绪 论 一、理论力学的研究对象 理论力学：是研究物体机械运动一般规律的一门学科。 机械运动：是指物体在空间的位置随时间的变化。 理论力学的研究对象： 质点系和刚体，低速宏观物体，属古典力学范畴二、理论力学的研究内容、方法与目的 1、理论力学的研究内容 静力学： 研究物体的平衡规律，及力的一般性合成法则。 运动学： 研究物体运动的几何性质，不涉及引起物体运动的原因。 动力学： 研究物体运动与受力之间的关系。 2、理论力学的研究方法: 几点说明： (1)由抽象化,得到质点和刚体等力学模型. (2)数学推理中我们应用高数的微积分、微分方程等理论。 3、理论力学的学习目的与任务: (1)学习质点系和刚体机械运动的一般规律，为后续课程打下坚实基础。 (2)能应用所学理论，解决一些较简单的实际问题。 (3)培养辨证唯物主义的世界观,提高分析问题解决问题的能力.如: 人在水平面上行走,脚与地面间的摩擦力做功如何计算? v 4. 理论力学是一门理论性较强的技术基础课。三、学习理论力学的几点注意：1、理论联系实际。 2、培养科学的逻辑思维方法。3、注意表达式中的物理意义。4、认真对待作业。 5、学习方法 （1）作听课笔记 （2）及时复习，温故而知新。6、学习态度：认真、务实 四、理论力学的发展史 1、理论力学基础建立时期早在(公元前287-212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静力学基础，我国的墨翟（公元前468-382）所著的《墨经》是最早记述有关力学理论的著作。 意大利的达芬奇(1452-1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。 波兰的哥白尼(1473-1543)创立宇宙“日心说”。 德国的开普勒(1571-1630)提出行星运动三定律。 意大利的伽利略(1564-01642)自由落体规律、惯性定律及加速度的概念。 英国伟大科学家牛顿(1643-1727)在1687年版的《自然哲学的数学原理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等，是力学奠基人。 2、理论力学的发展期 瑞士的伯努利(1667-1748)虚位移原理。 瑞士的欧拉(1707-1783)著出《力学》用微分方程研究。 法国达朗伯(1717-1785)名著《动力学专论》达朗伯原理。 法国拉格朗日(1736-1813)提出第二类拉格朗日方程。 英国数学物理学家哈密顿（1805-1865）提出哈密顿原理。 3、理论力学的现代问题 物理学家爱因斯坦（1879-1955）创立了相对论力学，为力学学科的发展作出了划时代的贡献。 力学学科极其广泛地与数学、物理、化学、天文、地学、生物等基础学科和几乎所有的工程学科相交叉、渗透，形成了大量的新兴交叉学科，使力学学科保持着旺盛的生命力。 近年来在分析力学、运动稳定性理论、非线性振动、陀螺理论等方面有了很大的发展。我国力学家如钱学森、周培源、钱伟长等也作出了突出贡献。美国刚刚研制出的10倍音速的飞机就是根据钱学森在上个世纪50年代提出的理论研发的。 四、理论力学与基础力学。 实例：1999年1月4日，我国重庆市綦江县虹桥发生垮塌事故，造成40人死亡，14人受伤，直接经济损失631万元。 高等力学问题---损伤积累与结构寿命，与跑步的次数有关。 1、《理论力学》上、下册，郭士望，1982，高等教育出版社 2、《理论力学基础教程》胡慧玲等，1986，高等教育出版社 3、《力学》上、下册，梁昆森，1979，人民教育出版社 4、《经典力学》金尚年，1987，复旦大学出版社 5、《伯克利物理学教程》第一卷力学，基特尔等著，1979，科学出版社 6、《经典力学》（第二版），［美］ H．戈德斯坦著，1986，科学出版社 第一章 质点力学 §1.1 运动的描述方法 一、参考系与坐标系 参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 ① 参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；② 观察者是站在参照系的观察点上；③ 不特别说明都以地球为参照系。 2、坐标系 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。 3、质点及位置的描述 (1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。 (2) 位置描述：①质点相对某参照系的位置，可由位矢r 确定;②坐标描述：直角坐标系；极坐标系等。 二、运动学方程及轨道 1、运动方程 描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。 质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。一般常用的方程有 （1）矢量形式的运动学方程  当质点运动时r 是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。 （2）直角坐标形式的运动学方程  这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。 （3）自然坐标形式的运动学方程  对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。 （4）极坐标下的运动学方程  当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。 质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。 2、轨道：质点运动过程中空间描述出的连续曲线, 运动学方程中消去t 得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。 三、位移、速度、加速度 1、位移： 质点由A经Δt到B， 称质点在时间Δt 内的位移。 注意: 位移是矢量；位移与路径不同。 2、速度： 速度方向：沿该曲线的切线指向运动的一方。 