笫 7章 锁相环路
7.1 概 述
7.2 PLL基本原理
7.3 PLL的线性分析
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
7.4.2 一阶环路的非线性分析
7.4.3 二阶环路的非线性分析
7.5 集成锁相环介绍
7.6 PLL电路实例与应用举例
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
（ 1）研究的问题：捕捉特性和同步特性等。
捕捉特性 指环路进入锁定状态的 条件,过程 及所需的 时间 等。
▼ 条件,当输入信号刚刚加到 PLL输入端时，有 起始频差,
00 oi
若 超过某个数值,环路将不能进入锁定状态，
p?
称 为 PLL的 捕捉频带 。
p?
▼ 过程,环路进入锁定状态的过程，一般有两个过程：
频率牵引和相位锁定 。
▼ 时间,称从输入信号加到环路的输入端起，到环路进入锁定状态的时间为 捕捉时间,用 表示。
pT
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 1）
同步特性 是指在环路已进入锁定状态后，压控振荡器能跟踪输入信号频率变化的范围，又称为 PLL的 非线性跟踪特性 。
▼ 当环路已处于锁定状态后，改变输入信号的频率，由于环路的反馈控制作用,压控振荡器的频率将随输入信号频率变化 。
但压控振荡器的频率变化范围是有限的。
▼ 当输入信号频率变化超过某一边界值 后，压控振荡器不再能跟踪它的变化，环路将失锁。通常称 为同步频带或保持频带，它表示了环路的同步特性。
H?
H?
▼ 锁相环是一个非线性系统。但是,在锁定情况下的跟踪过程可以用线性系统近似处理。
)30(6)( ot
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 2）
分析方法主要采用相平面图法这是一种求解非线性微分方程的图解法，
适用于一阶和二阶环路。
▼ 在组成环路的各部件中,仅考虑鉴相器非线性特性。
并假定其特性为正弦函数 。
▼ 仅讨论一阶环路和采用理想积分滤波器的二阶环路的捕捉特性。
7.4.2 一阶环路的非线性分析
0)()(s i n)()( 1
dt
tdtpHK
dt
td
eFP
e
)()()()( 0001 ttttt iioi
对于一阶 PLL:
0)()(s i n)( 1
dt
tdtK
dt
td
eP
e
对于输入频率阶跃 时，一阶 PLL能锁定。
0
0)(s i n
)(
tK
dt
td
eP
e
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 1）
一阶环路，其环路方程为：
0)(s i n
)( tK
dt
td
eP
e
e
e
ee dt
tdt )(,)( e
e?
epe K s in0
式中 。该式表示的是 误差相位 值不同时，其时间变化率是怎样的。所以，尽管式中没有表示 误差相位 是怎样随时间变化的，但却完全可以描述反馈控制过程中,误差相位 的变化情况。
000 oi e?
下面用图解法求解该非线性微分方程。
设,以 为自变数,为因变数。
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 2）
以 为横坐标,为纵坐标。据上式可画出 ～
的曲线，如下图所示，称其为 相平面图 。
e
e?
e? e?
（讲义下册 117）
返回 1
e?
e?
2
2
32
0
0
pK
a b c
图 7.4.1
一阶环路的相平面图
0
返回 2
返回 3
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 3）
e?
e?
e?
0 pK
（ 1）相平面图的特点：
曲线上的任何一点都表示系统的一个状态，称曲线上的点为 状态点,称曲线为 相轨迹 。
相轨迹上状态点的运动方向,在横轴的上方,> 0,
表明 误差相位 的值将随时间的增加而增加。在横轴下方，
< 0，表明 误差相位 的值随时间而减小。
在曲线与横轴的交点,a,b,c … 点处,= 0,
称为系统的平衡点。
称 a 和 C 点称为稳定平衡点,b 点为不稳定平衡点。
曲线与横轴相交的情况决定于 和 的值。
相平面图
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 4）
（ 2）一阶环路的非线性分析（相位锁定过程）
（ ）
相平面图
pK 0?
当 时，不论 起始为何值，环路总能达到稳定平衡点。这就是说，只要满足,环路就能进入锁定状态，所以 一阶环路的捕捉带为 。
pK 0? e?
pK 0?
pp K
一阶环路的快捕带 等于捕捉带 。所谓快捕带是指环路在锁定过程中,误差相位 的变化不超过 2 的最大起始频差。
PL
稳定平衡点的表示式为：
若,则可得近似式：
pK 0?
p
e K
0)(
它与一阶环路在输入信号为频率阶跃时的稳态相差是一致的。
L?
,.,,,.,,2,1,0,2a r c s i n)( 0 nnK
p
e?
