第十三章 真空中的稳恒磁场
§ 13.1 磁场 磁感应强度
§ 13.2 毕奥 — 萨伐尔定律
§ 13.3 稳恒磁场的高斯定理
§ 13.4 安培环路定理第十三章 真空中的稳恒磁场运动电荷 磁场运动电荷
1.磁场的特征：
（ 1）在磁场中的运动电荷、载流导体、
磁性介质等 受磁场力作用。
（ 2）运动电荷、载流导体在磁场中运动时，磁力作功。 —— 磁场具有能量稳恒电流周围 稳恒磁场磁场的描述 定量：磁感应强度毕奥 -萨伐尔定律安培环路定理定性：磁力线（磁通量）
本章的重点：
计算 B的两种方法
B?
§ 13.1 磁场 磁感应强度
1
2,磁感应强度 B 的定义
B? ——描述磁场强弱及方向的物理量。
用运动电荷 qo来检验：
设电荷 qo以速度 v 进入磁场 B中的 P点。
+ qo
v?
B
,P
总是有 F? v，
F是 侧向力并且有 F? B，
定义,vqFB
o
M ax?
BvqF o或,即,F=qovB Sin?
(3)使 qo沿 v?B 的方向运动时,F =FMax
2
(1) 对 v 的某一特定方向上,qo受力 F=0，
定义该方向为该点处 B 的方向。
(2) 改变 v 的方向通过 P点，
F,v,B 三者之间的关系如下：
F?
B?v?
1） F?(v,B)决定的平面
2） v?B 时,F=FMax
3） v ||B 或 vB 及 v=0时,F=0
大小 vqFB
o
M a x?
方向 vFM axB 显然比 复杂oq
FE
单位：
SI制 T (特斯拉 )
高斯制 G（高斯）
1T= 104G
B如何计算？MaxF?
v?
B?
BvqF 即,F=qovB Sin?
3
§ 13.2 毕奥 — 萨伐尔定律
1.毕 — 萨定律
.P
实验表明,任一电流激发的磁场 =
lId?
各小段电流产生的磁场的迭加电流元 在 P点产生的磁场：lId?
(1) dB? Idlr Sin?2r1
2s i nrI d lKdB即：
K—比例系数
SI制中,4 oK? ATmo /104 7
真空中的磁导率
——电流激发磁场的规律
I
4
即,的方向。rld
34 r
rlIdBd o
毕奥 — 萨伐尔定律
Bd?
大小为,2s in4 rI d ldB o
方向为,rlId 右手螺旋方向。
5
(2) 的方向垂直,所决定的平面ld?Bd? r?
lId? r
I
.P
or,P
lId? r
.
34 r rlIdBd o
2s in4 rI d ldB o
1) 产生的磁场，在以其为轴心，
ro= r sin?为半径的圆周上 dB 的大小相等，方向沿切线。
lId?
2) 若 r 或? 不同，则在不同 ro为半径的圆周上 dB大小不等。
在垂直 的平面上，
磁力线是一系列的同心圆
lId?
3) 当? = 0,?时,dB = 0，即沿电流方向上的磁场为 0
dB = dBMaX2 时 即 r一定，在垂直 的方向上各点的 dB最大。 lId?
4) 所有电流元,对 P点磁感应强度 B的贡献为：lId?
34 r rlIdBdB o
讨论
6
解：根据毕 ——萨定理各电流元产生的
2
s i n
4 r
I d ldB o?
dBB
2s i n4 rI d lo
c t grl o
drdl o2s i n?
s i n/orr?
.Poro
y
l? r?
例 1,载流长直导线，其电流强度为 I，试计算导线旁任意一点 P的磁感应强度B?
Bd? 方向垂直纸面向里。1?
取任意电流元 lId?
其在 P点产生的磁场为：
)c o s( c o s4 21
o
o
r
I
2?
1?
2?
I
Bd? 方向为 rlId
lId?
7
若导线无限长：
)c o s0(c o s4
o
o
r
IB
o
o
r
I
2?
不一定要,L
只要 。Lro
则,?1=0,?2=?
结论,
(2)磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆，
其方向与电流方向成右手螺旋关系 。
(1) 载流长直导线周围 B与 ro成反比。 rE
o
2?类比
.Poro
y
l? r?
1?
2?
I
lId?
讨论 )c o s( c o s4 21
o
o
r
IB
8
解：把铜片划分成无限个宽为 dx
的细长条，每条有电流：
dxaIdI?
dIrdB o2? dxay Io c o s/2?
由对称性知,0 ydB
y
a
dx
例 2,一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为 a，厚度忽略，
电流为 I，求离铜片中心线正上方 y处 P点的B?
dB
Bd?r
x
y
P.
该电流在 P点产生的磁场为：
I
c o sdBdB x? dxayIo 2 c o s
2
ta nyx dydx 2s e c?
dyayIo 2
2
s e c2 c o s xdBB
daIo?
2
aIo?
其中：
y
aa r c
a
Io
2t a n?
