第二篇热 学第 7章 气体分子热运动 5课时第 7章 气体分子热运动
§ 7—1 热学的几个基本概念
§ 7—2 统计的基本思想
§ 7—3 理想气体的压强公式
§ 7—4 温度的微观解释
§ 7—5 能量均分定理 理想气体的内能
§ 7—6 麦克斯韦分子按速率分布定律
§ 7—7 气体分子的平均自由程
§ 7—8 真实气体的范德瓦尔斯方程热学是研究 物体 热运动 的性质和规律的学科
1,宏观物体,由大量微观粒子组成。
2,热运动,指宏观物体内大量微观粒子无规则的运动。
3,研究热运动的方法：
宏观：实验的方法微观：统计的方法热力学分子物理重点研究,理想气体的热运动从组成气体的分子、原子的运动和相互作 用出发
1
每个分子遵循 力学规律。
用 统计的方法 阐明大量分子热运动的性质及规律。
( 统计物理）
有固、液、气体，等离子体，辐射场，生命体等。
§ 7—1 热学的几个基本概念一定质量的气体，
2,热运动的基本特征：
1,平衡态,（又称热动平衡态，是一种理想状态）
* 1mol 的气体中含有 N=6.022?1023 个分子
*气体两分子间的 平均距离 是本身线度 10 -10m 的 10 倍
*分子热运动的 平均速率 是 1 5 0 0 msv
*分子的 平均碰撞频率 是 11010 Sz 次（ 10亿次）
*平均自由程 m710
总之,分子在作杂乱无章的永不停息的热运动 2
与外界无能量交换,内部无化学反应、
仅由于分子 热运动 使气体内各部分达到：
密度? 均匀,温度 T 均匀,压强 P 均匀的状态。
核反应，
3,微观量与宏观量微观量,表征单个分子特征的物理量如：分子的大小 d、
位置 r、速度 v、质量 m、能量 E 等。
宏观量,反映整个气体系统宏观性质的物理量，如：
体积 V、压强 P、温度 T、热容量 C 等关系,个别分子的运动无规则，大量分子的集体表现一定存在一种统计规律。
用统计的方法，求大量分子的微观量的统计平均 值来解释实验中所测得的宏观性质
3
§ 7—2 统计的基本思想例 1,有大量的三色小球 （各色小球数量大致相同）
将小球一个一个从书包中抓出来，每次抓出什么颜色的球是不可预测的。
（单个事件无规律可言）
4
抓的次数多了，就看出规律来了。例：抓了三万次，
,10100个,9900个,10000个统计 一下结果，发现：
大量事件遵循的规律叫统计规律 。如例 1 这种方法，叫统计方法。
是一个统计概念，是某个事件出现的可能 性的量度。
1,统计规律、统计方法：
2.,几率”的概念：
例 1中各种颜色的球抓出 来的机会 是一样的，都是一万个左右（机会均等） 。
3,等几率原理：
下面用统计的观点研究红色小球出现的几率：
红色小球出现的次数 与 抓球的总次数 之比为红色小球出现的几率。
红p
用数学式归纳为,)NN(l i np iNi
i
1i
ipP
显然，三色球出现的总几率是,1
P
这叫几率的归一化条件。 5
抓球的次数越多，
所得结果越准确。
4,几率的归一化条件：
31?31 31 1?
31?
,10100个,9900个,10000个一定！
10100
30000
例 2,在标准状态下,1cm3 气体分子个数的数量级是
N=1019 个，问,在各个方向上 N个 分子 速率的平均值有什么关系？
1v?
xv
N
v
N
vvv
v
N
i
iy
Nyyy
y
1
21?
N
v
N
vvv
v
N
i
iz
Nzzz
z
121
6
N
vvv Nxxx21
N
v
N
i
ix?
