一、方向场 积分曲线
设 (1) 中右端的函数 ),( yxf 在区域 D 内
有定义，那么过 D 内每一点 ),( yxM 作一条以
),( yxf 为斜率的直线，并把向量
}),(,1{),( yxfyx ??
所指的方向定义为直线的方向, 这样，对于
D
内
每一点 　 ),( yx,方程 ( 1) 都确定一个方向与之对应，
于是我们说方程 (1) 在 D 内确定了一个 方向场,
)1(),( yxfy ??一阶微分方程
定义 1
过 D 内任一点 ),( yxM,做一个以 M 为起点
长度等于 ? 的向量
}),(,1{)],([1),( 20 yxfyxfyx ?? ???
如图所示,
可形象地表示方向场,
xo
y
定义 2
等斜线的方程为,),( Cyxf ?
在这条等斜线上的各点处 },1{1 20 CC?? ???
方向场中具有同一方向 )( Cy ?? 的点
的轨迹叫做方程 (1) 的 等斜线,
方向场画法
适当画出若干条等斜线,再在每条
等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量
0
??,这样即可画出这个方向场,
例 1 画出方程 22 yxy ??? 所确定的方向
解 方程的等斜线为,22 Cyx ??
,2,5.1,1,5.0,0?C取
画出五条等斜线,
再在
每条等斜线上适当选取
若干个点画出对应的向
量
0
??,如图方向场,
xo
y
场示意图,
xo
y
的积分曲线．的曲线就是方程
点处的方向一致，这样线方向都和方向场在该
处的切内的一条曲线在任一点如果
)1(
D
定义 3
如图，
)1,0(),0,0(),1,0( ?
的三条积分曲线．
经过点
根据方向场即可大致
描绘出积分曲线．
二、欧拉 -柯西近似法
问题,
一阶微分方程的初值问题
?
?
?
?
??
?
,
),,(
00
yy
yxfy
xx
的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？
方法,近似积分法 —— 欧拉 — 柯西近似法．
一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的
充分条件如下定理：
．样的积分曲线是唯一的
上也连续，那末这在线一定存在．如果
的积分曲通过点上，微分方程闭区域
的内点，那末在是上连续，点
在闭区域右端的函数设方程定理
D
y
f
MD
DyxMD
yxf
?
?
0
000
)1(
),(
),()1(
注意
上连续．闭区域
在及下面总假定函数
D
yxf
y
yxf ),(),(
?
?
内．的一段积分曲线位于
时，对应，并设当
的积分曲线为经过点设方程
D
HxxHxxy
yxM
????? 00
000
)(
),()1(
?
:],[ 00 上作欧拉折线在 Hxx ?
，如图
轴的直线作平行于
，为步长；记
称，等分，记把区间
),,2,1,0(
],[
0
00
nixx
y
ihxx
h
n
H
hnHxx
i
i
???
??
??
1x 2x 1?nx
y
xo 0x H；则
，交于点，与直线段
为斜率的直线作以，过点值
．求出函数上取点在直线
001
111110
00000
0000
),(
),(
),(
yhyy
yxMxxMM
yMyyxf
yxMxx
???
?
???
?；，则于点
，交直线
为斜率的直线段作以
，过点
求出函数值
)(),(
),(
100112222
221
1
1111
yyhyyhyyyxM
xxMM
y
Myyxf
????????
?
?
??
1x 2x 1?nx
y
xo 0x H
0M
1M
2M
1x 2x 1?nx
y
xo 0x H
0M
1M
2M
如此一段接一段地
作下去，得一条折线，
称欧拉折线．
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
??
????
.),(
,),(
,),(
)(
1111
21111
10000
nnnnn
n
xxxxxyy
xxxxxyy
xxxxxyy
xy
??????
?
方程为
).,(,
,)(
,
10011
0
iii
iiii
i
yxfy
n
H
h
hyyyhyyy
ihxx
???
?????????
??
???
?
其中
．函数
表示的一个表（函数表）来可列出
)(
,
xy
yx
n
ii
??
注意
．内，且于
应位折线
)()(l i m
)()( 00
xxD
Hxxxxy
nn
n
??
?
?
????
??
初值问题的近似解
例 2
．，计算到四位小数取步长的近似解
上求初值问题在
)1.0(
,
1
]1,0[
0
22
?
?
?
?
??
???
?
h
y
yxy
x
解
.
1.0
11.01.0
22
11
0
ii
iii
i
yxy
yyy
yixh
???
???
????
??,
，，，
列表计算如下
.,数表两列就表示近似解的函其中 ii yx
i ix iy iy?
1
2
4
7
0
3
5
6
8
9
10
1.0
2.0
4.0
7.0
0.0
3.0
5.0
6.0
8.0
9.0
0.1
900 0.0?
809 4.0?
647 4.0?
417 6.0?
0000.1?
726 0.0?
571 3.0?
495 4.0?
3361.0?
249 3.0?
155 9.0?
9055.0
8337.0
7610.0
8151.0
0000.1
7855.0
7592.0
7781.0
8677.0
9339.0
三、小结
欧拉－柯西近似法是图形与分析相结合的
近似积分方法．
基本概念 方向场、等斜线、积分曲线、
欧拉－柯西近似法．
练 习 题
.
]1.0,0[02.01,32
.
]0,5.0[1.01,1
0
2
0
求近似解
上在；按．
近似解
上求在；按．
位小数）：上的近似解（计算到三
程初值问题在指定区间求下列各题所给微分方
?????
??????
?
?
hyyxy
hyyxy
x
x
练习题答案
6 8 1.05.0
7 1 2.04.0
7 5 8.03.0
8 2 0.02.0
9 0 0.01.0
0 0 0.10.0
1
?
?
?
?
?
yx．
121.110.0
092.108.0
066.106.0
042.104.
020.102.
000.100.
2 yx．