3、加速度：  §1.2 速度、加速度分量表示式 一、直角坐标系  那么，该质点的速度，大小为  方向可用与三个坐标轴的方向余弦表示  加速度为  加速度大小  加速度方向也同样可以用方向余弦表示  二、极坐标系中的速度、加速度投影分别为  因此，该质点的速度 大小为 ， 方向（图2.1） 加速度为 ， 大小  方向（图2.2）  三、自然坐标系中的速度、加速度投影分别为  那么，该质点速度，其大小，方向与该质点所在轨迹的切向相平行，当的方向为的方向，的负方向为的方向。 加速度为，大小为  方向  其中是加速度（也称全加速度，位于密切面内）与主法向的夹角。 切向加速度，改变质点的速度大小；法向加速度，改变质点的速度方向。 §1.3 质点运动定律 1、第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系——惯性参考系基本定律。 2、第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比，近年来的实验结果已经证实相差不到10-12。爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设。 3、一般工程问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时,地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-8厘米/秒2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了。 牛顿第二定律：质量为m的质点受力Fi(i=1,2,….n)的作用,在惯性系中的加速度为a, 则:  §1.4 质点运动微分方程 一、微分方程建立 1、自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自由质点。微分方程为  在直角坐标系中，微分方程成为  在平面极坐标系中，微分方程成为  非自由质点的约束运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动，该曲线或曲面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的，取决于约束本身的性质，质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力。微分方程为  其中R为约束反力。在自然坐标系中，上式变为：  运动微分方程求解 两类基本问题：1)已知运动求力，2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。 解体步骤：1）理解题意，作图，受力分析；2）写出方程，选坐标系投影；3）求解方程，分析解的物理意义 第二章 质点组力学 本章研究质点组的动力学规律。重点掌握: （1)质心的概念和计算 （2)质点组的三个基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）在基本系和质心坐标系中的数学表示。 （3)质心坐标系的重要性和特殊性。 §2.1 质点组 本节重点是掌握内力的性质、质心的概念和计算。 一、 质点组的内力和外力 彼此有相互作用的许多质点的集合叫质点组。（一群毫无相联系的蚊蝇以及一盘散沙，都不是质点组） 1、 内力和外力：内力记为 ，外力记为 。 2、 内力的基本性质； 利用牛顿第三定律可得到：质点组中各内力的矢量和恒为零。  （1） 二、 质心 1、质心的概念 质心是质点组中的一个特殊的几何点，当把质点组的各质点的质量总和（即 )放在该点时，它的状态可以代表质点组的总体特征，该点通常记为C。 2、? 质心位置的确定 ①质点组情况如图2.1.1， O为原点，C为质心，它的位置矢量 。第i个质点质量 ，位矢 ，这里i=1,2,…,n. 由 确定的 的端点c即为质心。 ②质量连续分布的物体 设质量密度为ρ（x，y，z），则质心位置 由如下公式决定：  ，  ③若干块物体构成的物体体系 如图2.1.2,选取原点o，设物体1质量 ，质心位矢 ……物体j的质量 ，质心位矢 ，则这些物体构成的物体系的质心C的位矢为：  §2.2 质点组动量定理与守恒律 本节要求是掌握质心运动定理，它是刚体力学的基础之一。 一、 质点组动量定理 由牛顿第二定律，每个质点的运动方程为  对n个质点求和，利用质点组内的力和为零的性质，得到 （外力的矢量和） 即质点组的动量 的变化率等于质点组所受外力的矢量和。 二、 质心运动定理 由质心的定义： ，对时间两次求导数，利用内力的矢量和为零，可得 （外力矢量和） 该式称为质心运动定理，表明：质点组质心的运动如同一个质点的运动一样，它的质量等于整个质点组的质量，作用于它的力等于质点组外力矢量和。 该式表明了质心的重要性和特殊性： （1）质心是一个特殊的几何点，但它的运动状态可以代表质点组的整体特征;（2）内力不影响质心的运动状态，但能影响个别质点的状态;（3）给定外力，各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动状态可以完全确定，质心的运动状态只取决外力。 三、 质点组动量守恒律 若质点组受的外力矢量和为零，则质点组动量P=恒量。 利用 ，对时间求导数可得：  质点组动量守恒定律表明：若 ，则P=Pc=恒量，即质心作匀速直线运动（ 恒量），内力不会引起质心运动状态的改变。 §2.3 质点组动量矩定理与动量矩守恒律 本节的要求是掌握质点组动量矩定理，特别是掌握对质心的动量矩定理。 一、 质点组对定点O的动量矩定理及守恒律 由牛顿第二定律，第i个质点的动力学方程为  （1） 两边用 左乘、再对各质点求和，利用内力总成对出现且等大、反向并 作用在同一直线上这一性质,得到  或  （2） （2）式表明；质点组对定点的动量矩的时间变化率等于受到的外力矩。 若 ，则动量矩 =恒量 （3） 二、 对质心的质点组动量矩定理 1、?质心坐标系 设oxyz为静止系，若另一坐标系cx'y'z'随质点组运动而运动，原点取在质点组的质心，坐标轴与基本系oxyz的坐标轴平行，则cx'y'z'叫质心坐标系（见图2.3.1）. 