6 - 1
经济、管理类
基础课程
统计学 第六章 抽样与参数估计
6 - 2
经济、管理类
基础课程
统计学 参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计 假设检验
6 - 3
经济、管理类
基础课程
统计学 统计推断的过程
样
本
总体
样本统计量
例如：样本均
值、比例、方
差
6 - 4
经济、管理类
基础课程
统计学 第六章 抽样与参数估计
第一节 抽样与抽样分布
第二节 参数估计基本方法
第三节 总体均值和总体比例的区间估计
第四节 两个总体均值及两个总体比例之差的估计
第五节 正态总体方差及两正态总体方差比的区间估计
6 - 5
经济、管理类
基础课程
统计学 学习目标
1,了解抽样和抽样分布的基本概念
2,理解抽样分布与总体分布的关系
3,了解点估计的概念和估计量的优良标准
4,掌握总体均值、总体比例和总体方差的区
间估计
6 - 6
经济、管理类
基础课程
统计学 第一节 抽样与抽样分布
一, 总体、个体和样本
二, 关于抽样方法
三,样本均值的分布与中心极限定理
四,样本方差的分布
五,两个样本方差比的分布
六, T 统计量的分布
6 - 7
经济、管理类
基础课程
统计学
总体、个体和样本
（概念要点）
?总体 (Population),调查研究的事物或现象的全体
?个体 (Item unit),组成总体的每个元素
?样本 (Sample),从总体中所抽取的部分个体
?样本容量 (Sample size),样本中所含个体的数量
6 - 8
经济、管理类
基础课程
统计学
抽样方法
（概念要点）
1,概率抽样：根据已知的概率选取样本
?简单随机抽样,完全随机地抽选样本
?分层抽样,总体分成不同的“层”，然后在每一层内进行抽
样
?整群抽样,将一组被调查者（群）作为一个抽样单位
?等距抽样, 在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者
2,非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本
?非随机抽样, 由调查人员自由选取被调查者
?判断抽样,通过某些条件过滤来选择被调查者
3,配额抽样：选择一群特定数目、满足特定条件的被调
查者
6 - 9
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
6 - 10
经济、管理类
基础课程
统计学
1,所有样本指标（如均值、比例、方差等）
所形成的分布称为抽样分布
2,是一种理论概率分布
3,随机变量是 样本统计量
? 样本均值,样本比例等
4,结果来自 容量相同 的 所有 可能样本
抽样分布
（概念要点）
6 - 11
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
（一个例子）
【 例 】 设一个总体, 含有 4个元素 （ 个体 ）, 即总体单
位数 N=4。 4 个个体分别为 X1=1,X2=2,X3=3, X4=4
。 总体的均值, 方差及分布如下
均值和方差 总体分布
1 42 3
0
.1
.2
.3
5.21 ??
?
?
N
X
N
i
i
?
25.1
)(
1
2
2 ?
?
?
?
?
N
X
N
i
i ?
?
6 - 12
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
（一个例子）
? 现从总体中抽取 n＝ 2的简单随机样本, 在重复
抽样条件下, 共有 42=16个样本 。 所有样本的结果
如下表
3,43,33,23,13
2,42,32,22,12
4,44,34,24,14
1,4
4
1,3
321
1,21,11
第二个观察值第一个
观察值
所有可能的 n = 2 的样本（共 16个）
6 - 13
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
（一个例子）
? 计算出各样本的均值, 如下表 。 并给出样本均
值的抽样分布
3.53.02.52.03
3.02.52.01.52
4.03.53.02.54
2.5
4
2.0
321
1.51.01
第二个观察值第一个
观察值
16个样本的均值（ x）
样本均值的抽样分布
1.0
0
.1
.2
.3 P ( x )
1.5 3.0 4.03.52.0 2.5 x
6 - 14
经济、管理类
基础课程
统计学 所有样本均值的均值和方差
式中,M为样本数目
比较及结论,1,样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
2,样本均值的方差等于总体方差的 1/n
n
M
x
n
i
xi
x
222
1
2
2
625.0
16
)5.20.4()5.20.1(
)(
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?? ???????
?
? 5.2
16
0.45.10.11 ?
M
x
n
i
i
x
6 - 15
经济、管理类
基础课程
统计学 样本均值的分布与总体分布的比较
抽样分布
? = 2.5
σ2 =1.25
总体分布
1 42 3
0
.1
.2
.3
P ( x )
1.0
0
.1
.2
.3
1.5 3.0 4.03.52.0 2.5 x
5.2?x?
625.02 ?x?
6 - 16
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
与中心极限定理
? = 50
? =10
X
总体分布
n = 4
抽样分布
X
n =16
5?x?
50?x?
5.2?x?
当总体服从正态分布 N ~ (μ,σ2 )时, 来自该总体的所
有容量为 n的样本的均值 ?X也服从正态分布, ?X 的
数学期望为 μ,方差为 σ2/n。 即 ?X～ N(μ,σ2/n)
6 - 17
经济、管理类
基础课程
统计学
中心极限定理
（图示）
当样本容量足够
大时 (n ? 30),
样本均值的抽样
分布逐渐趋于正
态分布
? ?x n?
中心极限定理,设从均值为 ?,方差为 ? 2的一个任意总
体中抽取容量为 n的样本, 当 n充分大时, 样本均值的抽
样分布近似服从均值为 μ,方差为 σ2/n的正态分布
一个任意分
布的总体
? ?x ? X
6 - 18
经济、管理类
基础课程
统计学
样本方差的抽样分布
6 - 19
经济、管理类
基础课程
统计学 样本方差的分布
?设总体服从正态分布 N ~ (μ,σ2 ),X1,X2,…
,Xn为来自该正态总体的样本, 则样本方差
s2 的分布为
将 ?2(n – 1)称为自由度为 (n-1)的卡方分布
)1(~)1( 22
2
?? nsn ?
?
6 - 20
经济、管理类
基础课程
统计学 卡方 (?
2) 分布
选择容量为 n 的
简单随机样本
计算样本方差 S2
计算卡方值
?2 = (n-1)S2/σ2
计算出所有的
? 2值
不同容量样本的抽样分布
?2
n=1
n=4
n=10
n=20
?
?
总体
6 - 21
经济、管理类
基础课程
统计学 均值的标准误
1,所有可能的样本均值的标准差，测度所
有样本均值的离散程度
2,小于总体标准差
3,计算公式为
nx
?? ?
6 - 22
经济、管理类
基础课程
统计学
两个样本方差比的抽样分布
6 - 23
经济、管理类
基础课程
统计学 两个样本方差比的抽样分布
?设 X1,X2,…, Xn1是来自正态总体 N~(μ1,σ12 )的
一个样本, Y1,Y2,…, Yn2是来自正态总体
N~(μ2,σ22 )的一个样本, 且 Xi(i=1,2,…, n1),
Yi(i=1,2,…, n2)相互独立, 则
将 F(n1-1,n2-1 )称为第一自由度为 (n1-1),第二
自由度为 (n2-1)的 F分布
)1,1(~ 212
1
2
2
2
2
2
2
2
1
22
??? nnF
s
sss
y
xyx
?
?
??
