第十六章 电磁感应
§ 16.4 互感与自感
§ 16.2 感生电动势 感应电场
§ 16.3 动生电动势
§ 16.5 磁场的能量第十六章 电磁感应
§ 16.1 电磁感应定律
1,法拉第电磁感应定律法拉第的实验,
共同因素,穿过导体回路的磁通量?M发生变化 。
dt
d
i
法拉第电磁感应定律
v
S N
B?
v?
其中?i为回路中的感应电动势
（?i为回路中载流子提供能量）。
软磁体 为获得强磁场，电池组用到 120个电瓶用一磁针作电流计动画动画
1
§ 16.1 电磁感应定律
1）任一回路中, SdB dSB?c o s
其中 B,?,S有一个量发生变化,回路中就有的?i存在。
2）,–‖表示感应电动势的方向,?i和?都是标量，方向只是相对回路的绕行方向而言。如下所示：
dt
d
i
B?
n?
i?
B?
n?
i?
B?
n?
i?
90),(?nB
90),(?nB
90),(?nB
0c o s dsB
与假定方向相反若,
则?i<0
0?dtd?
0
若,
同向则?i>0
0
则?i>0
若 |?|?,
同向说明,
0?dtd? 0?dtd?
B?
n?
i?
90),(?nB
0
反向若 |?|?,
则?i<0
0?dtd?
2
2,楞次定律 判断感应电流方向的定律。
感应电流的 效果,总是 反抗 引起感应电流的 原因 。
应用此定律时应注意,
1）磁场方向及分布；
定律：
2）?M发生什么变化？
3）确定感应电流激发磁场的方向；
4）由右手定则从激发 B方向来判断感应电流或?i的方向。
i?
i? i
B?
若
B?
若
B?
若
B?
若
i?
感应电流激发的磁场通量磁通量的变化
（增加或减小）
一般由 d?/dti的 大小 ；由楞次i的 方向。 3
保证了 电磁现象中的能量守恒与转换定律的正确，
并且也 确定了 电磁,永动机,是不可能的 。
正是外界克服阻力作功，将其它形式的能量转换成回路中的电能NS
注,楞次定律中,反抗,与法拉第定律中,–‖号对应
。
SN
i
若没有负号,–‖或不是 反抗 将是什么情形？
N S
SN
i 过程将自动进行，磁铁动能增加的同时，感应电流急剧增加，
而 i?,又导致 i?… 而不须外界提供任何能量。电磁永动机事实上，不可能存在这种能产生如此无境止电流增长的能源！
4
3,电磁感应定律的一般形式若回路由 N匝线圈组成：
若?1=?2= · · · =?N,则?i =－ Nd?/dt。
其中? =?1+?2+ · · ·+?N,回路的总磁通匝链数。
回路中相应的感应电流,
.1 dtdNRRI ii
从 t1→ t2时间内，通过回路导线任一横截面的电量,
21 dtdtdRN 21tt i dtIq21 RN
与 d?/dt无关若已知 N,R,q，便可知=？
若将?1定标，则?2为 t2时回路的磁通量。
全磁通磁通计原理
dt
d
i
5
例 1.长直导线通有电流 I，在它附近放有一 矩形导体回路,
求,1）穿过回路中的?； 2）若 I=kt（ k=常）回路中?i=？
3）若 I=常数，回路以 v向右运动,?i =？
4）若 I=kt，且回路又以 v向右运动时，求?i=？
解,设回路绕行方向为顺时针，
1） b
a ld rB ba l d rr
I
2
0
a
blI ln
2
0
2） I=kt时，在 t时刻,
a
btlk ln
2
0
dt
d
i
0ln
2
0
a
blk
逆时针方向
a
b
I
l
dr
r
3） I=常数,t 时刻，此时回路的磁通：
drrIl 2 0 vta
vtbIlo ln2
dt
d
i
0))((
)(
2
vtbvta
vballo
顺时针方向
a+vt
b+vt
6
4）综合 2）,3）,t时刻回路的磁通,vta vtbtklo ln2
dt
d
i
vta
vtb
vtbvta
vtabkl ln
2
0
a
blki ln
2)2
0
vtbvta
vball
i
)(
2)3
0
此题若这样考虑,
而,sdBd
.2 0 l d rrI
则,
dt
d
i
dt
drlrIo2 vlrIo2
dt
d
i
这样就有,2）,0?v 0 i?