1
zyx vvv
按统计的观点各方向上分子速率的 统计平均值相等：
显然,2
xv
其中
N
v
v
N
i
ix
x
1
2
2
我们可以对容器中处于热动平衡下的大量气体分子作如下统计假设：
（ 1）容器中任一位置处单位体积的分子数不比其它位置占优势
（ 2）分子沿任何方向运动（个数、速率）不比其它方向占优势
7
zyx vvv
N
v
N
vvv
v
N
i
ix
Nxxx
x
121
2
yv
2
zv
§ 7—3 理想气体的压强公式 前提：
理想气体,分子没有大小、分子间没有相互作用，弹性碰撞。
统计假设：
研究长方体中有 N个理想气体分子，每个质量为 m，每个分子速度的大小、方向各不相同，在热动平衡下，分子与 6 个壁都要碰,各个面所受的压强相等。
研究一个侧面,32 llS
1l
2l
3l
（ 1）先研究一个分子,遵循力学规律
1v?具有速度
xv1
yv1
zv1 8
1v? 简化为正碰任一位置处单位体积的分子数不比其它位置占优势分子沿任何方向运动不比其它方向占优势。
1,压强公式：
*分子与侧壁发生弹性碰撞，
碰一次动量改变 xmv 12?
*相邻两次碰撞的时间间隔为 xv
lt
1
12
*单位时间碰撞的次数为
1
1
2l
vZ x?
*单位时间内该分子动量的改变为：
1
1
1 22 l
vmv x
x
*分子的动量为什么改变？因受侧壁的作用力，根据动量定理,t
pF
1
（ 2）再研究一个分子 22
1
2 xvl
mF
（ 3）对大量分子 N取平均
N
i
iFF
1
大量分子对侧壁的作用力为
N
i
ixvl
mF
1
2
1
,
9
x
y
z
1l
2l
3l
1v?
xv1
2
1
1
xvl
m?
2
1
1
xvl
m
N
i
ixvl
m
1
2
1
N
N2
1
xv l
mN?
大量分子对侧壁的压强
S
FP,? 2
xvV
mN?
2
xv n m?
2
3
1 v n mP )
2
1(
3
2 2vmn?
采用力学规律和统计方法求得了压强
10
22 )31( v v
x?
2222
zyx vvvv
tn 3
2
分子平均平动动能
N
i
ixvl
mF
1
2
1
'
N
v
v
N
i
ix
x
1
2
2
2
321
xv
lll
mN?
注意,
10 P的意义：大量分子与器壁不断碰撞的结果，是统计平均值，对单个分子谈压强是毫无意义的。
20 压强公式把宏观量 P与微观量 联系起来了，显示了宏观量和微观量的关系。
tn?,
30压强公式虽然是从 中推出的，对其他容器所得结果相同。
40 关于 的说明,质量相等、速度交换”
2,理想气体状态方程的又一表式标准状态下：
RTMPV
恒量
2
22
1
11
T
VP
T
VP
:?M
11N0,阿伏伽德罗常数
tnP 3
2
气体总质量气体摩尔质量
气体摩尔数一摩尔气体的分子数分子总数
0N
N
V
RT
N
NP
0
123
11
1002.6
31.8
m o l
km o lJk
P = n k T
§ 7—4 温度的微观解释
1,分子平均平动动能与温度的关系根据 tnP 32
n k TP?
kTt
3
2
12
玻尔兹曼常数
TNRVN
0
kTt
2
3即
kJ231038.1
RTMPV
0N
NM?
k
Tkn?
n
10只要两种气体的温度相同它们的分子平均平动动能就相等（与质量、速度无关）。
20对分子热运动，因为 0 t
永远绝对零度是不可能的 !
13
30“温度”（宏观量）的微观实质温度只有统计意义,
2,基本方程式的一些推论
! 0 T
kTt
2
3讨论：
*是大量分子热运动剧烈程度的标志 ;
*是分子平均平动动能的量度 ;
*是统计平均值 ;
对个别分子谈温度毫无意义。
基本方程式
)2( 2123 2vmkTt
)1(3132 2vnmnP t
（ 1） 分子的方均根速率 2v
由（ 2）, m
kT3
（ 2） 道尔顿分压定律：容器中有几种气体分子密度分别为,n1,n2,..…
单位体积的分子数,n=n1+n2+…… 由（ 1）可知：
212121 3232)(32 PPnnnnP ttt
这本来是宏观规律，现在从微观得到证明。 14
2v
RT3
TNRm
0
3
0N
Rk?