质心坐标系的特点是：在质心系中，质心的位置矢量  2、对质心系的动量矩定理 对质心系的质点组动量矩 ；对质心的力矩为  . 利用内力的性质得到内力矩为零，再利用质心的性质 ，可以得到对质心的力矩 （外力力矩）。由牛顿第二定律出发，可得  （4） 该式表明：对质心的动量矩 的对时间的变化率等于作用于质点组的外力对质心的力矩（该式称为对质心的动量矩定理）。 （4）式还表明了质心系的特殊性：（2)式由是牛顿第二定律所得，它只对惯性系才适用。质心系一般情况而言并不是惯性系，但是，质心系中的质点组动量矩定理仍保持与惯性系中相同的形式。 （4）式还表明：惯性力、内力对质心的力矩恒为零。 §2.4 质点组动能定理与机械能守恒律 本节应重点掌握质点组的动能定理，对质心的动能定理以及计算质点组动能的柯尼希定理。 一、 质点组动能定理和机械能守恒律 在静止系中，对每一质点的动能定理  求和后得到  即质点组动能的变化等于质点组受的外力和内力作功之和（动能定理）。 应注意：内力作功并不一定为零，如图： 质点1、2的位置矢量为 、 。质点1受质点2的作用力为 ，质点2受质点1的作用力为 ，由牛顿第三定律有： 。这两个力作功为  显然：只有当运动时两质点间距离保持不变（如刚体），内力作功才为零。一般情况内力作功不为零。 特例：若外力、内力都是保守力，则质点组的机械能守恒。 二、 对质心的动能定理 利用质心的性质和质心系中的牛顿定律（引入了惯性力 ）,有  两边点乘 ，得到  该结果表明：质点组对质心系的动能的变化等于外力和内力对质心系作 功之和。该结论称为质点组对质心的动能定理。 从这里可以看出： 惯性力对质点组作的功为零;利用质心系中的动能定理，可以克服惯性力作功是否为零的困难。这又一次体现质心系的特殊性：质心系并不是惯性系，但在质心系中的质点组动能定理仍保持惯性系中具有相同的形式，而其他坐标系无此性质。 三、 柯尼希定理 该定理提供了计算质点组动能的方法，刚体动力学中经常用到.利用质心的性质和静止系与质心系的相互关系 ，可得  即质点组的动能等于质心的动能与各质点对质心的动能的和（该结果称为柯尼希定理）。 四、 内力和惯性力性质的简单归纳 1、? 内力的性质 （1）、质点组的内力的矢量和为零：  （2）、内力对某定点的力矩和为零；  ?（3）、内力不影响质心的运动状态。 （4）、内点作功不为零（刚体除外）。内力会影响各质点的运动状态。 2、惯性力 惯性力对质心的力矩为零，在质心系中惯性力对质点组作功为零。 §2.5 两体问题 本节应重点掌握两体问题的处理方法。 研究两体问题的重要性在于：许多问题，如氢原子中的电子绕原子核的运动；地球绕太阳的运动；卫星绕地球的运动等。对这类两体运动问题，将核、太阳、地球视为静止，则所得的结果必有误差。为了更准确研究，就应采用本节提出的两体问题的处理方法，下面以太阳和行星为例说明。 一、 两体运动的方程 1、? 惯性系中:以S代表太阳、P代表行星,它们的位置矢量分别为 ， （如图2.5.1） 。质量分别为M、m。则动力学方程为  （太阳，对惯性系）  （行星，对惯性系） 令 为质心的位矢，可由以上两式相加，可得到质心满足的方程为  该式表明：质心是作匀速直线运动，而太阳、行星是绕质心的圆锥曲线运动。 2、?质心系中:设太阳和行星的位置矢量分别是 ， 。则  ????????? 即太阳、行星均绕质心作圆锥曲线运动 3、行星对太阳的相对运动 考虑到太阳也在运动后，令 为行星相对于太阳的位置矢量，可得行星的相对运动方程为（这里 为单位矢量）  令u=Mm/(M+m),或 ，u称为折合质量，显然，u小于M和m中的较大值。该式表明：考虑太阳也在运动后，行星仍对太阳作圆锥曲线运动(但 质量不为m而是折合质量u.) 应指出：若M>>m，由上式引起的误差极小，仍可以将太阳视为静止处理。如果上式不成立，两质量差别不太大，则必须采用两体问题处理。 §2.6 质心坐标系与实验室坐标系 本节应掌握质心坐标系与实验室坐标系的概念以及两粒子弹性散射（碰撞）时散射角在质心系和实验坐标系中的相互关系。 一、实验室坐标系与质心坐标系 实验工作者采用的坐标系叫实验室坐标系。最多的是取地球作为静止系（惯性系）。原点取在质心，而坐标轴与实验坐标系的坐标轴平行的坐标系叫质心系。 二、 两种坐标系中弹性散射的不同结果 1、两种坐标系中看到的弹性散射现象（见书p134图2.6.2）  2、? 两坐标系中散射角的相互关系 设两质点的质量为 ，散射角在实验室坐标系中为θr，在质心系中为θc，可由相对运动速度的合成关系（见图2）  ????将它投影在水平方向与垂直方向, 可求得 为了消去 并用质点的质量表示，可利用质心的定义并以r表示质点2相对质点1的位置矢量，由 , ?????可得到用散射角θr用质点质量 表示的形式  特例： （1）重核散射（如α粒子散射）时： ，有  （2）等质量粒子散射（如质子—中子散射）时， ，有  §2.7 变质量物体的运动 本节应重点掌握变质量物体运动的运动方程和应用变质量物体运动方程求解具体问题的一般步骤。 一、 变质量问题的重要性 这里的变质量问题不是指高速运动因相对论效应引起的变质量，而是指物质的增减引起的变质量。实际问题中大量存在变质量问题：雨滴下落因蒸发或凝聚发生质量变化；滚雪球；火箭飞行等。 二、 变质量物体的运动方程 如图2.7.1，一物体的质量m，t时刻速度为 ，同时，一微小质量Δm之物体以速度 运动，并在t+Δt时刻与m合并，合并后的共同速度为 ，作用在Δm和m的合外力为F，则由动量定理并注意到Δm和 都很小，可略去 ，得到 ???????  （1） u代表微量Δm与m合并前或自m分出时一瞬间的速度。 公式（1）的适用条件：v很小，Δm很小。 方程（1）有两方面的应用：已知合外力 ，求物体的运动规律；已知变质量物质的运动规律，求作用于系统上的外力。 三、 求解变质量物体运动问题的一般步骤。 一般步骤：弄清研究对象和 、 ；选取适当的坐标系，分析作用于体系的合外力；写出方程的矢量形式和坐标分量形式；求解方程，讨论结果. [例1]长L的均匀细链条伸直平放水平光滑桌面上，方向与桌面边缘垂直（图2.7.2）。开始时链条静止，一半从桌上下垂，求链条末端滑到桌子边缘时链条的速度v。 