第二章 离散时间信号和系统
§ 2-1 信号及序列
设离散信号系列 {x(k)}
一、标准向量
一般作为自变量 k,
1,向量的基本表示方法,
k=[2 3 5 7 8 9 10 12]
2.规则间隔的向量,
格式,k=[x1:Δ x:x2]
功能：从 x1到 x2等间隔 Δ x构成向量（缺省 Δ x=1）
3.线性间隔的向量,
格式,k=linspace(x1,x2,N）
功能：从 x1到 x2等间隔构成 N个元素的向量（缺省
N=100）
4.对数间隔的向量,
格式,k=logspace(d1,d2,N）
功能：从 10d1到 10d2等对数间隔构成 N个元素的向量
（缺省 N=50）
4.频率响应中频率间隔的向量,
格式：① f=fteqspace(n)
② f=fteqspace(n,’whole’)
③ [f1,f2]=fteqspace(n)
④ [f1,f2]=fteqspace([m n])
⑤ [x1,y1]=fteqspace(n,’meshgrid’)
⑥ [x1,y1]=fteqspace([m n],’meshgrid’)
功能：①产生从 0到 1均匀分布的点 (相当于 f=[0:2/n:1])
② 产生 n个均匀分布的点 (相当于 f=[0, 2/n, 2*(n-1)/n])
③ 产生 n× n的二维矢量 f1和 f2,
当 n为奇数,f1=f2=[-1+1/n, 2/n, 1-1/n]
当 n为偶数,f1=f2=[-1,2/n, 1-2/n]
④ 产生 m× n的二维矢量 f1和 f2
⑤ 相当于 [f1,f2]=fteqspace(n);[x1,x2]=meshgrid([f1 f2]) (三维
网格数据）
⑥相当于 [f1,f2]=fteqspace([m n]);[x1,x2]=meshgrid ([f1 f2]) 11
二、离散信号
1、单位脉冲序列,
即
实现方法,
①用 zeros函数产生 N个 0，再强制一个 1,
x=zeros(1,N);x(k)=1;
② 用关系操作符,==”实现,（ impseq.m)
??
?
?
??
00
01)(
k
kk
当
当?
? ?.,,,0,0,0,1,0,0,0.,,,)( ?k?
??
?
?
???
0
0
0 0
1)(
nn
nnnn?
2.单位阶跃序列
实现方法,
①用 ones函数,
x=[zeros(1,n0-n1) ones(1,n2-n0)]
② 用,>=”实现,（ stepseq(n0,n1,n2))
??
?
?
??
00
01)(
k
kku
当
当
??
?
?
???
0
0
0 0
1)(
nn
nnnnu
当
当
3.实数指数序列
实现方法,
用,.^”实现,
k=[n1:n2]; x=a.^k
Rakakx k ???,)(
4.复数指数序列
实现方法,
用,exp”实现,
k=[n1:n2]; x=(exp( σ+jω0)*k);
角频率
阻尼系数；其中：
??
??
??
?
0
)( 0
)(
?
?
??
kekx
nj
5.正 /余弦序列
实现方法,
用,sin”或,cos”实现
kkkx ??? )co s ()( 0 ??
6,随机数序列
① x(k)=rand(1,N)
功能：产生 [0,1]区间均匀分布的随机数序列，长度为 N;
② x(k)=randn(1,N)
功能：产生均值 =0，方差 =1，长度 =N的高斯分布随机数序列
（白噪声序列）。
7.周期序列
x(k)=x(k+N） （ N为周期）
实现方法,
①复制：设一个周期的序列为 x1,则四个周期的序列,
x=[x1 x1 x1 x1]
② 用检索法实现：设一个周期的序列为 x1,则 p个周期的序列,
x=x1’*ones(1,p); x=x(:); x=x’
8.三角波（锯齿波）序列
① 锯齿波,x(k)=sawtooth(k)
功能：产生周期为 2π，幅值为 [-1,1]的锯齿波；
②三角波,x(k)=sawtooth(k,width)
功能：产生周期为 2π的三角波,width=(0,1)
9.方波序列
① 正方波,x(k)=square(k)
功能：产生周期为 2π，幅值为 [-1,1]的正方波；
②带占空比的方波,x(k)=square(k,duty)
功能：产生周期为 2π可变占空比的方波,width=(0,100)
10.sinc函数
??
?
?
?
?