6 - 24
经济、管理类
基础课程
统计学 两个样本方差比的抽样分布
?不同样本容量的抽样分布
F
（ 1,10)
(5,10)
(10,10)
6 - 25
经济、管理类
基础课程
统计学
T 统计量的分布
6 - 26
经济、管理类
基础课程
统计学 T 统计量的分布
?设 X1,X2,…, Xn1是来自正态总体 N~(μ1,σ12 )的一个
样本, 称
为统计量,它服从自由度为 (n-1)的 t分布
S
XnT )( ???
X
t 分布与正态分布的比较
正态分布
t 分布
t不同自由度的 t分布
标准正态分布
t (df = 13)
t (df = 5)
Z
6 - 27
经济、管理类
基础课程
统计学 第二节 参数估计基本方法
一, 点估计
二, 点估计的优良性准则
三,区间估计
6 - 28
经济、管理类
基础课程
统计学 参数估计的方法
矩估计法
最小二乘法
最大似然法
顺序统计量法
估 计 方 法
点 估 计 区间估计
6 - 29
经济、管理类
基础课程
统计学 被估计的总体参数
总体参数 符号表示 用于估计的样本统计量
一个总体
均值
比例
方差
两个总体
均值之差
比例之差
方差比
2?
21 ?? ?
21 PP ?
2221 ??
x
p?
2s
21 xx ?
21 ?? pp ?
2221 ss
P
?
6 - 30
经济、管理类
基础课程
统计学
点 估 计
6 - 31
经济、管理类
基础课程
统计学
点估计
（概念要点）
1,从总体中抽取一个样本, 根据该样本的统计
量对总体的未知参数作出一个数值点的估计
? 例如, 用样本均值 作为 总体未知均值的估计值
就是一个点估计
2,点估计没有给出估计值接近总体未知参数程
度的信息
3,点估计的方法有矩估计法, 顺序统计量法,
最大似然法, 最小二乘法等
6 - 32
经济、管理类
基础课程
统计学
1,用于估计总体某一参数的随机变量
? 如样本均值, 样本比例, 样本中位数等
? 例如, 样本均值就是总体均值 ?的一个估计量
? 如果样本均值 ?x = 3, 则 3 就是 ? 的 估计值
2,理论基础是抽样分布
估计量
（概念要点）
二战中的点估计
6 - 33
经济、管理类
基础课程
统计学
估计量的优良性准则
（无偏性）
无偏性,估计量的数学期望等于被估计的总体
参数
P( X )
X
CA
?
无偏 有偏
6 - 34
经济、管理类
基础课程
统计学
估计量的优良性准则
（有效性）
A
B
?
中位数的抽样分布
均值的抽样分布
X
P(X )
有效性,一个方差较小的无偏估计量称为一个更
有效的估计量 。 如, 与其他估计量相比
,样本均值是一个更有效的估计量
6 - 35
经济、管理类
基础课程
统计学
估计量的优良性准则
（一致性）
一致性,随着样本容量的增大, 估计量越来越接
近被估计的总体参数
A
B
较小的样本容量
较大的样本容量
?
P(X )
X
6 - 36
经济、管理类
基础课程
统计学
区间估计
6 - 37
经济、管理类
基础课程
统计学
区间估计
（概念要点）
1,根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围
2,给出总体参数落在这一区间的概率
3,例如, 总体均值落在 50~70之间，置信度为 95%
样本统计量
(点估计 )置信区间
置信下限 置信上限
6 - 38
经济、管理类
基础课程
统计学
置信区间估计
（内容）
?2 已知 ?2 未知
均 值 方 差比 例
置 信 区 间
6 - 39
经济、管理类
基础课程
统计学 落在总体均值某一区间内的样本
?
?x_
X
X = ?? Z?x
95% 的样本
?-1.96 ?x ?+1.96?x
99% 的样本
?- 2.58?x ?+ 2.58x
90%的样本
?-1.65 ?x ?+1.65?x
6 - 40
经济、管理类
基础课程
统计学
1,总体未知参数落在区间内的概率
2,表示为 (1 - ?? ?
? ? 为显著性水平，是总体参数 未在 区间内
的概率
3,常用的显著性水平值有 99%,95%,90%
? 相应的 ? 为 0.01,0.05,0.10
置信水平
6 - 41
经济、管理类
基础课程
统计学 区间与置信水平
均值的抽样分布
(1 - ?) % 区间包含了 ?
? % 的区间未包含 ?
?? ?x
1 - ? ?/2?/2
x?
X
6 - 42
经济、管理类
基础课程
统计学 影响区间宽度的因素
1,数据的离散程度,用 ?来测度
2,样本容量，
3,置信水平 (1 - ?)，影响 Z 的大小n
x
?? ?
6 - 43
经济、管理类
基础课程
统计学
第三节 总体均值和总体比例
的区间估计
一, 总体均值的区间估计
二, 总体比例的区间估计
三,样本容量的确定
6 - 44
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
(?２ 已知 )
6 - 45
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的置信区间
(?２ 已知 )
1,假定条件
? 总体服从正态分布,且总体方差（ ?２ ） 已知
? 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n ? 30)
2,使用正态分布统计量 Ｚ
3,总体均值 ? 在 1-?置信水平下的 置信区间为
)1,0(~ NnxZ ? ???
?
?
??
?
? ??
n
Zx
n
Zx ?? ?? 22,
6 - 46
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
（正态总体：实例）
解, 已知 Ｘ ~N(?,0.152),?x＝ 2.14,n=9,
1-? = 0.95,Ｚ ?/2=1.96
总体均值 ?的置信区间为
? ?4 98.21,3 02.21
9
15.0
96.14.21,
9
15.0
96.14.21
,
22
?
??
?
?
??
?
?
???
??
?
?
??
?
?
??
n
Zx
n
Zx
??
??
我们可以 95％ 的概率保证该种零件的平
均长度在 21.302～ 21.498 mm之间
【 例 】 某种零件
长度服从正态分
布, 从该批产品
中随机抽取 ９ 件
,测得其平均长
度为 21.4 mm。
已知总体标准差
? =0.15mm,试
建立该种零件平
均长度的置信区
间, 给定置信水
平为 0.95。
6 - 47
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
（非正态总体：实例）
解,已知 ?x＝ 26,?=6,n=100,1-? =
0.95,Ｚ ?/2=1.96
? ?176.27,824.24
100
6
96.126,
100
6
96.126
,
22
?
??
?
?
??
?
?
???
??
?
?
??
?
?
??
n
Zx
n
Zx
??
??
我们可以 95％ 的概率保证平均每天
参加锻炼的时间在 24.824～ 27.176
分钟之间
【 例 】 某大学从该
校学生中随机抽取
100人, 调查到他
们平均每天参加体
育锻炼的时间为 26
分钟 。 试以 95％ 的
置信水平估计该大
学全体学生平均每
天参加体育锻炼的
时间 （ 已知总体方
差为 36小时 ） 。
6 - 48
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
(?２ 未知 )
6 - 49
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的置信区间
(?２ 未知 )
1,假定条件
? 总体方差（ ?２ ） 未知
? 总体必须服从 正态分布
2,使用 t 分布统计量
)1(~
1
???
?
nt
ns
xt
n
?
3,总体均值 ? 在 1-?置信水平下的 置信区间为
?
