第一篇力学第六章第六章 狭义相对论
§ 6 — 1 牛顿力学的时空观
§ 6 — 2 爱因斯坦时空观
§ 6 — 3 洛仑兹变换
§ 6 — 4 狭义相对论动力学简介
o o' x
y y' v
opr
por
oor
oopoop rrr
（ 1）位移：
（ 2）速度：
vuu oppo 牵连相对绝对 vuu即：
（ 3）加速度：
牵连相对绝对 aaavudtdudtd oppo
若 v =常数，则 a牵连 =0,相对绝对 aa
1.牛顿的绝对时空观伽利略速度相加定律长度测量的绝对性时间测量的绝对性设两个参照系相对速度 v,
且 v <<C
§ 6—1 牛顿力学的时空观 动画
1
2.伽利略坐标变换或：
vtxx
yy
zz
tt
设 to= t′o=0 时,S 与 S′重合。
o x
y y' v
o'
S′
x
x′
vt
y y?
tvxx
yy
zz
tt
S任意 t 时刻：
2
1,牛顿时空观在高速运动领域不成立按伽利略的速度迭加 C' = C ± v
C与参照系无关真空中的光速：
oo
C1?
相矛盾?
2.爱因斯坦相对性原理物理规律对所有惯性系都是一样，
不存在任何一个特殊的惯性参照系。
当两个参照系相对运动的速度
v ~ C,且 v =常数 时,v
S S'
o=8.85?1012C2/N1m2
o=410-7Tm/A= 2.99× 10
8 m/s
§ 6 — 2 爱因斯坦时空观
3
“在任何惯性系中光在真空中的速率都相等”
3.光速不变原理惯性系：凡是相对惯性系作匀速直线运动的参照系例：太阳系、地球,FK4惯性系
4,由光速不变原理得出的有关结论
（ 1） 同时性的相对性 设如下实验：y'y
x
x'
A' B'M
v
o
在 S' 系中观察：
光到达 A'和光到达 B'
这 两事件 不会 同时发生！！
光到达 A'和光到达 B'
这两事件同时发生。
在 S系中观察：
动画动画 4
10 沿两惯性系相对运动方向发生的两个事件，在其中一个惯性系中表现同时，在另一惯性系中观察总是在前一惯性系运动的后方那一事件先发生。
20 对不同参照系，同样两事件之间的时间间隔是不同的。
相对论效应之一,同时性的相对性结论 y'y
x
A' B'M
v
o
即：时间量度是相对的，并且与相对运动速度有关。
S'?相对 S 系的速度越大，在 S系测两事件的时间间隔就越长。
5
（ 2） 时间膨胀 （ 运动的时钟变慢 ）
设 S'系中,A'点 有一闪光光源,在 Y' 轴放一反射镜。
Y Y'
A'
d
在 S' 系看：
C'
两事件时间间隔：
Y
C C
L L
X'
X
X'
X
在 S系看：
cdt 2
cLt 2
22 2tvdL
tt显然：
21
2
c
v
c
d
Y'
d
A'
动画动画
6
在 S?系同一地点发生的两个事件的时间间隔为?t?,
在 S系测同样两事件的时间间隔总是要长一些：
tt
定义,在某一参照系同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫作 原时 。
2)(1
2
c
v
c
d
t
显然,为原时。t 原时最短相对论效应之二,时间膨胀效应 （时钟延缓）
结论 Y
C C
L L
X'
X
Y'
d
A'
2)(1
c
v
t
cdt 2
动画
7
考虑时间膨胀效应：
2)(1
c
v
tt
则,mtvl 6.521077.110399.0 78
例 1.带正电的?介子是一种不稳定的粒子，当它静止时，
平均寿命?t? =2.5?10-8s,然后衰变为一个? 介子和一个中微子。在实验室产生一束 v =0.99C的?介子，
并测得它在衰变之前通过的平均距离为 52m。 这些测量结果说明什么？
解,若不考虑相对论效应 tt
它在实验室走过的距离为：
tvl
“洞中方一日，世上已千年”
= 2.5? 10-8s
88 105.210399.0 m4.7?
2
8
99.01
105.2
=1.77? 10-7s
8
例 2.一宇宙飞船以 v = 9? 103 m/s 的速率相对地面匀速飞行，飞船上的钟走了 5s,地面上的钟测量经过了多少时间？
解,st 5
21 cv
tt
所以，当 v << c 时,与参照系无关。tt
tt
则：
原时
s0 0 0 0 0 0 0 0 2.5?
