第十一章 电容器的电容和电场能量
§ 11.1 电容 电容器的电容
§ 11.2 电场的能量第十一章 电容器的电容和电场能量
§ 11.1 电容 电容器的电容
1,孤立导体的电容若一孤立导体带电 +q，
则该导体具有一定的电位 U，
q?
U
且 q?,U?。
即有,CUq?
C = 比例常数 与 q,U无关；与导体的尺寸形状有关。
C,称为孤立导体的 电容 。
物理意义,导体每升高单位电位，所需要的电量 。
单位,F(法拉 )
1
一般导体不同,C就不同。
如同容器装水：
例：一个带电导体球的电容，设球带电 q。
R4
qU
o
UqC R4 o
地球半径,R=6.4?106m
F10700C 6 F7 0 0
2
2,电容器及其电容
E F
如图：带电 qA的导体旁若有其它导体 E,F
则,CUq
A
A?
AqB
E,F上的感应电荷影响 UA
如何消除其它导体的影响？ 静电屏蔽
UB=0 UA–UB=UA
不受 E,F的影响则 A的电容为：
AU
qC?
BA UU
q
与 B紧密相关注,既使 B不接地,UA–UB? qA 并与 E,F无关。
这种由 A,B组成的导体系统 电容器其电容为：
BAAB UU
qC
U
qC
或
A B为电容器的两极板
3
注,组成电容器的两极导体，并不要求严格的屏蔽。
只要两极导体的电位差，不受或可忽略外界的影响即可。
例如：一对靠的很近的平行平面导体板。
(1) 平行板电容器的电容 C
设,平行金属板的面积为 S,间距为 d,充满介电常数为?的电介质，极板上带电荷 q。
E两极间任意点的电场：
dEldEU

q? q?
d
d
dSU
qC
C d1S、、
两极间的电位差：
C与 q无关，只与结构 (? S d)有关。 4
(2) 圆柱形电容器的电容
（ 边缘效应不计，电场具有轴对称性 ）
l
Q极板间场强：
极板间电位差：
BARRBAAB drErdEU ABR
Rln
2

rE2?
A
BAB
R
R
l
U
QC
ln2

A
B
R
R
l
ln
2
单位长度的电容：
（ 只与结构及?
有关与 Q无关 ）
A
B RR
C ln 21
两个半径 RA,RB同轴金属圆柱面为极板 (l >> RB –RA )，
板间充满电介质,假定极板带电 Q。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
l
A B
方向沿半径向外
5
(3) 球形电容器的电容假定电容器带电 +Q,-Q；
极板间电场是球对称的：
24 r
QE

极板间电位差：
BABA RRRRAB drrQE d rU 214
BA
AB
RR
RRQ
4
)(
方向：沿半径向外
AB
BA
AB RR
RR
U
QC

4
两个半径 RA,RB同心金属球壳组成中间充满电介质?,?
RA
RB
+Q–Q
归纳,求电容器电容的方法设极板带电荷 Q?求极板间 E?求极板间?U? UQC
6
(2)在电路中，一个电容器的电容量或耐压能力不够时，
可采用多个电容连接：
如增大电容，可将多个电容并联：
…
1C
2C
kC
C
k21 CCCC
若增强耐压，可将多个电容串联：
…1U 2U kU
U
耐压强度,K21 UUUU
但是电容减小,k21 C 1C1C1C1
C的大小耐压能力常用电容,100?F25V,470pF60V(1)衡量一个实际的电容器的性能主要指标
3,电容器的串、并联
7
例 1,半径都是 a 的两根平行长直导线相距为 d (d>>a),
求单位长度的电容。
解：设导线表面单位长度带电 +?,–?
)(22 xdxE oo

ada E d xU ada ad oo lnln
单位长度的电容：
)ln()ln(
1 0
0 a
d
a
dU
QC


d
两线间任意 P点的场强：
x.P

E?
o x
4,电容的计算
8
例 2,一平行板电容器，两极板间距为 b,面积为 S，
其中置一厚度为 t 的平板均匀电介质，其相对介电常数为?r,求该电容器的电容 C。
br?t
解：根据定义 UqC
设极板面密度为?,-?
由高斯定理可得：
空气隙中D
o
E则,介质中D
or
E则：
ldEUUU ldEto ttt b tt )( 1 11 1
t1b rr
or

U
qC
t1b
S
rr
or


t1b
S
r
r
o


b
So?
与 t的位置无关
t?,C?
t=b b SC or
9
例 3.一平行板电容器，两极板间距为 b,面积为 S,在其间平行地插入一厚度为 t,相对介电常数为?r,面积为 S/2
的 均匀介质板。设极半板带电 Q,忽略边缘效应。
求 (1)该电容器的电容 C,(2)两极板间的电位差?U。
br?t 2S
解：（ 1） 等效两电容的并联左半部：
b
2SC o
右
tb
S
C
r
r
o
1
2
左右半部：
电容并联相加,右左 CCCt1bb2 t1b2S
rr
rro