3）
vlrIi 2 0
vlrkti 2 0
4）
错在那里？
7
例 2,弯成?角的金属架 COD,导体棒 MN垂直 OD以恒定速度 v在金属架上向右滑动，且 t=0,x=0，已知磁场的方向垂直纸面向外，求下列情况中金属架内的?i:
1）磁场 B分布均匀，且磁场不随时间变化。
2）非均匀时变磁场,B=kxcos? t。
解,设回路绕向逆时针
1） t 时刻,x =vt 。
SBx t gxB
2
1
v?
B?
O
C
D
M
N
x
.21 22?tgtBv?
dt
d
i
tgtBv 2
方向与绕向相反，
只出现在 MN上 。
此处可直接利用均匀场,
SB
dt
d
i
dt
dSB
tgx
dt
dB 2
2
1?tgtBv
2
BdSSdBd
0?
8
2） B不均匀
SB SdBd
SdB
x dxx t gtkx0 c o s
tgtkx c o s31 3
,co s31 33 ttvk t gt
dt
d
i
2333 c o ss i n31 tvtk t gtvttgk
,0?i?
,0?i?
与绕向相同 。
与绕向相反 。
v?
B?
O
C
D
M
N
x
x dx
9
电动势?i内是什么力作功？
的变化方式：
导体回路不动,B变化 ~~感生电动势导体回路运动,B不变 ~~动生电动势
dt
d
i
法拉第电磁感应定律：
i 是回路中的感应电动势
10
§ 16.2 感生电动势,感应电场
1,产生感生电动势的机制 ——感应电场 Ei
G
1
2
线圈 1中,I?变化时,
两个静止的线圈：
什么力驱动线圈 2中电荷运动？
线圈 2中出现?感应电流 Ii
是不是静电场 E？ E为保守力场。
静电场 E不能 为闭合回路运动的电荷提供能量！
,0 ldE
麦克斯韦 引入 感应电场 的概念磁场 B?t 变化的同时 电场产生此电场的电力线是闭合的，称为 涡旋电场 —感应电场 Ei。
非保守场不是磁场力！
Ii
11
iE?
感应电场 的 特点,
qFE i
1）
iE? eE?
与 一样，对场中的电荷有电场力的作用。
2）
iE?
不依赖空间是否有导体存在，
iEqF
3） iE? 是非保守力场,。0 ldE i
只要有,则就有 Ei的存在。0?dtdB
12
2,感生电动势
ldE ii
又,dtdi SdBdtd SdtB?
iE?
的环路定律注,ld? Sd?与 成 右手螺旋关系 。
对闭合回路：
显然?i与导体回路形状有关 。
ldE ii
SdtBldE i?
定义：
13
iE?
场中不能引入电势概念。
其电力线是无头无尾闭合曲线 ~~涡旋电场 。
iE?
的方向判断可用 楞次定律；
3.
iE? eE?
与 的 异 同相同处,对电荷的作用相同。
不同处：
无源
0 ldE e SdtBldE i?
i
oe
qSdE?1 有源无旋 有旋保守场 → 电势 非守保场
0 SdE i
iE?
与?i方向基本一致。
一般地，
14
iE?4,的计算例 3,求一个轴对称磁场变化时的涡旋电场。已知磁场均匀分布在半径为 R的范围，且 dB/dt=常量，而且大于零。 求,1）任意距中心 o为 r处的 Ei=?
2）计算将单位正电荷从 a→ b,Ei的功。
解,1)由Ｂ的均匀及柱对称性可知，在同一圆周上 Ei的大小相等，方向沿切线方向。
Ei
o a
b
r
取半径为 r的电力线为积分路径，
方向沿逆时针方向,
当 r＜ R时,
dtdBrE i 2?
rEldE ii?2
)( 2rdtdBSdtB
当 r＞ R时,rEldE
ii?2
2RdtdBsdtB dt
dBrRE i 2 2?