283
103
1091
5
9
（ 3）运动的尺变短例如,在地面测正在以速度 v 行驶的汽车的长度。
L'
A' B'x
1 X
X'
y y'
o o'
垂直运动方向不受影响：
在 S' 系测车的长度为：
在 S 系测量,
t+?t 时刻，
vLt在 S' 系看,
而,2)(1
c
v
tt
2)(1
cvtt
车的长度,21 cvtv21 cvL
v
t车的长度：
< L'
y=y'
L=x2–x1
L= v?t
z=z'
B' 经过 x2=x1+v?t 点
=v?t 原时
x1点走过的距离为 L',所用时间：
t 时刻,B' 经过 x1点；
L'
A' 经过 x1点，
动画动画动画
10
相对某一参照系静止的棒长度为 L',
在另一参照系看要短一些即,L < L'
定义,物体相对参照系静止时，测得物体的长度为 原长。
显然,原长最长。
相对论效应之三,运动的尺度缩短效应。
结论
2)(1 cvLL L'
A' B'x
1 X
X'
y y'
o o'
v
L'
11
例 3.?介子寿命为 2.5?10-8s,以 v =0.99C 的速度相对实验室直线运动，求在实验室?介子运动的距离？
解,?介子（ S' 系）看：
21 cvLL
实验室（ S系）看：
实验室以速度 v离它而去，远离的距离为,
L = 52.5 m
L' = v?t' =7.4 m
2)(1 cvLL 原长
C99.0105.2 8
12
例 4,S系与 S' 系是坐标轴相互平行的两个惯性系,S' 系相对 S系沿 X轴正向匀速运动。一根刚性尺静止在
S' 系中与 X' 轴成 30o角，今在 S系中观察得该尺与
X轴成 45o角，则 S' 系相对 S 系的速度是多少？
解,在 S系,xytg o45 yy
21 cvxx
在 S' 系：
x
ytg o
30
cv 32?解得：
21 cvxy2145 cvtg o
2)(1 cvLL 原长
13
例 5,5m 长的宇宙飞船，以 v =9?103 m/s 相对地面飞行,
在地面上测其长度为：
21 CvLL
可见,L? L',即：当 v << C 又回到牛顿时空观。
283 10310915
m5?= 4.999999998m
2)(1 cvLL 原长
14
光速不变原理得到结论同时性的相对性运动的时钟变慢运动的尺子缩短
0,0 tt
2)(1
cv
tt
2)(1 cvLL
爱因斯坦时空观小结,
10,牛顿时空观在高速运动领域不成立
20,爱因斯坦相对性原理
30,光速不变原理
40,由光速不变原理得出的有关结论原时最短原长最长显然这些结论与牛顿时空及伽利略变换相矛盾 !
15
1,坐标变换：
y y'
v
o o'
X'
X
且,t = t' = 0,x = x' = 0
设：
S系看,x' =0点，
S' 系看,x =0点，
代入方程组可得,x' = a（ x - vt） （ 1）t' = a（ t + hx） （ 2）
设 S' 系相对 S 系沿 X轴以速度 v 运动,
x'= ax + bt + e
t' = ct + dx + f
txv?
txv?
§ 6 — 3 洛仑兹变换
16
设 t = t' =0 时，在 o =o' 点发一光信号，则在两系测光行程：
x2+y2+z2=c2t2
x' 2+y' 2+z' 2=c2t' 2
y=y' c2t2- x2= c2t' 2- x' 2
将 （ 1）（ 2） 式代入可得,2)(1 1
c
va 2cvh
x' = a（ x - vt） （ 1）
t' = a（ t + hx） （ 2）
z=z'
2)(1
c
v
vtxx
则有,yy zz
2
2
)(1 cv
x
c
vt
t
洛仑兹坐标变换
17
vtxx
xcvtt 2?
yy
zz
vtxx
yy
zz
tt
当 v << C 时,
——伽利略变换令,
cv
21
1
)( vtxdtddtxd
vuu 绝相 牵相对论因子
2)(1
c
v
vtxx
yy
zz
2
2
)(1 cv
x
c
vt
t
讨论
18
10 伽利略变换只是洛仑兹变换的一个近似。
30 C是一切实物运动速度的极限。
如,0?t 2
)(1 cv
xx
则必须,v < c
即：任何物体相对另一物体的速度不等于或超过真空中的光速
tvxx
vtxx
xcvtt 2?
