kW
pW
最小则 也最小，如最大位移处。kW
pW
与振动能量不 同！
（ 2） 中VΔ )
u
xt(s i nVAWWW 222
pk Δ总最大位移 平衡位置，能量增大，从前面输入；
平衡位置 最大位移,能量减小，向后面输出。
随,变，不守恒 ！总W t x 能量传输！
mv
kp WW? )u
xt(s i nVA
2
1 222 Δ
19
（ 3） 能量密度,单位体积中的能量
)uxt(s i nAVWw 222Δ
能量密度周期平均值
22T
0 A2
1w d t
T
1w 22,A
2,能流、能流密度
（ 1） 能流,单位时间通过某面的能量P
swuP Δ?平均能流
suwP Δ?
（ 2） 能流密度,
u
u?
sΔ
单位时间通过垂直于波传播方向单位面积的能量。
20
i
wusPi Δ
u?
n?
sΔ
c o ssuwP Δ?
平均能流密度 I（又称波的强度，如光强、声强）：
uA21uwsPiI 22 Δ 2A?
例 4,讨论在无吸收的理想媒质中球面波的振幅。
穿过波面 S1,S2 的平均能流应相等
1
2
2
1
r
r
A
A?
1S 2S
1r
2r
r
1A?
suA21suwP 22 Δ Δ?
21
机械波
21 PP?
解：
22222121 r4Ar4A 2211 rArA?
单位时间通过 的波的个数，R
§ 19—4 多普勒效应当波源 S和接收器 R有相对运动 时,接收器所测得的频率 不等于波源振动频率 的现象 。
参考系,媒质
1,波源和接收器都静止 (VS=0,VR=0)
s R
u
波一发出就会脱离波源运动。
波速 与波源和 接收器无关。u
即为 收到的频率R
每隔一周期画一波面，间隔为?,
u1
22
R··S R
VsV
波源振动频率?
s R
u
2,波源静止,接收器运动 (VS =0,VR 0)?
RV
u Vuu VuVu RRR2
收到的频率为R
uVu R2
远离 则R s
变大变小
3,接收器静止,波源运动 (VR=0,VS 0)?
s R
'?
s
ss
' VuTVuTTV
波长变化，左边变长，右边变短
23
sV
u
s
ss
' VuTVuTTV
收到的频率为R
s'3 Vu
uu
S远离 R则
s3 Vu
u
变大变小
4,接收器、波源都运动收到的频率为R
S
R
4 Vu
Vu
靠近运动，取上面符号远离运动，取下面符号注意
24
s R
'?
sV
例 5,报警器 S 发出频率为 1000Hz 的声波，离静止观察者 R向一静止反射壁运动，其速度为 10m/s,
（声速 330m/s)
求：（ 1） R 直接从 S 收到的频率？
已知,Hz10 3
s/m10V s?
s/m330u?
Hz9701010330 330Vu u 3
s
1
(2) R 从反射波 收到的频率？
R S
反射壁对入射波而言，相当于观察者；
反射壁对反射波而言，相当于波源。
反射壁 收到的频率
Hz10301010330 330Vu u 3
s
2
S
R
4 Vu
Vu
25
R S反射壁接收与发出的频率相同，故 R从反射波收到的频率为 1030Hz.
（ 3） R收到的拍频？
Hz609 7 01 0 3 012Δ
（ 4）若 S不动，反射壁以 20m/s向 S运动，则拍频多少？
V
R直接 从 S 收到反射壁收到
R收到拍频
Hz10 31
u Vu'
反射壁发出 频率'?
Hz1129Vu VuVu u '2
Hz1 2 912Δ
26
多普勒效应的应用,（录相）光谱线红移等测速
若波源速度超过波速 (VS>u)
☆ 超音速飞机要冲破声障,
并在空气中激起冲击波,
sV
us i n
冲击波带
· ·S
u?
Vs?
· ·?
27
s RsV
若波源速度小于波速 (VS u)?