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 5）
捕捉时间
pT
▼ 为计算捕捉时间，可以利用相图求出与 t 的关系曲线，
然后求捕捉时间。
▼ 理论上环路达到稳定平衡点的 时间是无穷长 。
▼ 实际上,当 小于某值时，认为达到稳态。
e?
一阶环路的同步带 等于捕捉带 。H?
P?
HLP
相平面图
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 6）
（ 3）一阶环路的非线性分析（频率牵引过程）（ ）pK 0?
当 时，其相图如图 7.4.3所示 （讲义下册 119）。
从图中可以看出，在这种情况下，没有 = 0的平衡点，
当然，也就没有稳定平衡点。
因此,环路不能进入锁定状态,称其为失锁状态。
pK 0?
e?
e?
e?
0
pK
1t
2t
3t
4t
定性分析：
从
e?
0
所需时间为 。
2t
e?
所需时间为 。
从 2?
24 tt?
)( 242 ttt
返回
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 7）
0e? e?
由图 7.4.3所示曲线可以看出：
在失锁状态下，由于,将连续变化。
但是由于在不同 值时，具有不同的 。
e?
e?
所以 的时间函数不是具有正斜率的直线 。
e?
鉴相器的输出信号是非正弦波形，且正、负值部分不对称，
因此其中 存在着直流分量,这个直流分量的大小由下式确定：
]1)([ 2
PP
dP KKKV
上图
这个直流分量使压控振荡器的振荡频率向输入信号的频率靠近,这种现象称为“频率牵引”。 （讲义下册 120由图 7.4.4）
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 8）
t
t
e?
2
3
4
1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t
0
0
e?sin
失锁状态下 和 随时间变化的曲线
e? e?sin
PV
（讲义下册 120）
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 9）
)(tV?
0?
V?
i?
0
0
PKPK?
0
一阶环路的频率牵引现象
（讲义下册 120）
7.4.3 二阶环路的非线性分析
（ 1）相轨迹方程用相图法分析二阶环路较一阶环路复杂，下面以含理想积分滤波器二阶环路为例说明其原理。
0)())(s i n ()()( 1
dt
tdtpHK
dt
td
eFP
e
1
2 1)(
s
s
sH F
e
eP
eP
e
e KK
d
d
s i n
c os
11
2
上式称为采用理想积分滤波器的二阶环路的 相轨迹方程 。
（ 2）相平面图上相轨迹的特点
e
eP
eP
e
e KK
d
d
s i n
c os
11
2
当 很大时，上式右端第二项可以略去,相轨迹近似为正弦形 。
e?
当 = 0 时，相轨迹的斜率等于,即在 轴上，
所有相轨迹曲线的斜率相等 。e? 12?
PK?
e?
相轨迹对呈周期性,周期为 。因此，为了描述环路性能，
只需作出 的图形即可。2
e
相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 1）
当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的稳定平衡点。? ne 2?
e?
当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的不稳定平衡点。
e )12( ne
在起始频差 较大时，相轨迹近似于正弦波。 每变化,将有所下降，也即频差有所减小。 从起始状态到进入曲线 (2)以前是频率牵引过程 。
e? e
2?
e?
进入曲线 (2)后为 相位锁定过程,它使两者之间的频率差减小为零，而保持一固定的相差。
相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 2）
e?
e?
返回 1 返回 2
B B
CC
A
A
0
0
2
2
0
1
2
3
4
4
)(tvd
t
)(sin?edK?
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 3）
有源比例积分滤波器（放大器增益有限）
二阶环路的捕捉带为：
二阶环路的快捕带为：
环路的捕捉时间近似为：
nPP K 2?
nL 2?
32 2/)( nPT
举例 1：
r a dVKVsr a dK d /4,./103 67-8 已知某 PLL的,
环路滤波器采用 RC低通滤波器,如图所示 。 其元件数值如图所示 。 求
1,闭环传递函数；
2,环路带宽 。 C
R
d v P vF? 01,0
K 10
举例 2：
7-9 某锁相环路采用图所示无源比例积分滤波器,滤波器的参数为 。 环路增益 。
输入信号为其中 若压控振荡器的中心频率 鉴相器具有正弦鉴相特性,求环路锁定后,压控振荡器输出电压 的表示式 （ 假定其幅度为 ） 。
mss 10,25.1 21 4105dKK?