?
??
0
)s in (
01
)(s in)(
t
t
t
t
tctx
?
?
§ 2-2 序列的运算
一、信号的相加
注：①当 x1和 x2的 长度, 采样位置 均一样时，才能直
接相加。
②当 x1和 x2的 长度, 采样位置 不一样时，须用 0补
齐空出的位置，再相加。（ sigadd)
? ??? ??
?? )()(
)()()(
21
21
kxkx
kxkxky
??
??
二、信号的相乘（点乘）
实现：用,.*”运算
注：①当 x1和 x2的 长度, 采样位置 均一样时，才能直
接相乘。
②当 x1和 x2的 长度, 采样位置 不一样时，须用 0补
齐空出的位置，再相乘。（ sigmult)
?? ? ??? ? ???
? ? ? ??? kxkx
kxkxky
21
21)(
??
??
三、信号的倍数
实现：用,*”运算
?? ? ??? ? ??? kxkxky 1)( ?? ??
四、信号的移位
实现：令 m=n-k,则 n=m+k
所以 {y(m+k)}={x(m)}
注：此时 x不变，但 n均加了一个 k,
(sigshift)
? ? ? ? 点）右移 k()()( knxny ??
五、信号的折叠
即将 x(k)在 k=0处倒转。
实现：用函数,fliplr”。
(sigfold)
? ? ? ?)()( kxky ??
六、信号的求和
实现：用函数,sum”,
y=sum(x(n1:n2))
?
?
?
2
1
)(
n
nk
kxy
七、信号的求积
实现：用函数,prod”,
y=prod(x(n1:n2))
?
?
?
2
1
)(
n
nk
kxy
八、信号的能量
注,x*(k)为 x(k)的共轭转置。
实现：① Ex=sum(x.*conj(x))
② Ex=sum(abs(x).^2)
??
?
???
?
???
???
kk
x kxkxkxE
2* )()()(
九、信号的功率
注,N为 x(k)的周期。
实现, Ex=sum(abs(x).^2)/N
?
?
?
?
1
0
2)(1
N
k
x kxNP
十、卷积
实现, ① 用函数,conv”,
y=conv(x,h)
(注：此处默认 n=0到 N)
② 扩展：设 {x(k),nxb≤k≤nxe}及 {h(k),nhb≤k≤nhe}
则 {y(k),nyb≤k≤nye},且
nyb=nxb+nhb
nye=nxe+nhe (conv_m)
?
?
????
N
i
ikhkxkhkxky
0
)()()()()(
十一、幅值
)( xabsy ?
十二、相角
)( xa n g l ep ?
§ 2-3 采样定理的验证和重构
一、采样定理
设有限带宽信号 xa(t)的带宽为 F0，则采样
频率 Fs应满足
且此时 xa(t)可以由其采样值 x(k)重构。
02 FF s ?
例 1（ a）设信号
求其付里叶变换。
解,xa(t)的频谱为
t
a etx
1 0 0 0)( ??
2
0
21000
0
21000
2
a
)
1 0 0 0
2
(1
0 0 2.0
)()(X
f
dteedtee
dtetxf
ftjtftjt
ftj
a
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??
?
当 t=± 0.005时，有
又当 f=2000时，有
所以，可以取 -0.005≤t≤0.005的 xa(t)代替原来的 xa(t)；
取 f≤2000的 Xa(f)代替原来的 Xa(f).（即 F0=2000)
当 足够小时，可以认为它表示了连续信号及频谱。取
(ex1a.m)
00067.0)005.0( 5005.01000 ????? ???? eex a
01026.1
)
1000
20002(1
002.0)2000( 5
2
????
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t?
5
0
5 1025
2 0 0 02
1
2
1105 ?? ??
??????? Ft
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
a
(
t
)
? ￡ ? a D ? o ?
-2 - 1, 5 -1 - 0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2
0
0, 5
1
1, 5
2
ò ? K H z ? a μ ￥ ? ? μ ? ? μ ? ê
X
a
(
j
W
)
*
1
0
0
0
á ? D ? ê ± ? ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
例 1（ b）上例中取 Fs=5000(Δt=0.0002)
求其付里叶变换。
解,(ex1b.m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
1
(
n
)
à ? é ￠ D ? o ?