§ 19—5 惠更斯原理 解决波的传播问题当波在均匀媒质中传播时，波线是直线。
当遇到另一媒质或障碍物时，波线方向发生变化，产生反射、折射、
衍射等现象。它们都可用 来解释。惠更斯原理原理,波阵面上各点都可视为新的波源产生球面子波，
这些子波的包迹就是新的波阵面。 t
tt Δ?
tur Δ?Δ
r
28
§ 19—6 波的干涉
1,波传播的独立性与叠加原理每列波传播时,不会因与其它波相遇而改变自己原有的特性 (传播方向,振动方向,频率,波长等 ） 。
叠加原理,
在几列波相遇的区域中,质点的振动是各列波单独 传播 时在该点引起的振动的合成 。
波传播的独立性：
1s
2s
波的强度过大?叠加原理不成立。
29
2,波的干涉 最简单、最重要的波动叠加情况
（ 1）相干波条件两个 振动方向相同,频率相同,位相差恒定 的波源称相干波源，它们发出的波叫相干波。
相干波叠加后，空间形成稳定的合振动加强、减弱的分布 这种现象称波的干涉。
（演示：水波干涉）
干涉加强、减弱点的轨迹是什么曲线？
30
（ 2）干涉加强、减弱条件设波源振动方程
1s )tco s (Ay 10110
2s )tco s (Ay 20220
1s p
2s p
1s
2s
p1r
2r
)r2tco s (A])urt(co s [Ay 101110111
)r2tco s (A])urt(co s [Ay 202220222
p 点合振动为两同方向同频率谐振动合成
)tco s (Ayyy 21
其中 )]rr(2c o s [AA2AAA
12102021
2
2
2
1
两波在 p点分振动位相差点点
31
1s
2s
p1r
2r
)rr(2 121020Δ
k2
)1k2(
21 AAA
21 AAA
加强减弱若 1020 即两波源同位相，则波程差
21 rr
k
2)1k2(
加强（相长、极大）
减弱（相消、极小）
讨论：
0k? 0rr
21
1k 21 rr
0k?
2rr 21
加强减弱直线加强 双曲线双曲线
0k?
1k?
1k?
2k?
2k?
干涉加强、减弱条件：
2,1,0k?
32
求：（ 1）它们连线上振动加强的位置及其合振幅？
1020 m2
5
10u
krr 21 k)xl(x
)m(k52k2lx
由取值在 之间x 0 l
5,4,3,2,1,0k?
10,9,8,7,6,5x?
0,1,2,3,4
)m( 加强 m04.0A2A 1
l
1s 2sx xl?
例 6,设两相干波源,1s 2s
m10l? m02.0AA 21
Hz5 02010 s/m10u?
33
（ 2）延长线上合振动如何？
5m10lrr 21
l
1s 2s
1r
2r
加强两边延长线上合振动始终加强
（ 3）能否改变 使延长线上合振动减弱？l
可以！
2)1k2(l
半波长的奇数倍即可。
（ 4）能否使延长线上合振动 一边加强、一边减弱？
这在无线电波定向辐射中很有用！
如果不改变题目条件，不行！
34
4?
1s pp
1r
1r
2r
2r解,左边延长线上 点：
p
右边延长线上 点,p
0422)rr(2 121020Δ
)4(22)rr(2 121020Δ
加强减弱合振幅合振幅
1A2A?
0A?
合成波能量向左传加强 定向辐射 （二元端式天线）
例 7,两相干波源 超前,2s 1s
2?
4l
相距,。讨论延长线上干涉情况
21 AA?
波个数愈多则定向性愈好！（天线列阵）
2s
35
干涉特例
（ 1）产生：两列振幅相等的相干波，在同一直线上反相传播时叠加成驻波。
演示,常用入射波与反射波叠加形成（注意特点）
（ 2）特点：
A.
B.
C.
有的点始终不动（干涉减弱）称 波节 ；
有的点振幅最大（干涉加强）称 波腹 ；
其余的点振幅在 0与最大值之间。
实为分段振动 同一段同位相相邻段反位相反射端固定，则为波节 ；
反射端自由，则为波腹 。
波形只变化不向前传 故称驻波。
3,驻波
36
动画
（ 3）波形曲线叠加分析驻波形成
x
x
x
4
Tt?