解：如图选取坐标系，以下垂段为研究对象。 方法一：用变质量物体的运动方程求解 以长为x的 一段和Δx的一段分别作m和Δm，作用于它们的合外力为重力 和桌面上的一段对它的拉力T。dx段合并于x段的速度 （x段的速度），有方程  ∵u=v，∴ （1） 设线质量密度λ，由对桌面上一段的牛顿第二定律，有  （B） 将（B）代入（A），并注意m=λx， ，可得  ，积分： ，求出  方法二：用机械能守恒定律求解 以下垂的一段为研究对象，以桌面为零势能位置，则由机械能守恒：  其中： ； ，  由此得  第八节 维里定理（此节不作要求） 第三章 刚体力学 本章介绍刚体运动状态的描述（§3.1-§3.2）以及刚体受力与运动状态的关系（§3.3-§3.10）。其内容包括：刚体运动学、刚体静力学和刚体动力学，重点掌握刚体运动学和刚体动力学。刚体是指在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学体系，它是一种理想物理模型，只要一个物体中任意两点的距离不因受力而改变，它就可以 称为刚体。 §3.1 刚体运动的分析 一、 描述刚体位置的独立变量 刚体的特性是任意两点距离不因受力而变。这种特性决定了确定刚体的位置并不需要许多变量，而只要少数变量就行。 能完全确定刚体位置的，彼此独立的变量个数叫刚体的自由度。 二、 刚体运动的分类及其自由度 1、? 平动：自由度3，可用其中任一点的坐标x、y、z描述； 2、? 定轴转动：自由度1，用对轴的转角φ描述； 3、? 平面平行运动：自由度3，用基点的坐标(xo,yo)及其对垂直平面过基点的轴的转角φ描述。 4、? 定点转动：自由度3，用描述轴的方向的θ，ψ角和轴线的转角ψ描述。 5、? 一 般运动：自由度6，用描述质心位置的坐标(xc,yc,zc)和通过的定点的轴的三个角（θ,φ,ψ）描述。 §3.2 角速度矢量 本节重点是：掌握角位移矢量 、角速度矢量 及其与刚体中任一点的线位移 、线速度 的相互关系。理解有限转动时角位移不是矢量，只有无限小角位移才是矢量。 一、 有限转动与无限小转动 1、有限转动不是矢量，不满足对易律  2、无限小转动是矢量，它满足矢量对易律。 ① 线位移△r与无限小角位移△n的关系 设转轴OM，有矢量△n，其大小等于很小的转角Δθ，方向沿转轴方向，转轴的方向与刚体转动方向成右手螺旋,则△n称为角位移矢量。由图3.2.1很容易求得  即线位移△r=角位移△n与位矢r的矢量积。 ②? 角位移和△n满足矢量对易律 利用两次位移的可交换性，可证得  该式表明：微小转动的合成遵循平行四边形加法的对易律，从而无限小角位移△n是一个矢量。 二、角速度矢量 1、角速度矢量的定义 角速度矢量ω的定义为  角速度ω描述了转动快慢和转动方向，转动方向与转轴方向（即ω的方向）成右手螺旋法则。它是描述刚体整体特征的量。 2、?刚体内任一点C位置矢量为r）的线速度v与角速度ω关系为  三、 线加速度a与角加速度β 角加速度矢量β的定义为 一般地讲，只有定轴转动，β才与ω的方向相同或相反。 任意一点（位矢r）的加速度a为 §3.3 欧勒角 描述刚体定点转动时，轴在空间的取向和绕这轴线的转角的三个独立变化的三个角度叫欧勒角。 本节目的是：掌握欧勒角是如何确定的以及欧勒运动学方程。 一、 欧勒角的选取 如下图，有定坐标系oξηζ和动坐标系oxyz，其中动系oxyz固定在刚体上并随刚体一起绕定点o转动，开始时两坐标系重合。 显然，θ、 φ 、ψ就是我们确定的欧勒角，运动范围为0≤θ≤π，0≤ φ ≤2π，0≤ψ≤2π，其中，θ叫章动角，描述z轴上下颠动；φ叫进动角，描述z轴绕oζ轴的转动；ψ叫自动角，描述绕自身轴的转动。 二、 欧勒运动学方程 用欧勒角及其对时间的导数 来表示角速度矢量ω在动系oxyz上的分量表示的等式叫欧勒运动学方程。具体是    欧勒角及其运动学方程主要应用于定点转动问题。 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 本节应重点掌握：1、力系简化所依据的原理和将力系简化的步骤；2、刚体运动的微分方程；3、刚体平衡方程及其应用。 一、 力系的简化 1、? 力的可传性原理 实践证明：力可沿它的作用线向前或向后移动，而刚体运动状态不因力沿力的作用线前后移动而变,亦即作用在刚体上的力产生的力学效果，仅由力的量值与作用线的地位与方向决定，而与力的作用点无关。这一结论叫力的可传性原理. 2、?平衡力不改变刚体运动状态的原理 实践证明：刚体上施以一平衡力（等大反向且作用在同一直线上），刚体的运动状态不变。 3、?力系的简化 依据上述1、2两条原理可以进行力系的简化。 （1）、共点力系的简化：采用平行四边形法则，简化为一个力。 （2）、共面非平行力的简化：利用力的可传性原理，将两力沿力的作用线滑移汇集于一点，再用平行四边形法则简化为一合力（见图3.4.1） （3）、平行力的简化：若 ，按如图3.4.2规则简化为一力矩，  由此确定力的作用点。 等大反向的一对平行力（不在同一直线上）组成一力偶矩 （4）、空间力系的简化步骤为: ①确定力的简化中心，将力 依次平移至力的作用点，然后按平行四边形矢量合成,即 （称F为主矢）。 ②在简化中心处依次画出力 相应的力矩 ，再由矢量合成平行四边形法则，得到合力力矩,即（称M为主矩）。 这样就将力系简化为一主矩和主矢。（通常取质心为简化中心） [例]如图3.4.3,将力系 与 简化为主矢F和主矩M 简化步骤：选取O为简化中心，则 ① ， 平移至O，再将 ， 合成得主矢  ②在O点作 的力矩，作 的力矩 再将 ， 合成，得到主矩  总之，作用于刚体上的任意力系均可简化为一主矢和主矩 二、 刚体的运动微分方程 刚体是距离不变的质点组，由刚体的质心运动定理,有  （1） 同样，由相对质心的角动量（动量矩）定理，有  （2） （1）、（2）两式即为刚体运动的基本方程。 此外，还有刚体运动的动能定理（刚体中各点之间距离不变，内力作功为零）:刚体动能的微分等于各外力所作元功之和，即  （3） 三、 刚体的平衡方程 刚体的平衡条件是受的主矢和主矩同时为零，若主矢F=0，而主矩M≠0，则刚体有转动；若主矢 F≠0，而主矩M=0，则刚体有平动.