?
??
?
? ?? ??
n
stx
n
stx nn 1
2
1
2,??
6 - 50
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
（实例）
解,已知 Ｘ ~N(?,?2),?x=50,s=8，
n=25,1-? = 0.95,t?/2=2.0639。
? ?3.53,69.46
25
8
0 63 9.250,
25
8
0 63 9.250
,
1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
n
s
tx
n
s
tx
nn
??
我们可以 95％ 的概率保证总体均值
在 46.69～ 53.30 之间
【 例 】 从一个
正态总体中抽
取一个随机样
本, n = 25
,其均值 ?x =
50, 标准差
s = 8。 建立
总体均值 ? 的
95%的置信区
间 。
6 - 51
经济、管理类
基础课程
统计学
总体比例的区间估计
6 - 52
经济、管理类
基础课程
统计学 总体比例的置信区间
1,假定条件
? 两类结果
? 总体服从二项分布
? 可以由正态分布来近似
2,使用正态分布统计量 Ｚ
)1,0(~
)1(
?
N
n
pp
pp
Z
?
?
?
3,总体比例 Ｐ 的置信区间为
n
ppZp )?1(??
2
??
?
6 - 53
经济、管理类
基础课程
统计学
总体比例的置信区间
（实例）
解,已知 n=200, ＝ 0.7,n =140>5,
n(1- )=60>5,?= 0.95,Ｚ ?/2=1.96
p? p?
p?
? ?7 64.0,6 36.0
2 00
)7.01(7.0
96.17.0
)?1(?
?
2
?
??
?
?
n
pp
Zp
?
我们可以 95％ 的概率保证该企业职
工由于同管理人员不能融洽相处而
离开的比例在 63.6%~76.4%之间
【 例 】 某企业在一项
关于职工流动原因的
研究中, 从该企业前
职工的总体中随机选
取了 200人组成一个
样本 。 在对其进行访
问时, 有 140人说他
们离开该企业是由于
同管理人员不能融洽
相处 。 试对由于这种
原因而离开该企业的
人员的真正比例构造
95%的置信区间 。
6 - 54
经济、管理类
基础课程
统计学
样本容量的确定
6 - 55
经济、管理类
基础课程
统计学
1,根据均值区间估计公式可得样本容量 n为
估计总体均值时样本容量的确定
2,样本容量 n与总体方差 ?2、允许误差 ?、可
靠性系数 Z之间的关系为
? 与总体方差成正比
? 与允许误差成反比
? 与可靠性系数成正比
其中：
2
22
2
?
??Z
n ? nZ
??
? 2?
6 - 56
经济、管理类
基础课程
统计学
样本容量的确定
（实例）
解, 已知 ? 2=1800000, ? =0.05,
Z?/2=1.96,?=500
应抽取的样本容量 为
2865.27
500
)1800000()96.1(
2
2
2
22
2
??
?
?
?
?
?
Z
n
【 例 】 一家广告公
想估计某类商店去
年所花的平均广告
费用有多少 。 经验
表明, 总体方差约
为 1800000 元 。 如
置信度取 95%,并
要使估计处在总体
平均值附近 500元的
范围内, 这家广告
公司应抽多大的样
本？
6 - 57
经济、管理类
基础课程
统计学
1,根据比例区间估计公式可得样本容量 n为
估计总体比例时样本容量的确定
2,若总体比例 P未知时，可用样本比例 来代替p^
其中：
2
2
2 )1(
?
? ppZn ??
)1(2 pp
nZ
?
? ??
6 - 58
经济、管理类
基础课程
统计学
样本容量的确定
（实例）
【 例 】 一家市场
调研公司想估计
某地区有彩色电
视机的家庭所占
的比例 。 该公司
希望对比例 p的估
计 误 差 不 超 过
0.05,要求的可
靠程度为 95%，
应抽多大容量的
样本 （ 没有可利
用的 p估计值 ） 。
解, 已知 ?=0.05,?=0.05,Z?/2=1.96,当
p未知时用最大方差 0.25代替^
应抽取的样本容量 为
385
)5.0(
)5.01)(5.0()96.1(
)1(
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
ppZ
n
6 - 59
经济、管理类
基础课程
统计学
第四节 两个总体均值及两个
总体比例之差估计
一, 两个总体均值之差估计
二, 两个总体比例之差估计
6 - 60
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
6 - 61
经济、管理类
基础课程
统计学 两个样本均值之差的抽样分布
?1
?1总体 1 ?2
?2
总体 2
抽取简单随机样
样本容量 n1
计算 X1
抽取简单随机样
样本容量 n2
计算 X2
计算每一对样本
的 X1-X2
所有可能样本
的 X1-X2
?1??2
抽样分布
6 - 62
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22已知 )
1,假定条件
? 两个样本是独立的随机样本
? 两个 总体都服从正态分布
? 若不是正态分布,可以用正态分布来近似 (n1?30和 n2?30)
2,两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布, 其期望
值为
2
2
2
1
2
1
)( 2 nnxx
??? ??
?
其标准误差为
2121 )( ?? ??? xxE
6 - 63
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22已知 )
4,两个总体均值之差 ?1-?2在 1-? 置信水平下的
置信区间为
2
2
2
1
2
1
221 )( nnZxx
??
? ???
3,使用正态分布统计量 Z
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
2121 N
nn
XX
Z
??
??
?
???
?
6 - 64
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（实例）
【 例 】 一个银行负责人想知道
储户存入两家银行的钱数 。 他
从两家银行各抽取了一个由 25
个储户组成的随机样本, 样本
均值如下：银行 A,4500元；
银行 B:3250元 。 设已知两个总
体服从方差分别为 ?A2=2500和
?B2=3600的 正态分布 。 试求 ?A-
?B的区间估计
（ 1） 置信度为 95%
（ 2） 置信度为 99%
B
A
6 - 65
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（计算结果）
解,已知
XA~N(?A,2500)
XB ~N(?B,3600)
?xA=4500，
?xB=3250，
?A2 =2500
?B2 =3600
nA= nB =25
(1)?A- ?B置信度为 95%的置信区间为
(2)?A- ?B置信度为 99%的置信区间为
? ?3.12 90,7.12 09
25
36 00
25
25 00
58.2)32 5045 00( ???
? ?62.1 28 0,78.1 21 9
25
3 60 0
25
2 50 0
96.1)3 25 04 50 0( ???
6 - 66
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22未知，但相等 )
1,假定条件
? 两个 总体都服从正态分布
? ?12,?12未知，但 ?12＝ ?12
2,总体方差 ?2的联合估计量为
3,估计量 ?x1-?x2的标准差为
212
2
1
2 11
nn
s
n
s
n
s
p
pp ???
? ? ? ?
2
11
21
2
22
2
112
??
????
nn
snsns
p
6 - 67
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22未知，但相等 )
?使用 t 分布统计量
? ? ? ?
21
21221
112
nn
snntxx p ????? ?
?两个总体均值之差 ?1-?2在 1-? 置信水平下的置信
区间为
)2(~
11
)()(
21
21
2121 ??
?
???
? nnt
nn
S
XX
t
p
??