§ 7—5 能量均分定理 理想气体的内能
（讨论分子热运动所遵循的统计规律）
1,自由度,某一物体的自由度，就是决定这一物体在空间的位置所需要的独立坐标数。
在直角坐标系中：
（ 1）对质点,x,y,z 共 3个自由度，称平动自由度 t = 3
（ 2）对直线确定线上一个点，需 （ x,y,z） t =3 个平动自由度，
但因 1c o sc o sc o s 222
故只需 r = 2 个转动自由度所以,直线 需要的自由度数为,523 rti
15
确定线的方位，似乎还需 （?,?,?） 3 个转动自由度
（ 3）对刚体确定刚体一轴线 5个自由度确定刚体绕轴转动加一个自由度 1?r
刚体的自由度数,633 rti
2,分子的自由度
（ 1）单原子分子,氦（ He）,氖（ Ne） i = 3
（ 2）双原子分子：
H2,O2,CO…
刚性 523i
非刚性 6123 srti
（ 3）三原子分子：
CO2,H2O...
刚性
633 rti
非刚性 9333 srti 16
振动 自由度
2,3 rt
分子的自由度分子种类单 原 子 分 子双原子分子多原子分子
t 平动 r转动 s振动 srti
3 0 0 3
刚性 3 2 0 5
非刚性 3 2 1 6
刚性非刚性
3 3 0 6
3 3 3n - 6 3n
17
自由度总结
3,能量按自由度均分原理
2222
2
1
2
1
2
1
2
1
zyx vmvmvmvm
222
2
1
2
1
2
1
zyx vmvmvm
每个自由度 上都 得到了相同的 （ 1/2） k T
的 平均 平动动能推广：在一定温度的平衡态下，所有物质的 分子在每个自由度 上（平动、转动、振动） 都有一份相同的 平均动能,其值为
18
（ 1）分子 平均平动动能 按自由度均分t?
（ 2）分子 平均动能 按自由度均分k?
kTvmt 2321 2
分子平均动能总和一般形式：
kTik 2 kTsrt
2
kT21?
（ 1/2 ） k T 。
如,刚性双原子分子，分子总平均动能为,k
刚性三原子分子，分子总平均动能为,k
分子平均动能 按自由度均分的原则是统计规律
（ 3） 能量 (气体的内能 ) 按自由度均分原理一般气体的内能分子平均动能的总和（平动、振动、转动）
原子间振动平均位能的总和分子间相互作用的位能总和理想气体的内能分子平均动能的总和原子间振动平均位能的总和
k
kTsp 2
19
（ 1）分子 平均平动动能 按自由度均分t?
（ 2）分子 平均动能 按自由度均分k?
kT25
kT26
kTsrt 2
只有把分子的总自由度 看成,srti 2
得：一个分子的平均总内能?E
才能说 能量 按“自由度”均分！
（ 4） 理想气体的内能
* 1摩尔理想气体的内能为 TN
RiN )(
2 00?
* M /? 摩尔（或 M 克）理想气体的内能为 RTiME 2
单原子分子气体 ME
双原子分子刚性非刚性
RTrtME 2
ME
20
注意非刚性分子才有 S！
RTM 27
RTi2?
kTi2? kTsrt 2 2
RT23
RTM 25
RTsrt 2 2
结论：一定质量的某种理想气体的内能，只取决于分子的自由度和气体的 温度，与气体的体积、
压强无关。
即：内能是温度的单值函数！
21
srti 2
T R
iM
E
2
§ 7—6 麦克斯韦 分子按速率分布定律分子按速率的分布规律称,速率分布定律,
1,统计规律及其特点特点（ 1） 统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律。
2,分布函数 落到每个槽内的钢球数 iNNN21,
每个槽内的钢球数与总数之比：
N
N
N
N
N
N i21,
N
Ni? xN
Nxf i
)(比值与狭槽的 和狭槽的 有关是位置的函数即分布函数)(xf
22
)( xf
（ 2） 统计规律永远伴随着涨落现象。
x
位置 宽度
（演示实验：伽顿板）
x xxx?