))(s i n5.0s i n ()( 0 VttVtv iimi
,/2 0 0,/10 60 sr a dsr a di
,/10005.1 60 sr a do
)(0 tv
mV0
习题二十,7-8,7-9,7-13
举例 1求解,返回已知,VKVsr a dK
d 4,./103 6 sr a dK P /1012 6
)10(1 1)( 4 SRCssH F
闭环传递函数：
)(
)(
)(
)()(
1
2
sHKs
sHK
s
ssH
Fp
Fp
c
2
1)(jH
c
令,求得环路带宽：
dB3
举例 2求解,返回已知,sr a dKKK
dP /105 4
闭环传递函数：
1)(
1)(
21
2
s
ssH
F
,/2 0 0,/10 60 sr a dsr a di,/10005.1 60 sr a do
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)(
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sHKs
sHK
s
ssH
Fp
Fp
c
sr a doi /105 3000
r a dK
P
e 47.0)(s in)(
1
环路锁定后的稳态相差：
输出信号：
)()]200s i n ()(5.0)(10c o s [)( 6 VtjHtVtv Ceomo
118.1)(jH C
7.1 概 述
7.2 PLL基本原理
7.3 PLL的线性分析
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
7.4.2 一阶环路的非线性分析
7.4.3 二阶环路的非线性分析
7.5 集成锁相环介绍
7.6 PLL电路实例与应用举例
7.4 PLL的非线性分析
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法
（ 1）研究的问题：捕捉特性和同步特性等。
捕捉特性 指环路进入锁定状态的 条件,过程 及所需的 时间 等。
▼ 条件,当输入信号刚刚加到 PLL输入端时，有 起始频差,
00 oi
若 超过某个数值,环路将不能进入锁定状态，
p?
称 为 PLL的 捕捉频带 。
p?
▼ 过程,环路进入锁定状态的过程，一般有两个过程：
频率牵引和相位锁定 。
▼ 时间,称从输入信号加到环路的输入端起，到环路进入锁定状态的时间为 捕捉时间,用 表示。
pT
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 1）
同步特性 是指在环路已进入锁定状态后，压控振荡器能跟踪输入信号频率变化的范围，又称为 PLL的 非线性跟踪特性 。
▼ 当环路已处于锁定状态后，改变输入信号的频率，由于环路的反馈控制作用,压控振荡器的频率将随输入信号频率变化 。
但压控振荡器的频率变化范围是有限的。
▼ 当输入信号频率变化超过某一边界值 后，压控振荡器不再能跟踪它的变化，环路将失锁。通常称 为同步频带或保持频带，它表示了环路的同步特性。
H?
H?
▼ 锁相环是一个非线性系统。但是,在锁定情况下的跟踪过程可以用线性系统近似处理。
)30(6)( ot
7.4.1 非线性分析中研究的问题和方法（ 续 2）
分析方法主要采用相平面图法这是一种求解非线性微分方程的图解法，
适用于一阶和二阶环路。
▼ 在组成环路的各部件中,仅考虑鉴相器非线性特性。
并假定其特性为正弦函数 。
▼ 仅讨论一阶环路和采用理想积分滤波器的二阶环路的捕捉特性。
7.4.2 一阶环路的非线性分析
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对于一阶 PLL:
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对于输入频率阶跃 时，一阶 PLL能锁定。
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7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 1）
一阶环路，其环路方程为：
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e
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epe K s in0
式中 。该式表示的是 误差相位 值不同时，其时间变化率是怎样的。所以，尽管式中没有表示 误差相位 是怎样随时间变化的，但却完全可以描述反馈控制过程中,误差相位 的变化情况。
000 oi e?
下面用图解法求解该非线性微分方程。
设,以 为自变数,为因变数。
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 2）
以 为横坐标,为纵坐标。据上式可画出 ～
的曲线，如下图所示，称其为 相平面图 。
e
e?
e? e?
（讲义下册 117）
返回 1
e?
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2
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0
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a b c
图 7.4.1
一阶环路的相平面图
0
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返回 3
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 3）
e?
e?
e?
0 pK
（ 1）相平面图的特点：
曲线上的任何一点都表示系统的一个状态，称曲线上的点为 状态点,称曲线为 相轨迹 。
相轨迹上状态点的运动方向,在横轴的上方,> 0,
表明 误差相位 的值将随时间的增加而增加。在横轴下方，
< 0，表明 误差相位 的值随时间而减小。
在曲线与横轴的交点,a,b,c … 点处,= 0,
称为系统的平衡点。
称 a 和 C 点称为稳定平衡点,b 点为不稳定平衡点。
曲线与横轴相交的情况决定于 和 的值。
相平面图
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 4）
（ 2）一阶环路的非线性分析（相位锁定过程）
（ ）
相平面图
pK 0?
当 时，不论 起始为何值，环路总能达到稳定平衡点。这就是说，只要满足,环路就能进入锁定状态，所以 一阶环路的捕捉带为 。
pK 0? e?
pK 0?
pp K
一阶环路的快捕带 等于捕捉带 。所谓快捕带是指环路在锁定过程中,误差相位 的变化不超过 2 的最大起始频差。
PL
稳定平衡点的表示式为：
若,则可得近似式：
pK 0?
p
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它与一阶环路在输入信号为频率阶跃时的稳态相差是一致的。
L?
