第二十二章 光的衍射第五篇第二十二章 光的衍射
§ 22— 1 导言
§ 22— 2 单缝夫朗和费衍射
§ 22— 3 双缝衍射
§ 22— 4 多缝衍射（光栅）
§ 22— 5 圆孔衍射
§ 22— 6 X 射线的衍射
§ 22— 7 全息照相
1,光的衍射现象
S?
§ 22— 1 导言光可绕过障碍物前进，并在障碍物后方形成明暗相间的衍射条纹。
~a缝宽
1演示,单缝、单丝、圆孔衍射现象
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
2
圆孔衍射现象
2,惠更斯 菲涅尔原理 （处理衍射的理论基础）
r
p
d?
波阵面上各面积元所发出的球面子波在观察点 的相干叠加决定了 点的合振动及光强。p
p
衍射现象实为无限多个无限小的子波的干涉效应。
d? dydE? )urt(co sr )(a)(f i d?
点的合振动p )r
T
t(2c o s
r
)(a)(fCdyy i
d?
菲涅尔衍射公式
3
n?
3,菲涅尔衍射与夫朗和费衍射菲涅耳衍射 夫朗和费衍射
S
P
有限远 无限远入射光为非平行光衍射光为非平行光入射光为平行光衍射光为平行光
（利用透镜达到此要求）
4
S
P
本章只研究 夫朗和费衍射！
f f
§ 22— 2 单缝夫朗和费衍射研究的问题明暗条纹位置分布条纹强度分布
I
5
（用半波带法）
22s ina
1,明暗条纹位置分布
0P
中央明纹（中央极大）
任意点 P
抓住缝边缘两光线光程差,P
0P
6
22?
a
f将缝分成两部份（两个半波带），相邻半波带对应子波光程差为在 点叠加相消，故
2?
P
P 处为第一暗纹。
再考虑另一点
224s ina
K级暗纹（极小）：
'P
'P
可以判断出 P’处 应将缝分成四个半波带，
是第二级暗纹。
（缝被分成偶数个半波带） ks ina
,3,2,1k?
7
a
2
2?
2?
2?
2?
以此类推，
2)1k2(s ina
0
,3,2,1k?
（缝被分成奇数个半波带）
中央明纹
K级明纹（极大）：
sina
中央明纹
k?
2)1k2(
,2,1k?暗纹（极小）
（缝被分成偶数个半波带）
,2,1k?明纹（极大）
（缝被分成奇数个半波带）
0
讨论,A.
又宽又亮（为其它明纹宽度的两倍）
I
0 中央明纹
1?
f
a 1?
1k1sina
asin 11
a22 1
af2ftg2x2 11
暗纹中央明纹半角宽角宽度中央明纹线宽度
1x
1x
Δ
8
asin 11
x
自己证明
a1
Δ
B.
Δ1,a
10a?
5a?
a
10
1
asin 1
75.51?
5
1sin
1
1sin 1
5.141?
901?
a 屏上强度均匀
（中央明纹复盖整个屏）
C, Δ
1
白光照出彩条。
9
2,单缝夫朗和费衍射的强度分布
10
0I
求光强 用振幅矢量叠加法相邻两窄条引起的位相差为将缝分成 个等宽窄条，宽度N
N
ax?Δ
每窄条视为子波波源，在 点光振动p
振幅为
0EΔ
s inx2 ΔΔ?
a
p
xΔ
0p
0p 0sin 0Δ
0EΔ
0E
0E
Δ
R
sina2?Δ
E
p 0s inx2
ΔΔ
s inR2E?
2RE 0 Δ?
sinE
0?
