第一篇力学第
1
章质点运动学
（
2
课时
）
第 1章 质点运动学
§ 1— 1 基本概念
§ 1— 2 运动方程和轨迹方程
§ 1— 3 质点运动学的两类基本问题经典力学 研究机械运动，着重讨论以下三个问题：
1,如何描述物体的运动状态 （运动学）
位置矢量 r?
速度矢量 v?
注意：运动的矢量性、迭加性、瞬时性、相对性。
2,研究物体运动状态变化的原因 （动力学）
3,了解如何在给定条件下建立和解出物体的运动方程描述物体运动状态的物理量
§ 1— 1 基本概念
1,位置矢量
rrr
kzjyixr
X
Pr?
rr
方向,c o s
rx 1
,c o s
r
y
rzc o s
222 zyx
选好参照系，建立坐标系，
在直角坐标系中，
Z
YO
t 时刻一质点位于 P点其位置可表为,
2,位移矢量
r?
ixx ab?)(
kzjyix
222 )()()( zyxr
方向 rzc o s,ryc o s,c o s rx
kzz ab?)(
o
br
注意：
! 1 0 rr
! 2 0 Sr 2
br
ar
jyy ab?)(
drrd
!dSrd
r?
r
ar
s?
r
kzjyixr bbbb
kzjyixr aaaa
a
b
rr
3,速度（平均速度，瞬时速度，速率）
dtrdv
kvjviv zyx
222222 )()()(
dt
dz
dt
dy
dt
dxvvvvv
zyx
方向在自然坐标系中：
n vv 3
kdtdzjdtdyidtdxv
dt
ds?
v?
v
v
v
v
v
v zyx c o s,c o s,c o s
)( dtdr?
在直角坐标系中,
kzjyixr drrd?
!dsrd
4,加速度（平均加速度，瞬时加速度）
dt
vda
kdtdvjdt
dv
idtdva zyx
kdt zdjdt ydidt xd
2
2
2
2
2
2
kajaia zyx
222 zyx aaaaa
方向：
4
c o s aa x
c o s aa y aa zc o s
v?
a?
o
x
y
z
在直角坐标系中：
2
2
dt
rd?
在自然坐标系中：
dt
vda
可以证明,
dt
dva?
2va
n
nv
dt
dva
2
注意：
dt
vda 1 0
20 a 的方向 永远指向曲线凹的一方。
n?
a?
a
na
5
dt
d va? ！
2
2
2 )()(
v
dt
dva
dt
vd )(
dt
dv
dt
dv
naaa n
vv
§ 1— 2 运动方程和轨迹方程
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
轨迹方程的参数方程?
例 1,已知质点的运动方程
)( 4c o s4 4s i n4 mktjtr求：轨迹方程解：
0?x
ty 4s in4
tz 4c o s4
联立，消 t 得 轨迹方程：
)( 4 222 mzy
6
1,运动方程参数方程消 t 即得轨迹方程2,轨迹方程
)( trr
分量式
ktzjtyitx )()()(
)(4s i n ),(4c o s3 mtymtx
4c o s3 tx
ty 4s in
解得 )( 13 2
2
myx
)(mx
3
)(my
1
)(
4
s i n
4
c o s3 mjtitr
dt
rdv
o
7
解,由例 2,质点在 x y 平面上运动，运动方程为求：（ 1）质点运动的轨道方程，画出轨道图；
（ 2）质点的 速度 和 加速度,
质点在轨道上 运动的方向,
并证明 加速度指向坐标原点 ；
)(4c o s44s i n43 1 sm j ti t
)(mx
3
)(my
1
o
t 从零增加时,xv
v?
x
y
a
atg
x
ytg
a 与 r 的方向相反，始终指向原点,得证。
r?
a?
tgtg 8
)( 4s i n 4c o s3 mjtitr
)( 4c o s4 4s i n43 1 smjtitdt rdv
dt
vda it?
4c o s16
3 2 )(
4s i n16
2
2
smjt?
