一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()( ?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy ?例如,2 254 dxxdyy ?? ?
解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
? ?? dxxfdyyg )()(
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函
数,CxFyG ?? )()( 为微分方程的解,
分离变量法
例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy ?
解 分离变量,2 xdxydy ?
两端积分,2?? ? xdxy
dy
12ln Cxy ??
.2 为所求通解xcey ??
二、典型例题
.0)()(2 通解求方程例 ?? xdyxygyd xxyf
,xyu ?令,y d xxdydu ??则
,0)()( ???? x y dxduxugy dxuf
,0)()]()([ ??? duugdxxuuguf
,0)]()([ )( ??? duugufu ugxdx
.)]()([ )(||ln Cduugufu ugx ??? ?通解为
解
例 3 衰变问题, 衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正比,已知 00 MM t ??,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数????? MdtdM dtMdM ???
,?? ??? dtMdM
00 MM t ??代入
,lnln ctM ??? ?,tceM ???即
00 ceM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
例 4 有高为 1米的半球形容器,水从它的底部小
孔流出,小孔横截面积为 1平方厘米 (如图 ),开始
时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器
里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离 )随时
间 t的变化规律,
解 由力学知识得,水从孔口流
出的流量为
,262.0 ghSdtdVQ ???
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
cm100
h
o
r
h
dhh? )1(,262.0 dtghdV ??
设在微小的时间间隔 ],,[ ttt ??
水面的高度由 h降至,hh ??,2 dhrdV ???则
,200)100(100 222 hhhr ??????
)2(,)200( 2 dhhhdV ?????
比较 (1)和 (2)得, dhhh )200( 2???,262.0 dtgh?
1?S?,cm2
dhhh )200( 2???,262.0 dtgh?
即为未知函数的微分方程, 可分离变量
,)200(262.0 3 dhhhgdt ????
,)5234 0 0(262.0 53 Chhgt ?????
,100| 0 ??th?,1015
14
262.0
5?????
gC
).310107(265.4 5335 hhgt ?????所求规律为
解
例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中
含有 的,为了降低车间内空气中
的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机
通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分
钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 ??? dt
),(2000 txdt ???
2CO 的通入量 2CO 的排出量2CO 的改变量 ? ?
03.0200 0120 00 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
),03.0(61 ??? xdtdx,03.0 61 tCex ????
,1.0| 0 ??tx?,07.0?? C,07.003.0 6
1 tex ????
,056.007.003.0| 16 ??? ?? ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
三、小结
思考题
求解微分方程,2c o s2c o s yxyxdxdy ????
思考题解答
,02c o s2c o s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
?? ?? dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy ?,
2c os2 C
x ?? 为所求解,
一、求下列微分方程的通解,
1, 0t a ns e ct a ns e c
22
?? xdyyy d xx ；
2, 0)()( ????
??
dyeedxee
yyxxyx；
3, 0)1(
32
??? x
dx
dy
y,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, x d xyy d yx s i nc o ss i nc o s ?,
4
0
?
?
?x
y ；
2,
0s i n)1(c o s ???
?
y d yey d x
x
,
4
0
?
?
?x
y,
练 习 题
三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力
和时间成正比,和质点运动的速度成反比, 在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克 ?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设
a船速为
,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为
,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离
的乘积成正比 ( 比例
k系数为
),求小船的航行路
线,
练习题答案
一,1, Cyx ?t a nt a n ； 2, Cee
yx
??? )1)(1( ；
3, Cxy ???
43
3)1(4,
二,1, xy c o sc o s2 ? ； 2, ye
x
c o s221 ??,
三,3.2 6 9?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对
岸,则所求航线为 )
3
1
2
(
32
yy
h
a
k
x ??,