,.,,,.,,2,1,0,2a r c s i n)( 0 nnK
p
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7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 5）
捕捉时间
pT
▼ 为计算捕捉时间，可以利用相图求出与 t 的关系曲线，
然后求捕捉时间。
▼ 理论上环路达到稳定平衡点的 时间是无穷长 。
▼ 实际上,当 小于某值时，认为达到稳态。
e?
一阶环路的同步带 等于捕捉带 。H?
P?
HLP
相平面图
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 6）
（ 3）一阶环路的非线性分析（频率牵引过程）（ ）pK 0?
当 时，其相图如图 7.4.3所示 （讲义下册 119）。
从图中可以看出，在这种情况下，没有 = 0的平衡点，
当然，也就没有稳定平衡点。
因此,环路不能进入锁定状态,称其为失锁状态。
pK 0?
e?
e?
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0
pK
1t
2t
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定性分析：
从
e?
0
所需时间为 。
2t
e?
所需时间为 。
从 2?
24 tt?
)( 242 ttt
返回
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 7）
0e? e?
由图 7.4.3所示曲线可以看出：
在失锁状态下，由于,将连续变化。
但是由于在不同 值时，具有不同的 。
e?
e?
所以 的时间函数不是具有正斜率的直线 。
e?
鉴相器的输出信号是非正弦波形，且正、负值部分不对称，
因此其中 存在着直流分量,这个直流分量的大小由下式确定：
]1)([ 2
PP
dP KKKV
上图
这个直流分量使压控振荡器的振荡频率向输入信号的频率靠近,这种现象称为“频率牵引”。 （讲义下册 120由图 7.4.4）
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 8）
t
t
e?
2
3
4
1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t
0
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失锁状态下 和 随时间变化的曲线
e? e?sin
PV
（讲义下册 120）
7.4.2 一阶环路的非线性分析（ 续 9）
)(tV?
0?
V?
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0
PKPK?
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一阶环路的频率牵引现象
（讲义下册 120）
7.4.3 二阶环路的非线性分析
（ 1）相轨迹方程用相图法分析二阶环路较一阶环路复杂，下面以含理想积分滤波器二阶环路为例说明其原理。
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上式称为采用理想积分滤波器的二阶环路的 相轨迹方程 。
（ 2）相平面图上相轨迹的特点
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11
2
当 很大时，上式右端第二项可以略去,相轨迹近似为正弦形 。
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当 = 0 时，相轨迹的斜率等于,即在 轴上，
所有相轨迹曲线的斜率相等 。e? 12?
PK?
e?
相轨迹对呈周期性,周期为 。因此，为了描述环路性能，
只需作出 的图形即可。2
e
相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 1）
当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的稳定平衡点。? ne 2?
e?
当 = 0 和 （ n为整数）时，对应于环路的不稳定平衡点。
e )12( ne
在起始频差 较大时，相轨迹近似于正弦波。 每变化,将有所下降，也即频差有所减小。 从起始状态到进入曲线 (2)以前是频率牵引过程 。
e? e
2?
e?
进入曲线 (2)后为 相位锁定过程,它使两者之间的频率差减小为零，而保持一固定的相差。
相平面图
（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 2）
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（ 2）相平面图上相轨迹的特点（ 续 3）
有源比例积分滤波器（放大器增益有限）
二阶环路的捕捉带为：
二阶环路的快捕带为：
环路的捕捉时间近似为：
nPP K 2?
nL 2?
32 2/)( nPT
举例 1：
r a dVKVsr a dK d /4,./103 67-8 已知某 PLL的,
环路滤波器采用 RC低通滤波器,如图所示 。 其元件数值如图所示 。 求
1,闭环传递函数；
2,环路带宽 。 C
R
d v P vF? 01,0
K 10
举例 2：
7-9 某锁相环路采用图所示无源比例积分滤波器,滤波器的参数为 。 环路增益 。
输入信号为其中 若压控振荡器的中心频率 鉴相器具有正弦鉴相特性,求环路锁定后,压控振荡器输出电压 的表示式 （ 假定其幅度为 ） 。
mss 10,25.1 21 4105dKK?
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习题二十,7-8,7-9,7-13
举例 1求解,返回已知,VKVsr a dK
d 4,./103 6 sr a dK P /1012 6
)10(1 1)( 4 SRCssH F
闭环传递函数：
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令,求得环路带宽：
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举例 2求解,返回已知,sr a dKKK
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闭环传递函数：
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1
环路锁定后的稳态相差：
输出信号：
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118.1)(jH C