刚体的平衡条件为： F=0，M=0 （4） 应用刚体的平衡条件解题，一般步骤为： 1 画草图，分析受力，选取坐标系； 2、 写出F=0的分量形式； 3、 选取力矩的参数点，对该点取矩，写出M=0分量形式； 4、 解方程组，求出平衡条件。 §3.5.1 转动惯量(1) 本节要求： 1、? 掌握刚体转动惯量的概念和对定轴转动的转动惯量的计算； 2、? 掌握回转半径、惯量椭球、平行轴定理、垂直轴定理、惯量主轴、惯量张量等若干概念； 3、? 了解刚体动量矩、动能的计算公式的普遍形式，掌握定轴转动这一特殊情况的具体形式。 一、 转动惯量 1、转动惯量的概念：它是描述转动惯性大小的物理量 ①?对某轴转动惯性的大小用转动惯量I描述，其定义为：I=∑mipi2 即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之和。显然，I的单位为kg·m2 ②对定点的转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变化，要用一个张量才能描述。  其中Ixx,Iyy,…… 叫惯量系数 2、转动惯量的计算公式 对定轴的转动惯量I,由刚体的质量分布和转轴的位置决定。 已知转轴的位置和刚体的质量分布，求I的计算公式有： ① I=∑mipi2 （pi为质点i到轴的距离）； ② 对质量连续分布的刚体，I=∫p2dm（ρ为质量元dm到轴之距离） 3、?回转半径 设刚体绕轴S的转动惯量为I，若有一质点的质量等于刚体的质量m，它到轴的距离K满足:I=mk2=∫p2dm，则K就称为该刚体绕轴S的回转半径.由定义,有  4、? 计算转动惯量及回转半径的步骤，例 一般步骤是： ①选取坐标系和质量元dm ②由公式I=∫p2dm和m=∫dm求出I以及刚体的总质量m ③由I=mk2求出k 计算的关键是确定dm和ρ 计算中常用到下列已知结果： 半径为r的均质球壳绕直径的转动惯量 I=(2/3)mr2 半径为r的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的轴的转动惯I=(1/2)mr2 [例1]（书P234 3.8题）求质量密度为的非均质圆球绕直径的回转半径K。 解：取半径为r→r+dr的球壳做作质量元，它的质量dm和对直径的转动惯量dI分别为：  dI=(2/3)r2dm ∴球体对直径的转动惯量I和总质量m分别为   所以回转半径  绕定点转动时转动惯量有一定的空间分布.我们以定点O为原点，在过O的轴ON上取一点Q，使  ， 当刚体转动时，轴ON也随刚体绕O点转动而动，按此规则，所得到的Q点的集合将在空间形成一个包围O点的椭球面，曲面包围的是一个椭球，称为惯量椭球,它形象的描述了刚体绕定点O转动的转动惯量的空间分布. 曲面方程为二次曲面：  应注意： （1）惯量椭球是形象描述刚体绕定点转动时，转动惯量空间分布而按上述规则所得到的球，它与刚体无共同之处，它不是刚体，即使刚体为椭球,它们也无共同之处（见图3.5.1） （2）惯量椭球是在动坐标系中的立体图形。 2、惯量主轴： 惯量椭球的主轴叫惯量主轴，一般而言：凡质量密度均匀分布之刚体，其对称轴就为惯量主轴。例如：球体的任一直径就是惯量主轴。若定点O为刚体质心，则惯量椭球叫中心惯量椭球。 §3.6.1 刚体的平动和绕固定轴的转动（１） 本节重点是掌握刚体绕固定轴转动的运动规律和动力学特征，特别是运动规律及定轴转动的基本定理。 一、 刚体的平动 刚体运动时，若刚体中的任一条直线始终保持平行，这种运动叫刚体的平动。 特点是：各点运动情况相同，自由度为3。 由于各质点运动情况相同，所以可用一点（常用质心）来描述整体的运动，运动方程为  （1） 二、 刚体定轴转动 1、刚体? 定轴转动的特点 如图（见书p186，图3.6.2）取Z轴作转动轴，刚体定轴转动时有如下特点： （1）刚体中任一点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动； （2）各点的角位移△φ，角速度 ，角加速度 均相同，且方向都在转轴上； （3）自由度为1，用转角φ能描述刚体的运动状态。 2、? 刚体定轴转动时，刚体中任意一点的速度和加速度 如图3.6.1，取轴上任一点作原点，刚体中任一点Pi的位置矢量为 ，则速度  （2） 其中： 的方向沿该点圆周切线方向，大小为  加速度  其中: 切向加速度  法向加速度 特例：匀角加速转动情况（α为常数），则有类似于质点运动学的公式： 角速度 ，  转角  3、? 刚体绕定轴转动的几个物理量 转动惯量 ：  角动量 ：  动能T： 动量P ：  重力势能EP：EP=mgZC （ZC为质心相对于零势能位置的高度） 4、? 刚体绕定轴转动的基本定理 （1）、动量矩定理（刚体绕定轴转动的动力学方程） 或 (α为转动角加速度) （2）、质心运动定理  （ 为约束力） （3）、动能定理 dT=dA（刚体动能的增加等于外力作功之和） §3.6.2 刚体的平动和绕固定轴的转动（2） 三、 刚体定轴转动问题解答 [例] 已知作用于刚体的力（外力、约束力等），求刚体定轴转动的运动规律。 由于约束力未知，因此求解定轴转动问题应将动力学方程与质心运动定理同时求解。 [例]单摆是一种理想模型，实际物体绕某轴（悬挂点0)的摆动并不严格符合单摆的条件，实际是复摆，如图3.6.2，物体绕过O点的轴，因重力作用而摆动，设刚体对O轴的转动惯量为I0，质心为C，对质心转动惯量IC，OC=a。 （1）?????? 求复摆的周期 解：刚体只受重力作用，重力对轴O的力矩  设对O的回转半径为K0，则I0=mK2 由定轴转动的动力学方程 ，有  当摆角θ很小时，sinθ≈θ：可得  ，  ，令  得到振动周期  （2）、求悬点的反作用力R的x，y分量Rx，Ry 解：由质心运动定理，有  将它投影于ox，oy方向，得到 ， （A） 注意到：xc=asinθ，yc=acosθ 求导数： ， （B）  ， （C） 由机械能守恒，有  求出  （D） 另由（1）的解 （E） 将（B）、（C）、（D）、（E）一起代入（A），解出   §3.7.1 刚体的平面平行运动（１） 本节要求： （1）掌握刚体平面平行运动学的处理方法，速度、加速度的计算公式，转动瞬心曲线等概念； （2）平面平行运动动力学的主要公式； （3）刚体平面平行运动问题的求解方法。 