R
iE
o r
sdtBldE i?
15
2）沿 1/4圆周将单位正电荷从 a→ b,Ei作功
ldEA iab
4
1
2
2
r
o
dl
dt
dBr
dtdBr 24
沿 3/4圆周 Ei作功
ldEA iab
4
3
2
3
2
r
o
dl
dt
dBr
dtdBr 243
2） r＞ R，磁场外 Ei≠0。
3） A1/4ab≠ A3/4ab
o a
b
r
iE
即,Ei作功与路径有关 ——非保守场
dt
dBrE
i 2?
结论：
1）,与 B大小无关？dtdBE i?
16
iE
例 4.在例 3中,如图放入一边长为 l 的正方形导体回路 oabc。
求,1）回路各边的感应电动势； 2）?i总 ；
3）回路内有静电场吗？
若有哪点（ c与 a）电势高。
解,1） iEoa
iEoc?
0 ocoa
ba iab ldE ba dlE?c o s ba dldtdBr?c o s2
ba dldtdBl2
b
a
ldtdBl2?
221 ldtdB?
同理,221 ldtdBbc
a
c b
o
2）?i总 =?ab+?bc
或,SBdtd dtdBS?
注,根据对称性,1）,2）的计算可以倒过来进行。
r
ldE ii
ld?
dt
dBrE
i 2?
dtdBl 2?
dt
dBl 2?
dt
d
i
总
17
3）有静电场！在哪里。
o
a
b
c
ab=?bc会使正电荷在 c点，
聚集而 a点有负电荷积累
Uac=Ua – Uc=i –? IiRi
,0 ocoa
a
c b
o 等效电路结论一致
2
2 R
Rdt
dBl i 02
1 2 dtdBl
ac UU
或,Uaoc=Ua – Uc =0 –? IiRi
< 0dtdBl22
2RRi
)42()( RIbcab
18
② 在导体内, ldEEldE
L eiL
静电平衡时,E=0, 0 ldEE
ei
即,
L iL e ldEldE
U
U为导线两端的电位差，即开路时电源的端电压。
0U
2)涡流,将导体块放置在 Ei中，则在导体中将产生环形电流 → 涡流。
总结以上的讨论，对感应电场 Ei说明,
iE
1） 是涡旋场 ——非保守场,不能引入 势函数 。
但它对在其场中的导体提供电动势, ldE
ii
① 导体不闭合时?使导体内电荷重新分布?产生 Ee
ei EEE
静电平衡时：
ei EE
eE
由于 的存在，则 出现电势 。
则导体内的总电场：
0?E?
19
r
a
解：
例 5,将半径为 a的金属圆盘，厚为 h，电导率为?，同轴放置在轴对称匀强磁场中，求圆盘电流强度及产生的热功率。 设 B均匀,dB/dt>0。
取半径为 r,厚度为 dr的圆筒,其电动势
dt
dd
i
2rBdtd,2 dtdBr
其上电阻为,drh rR2
R
ddI i
i
r
h d r
dt
dBr
22 drdt
dBhr?
2
ii dII
B?
h
总电流：
.41 2 dtdBha
产生的热功率：
dPP
2idIR 2
4
8
1?
dt
dBha
20
3）物理中应用 ——电子感应加速器。
问题,为什么在交变磁场时，每一个变化周期里，
只有 1/4周期是在给电子加速？
1）涡流是有害的，它消耗电功率，
降低设备能量利用效率,
2）利用涡流产生的热量加热和熔化金属,
结论：
原理：用变化的磁场所激发的感应电场来加速电子。
B?
iE
v
if
mf
管中的电子受力,
ii Eef
（切向加速）
Bvef m
（提供向心力）
加速器的成功证实了感应电场的客观存在。
21
§ 16.3 动生电动势
1.产生动生电动势的机制
(1) 等效非静电场 Ek：
导线 l 在外磁场中运动时,l内自由电子受到磁场力作用：
Bvef洛类比静电场,
定义非静电场：
q
FE
e
e
fE
k 洛
Bv
s i nvBE k
方向,Bv 正电荷受力方向。
v
B
(2) 动生电动势定义,
L ki ldE
L ldBv
00 iEdtdB 则：
kE?