T s = 0, 2 m s e c
-1 - 0, 8 - 0, 6 - 0, 4 - 0, 2 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0
2
4
6
8
10
ò ? p i ? a μ ￥ ? ? μ ? ? μ ? ê
X
1
(
w
)
à ? é ￠ D ? o ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
例 1（ c）上例中取 Fs=1000(Δt=0.001)
求其付里叶变换。
解,(ex1c.m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
2
(
n
)
à ? é ￠ D ? o ?
T s = 1 m s e c
-1 - 0, 8 - 0, 6 - 0, 4 - 0, 2 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0
0, 5
1
1, 5
2
2, 5
ò ? p i ? a μ ￥ ? ? μ ? ? μ ? ê
X
2
(
w
)
à ? é ￠ ê ± ? ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
a
(
t
)
? ￡ ? a D ? o ?
-2 - 1, 5 -1 - 0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2
0
0, 5
1
1, 5
2
ò ? K H z ?a μ ￥ ?? μ ? ? μ ? ê
X
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(
jW
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*
1
0
0
0
á ? D ? ê ± ? ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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0, 2
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0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
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(
n
)
à ? é ￠ D ? o ?
T s = 0, 2 m s e c
-1 - 0, 8 - 0, 6 - 0, 4 - 0, 2 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0
2
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X
1
(
w
)
à ? é ￠ D ? o ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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x
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(
n
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T s = 1 m s e c
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0
0, 5
1
1, 5
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ò ? p i ?a μ ￥ ?? μ ? ? μ ? ê
X
2
(
w
)
à ? é ￠ ê ± ? ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
二、重构
可以由采样值 x(k)重构有限带宽信号 xa(t),
实际计算中，用有限长度近似
?
?
???
???
k
sa tktFkxtx )]([cs i n)()(
])([cs i n)()(
2
1
?
?
????
n
nk
sa tktmFkxtx
例 2（ a）用例 1（ b)采样得到的序列 x(k)重构 xa(t)。
解,(ex2a.m)
例 2（ b）用例 1（ c)采样得到的序列 x(k)重构 xa(t)。
解,(ex2b.m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
- 0, 5
0
0, 5
1
t o á ? ?
x
a
(
t
)
ó ? s i n c o ˉ ê y ó é x 1 ( n ) ? ? 1 1 D ? o ? o í? ìμ t
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
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1
t o á ? ?
x
a
(
t
)
ó ? s i n c o ˉ ê y ó é x 1 ( n ) ? ? 1 1 D ? o ?
§ 2-1 信号及序列
设离散信号系列 {x(k)}
一、标准向量
一般作为自变量 k,
1,向量的基本表示方法,
k=[2 3 5 7 8 9 10 12]
2.规则间隔的向量,
格式,k=[x1:Δ x:x2]
功能：从 x1到 x2等间隔 Δ x构成向量（缺省 Δ x=1）
3.线性间隔的向量,
格式,k=linspace(x1,x2,N）
功能：从 x1到 x2等间隔构成 N个元素的向量（缺省
N=100）
4.对数间隔的向量,
格式,k=logspace(d1,d2,N）
功能：从 10d1到 10d2等对数间隔构成 N个元素的向量
（缺省 N=50）
4.频率响应中频率间隔的向量,
格式：① f=fteqspace(n)
② f=fteqspace(n,’whole’)
③ [f1,f2]=fteqspace(n)
④ [f1,f2]=fteqspace([m n])
⑤ [x1,y1]=fteqspace(n,’meshgrid’)
⑥ [x1,y1]=fteqspace([m n],’meshgrid’)
功能：①产生从 0到 1均匀分布的点 (相当于 f=[0:2/n:1])
② 产生 n个均匀分布的点 (相当于 f=[0, 2/n, 2*(n-1)/n])
③ 产生 n× n的二维矢量 f1和 f2,
当 n为奇数,f1=f2=[-1+1/n, 2/n, 1-1/n]
当 n为偶数,f1=f2=[-1,2/n, 1-2/n]
④ 产生 m× n的二维矢量 f1和 f2
⑤ 相当于 [f1,f2]=fteqspace(n);[x1,x2]=meshgrid([f1 f2]) (三维
网格数据）
⑥相当于 [f1,f2]=fteqspace([m n]);[x1,x2]=meshgrid ([f1 f2]) 11
二、离散信号
1、单位脉冲序列,
即
实现方法,
①用 zeros函数产生 N个 0，再强制一个 1,
x=zeros(1,N);x(k)=1;
② 用关系操作符,==”实现,（ impseq.m)
??