2
ER 0
N 振幅链条变成圆弧
2EI
2
2
0
s inII
sina
2
Δ其中
11
2
2
0
s inII
sina
2
Δ其中单缝夫朗和费衍射强度分布公式讨论,A,可严格导出极大、极小条件
0)s i nc o s(s i n2IddI 30
0sin
ksina
ksina
tg
极大极小
（超越方程）作图求解
，, 46.243.1,0
12
25,23,0
1sin2
2)1k2(s ina 2)1k2(s ina
（近似）
（严格）
0I
+2.46π
y y
2 =?
-2.46π
o? 2?-?-2?
y1 = tg?
-1.43π +1.43π
·
·· ·
0
0
)23(43.11
)25(46.22
)23(43.1s ina
)25(46.2s ina
0
中央明纹第一级明纹第二级明纹
B,各级明纹强度由明纹条件则
2)1k2(s ina
2)1k2(
s ina?
1k? 231 %5.4II045.0
)23(
2
3s i n
Is i nII 00
2
2
02
2
0
2k?
2
5
2
%6.1II016.0
)25(
1II
00
2
0
各级明纹强度比中央明纹小得多！ 13
0I
例 1,单缝 mm1.0a? mm100f? nm500
p mm75.1x?点 处是明纹求：（ 1） 点条纹级数p?k?
（ 2）对应于 点缝可分成多少个半波带？p
（ 3） p 点的相对光强？
（ 4）将缝宽增加 1倍,点将变为什么条纹？p
2)1k2(s ina
明纹 2)1k2(fxa
35.05.321faxk
第 3级明纹
2)1k2(s ina 272)132( 7个半波带
2
7,3k %83.00 0 8 3.0
)27(
1s i n
I
I
2
2
2
0
7214272s ina2
第 7级暗纹 14
a
p
f
x?
§ 22— 3 双缝衍射将 双缝干涉 与 单缝衍射 结合 考虑称双缝衍射。
1,双缝干涉
,1,0k?
21 co sI4I sind2 Δ
设每个缝均匀照亮屏
o?
p
f
a
2,每个缝的衍射
2
2
01
sinII
sina?
注意,两缝衍射强度分布是重合的！
3,双缝衍射
22
2
0 c o s
s inI4I
2
2
2
m c o s
s inI? 15
1s
2s
p
d
f
I
x
1I
sind
k?
2)1k2(
明暗
I
1I
22
2
m c o s
s inII sind sina?
干涉因子衍射因子结果,双缝干涉的条纹位置仍不变，只是强度受到单缝衍射的调制。
强度包线由 决定。
2
2sin
条纹位置由 决定。2cos
16
强度包线演示,双缝衍射双缝衍射的强度分布图强度包线
I
mI
包线变窄，条纹位置不变。
包线不变，条纹变密。
包线变宽，条纹变宽。
讨论,变化时对条纹的影响？、,da
a
d
17
解：（ 1）
d
Dx mm42
（ 2） mmaDDD tgx 12s i n 11
1?
求：
例 2,双缝衍射
nm480,cm50D
mm020a,mm10d
已知
xΔ
（ 1）屏上条纹间距？
（ 2）屏上包线中央极大到第一极小的间距？ D
d
a
强度包线
x
18
根据
sind
dsin
s ina
s ind
510
020
d
a
%86)( c o s)
5
5
s i n
()( c o s)
s i n
(
I
I 2222
m
1k?
（ 3） 第 1 级明纹的相对强度？
19
D
d
a
强度包线
mI
22
2
m c o s
s inII?
由
（ 4） 包线中央极大范围内有多少条明纹？
包线第一极小
ks ind 1?
5020 10adk
（ 4） 包线中央极大范围内有多少条明纹？
双缝干涉极大
1sina
9142包线中央极大范围内共有 条明纹。
缺级是由缝结构决定的：
单衍极小双干极大如
'ks ina?
ks ind?
级明纹缺级k
当 整数之比时,级明纹缺级。
kkda
' k
15310251da
966432da 20
(第 5 级明纹缺级 ！）
sina
2)1k2(s ind
5k?