（ 2） CQUt1b2S Qt1bb2
rro
rr


t1b
S
C
r
r
o

问：
Q左 =Q右？
10
例 4,平板电容器极板面积为 S间距为 d,接在电池上维持 V 。
均匀介质?r厚度 d,插入电容器一半忽略边缘效应求 (1)1,2两区域的 和 。 (2)介质内的极化强度,
表面的极化电荷密度 。 (3)1,2两区域极板上自由电荷面密度,。
E? D? P?
'?
1? 2?
dEdEV 21
d
V
ED
d
V
ED
o
o
ro
ro




22
11
的方向均2121,,,DDEE
了？反而
？为什么 真介
21
21
DD
EE
！关键,21
dVEE 21 r? 1 2
S
2S
d V
解,（ 1）
11
1EP oe
d
VEE
d
VE
oo
ro
ro





22
2
2
1
11
1
21
方向：
dVro )1(
c o sP
(2) 介质内的极化强度,表面的极化电荷密度?'P?
(3) 1,2两区域极板上自由电荷面密度?1,?2
PP180co s上?
0)1(0c o s dVPP ro下
0)1( dVro
r? 1 2
S
2S
d V
1? 2?
12
例 5,一电容器两极板都是边长为 a的正方形金属平板，但两板不严格平行有一夹角?。证明：当 时，
该电容器的电容为,a
b
b2
a1
b
aC 2o 忽略边缘效应
a
b
证明,整体不是平行板电容器但在小块面积 adx 上，可认为是平行板电容器,其电容为：
x dx


s i nxb
a d xdC o
d
SC
dCC ao o s i nxb a d x )s i nba1l n(s i n ao
ab abs in 1s i nb
a则：
2)s i nba(21s i nba)s i nba1l n (
)s inba211(baC
2
o )
b2
a1(
b
ao 证毕
b+xsin?
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§ 11.2 电场的能量
1.电容器的能量
K.,
.
C? R
a b
电容器带电时具有能量，实验如下：
将 K倒向 a 端? 电容充电再将 K到向 b端?
灯泡发出一次强的闪光 !
能量从哪里来？
电容器释放。
当电容器带有电量 Q,相应的电压为 U时，所具有的能量 W=？
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利用放电时电场力作功来计算：
放电到某 t时刻，极板还剩电荷 q,极板的电位差：
C
qu?
将 (–dq)的正电荷从 正极板?
负极板,电场力作功 为,
dqcqudqdA
QQ
A
C
Q
2
1A 2?
即电容器带有电量 Q时具有的能量：
C
Q
2
1W 2?
2CU21?
QU21?
可见：
C也标志电容器储能的本领。
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K.,
.
C? R
a b
C
Q
2
1W 2? 2CU
21? QU21? 这些能量存在何处？
2.电场的能量以平行板电容器为例,UQC? dS EdU?并且
2CU21W? 22 dEdS21 SdE21 2 VE21 2
VE21W 2e记为,能量储存在电场中
(1) 电场能量密度单位体积内所储存电场能量,VWw ee? 2E21
ED ew? DE21? ED21
(2) 电场能量任何带电系统的电场中所储存的总能量为：
dVED21dVE21W 2V
V
V?
电场占据的整个空间体积对任意电场成立
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dVED21dVE21W 2V V
例 6,求一圆柱形电容器的储能 W=？
解：设电容器极板半径分别为 R1,R2
带电线密度分别为?,–?，
则两极板间的电场为：
r2E ro

dVE21W 2roe
rh d r2dV其中：
1
2
ro
2
R
Rln
4
h


E dVE21W 2
2Q
W2C?
–?
h
求 C的另一方法：
C
Q
2
1W 2?
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例 7.一平行板电容器，两极板间距为 b=1.2cm,面积为
S=0.12m2,将其充电到 120v的电位差后撤去电源，
放入一厚度为 t=0.4cm,?r=4.8的平板均匀电介质，
求,(1)放入介质后极板的电位差。
(2)放入介质板过程中外界作了多少功？
br?t
解,(1)充电后极板带电 Q=CU
t1b
SC
rr
or

从例 2知放介质前 bSC o
c101.1Q 8则：
放介质后，
CQU v88?
(2) A外 =?W 2212 CU21UC21WW J107.1 7 < 0
即：外力作负功，电场力作正功。




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例 8.平行板电容器，极板面积为 S,间距为 d,接在电源上以保持电压为 U。 将极板的距离拉开一倍，计算：
(1)静电能的改变?We=？ ； (2)电场对电源作功 A=？；
(3)外力对极板作功 A外 =？
解,(1)拉开前拉开后
dSC 1
d2SC 2 222 UC21W?
211 UC21W? 2
12 4 UdSWWW
静电能减少了0?W?
(2) 电场 对 电源 作功 =电源力 克服 电场力 作功
21QQ U d qA 电源UQQ 12
UQQ 12 电源电场 AA CUQ 221 UCC
2Ud2 SA电场 >0 但 A电场? –?W
(3)外力对极板作功 WAA 电源外
22 Ud2 SUd4 S 2Ud4S电场外 AWA
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