大小
l
22
例 6,均匀磁场 B中 ab棒沿导体框向右以 v运动，
且 dB/dt=0,求其上的?i。
解：由定义
baab ldBv
v B d l vB l?
用法拉第定律：
dt
d
i
sB
dt
d
dt
dsB?
lxdtdB? dtdxBl? Blv?
l
a
b
v
xx
23
(3) 谁为回路提供电能？
vBvef洛
动 的出现是什么力作功呢？
电子同时参与两个方向的运动：
v? 方向，随导体运动；
u? 方向，导体内的漂移形成电流。
电子受到的总洛仑兹力：,
21 ffF
VF
——洛仑兹力不作功。
f1
f2
u VF
a
b
v
,0 VF
,02121 vfufuvff即：
显然：
,0,// 11 ufuf f1作正功。
,0,212 vfufvf f2作负功。
要使棒 ab保持 v运动，则必有外力作功,2ff外即,.
1 ufvf?
外 24
2,?动 的计算例 7,在真空中，有一无限长直导线电流 I 旁，有一半圆弧导线以 v 向右运动。已知 r,R。
求 Ek,?QP,P与 Q 哪点电势高？
I
P
Q
R
r v
B?
dl
解,1）在导线上任意 dl处的 Ek
c o sRrr
BvE k r
Iv
2 0 c o s2 0Rr Iv
距电流为 r'：
vB?
2） ldE
kQP
dlRr
Iv?
c o s
c o s2
0
.412 1220?
Rr
Rrtg
Rr
rIv
方向向上
dl=Rd?
3）?i从 Q→ P,UP>UQ。
能否用直线 PQ来代替 PQ？
显然：
PQQP
RrIv 22 0否！
, Li ldBv
25
例 8,金属杆 oa长 L,在匀强磁场 B中以角速度?反时针绕点 o转动，求杆中感应电动势的大小、方向 。
B
o
a
L
ldBvd )( dllB
L
dllB
0
221 BL
解法一：
oa?
SB )(21 2?LB?
221 BLdtd
方向：
解法二：任意时刻通过扇形截面的磁通量根据法拉第电磁感应定律,
lld?
v?
棒两端的电位差,221 LBV oa
26
思考：
1）半径为 L 的金属圆盘以?转动
oaoa V?
2）以下各种情况中?=？
B?
27
L
o
a
§ 16.4 互感与自感
1.互感
L1
L2
(1) 互感系数在 L2中产生感应电动势
——互 感电动势?12
反之,L2中 i2的变化，也将在 L1中产生互感电动势?21。
L1中的电流 i1变化 L2中?12的变化引起由图可见,?12,?21不仅与另一线圈的电流变化有关,而且还与它们的相对位置有关 。
——线圈中两种典型的电磁感应动画一导体回路的电流变化，在另一回路中产生感应电动势 ~~互感电动势 。
28
若两线圈的相对位置确定,
设的 L1电流为 i1，在 L2中产生的磁通匝链数为?12。
,11 iB 则,1112 iB,112 i
11212 iM同理可得,
.22121 iM
L1
L2Mij是比例系数 ——互感系数,简称 互感 。
可证明给定的一对导体回路,M12= M21=M =?/i
单位,亨利（ H）
物理意义,单位电流的磁场在另一线圈产生的?。
互感电动势,dtdMidtdiMdtdM
两回路的位置有关M
ij与 线圈的几何形状及介质?有关当 M=常数：
dt
diMM
dt
diM 2
21
dt
diM 1
12
1i
29
（ 2）互感的计算
r
1
2 解：
分析,,121212 iiM 很难算出！
2112 rniM o
圆环中,?12?B1? r2 =?on i1?r2
设螺线管通有 i1，则 B1=?0ni1。
dt
diMM
112 iM
221 iM
dtdidtdi
ii
M
2
21
1
12
221112
例 9,长直螺线管单位长度上有 n匝线圈,另一半径为 r
的圆环放在螺线管内,环平面与管轴垂直 。 求 M？
注,1o 原则上可对任一线圈产生磁场计算另一线圈的磁通量 M =? /i。
2o 互感在电工和无线电技术中应用广泛如,变压器，互感器 …… 互感往往也是有害的 ……
但很多实际问题中 M很难算出。
30
2.自感
(1) 自感电动势回路中 i 变化 → B变化 →?变化
B Li
L~~自感系数或 自感 。
自 =?L
dtd,dtdLidtdiL
当 L=常量：
可见,?L总是阻碍回路自身电流的变化。
L?