11
2
d
a
（ 5） 如果要求包线中央极大内恰好出现 11 条完整的明纹则?da?
21
（单衍第 1极小）
（双干第 6极小）
§ 22— 4 多缝衍射（光栅）
将 N个 缝的干涉 与每个 单缝的衍射 结合 考虑称多缝衍射。
1,多缝干涉
（ 1）强度分布设 N个等宽等间距的很小的缝，
用振幅矢量叠加法。
sind2?Δ
10E
Δ
E
2
s in
2
N
s in
EE 10
Δ
Δ
2
s in
2
N
s in
aA
d
N f
p
22
每缝在屏上产生的振幅为,
10E
相邻缝在 点振动位相差为p
2
2
2
10
2
s in
Ns inEE sind2 Δ
2EI
2
2
1 sin
NsinII sind2 Δ
I
2N? 4N?2N
2
12
2
12
2
1 c o sI4s i n
)s i nc o s2(I
s i n
2s i nII
4N?
2
2
1 sin
4sinII?
（ 2）条纹特点,明纹（主极大、谱线）又细又亮，
中间隔有宽广的暗区，缝数 N增加，明纹愈细愈亮。
主极大间有 N-1个极小
N-2个次极大
d
N f
p
23
演示！
（ 3）明纹（主极大）位置 光栅公式
ks ind2,1,0k?
（ 4）明纹（主极大）强度主极大：发生在 I中分子、分母都为 0时
k
2
2
1 sin
NsinII?
ksind ks ind
lin
ksinNsin
lin
k Nc o s Nc o sN
21 NII? 2N?
sind
2
Δ
d
N f
p
I
24
)0( s in0Ns in 'kN?
'ksindN Nksind '?
1N,2,1k ' 1N2,1N,1N2?
N N2
Nksind
'
)Nmk(
,2,1,0k?
1N,2,1m
ksind k )N1k()s in (d k Δ
Ndco ss i ns i nco sco ss i ns i n)s i n ( kkkkkk ΔΔΔΔ
极小：发生在分子为 0，分母不为 0处相邻主极大间有 N-1个极小,N-2个次极大。
主极大半角宽,?Δ
则
kc o sNd?
Δ
N
1Δ
I
k?
Δ
25
（ 5）明纹（主极大）宽度
2,多缝衍射
（ 1）强度分布条纹位置仍由多缝干涉决定，
只是强度受到单缝衍射的调制。
（ 2）缺级单衍极小多干极大当
2
2
1 sin
NsinII?
)s in Ns in)(s in(II 2
2
2
2
0?
'ksina?
ksind?
kkda
' 整数之比,级主极大缺级。k 26
I
多缝干涉光强曲线单缝衍射光强曲线多缝衍射光强曲线
a4d, 4N
3,光栅如 500条刻线 /mm
nm102mm1025 0 01bad 33
光栅常数
d 很小，条纹分得开。
N 很大（千万条）,每条谱线又细又亮。
a 很小（ ）,中央包线几乎复盖整个屏。~a
光栅为光谱仪的分光元件应用：（ 1）测波长。
（ 2）光谱分析：物质元素成份、含量。
27
d
a
b
例 3,波长为 的平行光入射到每毫米 500条刻痕的光栅上。
nm589
解,光栅常数 nmd 2 0 0 0
500
1
ks ind?
时090k90s ind 0?
3435892000dk
上下对称，屏上共有 条明纹 7132
求,屏幕上明纹数目？
（ 1）当光垂直入射 pd
f
0k?
3k?
3k
4
2
2
1
d
a
2k 缺级 共有 5122 条明纹若 nm1000a? 如何？
28
由明纹条件解,光栅方程 kis inds ind
时当 090
k)30s i n90( s i nd 00
级515k
时当 090
k]30s i n)90[ s i n (d 00
级171k
若平行光 斜入射时,光栅方程如何？
总共有 5+1+1=7条。
（ 2）平行光以 入射 时，屏上明 纹数目？? 30i
0k?