一、刚体平面平行运动学. ???? 刚体平面平行运动是指刚体运动时，任何一点始终在平行于某一固定平面内作运动，因此，只须研究任一和固定平面平行的平面运动就行，也就是说，可用一薄片来表示刚体的运动。 1、? 刚体平面平行运动的处理方法和速度、加速度 刚体平面平行运动可视为在刚体上取一点（称为基点，而且常取质心）的平动和绕基点的转动这两种运动的合成。 如图3.7.1，选取固定坐标系Oxyz，和动系 ，其中动系固定在刚体平面上并随刚体一起运动，原点A（x0，y0）为基点，刚体绕过A（x0，y0)点，且垂直于平面的轴转动（与定轴转动不同，此处转轴不固定，称为能够为瞬时轴），刚体中任一点P在Oxyz系位置矢量 r ，在动系中位置矢量r'，基点对定系的位矢为rA ，满足r=rA+r'（1） 设刚体绕瞬时轴的转动角速度为 （方向垂直于纸面向外），则 P点的速度 （2） P点的加速度 （3） （2）式表明：P点的速度等于基点的速度vA与绕基点的速度ω×r'的矢量和。 （3）式的等式右边第一项为基点加速度aA，第二项为因转动角速度变化引起的加速度 （称为转动加速度），第三项 叫向心加速度，（3）式表明：刚体中任一点的加速度为基点的加速度、转动加速度、向心加速度的矢量和。 二、转动瞬心（简称瞬心） 1、? 转动瞬心的定义和性质 刚体平面平行运动时，速度为零的点叫瞬心，记为C.转动瞬心的性质是： ①瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心； ②瞬心的速度为零，但它加速度并不为零.否则刚体为定轴转动. ③瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。 ④对瞬心而言，刚体上任一点P的速度 都垂直于瞬心c与该点p的连线CP。 2、瞬心的确定 方法一：观察法：凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心。例如：车轮沿地面滚而不滑的沿直线运动，接触点就是瞬心C，轮子运动时，接触点C在地面上留下的轨迹叫定瞬心曲线（或叫空间极迹），而在运动物体（轮子）上留下的轨迹叫动瞬心曲线（或叫本体极迹）（见图3.7.2）。 方法二：作图法： 已知刚体中两点A、B的速度VA,VB，则分别自A、B点作垂直于VA,VB 的直线，其交点C即瞬心(如图3.7.3）。 方法三：数学方法： 已知ω和基点的位置A(x0，y0）,则可解方程式[书P197的（3．7．6）]求出瞬心在定系中的坐标 ，或解方程[书P197的( 3．7．7）]求出瞬心在动系中坐标： §3.7.2 刚体的平面平行运动（2） 3、瞬心法求解刚体平面平行运动运动学的一般步骤。 一般步骤： ①求出（或确定)瞬心C； ②确定角速度 ； ③由公式（2）、（3）求出任一点的速度 和加速度 。 [例1] 半径为R的圆轮沿直线滚而不滑的运动，轮心的速度为 （常量）(见图3.7.4）。 求：（1）瞬心曲线；（2）角速度；（3）轮心和接触点的加速度；（4）轮上任一点的速度、加速度。 解：（1）接触点速度为零，故为瞬心，显然，运动时，定瞬心曲线为直线，方程为：yC=0。动瞬心曲线为圆周，方程为rC=R； （2）由v0=ω×AC，且ω⊥AC，∴v0=ωAC，∴ω= v0/AC= v0/R=常量（方向垂直纸面向内） （3）取轮心A为基点，由  ，轮心加速度 ，又ω=常量， 所以 ， ∴接触点C的加速度 ，大小为 ，方向为指向圆心。 （4）轮缘上任一点P的速度VP和加速度aP，  （方向如图） ∴ （方向如图）  将 代入得 ，大小为 ，方向由P点指向A点。 三、刚体平面平行运动动力学 1、? 刚体平面平行运动的基本定理 ①???? 质心运动定理： ； ②???? 对质心的动量矩定理： ； ③???? 动能定理：  特例：当受的力为保守力时，机械能守恒，有  （常量） 2、? 刚体平面平行运动动力学问题的解答步骤，例： 已知条件为：作用于刚体的力和初始情况。 求：刚体的运动规律。 方法一：解微分方程的方法。 步骤：①建立坐标系，分析力；②列方程：包括质心运动定理、动量矩定理、约束方程；③解微分方程；④讨论结果。 方法二：利用机械能守恒定律（只适用于保守力） 步骤：①建立坐标系；②计算动能T和势能V；③由能量守恒和约束条件求出运动规律。 [例]见书P202。 圆柱体半径 、质量m，滚而不滑地下滚（见图3.7.5）。求质心的速度、约束反力N、摩擦力f。 方法一：用机械能守恒求。 刚体的动能为：  （k为回转半径） 势能为：  （取静止时的位置为零势能的位置） 约束方程为：  （滚而不滑条件） 由以上三式求得质心加速度为： （用此方法求不出N和f）  方法二：解微分方程的方法 由质心运动定理： （1） 和对质心的角动量定理：  （2） 其中： 以及约束方程： （3） 将（1）投影于x，y方向，解（1）、（2）、（3）求出  （附注：分别将圆柱体、球体、球壳、圆盘等的回转半径的值代入上述结果，就可以得到相同质量、相同半径的这几种刚体的相应值，请读者自己具体计算并从中总结出一些规律。） §3.8 刚体绕定点的转动： ???????????? 本节只作了解。§3.9、§3.10由读者自学。 第四章?? 转动参照系 本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④ 地球自转产生的影响。 第一节 平面转动参照系 本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。 一、 绝对运动、相对运动、牵连运动 有定系οξηζ，另一平面 以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。运动质点P相对板 运动。 由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。绝对速度、加速度记为 ；相对速度、加速度记为V',a'。 二、平动参照系中的速度、加速度 1、v和a的计算公式 速度：  （ 为牵连速度） 加速度：  其中，牵连加速度al为： （转动加速度+向心加速度） 科里奥利加速度：  2、 科里奥利加速度ac ①?