yy
zz
结论
yy
zz
)( 2 xcvtt
40 从 S' 系? S 系的变换：
20 相对论中时空测量不可分离。
19
2.洛仑兹变换下的相对论效应
（ 1）空间效应设长 L' 棒静止在 S'系中
S'S
L'x1' x2'
x1 x2
v
S'系测得：
在 S系测得：
利用洛仑之变换,2222 )(1
c
v
vtxx
2
11
1
)(1 cv
vtxx
12 tt?
21 cv
LL
2
1 cvLL
12 xxL
12 xxL
或,
运动的尺变短
2
12
12
1 cv
xxxx
原长 ——最长 20
（ 2）时间效应
S系测得对应两事件的坐标,A (x1,0,0,t1) B (x2,0,0,t2)
2
121
1
)(1
c
v
x
c
vt
t
2
222
2
)(1
c
v
x
c
vt
t
2
12212
1
)()(
c
v
xx
c
vtt
t
10 在 S' 系中 A',B'不同地，
S' 系发生两事件的坐标,A' (x'1,0,0,t'1) B' (x'2,0,0,t'2)
2
2
1
c
v
x
c
v
t
t
1 ≠ t2 同时性的相对性若,x'2 ＞ x'1
讨论即,x'1≠ x'2
则,t2 ＞ t1
0?
同时发生但 t'1= t'2
21
2
12212
1
)()(
c
v
xx
c
vtt
t
20 若在 S' 系中：
A',B' 同地发生,但不同时即,x'2=x'1,t'2≠ t'1
在 S系看,2
12
)(1
)(
c
v
ttt
原时
30 在 S' 系中，若 t'2＞ t'1,则 A' 事件先于 B' 事件发生,
对不同的 (x'2 - x' 1),经过坐标变换后,在 S 系可得：
t2 – t1=
>0 A先于 B
=0 A与 B同时发生
<0 A比 B后发生 例,
40 自然界的“因果律”在相对论中不会颠倒 !
从 事件 A 事件 B,传递一种,作用,或,信号,。
传递的时间,⊿ t = t2 – t1
传递的速度,u= ⊿ x/⊿ t
⊿ t ＞ ⊿ t'2)(1
cv
t
传递的 距离,⊿ x=x2–x1
c
运动时钟变慢
22
例 6.一高速列车 v=0.6c,沿平直轨道运动，车上 A,B两人相距 L=10m。 B在车前,A在车后，当列车通过一站台时突然发生枪战事件，站台上的人看到 A先向 B
开枪,过 12.5ns,B才向 A开枪。站台上的人作证，
枪战是 A挑起。若你是法官你将如何判断？
C6.0
A BmL 10
'?
动画
23
2
2
)(1 cv
x
c
vt
t
xc vcvtt 221
解,已知 ⊿ t =12.5ns ⊿ x'=10m
< 0s810
2
2
1 cv
x
c
vt
t
问,为什么不直接用?
2
12212
1
)()(
c
v
xx
c
vtt
t
C6.0
A BmL 10'?
24
2
2
)(1
c
v
x
c
vt
t
由于,u?c，
因果律在惯性系是绝对的。
2
2
1
1 c
vu
c
v
tt
即：
2
2
1
)(1 c
v
t
x
c
v
t
则,⊿ x＞ 0,u＞ 0。
那么,⊿ t 与 ⊿ t' 同号 !
结论：
若 x2＞ x1，
25
（ 3）洛仑兹速度变换
S系
dtdxu x? td
xdu x
S' 系2
1 cv
vtxx
21
c
v
v
dt
dx
td
xd
21 cv
vuu x
x
根据：
得：
？
td
xdu x
dt
dx
c
v
v
dt
dx
2
1?
x
x
u
c
v
vu
21?
dt
dyu
y?
dt
dzuz?
td
ydu
y?
tdzduz?
td
dt
dt
xd
dt
td
dt
xd
vtxx
)( 2 xcvtt
26
x
x
x
u
c
v
vuu
21?
td
dt
dt
yd
td
ydu
y?
同理：
2
2
1
1 c
v
u
c
v
u
u
x
y
y?