?
?
??
00
01)(
k
kk
当
当?
? ?.,,,0,0,0,1,0,0,0.,,,)( ?k?
??
?
?
???
0
0
0 0
1)(
nn
nnnn?
2.单位阶跃序列
实现方法,
①用 ones函数,
x=[zeros(1,n0-n1) ones(1,n2-n0)]
② 用,>=”实现,（ stepseq(n0,n1,n2))
??
?
?
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00
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k
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当
当
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当
当
3.实数指数序列
实现方法,
用,.^”实现,
k=[n1:n2]; x=a.^k
Rakakx k ???,)(
4.复数指数序列
实现方法,
用,exp”实现,
k=[n1:n2]; x=(exp( σ+jω0)*k);
角频率
阻尼系数；其中：
??
??
??
?
0
)( 0
)(
?
?
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kekx
nj
5.正 /余弦序列
实现方法,
用,sin”或,cos”实现
kkkx ??? )co s ()( 0 ??
6,随机数序列
① x(k)=rand(1,N)
功能：产生 [0,1]区间均匀分布的随机数序列，长度为 N;
② x(k)=randn(1,N)
功能：产生均值 =0，方差 =1，长度 =N的高斯分布随机数序列
（白噪声序列）。
7.周期序列
x(k)=x(k+N） （ N为周期）
实现方法,
①复制：设一个周期的序列为 x1,则四个周期的序列,
x=[x1 x1 x1 x1]
② 用检索法实现：设一个周期的序列为 x1,则 p个周期的序列,
x=x1’*ones(1,p); x=x(:); x=x’
8.三角波（锯齿波）序列
① 锯齿波,x(k)=sawtooth(k)
功能：产生周期为 2π，幅值为 [-1,1]的锯齿波；
②三角波,x(k)=sawtooth(k,width)
功能：产生周期为 2π的三角波,width=(0,1)
9.方波序列
① 正方波,x(k)=square(k)
功能：产生周期为 2π，幅值为 [-1,1]的正方波；
②带占空比的方波,x(k)=square(k,duty)
功能：产生周期为 2π可变占空比的方波,width=(0,100)
10.sinc函数
??
?
?
?
?
?
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0
)s in (
01
)(s in)(
t
t
t
t
tctx
?
?
§ 2-2 序列的运算
一、信号的相加
注：①当 x1和 x2的 长度, 采样位置 均一样时，才能直
接相加。
②当 x1和 x2的 长度, 采样位置 不一样时，须用 0补
齐空出的位置，再相加。（ sigadd)
? ??? ??
?? )()(
)()()(
21
21
kxkx
kxkxky
??
??
二、信号的相乘（点乘）
实现：用,.*”运算
注：①当 x1和 x2的 长度, 采样位置 均一样时，才能直
接相乘。
②当 x1和 x2的 长度, 采样位置 不一样时，须用 0补
齐空出的位置，再相乘。（ sigmult)
?? ? ??? ? ???
? ? ? ??? kxkx
kxkxky
21
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三、信号的倍数
实现：用,*”运算
?? ? ??? ? ??? kxkxky 1)( ?? ??
四、信号的移位
实现：令 m=n-k,则 n=m+k
所以 {y(m+k)}={x(m)}
注：此时 x不变，但 n均加了一个 k,
(sigshift)
? ? ? ? 点）右移 k()()( knxny ??
五、信号的折叠
即将 x(k)在 k=0处倒转。
实现：用函数,fliplr”。
(sigfold)
? ? ? ?)()( kxky ??
六、信号的求和
实现：用函数,sum”,
y=sum(x(n1:n2))
?
?
?
2
1
)(
n
nk
kxy
七、信号的求积
实现：用函数,prod”,
y=prod(x(n1:n2))
?
?
?
2
1
)(
n
nk
kxy
八、信号的能量
注,x*(k)为 x(k)的共轭转置。
实现：① Ex=sum(x.*conj(x))
② Ex=sum(abs(x).^2)
??
?
???
?
???
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2* )()()(
九、信号的功率
注,N为 x(k)的周期。
实现, Ex=sum(abs(x).^2)/N
?
?
?
?