6 - 68
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（实例）
【 例 】 为比较两位银行职员为新
顾客办理个人结算账目的平均时
间长度, 分别给两位职员随机安
排了 10位顾客, 并记录下为每位
顾客办理账单所需的时间 （ 单位
：分钟 ）, 相应的样本均值和方
差分别为,?x1=22.2,s12=16.63
,?x2=28.5,s22=18.92。 假定每
位职员办理账单所需时间均服从
正态分布, 且方差相等 。 试求两
位职员办理账单的服务时间之差
的 95%的区间估计 。
2
1
6 - 69
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（计算结果）
解,已知
X1~N(?1,?2)
X2 ~N(?2,?2)
?x1=22.2，
?x2=28.5，
s12=16.63
s22=18.92
n1= n2=10
?12= ?12
?1- ?2置信度为 95%的置信区间为
? ? ? ?
? ? ? ?
2.4
21010
92.1811036.16110
2
11
21
2
22
2
11
?
??
???
?
??
???
?
nn
snsn
s
p
? ?
)4.2,2.10(
10
1
10
1
)2.4)(1.2(5.282.22
???
???
6 - 70
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12, ?22未知，且不相等 )
1,假定条件
? 两个 总体都服从正态分布
? ?12,?12未知，且 ?12 ??12
2,使用的统计量为
)(~
)()(
2
2
2
1
2
1
2121 ft
n
s
n
s
XX
t
?
???
?
??
? ? ? ?
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
ns
n
ns
n
s
n
s
f
自由度
6 - 71
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22未知，且不相等 )
? 两个总体均值之差 ?1-?2在 1-? 置信水平下
的置信区间为
? ?
2
2
2
1
2
1
221 )(
n
s
n
s
ftxx ??? ?
6 - 72
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（续前例）
【 例 】 为比较两位银行职员为新
顾客办理个人结算账目的平均时
间长度, 分别给两位职员随机安
排了 10位顾客, 并记录下了为每
位顾客办理账单所需的时间 （ 单
位：分钟 ）, 相应的样本均值和
方差分别为,?x1=22.2,s12=16.63
,?x2=28.5,s22=18.92。 假定每位
职员办理账单所需时间均服从正
态分布, 但 方差不相等 。 试求两
位职员办理账单的服务时间之差
的 95%的区间估计 。
1
2
6 - 73
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（计算结果）
自由度 f 为
?1- ?2置信度为 95%的置信区间为
189.17
9
1
2
10
92.18
9
1
2
10
36.16
2
10
92.18
10
36.16
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f
? ?
)35.2,25.10(
10
92.18
10
36.16
1 00 9.25.282.22
???
???
解,已知
X1~N(?1,?2)
X2 ~N(?2,?2)
?x1=22.2，
?x2=28.5，
s12=16.63
s22=18.92
n1= n2=10
?12??12
6 - 74
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体比例之差的估计
6 - 75
经济、管理类
基础课程
统计学
1,假定条件
? 两个总体是独立的
? 两个 总体服从二项分布
? 可以用正态分布来近似
2,两个总体比例之差 P1-P2在 1-?置信水平下
的置信区间为
两个总体比例之差的区间估计
? ?
2
22
1
11
221
)1()1(??
n
pp
n
pp
Zpp
?
?
?
?? ?
6 - 76
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体比例之差的估计
（实例）
【 例 】 某饮料公司对其所做
的报纸广告在两个城市的效
果进行了比较, 它们从两个
城市中分别随机地调查了
1000个成年人, 其中看过广
告的比例分别为 p1=0.18 和
p2=0.14。 试求两城市成年人
中看过广告的比例之差的 95%
的置信区间 。
^
^ 绿色
健康饮品
6 - 77
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体比例之差的估计
（计算结果）
P1- P2置信度为 95%的置信区间为
解,已知 p1=0.18,p2=0.14,1-?=0.95,n1= n2=1000^^
我们有 95%的把握估计两城市成年人中看过该广
告的比例之差在 0.79% ~ 7.21%之间
? ?
? ?07 2 1.0,00 7 9.0
10 0 0
)14.01(14.0
10 0 0
)18.01(18.0
96.114.018.0
?
?
?
?
??
6 - 78
经济、管理类
基础课程
统计学
第五节 正态总体方差及两正
态总体方差比的估计
一, 正态总体方差的区间估计
二, 两个正态总体方差比的区间估计
6 - 79
经济、管理类
基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
6 - 80
经济、管理类
基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
（要点）
1,估计一个总体的方差或标准差
2,假设总体服从正态分布
3,总体方差 ?2 的点估计量为 S2,且
4,总体方差在 1-?置信水平下的置信区间为
? ? ? ?1~1 2
2
2
?? nsn ??
? ?
? ?
? ?
? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
1,
1
1
2
2
2
2
21
2
n
sn
n
sn
?? ??
6 - 81
经济、管理类
基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
（实例）
【 例 】 对某种金属的
10个样品组成的一个
随机样本作抗拉强度
试验 。 从实验数据算
出的方差为 4。 试求 ?2
的 95%的置信区间 。
6 - 82
经济、管理类
基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
（计算结果）
解,已知 n＝ 10,s2＝ 4,1-?＝ 95%
?2置信度为 95%的置信区间为
? ? ? ?
? ?3314.13,8925.1
7004.2
4110
,
0228.19
4110
?
??
?
??
? ??
6 - 83
经济、管理类
基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
6 - 84
经济、管理类
基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
（要点）
1,比较两个总体的方差比
2,用两个样本的方差比来判断
? 如果 S12/ S22接近于 1,说明两个总体方差很接近
? 如果 S12/ S22远离 1,说明两个总体方差之间存在差异
3,总体方差比在 1-?置信水平下的置信区间为
? ? ? ? ???
?
?
?
?
?
????? 1,1
,
1,1 212
2
2
2
1
2121
2
2
2
1
nnF
ss
nnF
ss
??
6 - 85
经济、管理类
基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
（实例）
【 例 】 用某一特定工序生产的一批化工产品中的杂
质含量的变异依赖于操作过程中处理的时间长度 。
某生产商拥有两条生产线, 为了降低产品中杂质平
均数量的同时降低杂质的变异, 对两条生产线进行
了很小的调整, 研究这种调整是否确能达到目的 。
为此从两条生产线生产的两批产品中各随机抽取了
25个样品, 它们的均值和方差为
?x1=3.2, S12 =1.04
?x2=3.0, S22 =0.51
试确定两总体方差比 ?12/?12的 90%的置信区间 。
6 - 86
经济、管理类
基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
（计算结果）
解,已知
?x1=3.2,S12 =1.04
?x2=3.0,S22 =1.04
F1-?/2 (24,24)
=F0.95 =1.98
F?/2 (24,24)
=F0.05=0.51
?12/?22置信度为 90%的置
信区间为 ? ?
04.403.1
98.1
51.0
04.1
98.1
1
51.0
04.1
2
2
2
1
2
2
2
1
??
???
?
?
?
?