)(xf
x0
Ni
)1()(?xN Nxf i 表示处在 x 附近单位间隔内的钢球数 占总数的百分比
3,麦克斯韦分子按速率分布定律
（ 1）表达式：
设在 v— v+d v 的速率区间 d v 内有 dN 个分子，麦克斯韦从实验中得到,?
N
dN 23)
2(4 kT
m
kT
mv
e 2
2
dvv 2
与（ 1）式比较有：
N d v
dNvf?)(
22
2
2
3
)
2
(4 ve
kT
m kT
mv
在温度为 T 的平衡态下
23v dvv?dv v
)(vf
0
dN
N d v
dNve
kT
mvf kTmv 22 223)
2
(4)(
处在温度为 T 的平衡态下的气体，处于 v附近的单位速率区间的分子数占 总 分子数的比率（百分比）。
f（ v） 称为 速率分布函数，
它表示：
24
（ 2）速率分布函数
v dvv?dv v
)(vf
0
dN
麦克斯韦分子按速率分布定律仅当气体处于温度为
T 的平衡态成立,N必须是大量的,d N是 d v 范围内的平均分子数。
注意：
（ 3）速率分布曲线 根据
22
2
2
3
)
2
(4)( ve
kT
m
vf kT
mv
作出的曲线：
v
)(vf
dv0
*曲线下的一小块面积表示
dvvf )( NdN?
速率在 v— v+d v 区间内的分子数占总数的比率。
*具有大速率和小速率的分子数都比较少，具有中等速率的分子数很多。 25
v dvv?
讨论：
v
)(vf*与 f（ v）的极大值相应的速率叫
“最可几速率”。
对大量分子而言，
在相同的速率间隔中，
气体分子 的 速率在 v p 附近的分子数最多。
对单个分子而言，速率在 v p 附近的几率最大。
dvvfNdN )(几率
26
0 v
p
* 速率分布函数的归一化条件
)( NdNdvvf?由即整个曲线下的总面积为 1 。
1 0 dvvf ）（得
,v p”的意义是：
4,从麦克斯韦速率分布函数推出分子速率的三个统计平均值。即求,.,,2vvv
p
（ 1）求,v p
根据的 v p 定义,v p 是与 f（ v）的极大值所对应的速率。
0)(?dv vdf令 27
22
2
2
3
)
2
(4)( ve
kT
m
vf kT
mv
pv 可得回顾 1,统计规律及其特点
2,速率分布函数
3,麦克斯韦分子按速率分布定律
0])
2
2(2[)
2
(4 2222
3 22
kT
mv
kT
mv
e
kT
mvvve
kT
m
0)2()
2
(4
2
22
3 2
kT
mvev
kT
m kTmv
02
2
kT
mv
m
kTv
p
22?
m
kTv
p
2?
影响分布曲线的因素,)(,?mT
28
222
3 2
)
2
(4)( ve
kT
mvf kTmv
RT2
RT411
10 T一定时
mv p
1?
v
)(vf
1
pv
v
)(vf
20 m（ μ）一定时
0
0
Tv p?
大?
小?
小T
大T
小pv 大pv
小pv 大pv 29
RT
m
kTv
p
22
讨论：
例 3,试计算，气体分子热运动其速率介于和 之间的分子数占总分子数的百分比。
100pp
vv?
100pp
vv?
解,根据麦氏速率分布，在区间 范围内的分子数占总分子数的比率为：
vvv—
NN
1 0 0pp
vvv
)100()100( pppp vvvvv
mkTv p 2?
代入上式得：
%661NN
30
vve
kT
m kTmv
2
2
2
2
3
)
2
(4
100
99 pv?
50p
v?
（ 2）求,2vv? dvvfNdN ）（根据?