5k?
1k
若 nm1000a? 如何？ 4,2k? 缺级,总共有 3+1+1=5条。
p
d
f
i
1n 2n
若光栅两边媒质折射率分别为,光栅方程如何？
21 nn,
kis indns indn 12
kis inds ind
29
i
例 4,设计一光栅，要求把第一级可见光谱扩展到 角范围，第二级光谱缺级，试确定,之值？ad
30
0k?
1k?
1k? 2?解,可见光
1?
nm400 nm760
2?
1k?
11sind
21 )30s in (d
dsin
1
1
dco s30s i n30co ss i n 211
nm918)30s i n 30c o s(d 21212
2d
a? nm459
2
da
1?
30
1?
30
1
例 5,N 根天线 位相依次落后,天线间距2?
2d
求,为何值时该方向辐射加强？
sind
4
k?
k4sin2 )41k(2sin
0k? 21sin 30?
1k? 无解
N
30
加强
d
微波源移相器辐射单元
n? 靶目标一维阵列的相控阵雷达
31
解,可视为 N个缝的光栅 12
§ 22— 5 圆孔衍射
1,现象
22.1s inD 1?
D22.1s in 11
1D?
1D?
Df22.1ftgR 1
用菲涅尔衍射积分公式可得第一暗纹位置
R
爱里斑半径衍射显著衍射不显著
D
f
1?
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
爱里斑圆孔衍射会使光学仪器的成像质量变差！ 32
动画
2,圆孔径光学仪器的 最小分辨角星 1
星 2
星星
1
2
1?
瑞利判据,一物像斑中央极大与另一像斑第一极小重合时，此两像斑恰能分辨。
最小分辨角
D22.11
1?
D
分辨本领（率）
提高分辨本领的途径 望远镜显微镜 33
扫描隧道显微镜
48个 Fe原子形成,量子围栏,,围栏中的电子形成驻波,
34
例 6,估算人瞳孔的最小分辨角
mm3D?
nm550
'4 8.0r a d1023.2
D22.1
l
yΔ
m9mm1091023.2 2yl 34Δ
若两物点相距,要能分辨最多离人多远？mm2y?Δ
yΔ
l
设
35
§ 22— 6 x 射线的衍射
1,x 射线
1895年伦琴发现 x 射线波长很短的电磁波 A1~
劳厄用晶体作为 x 射线的天然三维光栅单晶
x 射线
Nacl
多晶
x 射线
Nacl
每个微粒（原子、分子、离子）都是散射子波的波源，
这些子波的干涉加强形成了斑点。
- K A
X射线
X射线管
+
36
劳厄斑
2,布喇格公式
d
d?
d晶面
A C B
,掠射角
s i nd2CBAC
d,晶面间距
(晶格常数）
ks ind2,2,1k?
晶体已知，可测 x 射线波长。
已知，可由衍射图分析晶体结构。应用：
将晶体视为许多晶面族组成用此式可解释劳厄斑的形成。
37
§ 22— 7 全息照相 干涉与衍射的现代技术应用记录光波的全部信息（振幅、频率、位相）。
记录 光的干涉效应再现 光的衍射效应 激光是理想的光源
1,记录 干涉效应参考光干涉条纹（复杂光栅）
底片散射物光
38
2,再现 衍射效应参考光底片人眼虚像 实像特点,A,底片上任一小块都再现完整的像。
B,立体的像。
C,全息照相技术是现代科技广泛应用的一种干涉记录与测量技术。
演示,激光全息等
39
3,原理以一物点成像来分析再现记录参考光
（平面波）
参考光底片底片散射光
（球面波）
圆环形条纹形成复杂光栅虚像 实像各缝光只在两方向加强：
沿原物光延长线方向，
与虚像对称点两光程差光程差为 加强成虚像。
为 加强成实像。
40