它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。 ②? 它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度 发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度 中的 发生改变，两者各贡献 ，结果科氏加速度为 。 三、平面转动参照系问题解答 例 关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。 [例1]P263 4.1题 等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。三角形转一周时，P点走过AB。求P质点在A点之速度、加速度（已知AB=b） 解：（1）相对动系（直角三角形）的速度 vr=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向 ） A点的牵连速度 （方向垂直 ） 由V=Vr+Ve ，利用矢量合成法则，得到  （2）加速度 ， 因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速  牵连加速度 ，大小 ，方向沿  科氏加速度  注意到 ，所以其大小 方向与AB边垂直（见图4.1.1） 由 ，利用矢量合成法则则得到：  与斜边的夹角  第二节 空间转动参照系 本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V 、加速度a的计算公式。 一、 绝对、相对、牵连变化率 设动系 固定在刚体上并随刚体在空间转动，有定系s（οξηζ），两坐标系原点重合，有一物理量矢量G随时间t变化。刚体的转动角速度ω。则定系S上看到的物理量G的变化率称为绝对变化率，记为 ；动系 上看到的变化率叫相对变化率，记为 ；由于动系转动造成物体随同转动而具有的相对定系的时间变化率叫牵连变化率。利用 是动系单位矢量），对时间求导可以得到：  （1） （1）式中的最后一项为牵连变化率。该式表明：绝对变化率为相 对变化率与牵连变化率的矢量和。 二、空间转动参照系中的速度和加速度 在（1）中分别令G=r 和令G=v ，得到 ??????????????????  （1） ??????????????????????????????? （2） 其中： 为相对加速度 ?为牵连加速度  为科里奥利加速度 （2）式表明：绝对加速度等于相对加速度、牵连加速度与科氏加速度矢量和。 第三节 非惯性系动力学 本节要求是①掌握平面转动参照系中的动力学方程以及三种惯性力；②掌握平面转动参照系中动力学问题的求解步骤；③了解空间转 动参照系中的动力学方程。 一、平面转动参照系中的动力学方程 由 移项，两边同乘以m，得到  （1） 注意到： （作用于质点的合外力）。而 (转动加速度与向心加速度的矢量和，称为牵连加速度)， 为科氏加速度。 若令 称为牵连力， 称为科里奥利力。 则  即  （2） （2）式就是平面转动参照系中的动力学方程。 应注意：非惯性系中牛顿第二定律不成立，平面转动参照系不是惯性系。但引入牵连力 ，科氏力 的概念后，牛顿定律在非惯性系上律照常成立。其中： 惯性力 是由动系作变角速转动引起。 惯性离心力 ，是动系转动引起。 科氏力 是由动系的转动和质点对转动的相对运动引起。 应注意：惯性离心力与离心力的区别：①离心力（如正电荷靠近正离子时受的斥力）是真实力，而惯性离心力是在转动系中观察者为解释物理现象而假想的力；②离心力无论动系或定系均可见到，而惯性离心力只在动系中才能体会得到。 二、平面转动参照系中的质点动力学问题解答例 已知动系和质点受力情况，求质点运动规律的一般步骤为： ①?确定动系和定系，以及运动质点，选取坐标系；②分析质点受的力（主动力、惯性力）；③写出动系中的动力学方程及其分量形式；④求解方程。 [例1]书P265 4.10题 小环套在光滑圆圈上，而圆圈在水平面内以匀角速ω绕圆圈上某点o并垂直於圆圈平面的轴转动。求小环沿圆圈切线方向的运动方程。 解：如图4.3.1，取圆圈为动系，小环为运动物体。对动系而言，小环受力有： 重力mg和圆圈对环的支持力N（方向垂直于环面），两者平衡，环受圆圈反作用力 （方向沿cp方向），环的相对速度 方向如图（沿P点切线），则科氏力 ，其方向指向圆心C（沿pc方向），大小为 因圆圈作匀角速转动，故只有惯性离心力 , 大小为 ，方向沿op方向，所以质点的运动方程为：  取动系的切线方向，其方程为： （1） 利用 代入（1）式，得到：  同除ma，得到运动方程：  第四节 地球自转所产生的影响 地球有自转，公转，其中公转角速很小，它的影响可忽略，但地球自转的影响不可忽视。本节应重点掌握地球自转引起的惯性离心力和里科奥利力对地球上运动物体的影响。 一、惯性离心力的影响 如图4.4.1，地球绕地轴（过南北极）旋转，角速ω，地面上一 质点m，受万有引力作用（ ），同时因地球自转还受惯性离心力作用，惯性离心力的大小为 ，合力即为重力。显然，重力的作用线一般并不通过地球的球心，只有在南北极时重力才通过地心。 二、科里奥利力的影响 设物体从地球北半球某点P以速度V'相对地球沿经线运动。P点的纬度λ，由质点动力学方程：  由于科氏力的存在，使地球上运动物体的运动受影响： （1）由于科氏力的作用，使南北向的气流发生东西向的偏转；北半球地面附近的气流由北向南推进时，则气流向西偏离，成为东北贸易风；反之，而南半球地面附近自南向北的气流，也向西偏离，成为东南贸易风。 （2）由于科氏力的作用，使北半球上自北向南流的河流，右岸冲刷更甚。 （3）由于科氏力的作用，使自由落体有偏东现象。偏东的数值与物体所在的纬度有关，也与下落的物理高度h以及纬度λ有关：  赤道附近偏东最甚，而两极偏东为零。 第五章 分析力学 本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。 第一节 约束和广义坐标 一、 约束的概念和分类 加于力学体系的限制条件叫约束。 