*分布在任一区间 d v 的分子数,d N = N f（ v） d v
*由于 d v 很小，可认为 d N个分子的速率是相同的，为 v
*这 d N 个分子速率的总和是,
*全部分子的速率总和是,0 )( dvvv N f
*分子速率的平均值,
N
dvvv N f
v
0 )(
dvvfvv )( 0
dvvekTmv kT
mv
222
3
0
2
)2(4
dvve
kT
m kTmv 32
0
2
3 2
)
2
(4
查表得
RT
m
kTv 88
RT59.1
31
v d N = v N f（ v） d v
由此可得到启发
（ 3）求,2v
若要求 g（ v）的平均值，则0 ! )()()( dvvfvgvg
dvvfvv )(0 22 dvvekT
m kTmv 42
0
2
3 2
)
2
(4
查表得
RT
m
kTv 332
RT
m
kTv 332
32
dvvfvv )( 0
RT73.1? m
kTv 32?
从理论上已经得到过方均根速率：
注意：
10
2?RTv p? < <
1.41,1.59,1.73
20 求速率分布用 最可几速率,平均自由程、平均碰撞频率用 平均速率,平均平动动能用 方均根速率 （注意区别）。
30 前面从统计规律（理论）得到过方均根速率，现在用麦氏分布律（实验）所得结果相同。
例 4,有 N个粒子，其速率分布函数为
)( CN d vdNvf
0)(?vf
求,（ 1）速率分布曲线（ 2）由 v 0 求常数 C
（ 3）粒子的平均速率 33
8
RTv?
RTv 32?
2:,vvv p
)0( 0 vv
)( 0vv?
)(vf
0 v
C
解 （ 1） 速率分布曲线 （ 见下图）
0v
（ 2） 常数 C 由归一化条件求得
1)(00 v dvvf
100 v C d v
10?v C 01 vC?
（ 3） 平均速率：
0 )( dvvvfv
2
1 20
0
v
v
34
)0( )( 0 vvCN d vdNvf
)( 0)( 0vvvf
dv
v
vv 00
0
1
02
1 v?
例 5,由麦氏分布律导出理想气体分子按 平动动能 的分布律,并找出 最可几动能 是什么？一个分子的 平均平动动能是什么？
解,一个分子的 平动动能,22
1 mv
m v d vd由麦氏分布律：
dvve
kT
mdvvf
N
dN kTmv
2
22
3 2
)
2
(4)(
m
de
mkT
m kT
2
)
2
(4 2
3
df )(
v
2
dekT kT212
3
)1(2
这就是理想气体 分子按平动动能分布定律。 35vdv
最可几动能,0)(?
d
df令 kTp 2
1解得
2
2
1(
pmv注意：不是 ))
2(
2
1 kT
m
kTm
分子的平均平动动能为：
0 )( df
理论与实验符合得很好。 36
kT
2
3?
de
kT
kT2
3
0
2
3
)1(2
kTt
2
3从理论上已经得到过：
§ 7—7 气体分子的平均自由程
1,平均碰撞频率
vndZ 22
d：分子有效直径
n：单位体积的分子数
v：分子平均速率
2,平均自由程
ndZ
v
22
1
根据 P = n k T 得
Pd
kT
22
反映了宏观和微观的联系
37
动画动画
§ 7—8 真实气体的范德瓦尔斯方程真实气体在温度不太低，压强不太高时遵循理想气体状态方程。
范德瓦尔斯方程理想气体分子无大小分子间无作用力真实气体分子有大小分子间有作用力
RTMbMVV aMP ))(( 22
2
b
a
V
P
:
:
真实气体的压强真实气体的总体积范德瓦尔斯常数 13
26
3
m o lm
m o lPam
m
Pa
五千大气压下
，
分子总体积占气体总体积的一半
。
38
修改体积修改压强真实气体的状态方程有许多，仅介绍：
例 6,试说明气体分子模型在分子运动论中所讨论的
（ 1） 压强公式 （ 2） 内能公式 （ 3） 分子平均碰撞频率
（ 4） 范德瓦尔斯方程等问题时，有何不同？
答：
（ 1） 分子看成质点 ;
（ 2） 考虑分子内部结构（单原子分子、双原子分子、多原子分子等） ;
（ 3） 分子看成是有效直径为 d 的刚球 ;
（ 4） 分子是有吸引力的刚球。
对同样的气体分子，要根据所研究的不同问题，
突出主要矛盾,忽略次要因素,建立理想模型。
启示：
39
END