,0? yv 0? 逆时针 运动加速度指向？
运动方向？
ttg 433
ttg 433
2
2
2
6 yx 3
3
)(222
x
y
tg
m yxr
8 2 8 6 yx vv
3
3
)(
4
2 122
x
y
yx
v
v
tg
smvvv
32 2 326
2
yx aa
)(162 2
2
22 smaaa
yx
3
3
x
y
a
atg
9
（ 3） 求 t=1（ s）时，质点的位置、速度、加速度。
jtitr 4s i n 4c o s3
4c o s4 4s i n43 jtitv
jtita 4s i n16 4c o s163
22
§ 1— 3 质点运动学的两类基本问题
1,已知运动方程，如何求速度、加速度？
)( )( )( tatvtr
2,已知加速度，如何求速度、运动方程和轨迹方程？
dtrddtvd
10
*已知运动方程，用求导的方法可求速度、加速度。
ttvv dtavd 00
dtvda
tt dtavv
0
0
ttrr dtvrd
00
dtrdv t
t dtvrr 00
*已知加速度和运动的初始条件，用积分的方法可求速度、
运动方程和轨迹方程。
例 3,一质点沿 x 轴作加速运动 t =0 时,x = x0,v = v0
（ 1） 求任意时刻的速度和位置kva )(),( txtv
（ 2） 求任意位置的速度kxa? )(xv
dt
dva?
解 （ 1）
tvv k d tv
dv
00
kt
v
v
0
ln
ktevv
0
dtdxv?
dtevdx kttxx 0 00
)1(00 kte
k
vxx
)1(00 kte
k
vxx
11
ktev
0kv
dt
dx
dx
dv?
v d va d x?
v d vk x d x?
vvxx v d vk x d x 00
dx
dv
v?
)(21)(21 202202 vvxxk
)( 20220 xxkvv
注意,
找 x 与 v 的关系所 作的变换：
dt
dx
dx
dv
dt
dv?
dx
dv
vkx?
12
(2) 求任意位置的速度kxa? )( xv
a dt
dv
例 4,一质点从静止出发作圆周运动，半径 R=3.0m,切向加速度 问：（ 1） 速度与时间 的关系？2 03 sma
解 （ 1） 3 dtdva
tv dtdv 00 3
)( 3 1 smtv
（ 2） 145 0
a
atg n
3aa n
33 )3(
22
tRva n
)(1 st
（ 3）
100 v d tdsss
S?
2
13
n?
a
na
（ 2）经过多长 时间,其加速度与由圆心至质点的矢径方向成 135 0 角？
a?
0135
045
s?
13
dt
dsv?
10 3 dtt
3
51
R
S? )(50 ra d )( 51 m
（ 3）在上述时间内，质点所经历的 路程 和 角位移 各为多少？
例 5,一质点从坐标原点以恒定的速率 作平面运动，速度的方向与 x 轴的夹角为
1 3 msv
r adt 2?
解,用分量式
tvv x 2c o s
tvv y 2s i n
dttvdx tx 00 2c o s
)3(2s i n62s i n2?ttvx
dttvdy ty 00 2s i n
tvy 2co s2
由（ 1）：
由（ 2）：
:)4()3( 22?
轨迹方程。圆心在处，半径为 的 x y
平面上的圆
)(6 my
)(6 m?
求：轨迹方程
14
)4(62c o s6 t
222 )6()6(
yx
x
y v
2t?0
y
x
)1(?dtdx?
)2(?dtdy?
t
0
例 6,用气枪瞄准挂在高处的靶，当子弹以 离开 枪口时，靶由解扣机械释放而自由下落，不论子弹的初速率多大，总会击中下落的靶。求击中的时刻 t
oPv?
X
O
opv
oTr
T
已知,oTop rv,
ga
2
00 2
1 tatvrr
解,子弹与靶的加速度都是常矢量对子弹,2
0 2
1 0 tgtvr
pp
2
0 2
10 tgrr
TT
Tp rr
若击中，则
Tp rtv 00
Tp rtv 00?
P
T
v
rt
0
0?
注意,10 矢量除法无意义
20 此命题成立的条件是靶的坐标 gvx op 2s i n2 15
对靶：
求,t
动画动画
)( 10 ta? 的具体表达式不知时，如何求解？
03 不是求 而是求时，如何求解？
)(),( )(),( vrrvtrtv
04 如何用矢量的分量式求解？
05 关于相对运动，自学。
16
tt dtavv
0
0
tt dtvrr
0
0
的表达式不是 t 的函数时，如何求解？a?20
注意：
END