L?
i?
取决于回路的大小、形状、匝数以及?
iL
―－,表示?L的方向，
dtdiLL
i 动画动画
31
1o,dtdiL 回路里 di/dt? 0L。
直流电路在 ON,off
开关的瞬间才出现?L。
2o L
L
L大,?L大 → 阻碍电路变化的阻力大；
L小,?L小 → 阻碍电路变化的阻力小。
∴ L~~对电路“电磁惯性”的量度 。
结论：
3o L的定义,
iL dtdi
L L或：
32
(2) 自感 L的计算例 10.计算一螺线管的自感,截面积为 S,长为 l,单位长度上的匝数为 n，管中充有?的磁介质，求 L。
解,设螺线管通有 I 的电流,
IL
Vn?2? nVL,,
则管内磁场为 B=?nI
管内全磁通,
=N? =NBS =N? nIS = n2? I lS
V=lS
注,除线圈外，任何一个实际电路都存在电感，输电线相当于单匝回路，回路上有分布电感。
33
例 11,两根平行输电导线，中心距离为 d，半径为 a，
求：两导线单位长度上的分布电感（ d>>a）。
解,如图，设导线中有电流 I。
单位长度上的磁通量：
sdB
ada o drrI2
a
adIo ln
IL
a
ado ln
a
do ln
ad
d
I
I
r dr
ada o drrd
I
2
34
(3) LR电路由一自感线圈 L，电阻 R，与电源?组成电路。
求：电键 K接 a上一段时间后，又接到 b上，回路里 i 的变化。
R
L
a b
K→ a,i↗ I,L上产生?L,反抗 i 增加。
,dtdiLL总 =?+?L。
即,?+?L=iR
积分可得,LRtCeRi C为积分常数。
由初始条件,t=0,i=0,则 C= －? /R。
)1( L
Rt
eRi
iRdtdiL
iLRdtdi
K
L
35
① t→?，
② t=L/R
令? = L/R,i 从 0 → 0.63I 所需时间。
大,L大,i 增长慢,?L 阻力大,电磁惯性大！
小,L小,i 增长快,?L 阻力小,电磁惯性小！
=0.63I
)11( eRi
Ri =I
时间常数
36
i
RI
I63.0
t
RL11 RL22<
)1( L
Rt
eRi
讨论
i→ I 后,K → b。
（相当于电路加了阶跃电压?→ 0）
自感电动势将使电流维持一段时间。
dtdiLL
积分可得,LRtCei
由初始条件,t =0,i =?/R =I。
L
Rt
eRi
即：去掉电源时，电流仍按指数递减，
递减快慢仍由?=L/R来表征。
t=?时,i=0.37I?大,i 衰减慢。小,i衰减快。
i
t
RI
I37.0
小?大
R
L
a b
K
L
iRL iRdtdiL
得,C=?/R
37
1o LR电路在阶跃电压的作用下，电流不能突变，
=L/R 标志滞后时间。 L有平稳电流作用。
2o 自感在电工及无线电技术中应用很广泛，
但在大自感电路里也是有害的 。
结论：
i
RI
I63.0
t
R L 11 R L 22<
i
t
RI
I37.0
小?大
38
§ 16.5 磁场的能量
1,LR电路中的能量转换
R
L
a b
K
L
储存自感 L中能 量当电流以 di/dt >0变化时，电流变化 di，
电源克服?L作功为 dA,
L id idA
dA= –?Ldq= –?Lidt
dt
diL
L
dAA
L id i0
I
221 LI?
221 LIW?储存电路在建立稳定电流的过程中，
电源力克服自感电动势?L作功。
39
电流稳定后，去掉电源，
电流 i 从 I→0,?L作功，释放存在线圈内的能量，把能量传给电阻，以热能形式散发：
dteIRdtRiQ tLR )( 222
0 22 dteRI tLR
221 LI?