2
Tt?
4T3t?
x
y
A
A2
0t? o
37
x
y
A
A2 0t?
o
最大振幅为相邻波节距离为相邻波腹距离为
A2
2
2
2? 2
（ 4）驻波方程
)xTt(2co sA)uxt(co sAy 1
)xTt(2co sA)uxt(co sAy 2
)xT t(2co sA)xT t(2co sAyyy 21
)2co s2co s2co s( co s
正向波反向波则合成波为利用
)tT2co s ()x2co s (A2y
驻波方程 38
)tT2co s ()x2co s (A2y
驻波方程
x
y
A
A2 0t?
o
讨论,（ a） 表示质点合振动频率与分振动相同。t
T2co s?
表示质点合振动最大位移不随 变，
只随 变。
x2c o sA2A '（ b） t
x
波腹：
波节：
当 时1x2co s?
当 时0x2co s?
kx2
2)1k2(x
2
2kx
,2,1,0k,2,0x
,2,1,0k?
4)1k2(x
,43,4x
( c）驻波各点位相由 的正负决定'A
'A合振幅 x2co sA2
39
（ 5）波反射时位相的变化波在固定端反射时形成波节 波在自由端反射时形成波腹波在固定端反射时，位相有 突变，有半波损失。
波在自由端反射时，位相无 突变，无半波损失。
波从 疏 媒质射向 密 媒质表面反射时,有 半波损失。
波从 密 媒质射向 疏 媒质表面反射时,无 半波损失。
疏 密
11u? 22u?
有无波在两媒质表面反射时一般：
对光波,大为密媒质，也有上述结论。n
40
例 8,已知：波源处有一密媒质反射壁
tco sAy o
2
5L
x x
o
y L
u
p
并讨论干涉情况求：（ 1） 入射波、反射波、及合成波方程？0x?
)uxt(co sAy入
])u xL2t(co s [Ay反
]2522)uxt(co s [A
])uxt(c o s [A
)2tco s ()2x2co s (A2yyy 反入驻驻波方程有半波损失解：
41
波腹：
波节：
k2x2
2)2
1k(x
4,3,2,1,0k?
4
9,
4
7,
4
5,
4
3,
4x
x 0 25?在 之间
2)1k2(2x
2
2kx
5,4,3,2,1,0k?
2
5,2,
2
3,,
2,0x
x x
o
y L
u
p
)2tco s ()2x2co s (A2yyy 反入驻
42
（ 2） 入射波、反射波、及合成波方程？0x?
并讨论干涉情况
x
xo
y L
u
p
)uxt(co sA)u xt(co sAy入
])uxt(c o s [A反y
0]2)uxt(co s [)2co s (A2yyy 反入合行波方程干涉静止若 L为其它值，则 可不为 0,x<0合成为行波方程,合y
43
例 9,两端固定的弦自由振动的频率
l
2?
解：要形成稳定驻波，两固定端一定为波节，此边界条件就限制了波长，在波速一定时也就限制了频率。
只有 弦长等于半波长的整数倍时，才能保证两固定端为波节的边界条件
2nl
3,2,1n?
n
l2
T
l2
nu
1n?
2n?
基频（基音）
谐频（谐音）
演示,皂膜振动、鱼洗。 录相片 。 44
（简正模式）
动画第二十章 电磁振荡与电磁波第四篇第二十章 电磁振荡与电磁波
§ 20—1 L C 电路的电磁振荡
§ 20—2 电磁波
t =0
t =T/4
t =T/2
maxI
0?I
0W,C2qW m
2
m
e
2mme LI21W,0W
q,I,E,B,We,Wm都在周期性变化，产生电磁振荡。
0W,C2qW m
2
m
e
2
k
2
m
2
p
2
e
mv
2
1
WLI
2
1
W
kx
2
1
W
c2
q
W
1弹簧振子第二十章 电磁振荡与电磁波
§ 20—1 L C 电路的电磁振荡
1,振荡过程
mL
kc1
vI
xq
类比
0?I mq
cL
C
q
dt
dIL
C
q
dt
qdL
2
2
0qLC1dt qd 2
2
振荡方程,02
2
2
qdt qd
其解 )c o s ( tqq m
)ts i n (qdtdqI m
2,振荡方程：
简谐振动！
2
LC
1其中
qI
L? cV
q?