1
0
2)(1
N
k
x kxNP
十、卷积
实现, ① 用函数,conv”,
y=conv(x,h)
(注：此处默认 n=0到 N)
② 扩展：设 {x(k),nxb≤k≤nxe}及 {h(k),nhb≤k≤nhe}
则 {y(k),nyb≤k≤nye},且
nyb=nxb+nhb
nye=nxe+nhe (conv_m)
?
?
????
N
i
ikhkxkhkxky
0
)()()()()(
十一、幅值
)( xabsy ?
十二、相角
)( xa n g l ep ?
§ 2-3 采样定理的验证和重构
一、采样定理
设有限带宽信号 xa(t)的带宽为 F0，则采样
频率 Fs应满足
且此时 xa(t)可以由其采样值 x(k)重构。
02 FF s ?
例 1（ a）设信号
求其付里叶变换。
解,xa(t)的频谱为
t
a etx
1 0 0 0)( ??
2
0
21000
0
21000
2
a
)
1 0 0 0
2
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0 0 2.0
)()(X
f
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当 t=± 0.005时，有
又当 f=2000时，有
所以，可以取 -0.005≤t≤0.005的 xa(t)代替原来的 xa(t)；
取 f≤2000的 Xa(f)代替原来的 Xa(f).（即 F0=2000)
当 足够小时，可以认为它表示了连续信号及频谱。取
(ex1a.m)
00067.0)005.0( 5005.01000 ????? ???? eex a
01026.1
)
1000
20002(1
002.0)2000( 5
2
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例 1（ b）上例中取 Fs=5000(Δt=0.0002)
求其付里叶变换。
解,(ex1b.m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
1
(
n
)
à ? é ￠ D ? o ?
T s = 0, 2 m s e c
-1 - 0, 8 - 0, 6 - 0, 4 - 0, 2 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0
2
4
6
8
10
ò ? p i ? a μ ￥ ? ? μ ? ? μ ? ê
X
1
(
w
)
à ? é ￠ D ? o ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
例 1（ c）上例中取 Fs=1000(Δt=0.001)
求其付里叶变换。
解,(ex1c.m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
2
(
n
)
à ? é ￠ D ? o ?
T s = 1 m s e c
-1 - 0, 8 - 0, 6 - 0, 4 - 0, 2 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0
0, 5
1
1, 5
2
2, 5
ò ? p i ? a μ ￥ ? ? μ ? ? μ ? ê
X
2
(
w
)
à ? é ￠ ê ± ? ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
a
(
t
)
? ￡ ? a D ? o ?
-2 - 1, 5 -1 - 0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2
0
0, 5
1
1, 5
2
ò ? K H z ?a μ ￥ ?? μ ? ? μ ? ê
X
a
(
jW
)
*
1
0
0
0
á ? D ? ê ± ? ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
1
(
n
)
à ? é ￠ D ? o ?
T s = 0, 2 m s e c
-1 - 0, 8 - 0, 6 - 0, 4 - 0, 2 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0
2
4
6
8
10
ò ? p i ?a μ ￥ ?? μ ? ? μ ? ê
X
1
(
w
)
à ? é ￠ D ? o ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
2
(
n
)
à ? é ￠ D ? o ?
T s = 1 m s e c
-1 - 0, 8 - 0, 6 - 0, 4 - 0, 2 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1
0
0, 5
1
1, 5
2
2, 5
ò ? p i ?a μ ￥ ?? μ ? ? μ ? ê
X
2
(
w
)
à ? é ￠ ê ± ? ? ? ? à ? ò ? ± ? ? ?
二、重构
可以由采样值 x(k)重构有限带宽信号 xa(t),
实际计算中，用有限长度近似
?
?
???
???
k
sa tktFkxtx )]([cs i n)()(
])([cs i n)()(
2
1
?
?
????
n
nk
sa tktmFkxtx
例 2（ a）用例 1（ b)采样得到的序列 x(k)重构 xa(t)。
解,(ex2a.m)
例 2（ b）用例 1（ c)采样得到的序列 x(k)重构 xa(t)。
解,(ex2b.m)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
- 0, 5
0
0, 5
1
t o á ? ?
x
a
(
t
)
ó ? s i n c o ˉ ê y ó é x 1 ( n ) ? ? 1 1 D ? o ? o í? ìμ t
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
t o á ? ?
x
a
(
t
)
ó ? s i n c o ˉ ê y ó é x 1 ( n ) ? ? 1 1 D ? o ?