6 - 87
经济、管理类
基础课程
统计学 本章小结
1,抽样的有关概念
2,抽样分布
3,点估计和区间估计的有关概念
4,确定样本容量
5,区间估计
结 束
经济、管理类
基础课程
统计学 第六章 抽样与参数估计
6 - 2
经济、管理类
基础课程
统计学 参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计 假设检验
6 - 3
经济、管理类
基础课程
统计学 统计推断的过程
样
本
总体
样本统计量
例如：样本均
值、比例、方
差
6 - 4
经济、管理类
基础课程
统计学 第六章 抽样与参数估计
第一节 抽样与抽样分布
第二节 参数估计基本方法
第三节 总体均值和总体比例的区间估计
第四节 两个总体均值及两个总体比例之差的估计
第五节 正态总体方差及两正态总体方差比的区间估计
6 - 5
经济、管理类
基础课程
统计学 学习目标
1,了解抽样和抽样分布的基本概念
2,理解抽样分布与总体分布的关系
3,了解点估计的概念和估计量的优良标准
4,掌握总体均值、总体比例和总体方差的区
间估计
6 - 6
经济、管理类
基础课程
统计学 第一节 抽样与抽样分布
一, 总体、个体和样本
二, 关于抽样方法
三,样本均值的分布与中心极限定理
四,样本方差的分布
五,两个样本方差比的分布
六, T 统计量的分布
6 - 7
经济、管理类
基础课程
统计学
总体、个体和样本
（概念要点）
?总体 (Population),调查研究的事物或现象的全体
?个体 (Item unit),组成总体的每个元素
?样本 (Sample),从总体中所抽取的部分个体
?样本容量 (Sample size),样本中所含个体的数量
6 - 8
经济、管理类
基础课程
统计学
抽样方法
（概念要点）
1,概率抽样：根据已知的概率选取样本
?简单随机抽样,完全随机地抽选样本
?分层抽样,总体分成不同的“层”，然后在每一层内进行抽
样
?整群抽样,将一组被调查者（群）作为一个抽样单位
?等距抽样, 在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者
2,非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本
?非随机抽样, 由调查人员自由选取被调查者
?判断抽样,通过某些条件过滤来选择被调查者
3,配额抽样：选择一群特定数目、满足特定条件的被调
查者
6 - 9
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
6 - 10
经济、管理类
基础课程
统计学
1,所有样本指标（如均值、比例、方差等）
所形成的分布称为抽样分布
2,是一种理论概率分布
3,随机变量是 样本统计量
? 样本均值,样本比例等
4,结果来自 容量相同 的 所有 可能样本
抽样分布
（概念要点）
6 - 11
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
（一个例子）
【 例 】 设一个总体, 含有 4个元素 （ 个体 ）, 即总体单
位数 N=4。 4 个个体分别为 X1=1,X2=2,X3=3, X4=4
。 总体的均值, 方差及分布如下
均值和方差 总体分布
1 42 3
0
.1
.2
.3
5.21 ??
?
?
N
X
N
i
i
?
25.1
)(
1
2
2 ?
?
?
?
?
N
X
N
i
i ?
?
6 - 12
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
（一个例子）
? 现从总体中抽取 n＝ 2的简单随机样本, 在重复
抽样条件下, 共有 42=16个样本 。 所有样本的结果
如下表
3,43,33,23,13
2,42,32,22,12
4,44,34,24,14
1,4
4
1,3
321
1,21,11
第二个观察值第一个
观察值
所有可能的 n = 2 的样本（共 16个）
6 - 13
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
（一个例子）
? 计算出各样本的均值, 如下表 。 并给出样本均
值的抽样分布
3.53.02.52.03
3.02.52.01.52
4.03.53.02.54
2.5
4
2.0
321
1.51.01
第二个观察值第一个
观察值
16个样本的均值（ x）
样本均值的抽样分布
1.0
0
.1
.2
.3 P ( x )
1.5 3.0 4.03.52.0 2.5 x
6 - 14
经济、管理类
基础课程
统计学 所有样本均值的均值和方差
式中,M为样本数目
比较及结论,1,样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
2,样本均值的方差等于总体方差的 1/n
n
M
x
n
i
xi
x
222
1
2
2
625.0
16
)5.20.4()5.20.1(
)(
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?? ???????
?
? 5.2
16
0.45.10.11 ?
M
x
n
i
i
x
6 - 15
经济、管理类
基础课程
统计学 样本均值的分布与总体分布的比较
抽样分布
? = 2.5
σ2 =1.25
总体分布
1 42 3
0
.1
.2
.3
P ( x )
1.0
0
.1
.2
.3
1.5 3.0 4.03.52.0 2.5 x
5.2?x?
625.02 ?x?
6 - 16
经济、管理类
基础课程
统计学
样本均值的抽样分布
与中心极限定理
? = 50
? =10
X
总体分布
n = 4
抽样分布
X
n =16
5?x?
50?x?
5.2?x?
当总体服从正态分布 N ~ (μ,σ2 )时, 来自该总体的所
有容量为 n的样本的均值 ?X也服从正态分布, ?X 的
数学期望为 μ,方差为 σ2/n。 即 ?X～ N(μ,σ2/n)
6 - 17
经济、管理类
基础课程
统计学
中心极限定理
（图示）
当样本容量足够
大时 (n ? 30),
样本均值的抽样
分布逐渐趋于正
态分布
? ?x n?
中心极限定理,设从均值为 ?,方差为 ? 2的一个任意总
体中抽取容量为 n的样本, 当 n充分大时, 样本均值的抽
样分布近似服从均值为 μ,方差为 σ2/n的正态分布
一个任意分
布的总体
? ?x ? X
6 - 18
经济、管理类
基础课程
统计学
样本方差的抽样分布
6 - 19
经济、管理类
基础课程
统计学 样本方差的分布
?设总体服从正态分布 N ~ (μ,σ2 ),X1,X2,…
,Xn为来自该正态总体的样本, 则样本方差
s2 的分布为
将 ?2(n – 1)称为自由度为 (n-1)的卡方分布
)1(~)1( 22
2
?? nsn ?
?
6 - 20
经济、管理类
基础课程
统计学 卡方 (?
2) 分布
选择容量为 n 的
简单随机样本
计算样本方差 S2
计算卡方值
?2 = (n-1)S2/σ2
计算出所有的
? 2值
不同容量样本的抽样分布
?2
n=1
n=4
n=10
n=20
?
?
总体
6 - 21
经济、管理类
基础课程
统计学 均值的标准误
1,所有可能的样本均值的标准差，测度所
有样本均值的离散程度
2,小于总体标准差
3,计算公式为
nx
?? ?
6 - 22
经济、管理类
基础课程
统计学
两个样本方差比的抽样分布
6 - 23
经济、管理类
基础课程
统计学 两个样本方差比的抽样分布
?设 X1,X2,…, Xn1是来自正态总体 N~(μ1,σ12 )的
一个样本, Y1,Y2,…, Yn2是来自正态总体
N~(μ2,σ22 )的一个样本, 且 Xi(i=1,2,…, n1),
Yi(i=1,2,…, n2)相互独立, 则
将 F(n1-1,n2-1 )称为第一自由度为 (n1-1),第二
自由度为 (n2-1)的 F分布
)1,1(~ 212
1
2
2
2
2
2
2
2
1
22
??? nnF
s
sss
y
xyx
?
?
??
