第十四章 磁相互作用
§ 14.1 带电粒子在磁场中的运动
§ 14.2 载流导线在磁场中所受的力和力矩
§ 14.3 磁力的功第十四章 磁相互作用
§ 14.1 带电粒子在磁场中的运动
1.带电粒子的受力一般地，带电 q的粒子，在 0,0 BE 中，
若 0?v
.EqF e则：
0?v 则,BvqFEqF me,— 洛仑兹力
BvqEqFFF me —— 也称为洛仑兹力即,静止电荷只受电场力作用；
运动电荷，既受电场力，又受磁场力作用。
2.运动方程及其解
(1) 一般情形,BE,同时存在设带电粒子 q ommv,0 21,0 cvmmv
o
处在电场和磁场同时存在的空间。 1
根据牛顿定律,
.dtPdF
dt
PdBvqEq
dtdPBvBvEq xyzzyx
dtdPBvBvEq yzxxzy
dtdPBvBvEq zxyyxz
从力学中可知，若给定带电粒子的初始条件，原则上可求解上述运动方程的解，即可知带电粒子 q 在电磁场中任意 t 时刻的运动状态。
可见一般情况下，带电粒子在电磁场中的运动是比较复杂的，为避免复杂的数学运算，下面只讨论粒子在 均匀磁场 中的情况。
2
(2) 在均匀磁场中的情形：
已知磁场 kBB
电荷为 q的粒子，以速度 v0进入 B中。
任一时刻，其满足的方程为：
dtPdBvq
磁场 B? 对 q粒子的作用力,
BvqF
故 v的大小不变 ovv?
c o n s tPP o
不变。
21 cv
mm o
v?
3
voqF? B
下面分两种情况讨论：
1) q 以 Bvo 进入磁场,
voqF? B设此轨道半径为 R,F
向心 =qvB，
a向心 =v2/R qvB = m v2/R
F向心 = ma向心得：
qB
mvR?
m
qB
T 2
1 —— 回旋共振频率
q转一周的时间：
qB
m
v
rT 22 —— 周期频率：
动画
4
v? 可分解
c o s// vv
s i nvv
若 vvv
,0//
,就是上述情况 ；
Bv,（任意角）
B?
//v
v
v
h
若
vvv //,0
则,0 BvqF
q B
//v
若 0,0
// vv
上述两个运动合成螺距：
Tvh //?
qB
mvR
螺旋线
qB
vm //2
半径：
2）普遍情形下
voqF? B
qB
mT 2
动画
5
讨论
1o若 cv 时
o
o
m
qB
qB
vmR
2,
mqB?2?
高速运动粒子的频率比低速粒子的频率要小 。
结论,
2o若
vv
时
qB
mvR?
则：
RBqP? —— 测 P的重要方法回转半径 R是粒子相对论动量的直接量度！
qB
mvR
6
3.电荷在磁场中运动的有关应用
(1) 同步回旋加速器 — 在高能物理，加速粒子 。
交变电压均匀磁场结构,两个铜制的 D形盒，两盒间有一定宽度的空隙加速,只在空隙中进行粒子进入 D盒，作匀速圆周运动 。
qB
mvr? 且周期增加 。
在半盒运动所需时间,
21 cvqB
m
qB
m o
qB
mT 2
,, rv
.,v
N
D1 D2
S
m
q B Rv?
m a x R为盒的最大半径动画
7
在半盒运动所需时间,
21 cvqB
m
qB
m o
①,若振荡电源的周期能够随粒子的加速过程同步变化，使粒子在 D形盒之间的空隙中被加速。
—— 同步回旋加速器
②,从上,,, Rv 若在?v 时，使 B同步增加，则可使 R不变，这样，磁极可作成环形，而减少原材料。
.,v
加速的粒子能量，每十年提高一个数量级。能量范围在 0.08Mev— 5× 105Mev,能量的每次提高都带来对粒子的新发现。如 1983年发现 W—,W＋,Z0粒子。
均匀磁场
～U
qB
vmR o?
8
(2) 磁聚焦带电粒子 q以速度 v 进入均匀磁场后，作螺旋线运动：
螺距,Tvh
//?
qB
mvR
qB
vm //2半径：
A ● ● A′?
一束发散角?不太大，速度大致相同的带电粒子，从 A点进入，
磁场则：
c o s|| vv? v?
s i nvvv? 各粒子的螺距 h相等,R不相等
B?
各粒子经历一个回旋周期后会聚到 A′点
—— 磁聚焦
9
(3) 磁约束
－
F?
一般带电粒子在非均匀磁场也作螺旋线运动：
qB
mvR qB
vmh //2
但是,?R 常量?h 常量 B↑ R↓h↓
磁镜磁瓶注,平行磁场方向的速度分量较大的粒子，可能从两端逃逸出去
F?
阻F?
动画
10
4.磁场中的电传导 —— 霍耳效应当导体处在磁场中，导体中的运动电荷将受到磁场力作用,从而建立横向电场 ~霍耳效应。BvqF
A'
a
b
→ i →B
以一金属杆为例,载流子以平均速度 v漂移 。
在无外场时,I=vqnab 加上磁场 iB
形成一个横向电场 EAA'— 称为霍耳电场
A
载流子同时受到两个力 向上 Bvq向下
HEq?
tEqBvq
时：
在 AA’两表面间建立一个稳定的电位差 VH—— 霍耳电压
v B av B d lldEV
aA
A HH
0
'v
若已知 I,bIBRbIBnqV HH 1I=nqvab,v= I/(nqab)。
vBE H?