.LRteRi
0 22 )2(21 tLRdeLI tL
R
R
L
a b
K
L
221 LIA? 221 LIW?
储存
40
2,磁能与磁能密度以长直螺线管为例,已知，长螺线管 n,l,S,I。
由上可得，通有电流 I的自感线圈中储能：
类比电能存在电场中，可认为，磁能储存在磁场中。那么,Wm→ 磁场（ B,H），如何联系？
IL
,20 lSn
221 LIW m? 22021 IlSn SlB
0
2
2 VB 0
2
2
221 LIW?
∵ 管内为均匀磁场，单位体积储存的能量为：
HBBVWw mm 212
0
2
0?
BH
以上结论对任意形式的磁场都成立。
磁场强度一般地，非均匀场, Vmm dVHBdVwW21
lSIn )(21 220
在例 1.中已求得：
41
3,磁能与自感系数若已知 L→ 反之，已知 Wm → L 。
221 LIW m?
两根平行输电线相距为 d，半径为 a，若维持 I 不变。（前已求得，单位长度上的自感 ）
2）磁能改变多少？增加或减少,说明能量来源？
例 12.
求,1）当 d→ d’时，磁力作的功。,ln
0
a
dL
d
I
I
d'
1） 单位长度受力
r
III l BF
2
0
.0ln22 2020 ddIdrrIrdFA dddd
解：
F
22 2121 LIILWWW dd
adadI lnln21 02
d
dI?
ln
2
20 > 0
2）
能量从何而来！ 42
dt
d
L
导线移动时，会产生感应电动势?i。而要维持 I不变，电源力必须克服?L作功，从而将外电源的能量转变为磁能增量和磁力作功两部分。以下作出定量证明：
dt
dLI
dt
diL
外电源克服?L作功，则?L作负功。
dqA L外 I d t
dt
dLILL dLI 2LLI 2
adadI lnln 002
d
dI?
ln20
.WA 磁力
d
dIA?
ln
2
20
磁力 dd
IW?
ln
2
20?
Li
0
能量守恒
.ln0 adL
43
Wm→ L
解：设电缆通有电流 I，
则两圆柱面间的磁场为：
rIBHr
IB
2,2
H d VBW m 21
2
2
I
WL m?
a
b r
同轴电缆，两圆柱面半径分别为 a,b，充满磁介质?，求单位长度 Mm与 L。
例 13.
r d rrIrI 22221
。abI ln4 2
a
b
I
I ln
4
2
2
2
a
bln
2?
221 LIW m?
2
2
I
WL m?
44
例 14,一矩形金属线框，边长为 a,b (b足够长 )，线框质量为 m,自感系数为 L,电阻忽略,线框以初速度 v0沿
x轴方向从磁场外进入磁感应强度为 B0 的均匀磁场中，
求,矩形线圈在磁场内的速 度与时间的关系式 v=v(t)
和沿 x 轴方向移动的距离与时间的关系式 x=x(t)
o
0B?
x
解法一,线圈的一部分进入磁场后，线圈内有
动,?自 。
)1(00 dtdILavB
)2(0?aIBdtdvm
0222 vdt vd? mLaB
22
02
联立
a b ov
45
tCtCv c o ss in 21
oo vCvvt 2,0 时当
tCtCdtdv s inc o s 21 maIB o
00 It 时，当 00c o s1C
01 C
tvv o?c o s?
tvx o s in?
)2(?aIBdtdvm o根据：
方程的通解：
o
0B?
x
a b ov
46
解法二：
222
0 2
1
2
1
2
1 LImvmv
0 dtdILIdtdvmv即代入上式将 ( 1 ) 0 avBdtdIL?
)2(00 aIBdtdvm
o
0B?
x
a b ov
47