6 - 24
经济、管理类
基础课程
统计学 两个样本方差比的抽样分布
?不同样本容量的抽样分布
F
（ 1,10)
(5,10)
(10,10)
6 - 25
经济、管理类
基础课程
统计学
T 统计量的分布
6 - 26
经济、管理类
基础课程
统计学 T 统计量的分布
?设 X1,X2,…, Xn1是来自正态总体 N~(μ1,σ12 )的一个
样本, 称
为统计量,它服从自由度为 (n-1)的 t分布
S
XnT )( ???
X
t 分布与正态分布的比较
正态分布
t 分布
t不同自由度的 t分布
标准正态分布
t (df = 13)
t (df = 5)
Z
6 - 27
经济、管理类
基础课程
统计学 第二节 参数估计基本方法
一, 点估计
二, 点估计的优良性准则
三,区间估计
6 - 28
经济、管理类
基础课程
统计学 参数估计的方法
矩估计法
最小二乘法
最大似然法
顺序统计量法
估 计 方 法
点 估 计 区间估计
6 - 29
经济、管理类
基础课程
统计学 被估计的总体参数
总体参数 符号表示 用于估计的样本统计量
一个总体
均值
比例
方差
两个总体
均值之差
比例之差
方差比
2?
21 ?? ?
21 PP ?
2221 ??
x
p?
2s
21 xx ?
21 ?? pp ?
2221 ss
P
?
6 - 30
经济、管理类
基础课程
统计学
点 估 计
6 - 31
经济、管理类
基础课程
统计学
点估计
（概念要点）
1,从总体中抽取一个样本, 根据该样本的统计
量对总体的未知参数作出一个数值点的估计
? 例如, 用样本均值 作为 总体未知均值的估计值
就是一个点估计
2,点估计没有给出估计值接近总体未知参数程
度的信息
3,点估计的方法有矩估计法, 顺序统计量法,
最大似然法, 最小二乘法等
6 - 32
经济、管理类
基础课程
统计学
1,用于估计总体某一参数的随机变量
? 如样本均值, 样本比例, 样本中位数等
? 例如, 样本均值就是总体均值 ?的一个估计量
? 如果样本均值 ?x = 3, 则 3 就是 ? 的 估计值
2,理论基础是抽样分布
估计量
（概念要点）
二战中的点估计
6 - 33
经济、管理类
基础课程
统计学
估计量的优良性准则
（无偏性）
无偏性,估计量的数学期望等于被估计的总体
参数
P( X )
X
CA
?
无偏 有偏
6 - 34
经济、管理类
基础课程
统计学
估计量的优良性准则
（有效性）
A
B
?
中位数的抽样分布
均值的抽样分布
X
P(X )
有效性,一个方差较小的无偏估计量称为一个更
有效的估计量 。 如, 与其他估计量相比
,样本均值是一个更有效的估计量
6 - 35
经济、管理类
基础课程
统计学
估计量的优良性准则
（一致性）
一致性,随着样本容量的增大, 估计量越来越接
近被估计的总体参数
A
B
较小的样本容量
较大的样本容量
?
P(X )
X
6 - 36
经济、管理类
基础课程
统计学
区间估计
6 - 37
经济、管理类
基础课程
统计学
区间估计
（概念要点）
1,根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围
2,给出总体参数落在这一区间的概率
3,例如, 总体均值落在 50~70之间，置信度为 95%
样本统计量
(点估计 )置信区间
置信下限 置信上限
6 - 38
经济、管理类
基础课程
统计学
置信区间估计
（内容）
?2 已知 ?2 未知
均 值 方 差比 例
置 信 区 间
6 - 39
经济、管理类
基础课程
统计学 落在总体均值某一区间内的样本
?
?x_
X
X = ?? Z?x
95% 的样本
?-1.96 ?x ?+1.96?x
99% 的样本
?- 2.58?x ?+ 2.58x
90%的样本
?-1.65 ?x ?+1.65?x
6 - 40
经济、管理类
基础课程
统计学
1,总体未知参数落在区间内的概率
2,表示为 (1 - ?? ?
? ? 为显著性水平，是总体参数 未在 区间内
的概率
3,常用的显著性水平值有 99%,95%,90%
? 相应的 ? 为 0.01,0.05,0.10
置信水平
6 - 41
经济、管理类
基础课程
统计学 区间与置信水平
均值的抽样分布
(1 - ?) % 区间包含了 ?
? % 的区间未包含 ?
?? ?x
1 - ? ?/2?/2
x?
X
6 - 42
经济、管理类
基础课程
统计学 影响区间宽度的因素
1,数据的离散程度,用 ?来测度
2,样本容量，
3,置信水平 (1 - ?)，影响 Z 的大小n
x
?? ?
6 - 43
经济、管理类
基础课程
统计学
第三节 总体均值和总体比例
的区间估计
一, 总体均值的区间估计
二, 总体比例的区间估计
三,样本容量的确定
6 - 44
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
(?２ 已知 )
6 - 45
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的置信区间
(?２ 已知 )
1,假定条件
? 总体服从正态分布,且总体方差（ ?２ ） 已知
? 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n ? 30)
2,使用正态分布统计量 Ｚ
3,总体均值 ? 在 1-?置信水平下的 置信区间为
)1,0(~ NnxZ ? ???
?
?
??
?
? ??
n
Zx
n
Zx ?? ?? 22,
6 - 46
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
（正态总体：实例）
解, 已知 Ｘ ~N(?,0.152),?x＝ 2.14,n=9,
1-? = 0.95,Ｚ ?/2=1.96
总体均值 ?的置信区间为
? ?4 98.21,3 02.21
9
15.0
96.14.21,
9
15.0
96.14.21
,
22
?
??
?
?
??
?
?
???
??
?
?
??
?
?
??
n
Zx
n
Zx
??
??
我们可以 95％ 的概率保证该种零件的平
均长度在 21.302～ 21.498 mm之间
【 例 】 某种零件
长度服从正态分
布, 从该批产品
中随机抽取 ９ 件
,测得其平均长
度为 21.4 mm。
已知总体标准差
? =0.15mm,试
建立该种零件平
均长度的置信区
间, 给定置信水
平为 0.95。
6 - 47
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
（非正态总体：实例）
解,已知 ?x＝ 26,?=6,n=100,1-? =
0.95,Ｚ ?/2=1.96
? ?176.27,824.24
100
6
96.126,
100
6
96.126
,
22
?
??
?
?
??
?
?
???
??
?
?
??
?
?
??
n
Zx
n
Zx
??
??
我们可以 95％ 的概率保证平均每天
参加锻炼的时间在 24.824～ 27.176
分钟之间
【 例 】 某大学从该
校学生中随机抽取
100人, 调查到他
们平均每天参加体
育锻炼的时间为 26
分钟 。 试以 95％ 的
置信水平估计该大
学全体学生平均每
天参加体育锻炼的
时间 （ 已知总体方
差为 36小时 ） 。
6 - 48
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
(?２ 未知 )
6 - 49
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的置信区间
(?２ 未知 )
1,假定条件
? 总体方差（ ?２ ） 未知
? 总体必须服从 正态分布
2,使用 t 分布统计量
)1(~
1
???
?
nt
ns
xt
n
?
3,总体均值 ? 在 1-?置信水平下的 置信区间为
?
?
??
?
? ?? ??
n
stx
n
stx nn 1
2
1
2,??
