第六章 二阶电路
上海交通大学本科学位课程
2003年 9月
线性定常 RLC电路的零输入响应
KCL,iC+iR+iL=0
因为
初始条件
电路方程
二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述
这种电路的方程是二阶线性常微分方程。
0Ld v vCid t R? ? ?
LdivL
dt?
所以 2
2 0
LL
L
d i d iLL C i
d t R d t? ? ?
(0 ) 0Li ? ?
0( 0 )( 0 ) ( 0 ) CL vVd i v
d t L L L
???? ? ?
2
2
0
0
( 0 ) 0
( 0 )
LL
L
L
L
d i d iL
L C i
d t R d t
i
Vdi
d t L
?
?
?
? ? ??
??
? ??????????????????????
?
? ? ????????????????
??
Ci Ri Liv
0(0 )CvV? ?(Li ? ?
特征方程 2
2 0
LL
L
d i d iLL C i
d t R d t? ? ?
2 10LL C s s
R? ? ?
特征根
2
2
22
1,2 0
4
1 1 1
2 2 2
LL
LC
RR
s
L C R C R C L C
? ? ?
??? ? ?
??
????
? ? ? ? ? ? ? ? ???
??
其中
1
2 RC?
称衰减系数，阻尼系数
0
1
LC?
称谐振频率
当 ?＞ ?0 时,s1＜ 0,s2＜ 0,s1?s2,为两个不相等的
负实根。则
1212() s t s tLi t k e k e??
由
12
1 1 2 2 0
( 0 ) 0
( 0 )
( 0 )
L
L
C
i k k
di
L v L s k L s k V
dt
?
?
?
? ? ? ?????????????????????????????????
?
?
? ? ? ??
?
求得
0
12
12
1 Vkk
s s L? ? ??
则有
120
12
1( ) ( ) 0s t s t
L
Vi t e e t
L s s? ? ?????? …
称过阻尼情况
并求得
120
12
1( ) ( ) 0s t s t
L
Vi t e e t
L s s? ? ?????? …
120
12
12
( ) ( ) 0s t s tLC Vdiv t L s e s e td t s s? ? ?? 0
120
12
12
1( ) ( ) ( )s t s tC
R
vVi t s e s e u t
R R s s? ? ??
12220
12
12
( ) ( ) ( )s t s tCC d v C Vi t C s e s e u td t s s? ? ??
,Riv t0 Li
mt 2 mtCi
电路响应的物理过程
,Riv t0 Li
mt 2 mtCi
0CP 0CP 0
LP 0LP
0CP 0
LP 0RP 0RP 0RP
0
0
P
P
一致参考方向下，
吸收功率，
发出功率。
当 ?=?0 时,s1=s2=-?=-?0=s,为两个相等的负实根。
则
121 2 1 2( ) ( )s t s t stLi t k e k t e k k t e? ? ? ?
由
1
1 2 0
( 0 ) 0
( 0 )
()
L
L
ik
di
L L s k k V
dt
?
?
? ? ?????????????????????
?
?
? ? ??
?
0
120,
Vkk
L? ???? ?
则有
0( ) 0st
L
Vi t t e t
L? ???? …
称临界阻尼情况
当 ?＜ ?0 时,s1,2=-??j?d,22
0d? ? ??
为一对共轭复根。则 ( ) c o s ( )t
Ldi t k e t? ?????
由
0
( 0 ) c o s 0
( 0 )
( c o s s i n )
L
L
d
ik
di
L L k V
dt
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?????????????????????????????????
?
?
? ? ? ??
?
0
90
d
V
k
L ?
?
? ??
??
?
? ??
?
则有
0( ) c o s ( 9 0 0t
Ld
d
Vi t e t t
L
? ?
?
?? ? ? ? ???? …
称欠阻尼情况
并求得
00
00s i n ( ) c o s ( 9 0 )
tt
C d d
dd
v V e t V e t???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
2
0
0 s i n ( 2 )
t
Cd
d
Ci V e t?? ??
?
???
V
t
d
Ve
??
?
?
t
d
Ve
??
?
?
?
ci
Licv
?2?? d t?
当 ?=0时,s1,2=?j?0，为一对共轭虚根。则
0( ) c o s ( )Li t k t????
由
00
( 0 ) c o s 0
( 0 )
s i n
L
L
ik
di
L L k V
dt
?
??
?
?
? ? ??
?
?
? ? ??
?
0
0
90
V
k
L?
?
? ??
?
?
? ?
?
则有
称无损耗情况
0
0( ) c o s ( 9 0 0L
d
Vi t t t
L ??? ? ? ? ???? …