方向平行 X轴当 y >>a 时
y
IB o
2?
当 y <<a 时
22
i
a
IB oo
x
r
IB o
2? 无限大载流平面
9
例 3 求载流圆线圈轴线上的磁场 B，已知半径为 R，
通电电流为 I。
解：先讨论 B的方向
Bd?
Bd
I,P
xxo
lId?
lId
BdBd? 与 是对 X轴对称的
c o sdBdBB x
rld又 rI d lrlId
r
2co s4 r dlIB o dlRx
IRo
2/322 )(4?
2/322
2
)(2 Rx
IRB o
R
r
Rc o s
0
2?R
方向沿 x 轴正向！
0 xdB
34 r rlIdBd o
动画
10
2）当 x = 0时，圆心处,RIB o2
2/322
20
)(2 Rx
IRB
1) 无论 x>0 或 x<0,B与 X轴同向
4) x >>R时：
33
2
22 x
IS
x
IRB oo
3）轴线以外的磁场较复杂，
可定性给出磁感应线,
电流与 B线仍服从右手螺旋关系。
S N定义：磁偶极矩磁偶极子
nISP m
NS
n与 I的方向成右手关系若有 N匝线圈，总磁矩为：
mm pNnN ISP
即,32 xPB mo
比较,32 xPE
o
(延长线上 )
I
o
R,P
xBB讨论
11
例 4 一个塑性圆盘，半径为 R，圆盘表面均匀分布电荷 q,如果使该盘以角速度?绕其轴旋转，试证：
(1)盘心处 RqB o2? (2)圆盘的磁偶极矩 4
2qR
P m
R rdr 证,(1)将盘看成一系列的宽为 dr的圆环构成
r
dIdB o
2
每一环在中心产生的磁场：
dt
dQdI? rd r
2dq 2ds?
R
o
r
r d rdBB
0 2
R
o21? R
qo
2?
RqB o2
(2)
mm dPP S dI
R
r d rr
0
2 4
41 R
4
2qR
P m
2R
q
R
IB o
2
12
例 5,一长螺线管轴线上的磁场B?
已知：导线通有电流 I，单位长度上匝数为 n。
dl
r
1 2
l
解：在管上取一小段 dl，
电流为 dI=nIdl,
该电流在 P点的磁场为：
2322
2
2 Rl
nI d lRdB o
2s i n
dRdlR ct gl
222 Rlr
P.
3
2o
r2
RIB
dnIdB o s i n2?则：
dnIdBB o s in2
21 c o sc o s2 nIo
...,...,.,......,..,,.....
s inRr?
1?
2?
13
P点不同,B不同。
1) 若管长 L>>R，管内有很大一部分场是均匀的。
2) nIBL o,0,21
3) 对半无限长螺线管 nIB o?21?
2),3)在整个管内空间成立！
管内为均匀场讨论,
管外空间 B?0
dl
r
1 2
l P.
...,...,.,......,..,,.....
l2L2 L?
B
21 c o sc o s2 nIB o
14
2,运动电荷的磁场设电流中载流子带电为 q(>0)，以速度 v 沿电流 I
方向运动，并且载流子密度为 n，导体截面积为 S。
I S
v
如图取一段长为 v 的导体,则有,I=nqvS
34 r
rlIdBd o
根据毕 — 萨定律,
34 r
rvn q S d lo
34 r
rvdNqBd o
vld||其中,nSdl=dN
单个运动电荷所激发的磁场为：
34 r
rvqB o
对低速运动的带电粒子成立！
15
例 6,求两个以相同速度 v并排运动电子之间的相互作用力。
v
v
e1
e2
解：设两电子相距为 r
e2处的磁场：
3
1 ||
4 r
rveB o
e2受力：
||12 BveF 2 224 rveo
,12F
同理,1221 FF
21F
34 r
rvqB o
16
§ 13.3 高斯定理
1.磁通量定义：
SNB （磁通密度）规定：
(1) B为均匀场 S面的磁通量：
SS
n?
SBB
(2) B为非均匀场 SdBd B
S面上的总通量, sBB SdBd
当 S为闭合曲面时, SdBB 0B
0B
对闭合面的法线方向规定：
自内向外为法线的 正 方向。
B线从曲面内向外穿出,0B
而从曲面外向内穿进,0B
B的单位,韦伯 Wb =Tm2 1T=1Wb/m2
通过磁场中任一给定面的磁感应线的总根数，就是该面的磁通量?B。
17
2.真空中稳恒磁场的高斯定理
(1) 高斯定理：
通过任意闭合曲面 S的磁感应通量恒等于零。
0SdB
高斯定理的意义,定理给出了稳恒磁场的重要性质
——稳恒磁场是 无 源场数学表示：
(2) 推论：
1o 稳恒磁场的磁感应线是连续的闭合曲线。
即：在磁场的任何一点上磁感应线既不是起点也不是终点。
2o 磁场中以任一闭合曲线 L为边界的所有曲面的磁通量相等。
L S1
S2
n1 n2
曲面 S1,S2均以 L为边界，
0SdBSdBSdB 21 SS
21 SS SdBSdB
对 S1,S2构成的闭合曲面有：
18
§ 13.4 安培环路定理
1.安培环路定理 iIldB 0
即,磁感应强度 B沿任意闭合曲线 L的线积分 =
穿过这闭合曲线内所有传导电流强度的代数和
I 的正负规定：
1) 当 I与 L的环饶方向成右手关系时,I>0，反之 I<0。
2) 若 I不穿过 L，则 I=0
I1
I2
L
例如：
I1 I2 I3
L
)( 21 IIldB o )( 31 IIldB o IldB o4
I3 >0
<0 I
L
19
证明,以无限长载流导线为例
1）闭合曲线 L围饶电流，且曲线所在平面垂直载流导线
L
由毕萨定理可求得：长直导线旁 rIB 2 0
.