6 - 50
经济、管理类
基础课程
统计学
总体均值的区间估计
（实例）
解,已知 Ｘ ~N(?,?2),?x=50,s=8，
n=25,1-? = 0.95,t?/2=2.0639。
? ?3.53,69.46
25
8
0 63 9.250,
25
8
0 63 9.250
,
1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
n
s
tx
n
s
tx
nn
??
我们可以 95％ 的概率保证总体均值
在 46.69～ 53.30 之间
【 例 】 从一个
正态总体中抽
取一个随机样
本, n = 25
,其均值 ?x =
50, 标准差
s = 8。 建立
总体均值 ? 的
95%的置信区
间 。
6 - 51
经济、管理类
基础课程
统计学
总体比例的区间估计
6 - 52
经济、管理类
基础课程
统计学 总体比例的置信区间
1,假定条件
? 两类结果
? 总体服从二项分布
? 可以由正态分布来近似
2,使用正态分布统计量 Ｚ
)1,0(~
)1(
?
N
n
pp
pp
Z
?
?
?
3,总体比例 Ｐ 的置信区间为
n
ppZp )?1(??
2
??
?
6 - 53
经济、管理类
基础课程
统计学
总体比例的置信区间
（实例）
解,已知 n=200, ＝ 0.7,n =140>5,
n(1- )=60>5,?= 0.95,Ｚ ?/2=1.96
p? p?
p?
? ?7 64.0,6 36.0
2 00
)7.01(7.0
96.17.0
)?1(?
?
2
?
??
?
?
n
pp
Zp
?
我们可以 95％ 的概率保证该企业职
工由于同管理人员不能融洽相处而
离开的比例在 63.6%~76.4%之间
【 例 】 某企业在一项
关于职工流动原因的
研究中, 从该企业前
职工的总体中随机选
取了 200人组成一个
样本 。 在对其进行访
问时, 有 140人说他
们离开该企业是由于
同管理人员不能融洽
相处 。 试对由于这种
原因而离开该企业的
人员的真正比例构造
95%的置信区间 。
6 - 54
经济、管理类
基础课程
统计学
样本容量的确定
6 - 55
经济、管理类
基础课程
统计学
1,根据均值区间估计公式可得样本容量 n为
估计总体均值时样本容量的确定
2,样本容量 n与总体方差 ?2、允许误差 ?、可
靠性系数 Z之间的关系为
? 与总体方差成正比
? 与允许误差成反比
? 与可靠性系数成正比
其中：
2
22
2
?
??Z
n ? nZ
??
? 2?
6 - 56
经济、管理类
基础课程
统计学
样本容量的确定
（实例）
解, 已知 ? 2=1800000, ? =0.05,
Z?/2=1.96,?=500
应抽取的样本容量 为
2865.27
500
)1800000()96.1(
2
2
2
22
2
??
?
?
?
?
?
Z
n
【 例 】 一家广告公
想估计某类商店去
年所花的平均广告
费用有多少 。 经验
表明, 总体方差约
为 1800000 元 。 如
置信度取 95%,并
要使估计处在总体
平均值附近 500元的
范围内, 这家广告
公司应抽多大的样
本？
6 - 57
经济、管理类
基础课程
统计学
1,根据比例区间估计公式可得样本容量 n为
估计总体比例时样本容量的确定
2,若总体比例 P未知时，可用样本比例 来代替p^
其中：
2
2
2 )1(
?
? ppZn ??
)1(2 pp
nZ
?
? ??
6 - 58
经济、管理类
基础课程
统计学
样本容量的确定
（实例）
【 例 】 一家市场
调研公司想估计
某地区有彩色电
视机的家庭所占
的比例 。 该公司
希望对比例 p的估
计 误 差 不 超 过
0.05,要求的可
靠程度为 95%，
应抽多大容量的
样本 （ 没有可利
用的 p估计值 ） 。
解, 已知 ?=0.05,?=0.05,Z?/2=1.96,当
p未知时用最大方差 0.25代替^
应抽取的样本容量 为
385
)5.0(
)5.01)(5.0()96.1(
)1(
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
ppZ
n
6 - 59
经济、管理类
基础课程
统计学
第四节 两个总体均值及两个
总体比例之差估计
一, 两个总体均值之差估计
二, 两个总体比例之差估计
6 - 60
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
6 - 61
经济、管理类
基础课程
统计学 两个样本均值之差的抽样分布
?1
?1总体 1 ?2
?2
总体 2
抽取简单随机样
样本容量 n1
计算 X1
抽取简单随机样
样本容量 n2
计算 X2
计算每一对样本
的 X1-X2
所有可能样本
的 X1-X2
?1??2
抽样分布
6 - 62
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22已知 )
1,假定条件
? 两个样本是独立的随机样本
? 两个 总体都服从正态分布
? 若不是正态分布,可以用正态分布来近似 (n1?30和 n2?30)
2,两个独立样本均值之差的抽样分布服从正态分布, 其期望
值为
2
2
2
1
2
1
)( 2 nnxx
??? ??
?
其标准误差为
2121 )( ?? ??? xxE
6 - 63
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22已知 )
4,两个总体均值之差 ?1-?2在 1-? 置信水平下的
置信区间为
2
2
2
1
2
1
221 )( nnZxx
??
? ???
3,使用正态分布统计量 Z
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
2
1
2121 N
nn
XX
Z
??
??
?
???
?
6 - 64
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（实例）
【 例 】 一个银行负责人想知道
储户存入两家银行的钱数 。 他
从两家银行各抽取了一个由 25
个储户组成的随机样本, 样本
均值如下：银行 A,4500元；
银行 B:3250元 。 设已知两个总
体服从方差分别为 ?A2=2500和
?B2=3600的 正态分布 。 试求 ?A-
?B的区间估计
（ 1） 置信度为 95%
（ 2） 置信度为 99%
B
A
6 - 65
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（计算结果）
解,已知
XA~N(?A,2500)
XB ~N(?B,3600)
?xA=4500，
?xB=3250，
?A2 =2500
?B2 =3600
nA= nB =25
(1)?A- ?B置信度为 95%的置信区间为
(2)?A- ?B置信度为 99%的置信区间为
? ?3.12 90,7.12 09
25
36 00
25
25 00
58.2)32 5045 00( ???
? ?62.1 28 0,78.1 21 9
25
3 60 0
25
2 50 0
96.1)3 25 04 50 0( ???
6 - 66
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22未知，但相等 )
1,假定条件
? 两个 总体都服从正态分布
? ?12,?12未知，但 ?12＝ ?12
2,总体方差 ?2的联合估计量为
3,估计量 ?x1-?x2的标准差为
212
2
1
2 11
nn
s
n
s
n
s
p
pp ???
? ? ? ?
2
11
21
2
22
2
112
??
????
nn
snsns
p
6 - 67
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22未知，但相等 )
?使用 t 分布统计量
? ? ? ?
21
21221
112
nn
snntxx p ????? ?
?两个总体均值之差 ?1-?2在 1-? 置信水平下的置信
区间为
)2(~
11
)()(
21
21
2121 ??
?
???
? nnt
nn
S
XX
t
p
??