按不同的标准有不同的分类： 按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束； 按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束； 按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。 本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。 二、广义坐标 1、自由度 描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。 设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K） 2、广义坐标 描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和 描述，自由度为2。 第二节 虚功原理 本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。 一、实位移与虚位移 质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。 如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移 与虚位移 不一致。 二、理想约束 设质点系受主动力 和约束力 的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。 若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。 三、虚功原理 1、文字叙述和数学表示： 受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即  （1） 适用条件：惯性系、理想不可解约束。 2、?推论 设系统的广义坐标为q1，……，qa，……，qS，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：  定义： 称为相应于广义坐标qa的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：  （2） 3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤 一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）； （2）选取广义坐标并将各质点坐标 表示成广义坐标qa的函数： ； （3）求主动力的虚功并令其为零： ，由此求出平衡条件。 [例] 见书P276 [例1] 第三节 拉格朗日方程 本节重点要求：（1）掌握拉格朗日方程的两种形式，方程的特点和适用条件等；（2）掌握用拉格朗日方程求解具体问题的步骤；（3）了解循环积分等概念。 一、 基本形式的拉格朗日方程 1、方程的推导 由牛顿第二定律并应用理想约束的条件 ，可以得到达朗伯——拉格朗日方程：  (1) 将坐标 的变分改成用广义坐标q1，……，qS的变分表示，即：  经数学运算，令 （称为体系的动能）， （称为相应于qa的广义力），则（1）式变为：  （2） 这就是基本形式的拉格朗日方程，应注意：（2）实际是一组方程。 2、方程的适用条件：理想约束。 二、保守系的拉格朗日方程 设作用于体系的力全为保守力，则广义力 可由 （V为势能）求得：  在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于V不包含广义速度 ，可令： （动能与势能的差） 为拉格朗日函数，则（2）式变为：  （3） 应指出（3）的适用条件为保守系，理想约束，且（3）应用很普遍。 三、应用拉格朗日方程求解问题的步骤，例 一般步骤：①画草图，确定自由度s和广义坐标qa；②分析主动力 ，若为保守系，则求出势能V；若为非保守力，则计算广义力Qa；③求动能T=T（ ）；④对保守系，求出L=T-V，进而代入方程（3），写出运动方程；⑤对非保守系，将T和广义力Qα代入方程（2），写出运动方程。⑥解方程，求出qα（t）。 [例1] P265 4.10题 圆环在光滑圆圈上运动，而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动，求圆环运动规律。 解：方法一：牛顿力学方法（已在第四章第三节作为举例计算） 方法二：用拉格朗日方程求解。 这是光滑圆圈且受的力只有重力和约束力，属于保守体系，可采用保守系的拉氏方程求解。 质点自由度为1，转角θ为广义坐标，广义速度为 。任一角度θ时圆环（视为质点）的动能 ，其中绝对速度v可由速度合成公式求出：  这里 （方向沿切线方向），牵连速度 ，大小为 ，方向垂直于op。 由速度合成公式得到：  动能：  取圆平面为零势能位置，则V=0，从而L=T-V=T-0=T 代入拉氏方程（2）中： ，得到  四、循环积分。 若拉氏函数L中某一坐标qi不出现，则该坐标qi叫循环坐标，则 （常数）， 叫循环积分。 哈密顿正则方程 本节不作重点要求。基本要求是：了解正则坐标、正则动量的概念和正则方程及其应用。 一、哈密顿函数 设力学体系的广义坐标为 ，广义速度为 ，则拉格朗日函数 ,定义广义动量 ，则函数 叫哈密顿函数。它是广义坐标、广义动量的函数，而广义坐标、广义动量称为正则变量。 特例：对保守体系，H=T+V （动能与势能之和） 二、哈密顿正则方程 哈密顿函数满足的方程为： 由该方程组也可探讨运动规律。方程组（1）叫哈密顿正则方程。 三、用哈密顿正则方程求解问题的步骤 一般步骤为：①确定自由度r和广义坐标 ②求动能T和势能V，写出拉格朗日函数 。③求广义动量 ，将T和V中的 换为 ， ④写出H=T+V=H（ ， ） ⑤、?写出正则方程，进而解方程。 [例]电子的运动（见书P314-316） 最后指出：拉格朗日方程和哈密顿正则方程都是分析力学中的基本方程，其作用与牛顿第二定律一样，其中拉氏方程为二阶微分方程，哈密顿正则方程为一阶微分方程，但个数比前者多一倍。