I
dl
B
dlrIldB co s2 0 dsrI2 0 rdrI2 0?
dIldB 2 0 I0
若 L的方向不变，而电流反向则,ldB
B
IldB 0
iIldB 0
r
0cos
LI
dl
dl'
dl''
L'
2） 若闭合曲线不在垂面上,dl分解 dl'dl''
ldldBldB ldB
而所有 dl'在垂面上形成 L' ldBldB I0?即：
d
20
3)闭合曲线 L不包围载流导线
o L
dl
dl'?d
从 o点引出夹角为 d? 的两条射线，在 L上截得 dl,dl'
电流 I在 dl,dl'处的磁场分别为,r
IB
2
0?
r
IB
2
0且有, oldB 90 oldB 90
ldBldB
c o sc o s ldBB dl
sdBB d s
sdrIdsrI 22 00
r
r?
drds?
drsd
dr?dr? =0
每对线元的 B·dl 之和均为 0
整个闭合路径积分 0ldB
注,不穿过闭合回路 L 的电流 I 对 无贡献，
但对 L上各点的 B贡献不为 0
ldB
I
21
4）闭合曲线 L包围多根载流导线
1),2)已证一长直导线 I，当它穿过 L时，由 I的方向不同 ldB
0I–?
0I
3)已证,I不穿过 L时, 0ldB
若同时有 K根载流导线，并且 I1…I n穿过 L，
而 In+1…I K不穿过 L
那么, 101 IldB 202 IldB nn IldB 0
而, 0ldB K 01 ldB n
矢量叠加, ldB ldBBB k 21
ldBldBldB K 21
nIII210?
即, iIldB 0 适用于稳恒磁场的任何情况若穿过回路的电流是连续分布, sdjldB 0?s
22
2.稳恒磁场的性质高斯定理,无源场安培环路定理, iIldB 0 有旋场比较静电场：
0SdB
iqSdE
0
1
有源场
0ldE 无旋场静电场高斯定理：
静电场环路定理：
毕 —沙 —拉定律可以计算 任意 电流的磁场 B?
安培环路定理可以计算 对称性 磁场的 B?
3.安培环路定理的应用
23
例 7,半径为 R的无限长圆柱载流直导线，电流 I沿轴线方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算任意点 P的 B=？
BdBd
Bd?
解：先分析 P点的方向
oPB
O P.
sd?
sd?
I
由电流对称分布可知：
取过 P点半径为 r =op 的圆周 L，
L上各点 B大小相等，方向沿切线
r >R时 由安培环路定理得：
iIldB 0
oB d lldB 0c o s rB?2?
IldB 0又
r
IB
2
0
若 r<R
oB d lldB 0c o s同理,rB?2?
sdjldB 0?而 s 220 rRI
rRIB 202r
B
R
与毕萨定理结果一致
L
24
例 8.一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的电流线密度为 i，求平面外一点 B=？
i
.,,,,,,,,,
ld? ld?
Bd
Bd
Bd?
a b
cd
解,由对称可知 iB
并且离板等距离处的 B大小相等。
过 P点取矩形回路 abcd?L
其中 ab,cd与板面等距离。
cd dabcab ldBldBldBldBldB
0 0
cdBabB ab 2
io I?而 abio iB o?2
1?
.P 与 P点到平板的距离无关。i
iB o
0?B iB 0
×
i
i0?
×
0 0
B?
25
例 9,求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径为 R，环上均匀密绕 N匝线圈，设通有电流 I。
解,由于电流对称分布，与环共轴的圆周上，各点 B大小相等，
方向沿圆周切线方向。
取以 o为中心，半径为 r的圆周为 L
当 R1< r <R2
oB d lldB 0c o s rB?2?
iI0?而 NI0? r
NIB
2
0?
若 r<R1iI0 0 0B
若 r>R2iI0NINI?0? 0?
0B
I
R
1R
2R
当 R管 截面 <<R 即 r?R
nIB 0 RNn?2?
...,.....
...
...........
...
,× × ×
×
×
×
×
×
×
××
××
×××××××
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× ×
× × × × × × × ×
×
.or
26