2
2
1
1 c
v
u
c
v
uu
x
z
z?
td
dt
dt
zd
td
zdu z
洛仑兹速度变换 注,yy udtdytd ydu
10 若 v <<c,则,
vuu xx
yy uu
zz uu
vuu
加利略速度变换
20 若一束光沿 S 系的 X轴传播 ux=c uy=0 uz=0
在 S' 系看,
x
x
x
u
c
v
vuu
21?
0 yy uu
0 zz uu u'= Ccv
vc
1 c?
光速不变讨论
27
从 S' 系变换 S 系的速度
2
2
1
1 c
v
u
c
v
uu
x
z
z?
2
2
1
1 c
v
u
c
v
u
u
x
y
y?
x
x
x
u
c
v
vuu
21
x
x
x
u
c
v
vuu
21?
2
2
1
1 c
v
u
c
v
u
u
x
y
y?
2
2
1
1 c
v
u
c
v
uu
x
z
z?
28
例 7,在地面测到两个飞船分别以 0.9C和 –0.9C的速度向相反方向飞行,求其中一飞船看另一飞船的速度是多少？
甲乙
x
y
x'
y'
o'
0.9C-0.9C解,设 S系静止在乙飞船上,
S' 系静止在地面上。
S'系相对 S系的速度,v=0.9C
甲船相对 S' 系的速度,
甲船相对 S系（乙船）的速度：
x
x
x
u
c
v
vuu
21
< C0 yy uu 0 zz uu u=0.994475C
若按伽利略变换,u=u'+v=1.8C
9.09.01 9.09.0 CC C9 9 4 4 7 5.0?
Cu x 9.0
显然错误动画
29
例 8,在太阳系中观察一束星光垂直射向地面，速率 C，
而地球以速率 v 垂直光线运动，求地面上测量这束星光的速度大小方向？
o X
y y'
o'
解,设太阳系 S系，地球为 S' 系。
vux=0,uy=C,uz=0
在 S' 系看星光的速度：
x
x
x
u
c
v
vuu
21?
2
2
1
1 c
v
u
c
v
u
u
x
y
y?
2
2
1
1 c
v
u
c
v
uu
x
z
z?
22 yx uuu
6.201
y
x
u
utg?
在 S系看星光的速度：
u' u
v
X'
21 cvc
0? c?
30
1,相对论质量按牛顿力学,oo ttav
当 t?∞,v? ∞,则,v ＞ c
相对论结论,v < c 矛盾?
m应与速度 v 有关。
设,S' 系的 o' 处有一粒子质量 M,
X'
y'
o'
MmA mB
oo ttmFv
t' 时刻分裂成两个完全相同的粒子,mA= mB
两粒子分别沿 X' 轴的正反方向运动。
动画
§ 6 — 4 狭义相对论动力学简介
dtavv tto o
31
根据相对性原理：
F=0,Pt=P0
对任何参照系保持形式不变
S' 系看：
MBA PPP
设 S系相对 mA静止，即以 –v 沿 x' 轴运动。
vuu BxAx令,vuvu BxAx,即：
S系看,mA粒子 0 AzAyAx uuu?uA=0
mB粒子
Bx
Bx
Bx
u
c
v
vu
21
uB=uBx
分裂前：粒子的动量 iMvPo BA mmM其中分裂后：粒子的动量 iumP BBt 则,Mv=mBuB
0 BxBAxA umum 0 BxAx uu
–v
x'
y'
o'
MmA mB
o
y
vv?
2)(1
2
c
v
v
32
Mv = mBuB即,2
1
2
c
v
vmvmm
BBA
显然 若 mA=mB上式不成立由相对性原理,Pt=P0在 S系成立，则 mA?mB
2
2
1
1
c
v
c
v
mm AB
代入将 21
2
c
v
vu
B
2
1
1
c
u
mm
B
AB
21
1
c
u
mm o
同一粒子处在不同运动速度其质量不同 mA?mB
m B?
oA mm?
静止质量由上式得,
S系的 结论
21
2
c
v
vu
B
33
（ 1） u ≠v
（ 2） u << c
例,v =104 m/s
o
o
m
mm?