作用下BvqF载流子在动画
11
1oRH,霍耳系数,与导体材料有关。
此处 RH=1/(nq)只对单原子金属符合。
说明,
2o 接通 AA'则有电流
HE?
向下,q 积累在上方,VH>0
3o 横向电场 Et对正离子也有作用力，此力垂直 于电流，
其宏观表现就是导体受的安培力。
bIBRV HH? nqR H 1?
A'
a
b
→ i →B
A
q>0,向上BvqF
q<0,向上BvqF HE? 向上,q 积累在上方,VH<0
4o 霍尔效应的现代应用测试半导体的类型 n型 电子导电p型 空穴导电测磁场：目前测磁场常用的高斯计；
H1 2
3
4
通过测 VH→测 B
可计算载流子浓度；
测大电流，转换交直流信号等。 12
§ 14.2 载流导线在磁场中所受的力和力矩
1.安培力在霍耳效应中，组成导体的晶格的正离子所受 EH电场力作用，这种力宏观效果上，表现为载流导体在外磁场受到的磁力 —— 安培力 。
下面从运动电荷所受的洛仑兹力导出电流元所受的安培力。
13
2.安培定律
B?
设电流元 lId? 横截面 S，在 B相同的范围内。
dl内每一个定向运动的电子受力：
BveF m
在电流元横向出现电场 E，则有,
EeF e me FF
则,,EeBve BvE
当 0
me FFF 时,横向电场 E稳定。
设正离子的数密度为 n，则在 dl中的正离子所受电场力为：
Ee d NFd Bvn e s d l
Bldn ev s BlId
En e s d l
BlIdFd即,dl受到的合力
dl
lId?
v? mF?
14
任意载流导体在磁场中所受的合力为, L BlIdF 0
所以 安培力是洛仑兹力的宏观表现；洛仑兹力是安培力的微观来源。
安培力的实质,磁场通过洛仑兹力而施于导体的作用力。
洛仑兹力 →建立 横向电场 →使导体受电场力作用例 1.在均匀磁场 B? 中有一弯曲导线 ab,通有 I电流，
求其受磁场力。
解,由安培定律
ba BlIdF
BLI ab
BldI ba
方向垂直板面向外
L
a b
B
安培定律若 l与 B均在板面内则 F=I LabBsin?
I
BlIdFd
15
例 2.求两平行无限长直导线通有相同电流的相互作用力。
a
1I
2I
12B
22 ldI
解,1）求 F12
122212 BldIF
a
IB
2
10
12
方向垂直
.2 ldI?
210212 2 dlaIIF
同理：
120121 2 dlaIIF
2）单位长度的受力,;2 21012 aIIf,2 21021 aIIf
两力大小相等，方向相反,21 // II 为吸引力
21 II
为排斥力
.0 L BlIdF在 I2上取电流元 I2dl2
I2dl2处的磁场为：
2102 2 dlaII
指向 I1
指向 I2
1201 2 dlaII
12F
21F
结论,
16
3）若令 a=1m,I1=I2=I
则有：
20
2 IF?
—— 单位长度上的受力。
2
0 FI
当
2
0F
=2× 10-7N时,I=1安培 。
电流强度单位的 定义,
在真空中，两条无限长平行导线，各通有相等的稳恒电流，当导线相距一米，每米长度上受力为 2× 10-7N时，各导线上的电流强度为 1安培。
箍缩效应：
两导线间存在有吸引力，一载流导线可看成许多纵向元，也同样存在相互吸引力，导体是液体、电离气体，这些力使导体收缩 。;2 21012 aIIf,2 21021 aIIf
17
求下列电流之间的相互作用：
I
I
① ② ③
④ ⑤
BlIdF
18
3.载流线圈在磁场 中所受的力和力矩
(1) 在均匀场中的线圈
a、矩形线圈,
cdF
abF
设矩形线圈处在均匀磁场 B中。
baab BI d lF 1IBl?
向下
dccd I B d lF 1IBl?
向上由安培定律，可得各边受力：
.0 L BlIdF
a
b
d
c
1l
2l
n?
B?
I
B?
n?
cbbc dlIBF 2s i n
adda dlIBF 2s i n
2c o s lIB
2c o s lIB
向里向外
F合 =0 但 Fab,Fcd不在一直线上则：线圈受力矩 Fr
s i n2s i n2 22 lFlF cdab s i n21 lI B l
s inIB S s i nBP
m
BP m 可推广到任意一线圈
⊙ ×
19
b、任意形状的平面线圈设任意形状的闭合平面线圈，
电流为 I，面积为 S。
设想把线圈分割成许多无限小窄条组成。
BPdd m BnI d S
线圈受的总力矩为：
d BnI d S BndSI
BnIS BP
m
Bn,
每一小窄条受力矩为：
BP m 一般线圈 ;0 F?,0即：
讨论,
1o 当 F合 =0
Bn//
Bn
Bn,
合 = 0
合 =?max
合 ＜?max 20
BPm
B?mP?
0,
非稳定平衡
o90
B?
mP
o90
B?
mP
o90
B?
mP
BPm //
B?
mP
0,0
稳定平衡磁力矩总是使线圈或偶极子转向外磁场方向，与此类似，电偶极子在电场中受到力矩使其转向电场方向。
BP m
0 0
3o 平面线圈在磁场中的几种情况
2o 无论线圈什么形状，均匀磁场对它的作用只取决于 Pm,Pm相同的线圈受 B的作用完全相同。
动画 动画
21
max
(2) 在非均匀场中的线圈一般地,0,0F
线圈除了有转动外还有平动。
§ 14.3 磁力的功（自学）
22