cL
)c o s ( tqq m
求法与弹簧振子同
202
0 )(
Iqq
m
)q I(tg
0
01
00
00 vI xq
)s i n ( tqI m
由 t=0初始,值可求出,值。
0q 0I mq?
)t(c o sqC2 1C2qW 22m
2
e
)t(s i nLq21LI21W 222m2m
恒量总 2m
2
m
me LI2
1
C2
qWWW
3、能量
3
1,电磁波源根据麦克斯韦理论：变化的磁场与变化的电场图示 L —C振荡电路能否作为电磁波源？
不能！ 电场、磁场分别集中在电容器、自感线圈中。
赫兹实验,1、提高 LC
1?
d
SC
NL
2
2、开放电路
§ 20—2 电磁波
太低，辐射功率很小。
4
qI
B? E?cL
相互激发由近及远传播形成电磁波。
天线
(直线振荡电路 )
振荡电偶极子振荡电偶极子 电磁波源的典型模型
q?
q?
tco spp 0
2,振荡电偶极子周围的电磁场
（ 1） EB,线分布
B? 线 绕极轴圆周线
><
><
极轴
B?
q?
q?
5
>?
q?
q?
振荡偶极子周围的电磁场线E? 腰形闭合线球面波 6
振荡电偶极子辐射 球面电磁波
u? 沿 r? 方向
E? 沿经线振荡
H? 沿纬线振荡特点,（ 1）横波
（ 2） HE,振幅
r
sin
演示,电磁场分布；传输线上电压驻波。
,0
2
0HE mm?、
mm HE,
最大
7
E?
H?
u?
r?p?
3,电磁波的性质及平面电磁波方程性质,1 电磁波是横波
X
Y
Z
O
uE uH
HE 且 HE u?
同位相和 HE
2
3
HE4
5
或 uBE?
波速
)ncc(1u
rr
s/m1031c 8
00
真空中折射率
u?
H
E
8
动画平面电磁波方程
)uxt(co sEEE 0y
)uxt(co sHHH 0z
其中
00 HE
例 1,已知真空中电磁波的电场表达式
m/V)]103 zt(102c o s [5.0E 88x
0E y? 0E z?
求（ 1） 的振幅、频率、波长、波速、传播方向？E?
（ 2） 的表达式?H?
解：（ 1） m/V5.0E
0?
Hz10 8 s/m103c 8
m3c
沿 Z正向传播
x
y z
E?
H?
X
Y
Z
O
E
H
u
0t?
9
u
x
y
z
u?
（ 2） 沿 轴振动H? y EH 且 uHE 沿?
0HH zx
m/A)]
103
z
t(102c o s [1032.1
)]
103
z
t(102c o s [EH
8
83
8
8
0
0
0
y
讨论：若波沿 Z反向传播，方程如何？
)uzt(co sEEE 0x
)uzt(co sHHH 0y
00 EH?
其中
E? H?
10
x
y z
E?
H?
u
4,电磁波的能量及 能流密度矢量
（ 1）能量密度
)uxt(c o sEE 2202
HE
22 H
2
1E
2
1
2
0E2
1w周期平均值
s?（ 2）能流密度矢量 （玻印廷矢量）
大小等于单位时间穿过垂直于波传播方向单位面积的能量。
方向沿波传播方向（即 方向）。u?
s
EHE1Ewus 22
HES )
u
xt(co sHES 2
00
E?
H?
u?
S?
22 E
2
1E
2
1
22 H
2
1E
2
1w
11
2
000 E2
1HE
2
1S
20E?
12
平均能流密度（电磁波强度或辐射强度）