但是：当电子 v =0.98c 时,m = 5.03mo
21
1
c
u
mm o
————牛顿力学则 m =mo
102 1021 cv
（ 3）限制了虚时空的出现：
u = c
u >c
u =0 m=mo
注
m? ∞ 则必有 mo= 0
m为虚数 ——无意义同种粒子 u 不同，则质量不同 u?,m?。
34
2,相对论动量：
umP
匀速运动：
变速运动：
牛顿定律,dtPdF
v
c
v
mvmP o
2
1?
或：
u
c
u
m o?
2
1?
m =常量
m = m(v) = m(t)
vmdtd
35
3,相对论动能动能定理,或 rdFE K
若物体从静止状态，到速度增加到 v,则：
rdFE K
2)(1
c
v
mm o
m vd vdmvdmc 22
vo dmc 2 22 cmmc o
rFE K
222222 cmvmcm o
22
2
1 m d vdmv
rd
dt
vmdv
o
v
o
vmdv
22 cmmcE oK
)21( 22 m d vdmvvo
等式两边微分：
相对论动能
36
相对论动能,EK=mC2-m0C2 2)(1
1
c
vmm o
221-2 )(211])(-[1 cvcv
22 )(21 CvCm o?
221 vmE oK?即：
20从
2
2
2
)(1
Cm
c
v
CmE
o
o
K?
得,2
2
22
)1(
11
mC
ECv k
在外力 F作功增大时,v 增大,无论 EK增到多大 v < C !
C? 物体的速率极限 ！
2
2
2
)(12
1
2
1 v
c
v
mmvE o
K
10讨论
1]
)(1
1[
2
2?
c
vCm o 22 CmmCE oK 若 v<<c
？
37
4,相对论能量 相对论动能,EK=mC2-m0C2
相对论意义上的总能量,E = mC2 = EK+m0C2
Eo= moC2
E = mC2 ——相对论质能关系
10 质量的大小同时标志能量的大小。
20 个 粒子系统，若无外力影响系统的能量守恒。
C =常量，则,
n
i
im 常量
n
i
n
i
ii CmE 常量2即：
质量守恒两个相互独立的自然规律在相对论中统一注,静止质量不一定守恒。例：电子对的湮灭
30 由 E=mC2 可得,2mCE
结论：
——静止能量
38
例 9,在参照系 S中，有两个静止质量都是 mo的粒子 A、
B,分别以速度 运动。相碰后合在一起，成为一个静止质量为 Mo的粒子。求 Mo？
ivvivv BA,
解,设合成粒子的速度为 u?
由动量守恒,uMvmvm BBAA
粒子是一维运动：
∵ mA=mB,vA=vB
由能量守恒,M0C2= mAC2+mBC2
则得,BAo mmM
显然,Mo? 2mo,且 Mo > 2mo
mAvA-mBvB=Mu
2
0
1
2
c
v
m
∴ u= 0 即合成粒子是静止的
39
2mCE 2CmE oo
爱因斯坦：
就一个粒子来说，若由于自身内部过程使它的能量减少了，那么它的静止质量也将相应地减少。
例,在核反应中：反应前 m01,EK1
反应后 m02,EK2
EK2+m02C2 = EK1+m01C2
即,EK2– EK1=（ m01–m02） C2
21 oo mmm 质量亏损
12 KKK EEE 释放的能量
2CmE o通常记：
反应前后能量守恒：
40
例 10,在一种核聚变反应中,nHeHH 10243121
已知各原子核的静止质量,mD=3.3437?10-27kg，
mT=5.00?10-27kg,mHe=6.64?10-27kg，
mn=1.67?10-27kg 。 求这一反应释放的能量？
解,反应前后质量的改变为相应释放的能量：
nHeTDo mmmmm
20 CmE
1kg这种核燃料所释放的能量为：
TD mm
E
kgJ14
27
12 1035.3
103 4 8 6.8
107 9 9.2
1627 109100 3 1 1.0 J12107 9 9.2
kg27100 3 1 1.0
41
5,相对论的能量与动量的关系从 E=mC2,P=mv 及2
1 cv
mm o
可得,E 2=P 2C2+m02C 4 E2
P2C2
m02C4
对动能为 EK 的粒子：
则有,（ EK+m0C2） 2= P 2C2+m02C4
EK2+2 EK m0C2 =P 2C2
当 v<<C时 1]-
c
v-1
1[
2
2
0 CmE K?
2 EK m0C2 =P2C2
0
2
2 m
PE K?
<< m0C2
E=EK+m0C2
42
