)()( xQyxPdxdy ??
一阶线性微分方程 的标准形式,
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)( ?xQ当
一、线性方程
例如,2xydxdy ??,s i n 2ttxdtdx ??
,32 ??? xyyy,1cos ??? yy
线性的 ;
非线性的,
.0)( ?? yxPdxdy
,)( dxxPydy ??,)(?? ?? dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
1,线性齐次方程
一阶线性微分方程的 解法
(使用分离变量法 )
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy ??
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
??
?
??
? ???
两边积分,)(
)(ln ?? ?? dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设 ?,)()(ln ???? dxxPxvy
.)()( ??? dxxPxv eey即 非齐方程通解形式
与齐方程通解相比, )( xuC ?
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质, 未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数 ?
作变换 ?? ? dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( ??????? ? dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy ?
,)()( )( CdxexQxu dxxP ??? ?
),()( )( xQexu dxxP ??? ?
积分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(
对应齐次
方程通解
非齐次方程特解
.s i n1 的通解求方程 x xyxy ???
,1)( xxP ?,s i n)( x xxQ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
???
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
?
?
??
?
? ? ??? ? Cdxe
x
xe xx lnln s i n
? ?? ?? Cx d xx s i n1 ? ?.co s
1 Cx
x ???
解
例 1
例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy ???
解
解此微分方程 x
y
o x
P
Q 3xy ?
)( xfy ?
??
?
??
? ???? ?? dxexCey dxdx 23
,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).22(3 2 xxey x ???? ?
23 xyy ???
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( ?? )1,0( ?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,
二、伯努利方程
时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??
),()1()()1( xQnzxPndxdz ????
求出通解后，将 代入即得 nyz ?? 1
，得两端除以 ny
代入上式
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
??
???
?
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy ??
,41 2xyxdxdyy ??
,yz ?令,
42 2xz
xdx
dz ??
,22 ?????? ?? Cxxz解得,2
2
4 ?
?
??
?
? ?? Cxxy即
解,得两端除以 ny
例 3
例 4 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy ????
解,21 1
2 ????? yxexyy x
,2)1(1 yyz ?? ??令,2 dxdyydxdz ?则
,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ???? ? ??
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x ?? ?;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy ??
解,xyz ?令,dxdyxydxdz ??则
,s i n 1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz ????
,42s i n2 Cxzz ???分离变量法得
,代回将 xyz ?
所求通解为,4)2s i n (2 Cxxyxy ???;1.3 yxdxdy ??
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n ( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n ( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为
三、小结
1.齐次方程
2.线性非齐次方程
3.伯努利方程
)( xyfy ?? ;xuy ?令;)( )(?? ? dxxPexuy令;1 zy n ??令
思考题
求微分方程 的通解, yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
???
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s ??,t a n2s i n yxy ??
? ?,2s i nt a n yxydydx ????
? ?? ??? ? Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
??
?
??
? ?? ? Cdy
y
yyy
cos
coss i n2cos ? ?
.co s2co s yCy ??
一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
co s
?
??? ；
2, 0)ln(ln ??? dyyxy d xy ；
3, 02)6(
2
??? y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 4,5co t
2
c o s
????
?
?
x
x
yexy
dx
dy；
2,,0,1
32
13
2
??
?
?
?x
yy
x
x
dx
dy
练 习 题
三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正
比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受
一与速度成正比 ( 比例 2k系数为 ) 的阻力作用,求质
点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
?
??? ；
2, 0)]ln1([
3
???? dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的
方程,然后求出通解,
1, 1
1
?
?
?
yxdx
dy；
2, 1co ssin2sin)1(s i n2
22
???????? xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
??
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy ???
,其中
?
?
?
?
??
?
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy ?
,满
足条件
0)0( ?y
,且在区间
),0[ ??
满足上述方程,
练习题答案
一,1,
x
eCxy
s i n
)(
?
?? ；
2, Cyyx ??
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx ??,
二,1, 15sin
co s
??
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
?
??
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
v
?
???,
四,1, Cxxy ?? ；
2, )
3
2
(l n
3
2
3
2
2
??? xxC
y
x
.
五,1, Cxyx ???? 2)(
2；
2,
Cx
xy
?
???
1
s i n1 ；
3, Cxxyxy ??? 4)2s i n (2,
六、
?
?
?
??
???
??
?
?
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.