6 - 68
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（实例）
【 例 】 为比较两位银行职员为新
顾客办理个人结算账目的平均时
间长度, 分别给两位职员随机安
排了 10位顾客, 并记录下为每位
顾客办理账单所需的时间 （ 单位
：分钟 ）, 相应的样本均值和方
差分别为,?x1=22.2,s12=16.63
,?x2=28.5,s22=18.92。 假定每
位职员办理账单所需时间均服从
正态分布, 且方差相等 。 试求两
位职员办理账单的服务时间之差
的 95%的区间估计 。
2
1
6 - 69
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（计算结果）
解,已知
X1~N(?1,?2)
X2 ~N(?2,?2)
?x1=22.2，
?x2=28.5，
s12=16.63
s22=18.92
n1= n2=10
?12= ?12
?1- ?2置信度为 95%的置信区间为
? ? ? ?
? ? ? ?
2.4
21010
92.1811036.16110
2
11
21
2
22
2
11
?
??
???
?
??
???
?
nn
snsn
s
p
? ?
)4.2,2.10(
10
1
10
1
)2.4)(1.2(5.282.22
???
???
6 - 70
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12, ?22未知，且不相等 )
1,假定条件
? 两个 总体都服从正态分布
? ?12,?12未知，且 ?12 ??12
2,使用的统计量为
)(~
)()(
2
2
2
1
2
1
2121 ft
n
s
n
s
XX
t
?
???
?
??
? ? ? ?
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
ns
n
ns
n
s
n
s
f
自由度
6 - 71
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
(?12,?22未知，且不相等 )
? 两个总体均值之差 ?1-?2在 1-? 置信水平下
的置信区间为
? ?
2
2
2
1
2
1
221 )(
n
s
n
s
ftxx ??? ?
6 - 72
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（续前例）
【 例 】 为比较两位银行职员为新
顾客办理个人结算账目的平均时
间长度, 分别给两位职员随机安
排了 10位顾客, 并记录下了为每
位顾客办理账单所需的时间 （ 单
位：分钟 ）, 相应的样本均值和
方差分别为,?x1=22.2,s12=16.63
,?x2=28.5,s22=18.92。 假定每位
职员办理账单所需时间均服从正
态分布, 但 方差不相等 。 试求两
位职员办理账单的服务时间之差
的 95%的区间估计 。
1
2
6 - 73
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体均值之差的估计
（计算结果）
自由度 f 为
?1- ?2置信度为 95%的置信区间为
189.17
9
1
2
10
92.18
9
1
2
10
36.16
2
10
92.18
10
36.16
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f
? ?
)35.2,25.10(
10
92.18
10
36.16
1 00 9.25.282.22
???
???
解,已知
X1~N(?1,?2)
X2 ~N(?2,?2)
?x1=22.2，
?x2=28.5，
s12=16.63
s22=18.92
n1= n2=10
?12??12
6 - 74
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体比例之差的估计
6 - 75
经济、管理类
基础课程
统计学
1,假定条件
? 两个总体是独立的
? 两个 总体服从二项分布
? 可以用正态分布来近似
2,两个总体比例之差 P1-P2在 1-?置信水平下
的置信区间为
两个总体比例之差的区间估计
? ?
2
22
1
11
221
)1()1(??
n
pp
n
pp
Zpp
?
?
?
?? ?
6 - 76
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体比例之差的估计
（实例）
【 例 】 某饮料公司对其所做
的报纸广告在两个城市的效
果进行了比较, 它们从两个
城市中分别随机地调查了
1000个成年人, 其中看过广
告的比例分别为 p1=0.18 和
p2=0.14。 试求两城市成年人
中看过广告的比例之差的 95%
的置信区间 。
^
^ 绿色
健康饮品
6 - 77
经济、管理类
基础课程
统计学
两个总体比例之差的估计
（计算结果）
P1- P2置信度为 95%的置信区间为
解,已知 p1=0.18,p2=0.14,1-?=0.95,n1= n2=1000^^
我们有 95%的把握估计两城市成年人中看过该广
告的比例之差在 0.79% ~ 7.21%之间
? ?
? ?07 2 1.0,00 7 9.0
10 0 0
)14.01(14.0
10 0 0
)18.01(18.0
96.114.018.0
?
?
?
?
??
6 - 78
经济、管理类
基础课程
统计学
第五节 正态总体方差及两正
态总体方差比的估计
一, 正态总体方差的区间估计
二, 两个正态总体方差比的区间估计
6 - 79
经济、管理类
基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
6 - 80
经济、管理类
基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
（要点）
1,估计一个总体的方差或标准差
2,假设总体服从正态分布
3,总体方差 ?2 的点估计量为 S2,且
4,总体方差在 1-?置信水平下的置信区间为
? ? ? ?1~1 2
2
2
?? nsn ??
? ?
? ?
? ?
? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
1,
1
1
2
2
2
2
21
2
n
sn
n
sn
?? ??
6 - 81
经济、管理类
基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
（实例）
【 例 】 对某种金属的
10个样品组成的一个
随机样本作抗拉强度
试验 。 从实验数据算
出的方差为 4。 试求 ?2
的 95%的置信区间 。
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基础课程
统计学
正态总体方差的区间估计
（计算结果）
解,已知 n＝ 10,s2＝ 4,1-?＝ 95%
?2置信度为 95%的置信区间为
? ? ? ?
? ?3314.13,8925.1
7004.2
4110
,
0228.19
4110
?
??
?
??
? ??
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经济、管理类
基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
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经济、管理类
基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
（要点）
1,比较两个总体的方差比
2,用两个样本的方差比来判断
? 如果 S12/ S22接近于 1,说明两个总体方差很接近
? 如果 S12/ S22远离 1,说明两个总体方差之间存在差异
3,总体方差比在 1-?置信水平下的置信区间为
? ? ? ? ???
?
?
?
?
?
????? 1,1
,
1,1 212
2
2
2
1
2121
2
2
2
1
nnF
ss
nnF
ss
??
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经济、管理类
基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
（实例）
【 例 】 用某一特定工序生产的一批化工产品中的杂
质含量的变异依赖于操作过程中处理的时间长度 。
某生产商拥有两条生产线, 为了降低产品中杂质平
均数量的同时降低杂质的变异, 对两条生产线进行
了很小的调整, 研究这种调整是否确能达到目的 。
为此从两条生产线生产的两批产品中各随机抽取了
25个样品, 它们的均值和方差为
?x1=3.2, S12 =1.04
?x2=3.0, S22 =0.51
试确定两总体方差比 ?12/?12的 90%的置信区间 。
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基础课程
统计学
两个正态总体方差比的区间估计
（计算结果）
解,已知
?x1=3.2,S12 =1.04
?x2=3.0,S22 =1.04
F1-?/2 (24,24)
=F0.95 =1.98
F?/2 (24,24)
=F0.05=0.51
?12/?22置信度为 90%的置
信区间为 ? ?
04.403.1
98.1
51.0
04.1
98.1
1
51.0
04.1
2
2
2
1
2
2
2
1
??
???
?
?
?
?
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经济、管理类
基础课程
统计学 本章小结
1,抽样的有关概念
2,抽样分布
3,点估计和区间估计的有关概念
4,确定样本容量
5,区间估计
结 束
